MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omopth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omopth2 8583
Description: An ordered pair-like theorem for ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
omopth2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โ†” (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ)))

Proof of Theorem omopth2
StepHypRef Expression
1 simpl2l 1226 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
2 eloni 6374 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ On โ†’ Ord ๐ต)
31, 2syl 17 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ Ord ๐ต)
4 simpl3l 1228 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ๐ท โˆˆ On)
5 eloni 6374 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ On โ†’ Ord ๐ท)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ Ord ๐ท)
7 ordtri3or 6396 . . . . . 6 ((Ord ๐ต โˆง Ord ๐ท) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โˆจ ๐ต = ๐ท โˆจ ๐ท โˆˆ ๐ต))
83, 6, 7syl2anc 584 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โˆจ ๐ต = ๐ท โˆจ ๐ท โˆˆ ๐ต))
9 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ))
10 simpl1l 1224 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
11 omcl 8535 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ท) โˆˆ On)
1210, 4, 11syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ท) โˆˆ On)
13 simpl3r 1229 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐ด)
14 onelon 6389 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ธ โˆˆ On)
1510, 13, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ๐ธ โˆˆ On)
16 oacl 8534 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด ยทo ๐ท) โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ On)
1712, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ On)
18 eloni 6374 . . . . . . . . . 10 (((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ On โ†’ Ord ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ))
19 ordirr 6382 . . . . . . . . . 10 (Ord ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โ†’ ยฌ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ))
2017, 18, 193syl 18 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ยฌ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ))
219, 20eqneltrd 2853 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ยฌ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ))
22 orc 865 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ ๐ท โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โˆจ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ)))
23 omeulem2 8582 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐ต โˆˆ ๐ท โˆจ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
2423adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ((๐ต โˆˆ ๐ท โˆจ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
2522, 24syl5 34 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
2621, 25mtod 197 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ ๐ท)
2726pm2.21d 121 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โ†’ ๐ต = ๐ท))
28 idd 24 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ต = ๐ท โ†’ ๐ต = ๐ท))
2920, 9neleqtrrd 2856 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ยฌ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ))
30 orc 865 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ท โˆˆ ๐ต โˆจ (๐ท = ๐ต โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ถ)))
31 simpl1r 1225 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)
32 simpl2r 1227 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ด)
33 omeulem2 8582 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐ท โˆˆ ๐ต โˆจ (๐ท = ๐ต โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ)))
3410, 31, 4, 13, 1, 32, 33syl222anc 1386 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ((๐ท โˆˆ ๐ต โˆจ (๐ท = ๐ต โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ)))
3530, 34syl5 34 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ท โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ)))
3629, 35mtod 197 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ยฌ ๐ท โˆˆ ๐ต)
3736pm2.21d 121 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ท โˆˆ ๐ต โ†’ ๐ต = ๐ท))
3827, 28, 373jaod 1428 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ((๐ต โˆˆ ๐ท โˆจ ๐ต = ๐ท โˆจ ๐ท โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ต = ๐ท))
398, 38mpd 15 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ๐ต = ๐ท)
40 onelon 6389 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
41 eloni 6374 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ On โ†’ Ord ๐ถ)
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โ†’ Ord ๐ถ)
4310, 32, 42syl2anc 584 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ Ord ๐ถ)
44 eloni 6374 . . . . . . . 8 (๐ธ โˆˆ On โ†’ Ord ๐ธ)
4514, 44syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด) โ†’ Ord ๐ธ)
4610, 13, 45syl2anc 584 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ Ord ๐ธ)
47 ordtri3or 6396 . . . . . 6 ((Ord ๐ถ โˆง Ord ๐ธ) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ธ โˆจ ๐ถ = ๐ธ โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ถ))
4843, 46, 47syl2anc 584 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ธ โˆจ ๐ถ = ๐ธ โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ถ))
49 olc 866 . . . . . . . . . 10 ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โˆจ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ)))
5049, 24syl5 34 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
5139, 50mpand 693 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ธ โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
5221, 51mtod 197 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ยฌ ๐ถ โˆˆ ๐ธ)
5352pm2.21d 121 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ธ โ†’ ๐ถ = ๐ธ))
54 idd 24 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ถ = ๐ธ โ†’ ๐ถ = ๐ธ))
5539eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ๐ท = ๐ต)
56 olc 866 . . . . . . . . . 10 ((๐ท = ๐ต โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ท โˆˆ ๐ต โˆจ (๐ท = ๐ต โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ถ)))
5756, 34syl5 34 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ((๐ท = ๐ต โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ)))
5855, 57mpand 693 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ธ โˆˆ ๐ถ โ†’ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ)))
5929, 58mtod 197 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ยฌ ๐ธ โˆˆ ๐ถ)
6059pm2.21d 121 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ธ โˆˆ ๐ถ โ†’ ๐ถ = ๐ธ))
6153, 54, 603jaod 1428 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ((๐ถ โˆˆ ๐ธ โˆจ ๐ถ = ๐ธ โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐ถ = ๐ธ))
6248, 61mpd 15 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ๐ถ = ๐ธ)
6339, 62jca 512 . . 3 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ))
6463ex 413 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โ†’ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ)))
65 oveq2 7416 . . 3 (๐ต = ๐ท โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ท))
66 id 22 . . 3 (๐ถ = ๐ธ โ†’ ๐ถ = ๐ธ)
6765, 66oveqan12d 7427 . 2 ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ))
6864, 67impbid1 224 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โ†” (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆจ w3o 1086   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ…c0 4322  Ord word 6363  Oncon0 6364  (class class class)co 7408   +o coa 8462   ยทo comu 8463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-oadd 8469  df-omul 8470
This theorem is referenced by:  omeu  8584  dfac12lem2  10138
  Copyright terms: Public domain W3C validator