MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omopth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omopth2 8535
Description: An ordered pair-like theorem for ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
omopth2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โ†” (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ)))

Proof of Theorem omopth2
StepHypRef Expression
1 simpl2l 1227 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
2 eloni 6331 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ On โ†’ Ord ๐ต)
31, 2syl 17 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ Ord ๐ต)
4 simpl3l 1229 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ๐ท โˆˆ On)
5 eloni 6331 . . . . . . 7 (๐ท โˆˆ On โ†’ Ord ๐ท)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ Ord ๐ท)
7 ordtri3or 6353 . . . . . 6 ((Ord ๐ต โˆง Ord ๐ท) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โˆจ ๐ต = ๐ท โˆจ ๐ท โˆˆ ๐ต))
83, 6, 7syl2anc 585 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โˆจ ๐ต = ๐ท โˆจ ๐ท โˆˆ ๐ต))
9 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ))
10 simpl1l 1225 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
11 omcl 8486 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ท โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ท) โˆˆ On)
1210, 4, 11syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ท) โˆˆ On)
13 simpl3r 1230 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐ด)
14 onelon 6346 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ธ โˆˆ On)
1510, 13, 14syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ๐ธ โˆˆ On)
16 oacl 8485 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด ยทo ๐ท) โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ On)
1712, 15, 16syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ On)
18 eloni 6331 . . . . . . . . . 10 (((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ On โ†’ Ord ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ))
19 ordirr 6339 . . . . . . . . . 10 (Ord ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โ†’ ยฌ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ))
2017, 18, 193syl 18 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ยฌ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ))
219, 20eqneltrd 2854 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ยฌ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ))
22 orc 866 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ ๐ท โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โˆจ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ)))
23 omeulem2 8534 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐ต โˆˆ ๐ท โˆจ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
2423adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ((๐ต โˆˆ ๐ท โˆจ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
2522, 24syl5 34 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
2621, 25mtod 197 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ ๐ท)
2726pm2.21d 121 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โ†’ ๐ต = ๐ท))
28 idd 24 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ต = ๐ท โ†’ ๐ต = ๐ท))
2920, 9neleqtrrd 2857 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ยฌ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ))
30 orc 866 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ท โˆˆ ๐ต โˆจ (๐ท = ๐ต โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ถ)))
31 simpl1r 1226 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)
32 simpl2r 1228 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ด)
33 omeulem2 8534 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด)) โ†’ ((๐ท โˆˆ ๐ต โˆจ (๐ท = ๐ต โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ)))
3410, 31, 4, 13, 1, 32, 33syl222anc 1387 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ((๐ท โˆˆ ๐ต โˆจ (๐ท = ๐ต โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ)))
3530, 34syl5 34 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ท โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ)))
3629, 35mtod 197 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ยฌ ๐ท โˆˆ ๐ต)
3736pm2.21d 121 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ท โˆˆ ๐ต โ†’ ๐ต = ๐ท))
3827, 28, 373jaod 1429 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ((๐ต โˆˆ ๐ท โˆจ ๐ต = ๐ท โˆจ ๐ท โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ต = ๐ท))
398, 38mpd 15 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ๐ต = ๐ท)
40 onelon 6346 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ On)
41 eloni 6331 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ On โ†’ Ord ๐ถ)
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โ†’ Ord ๐ถ)
4310, 32, 42syl2anc 585 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ Ord ๐ถ)
44 eloni 6331 . . . . . . . 8 (๐ธ โˆˆ On โ†’ Ord ๐ธ)
4514, 44syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด) โ†’ Ord ๐ธ)
4610, 13, 45syl2anc 585 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ Ord ๐ธ)
47 ordtri3or 6353 . . . . . 6 ((Ord ๐ถ โˆง Ord ๐ธ) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ธ โˆจ ๐ถ = ๐ธ โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ถ))
4843, 46, 47syl2anc 585 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ธ โˆจ ๐ถ = ๐ธ โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ถ))
49 olc 867 . . . . . . . . . 10 ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (๐ต โˆˆ ๐ท โˆจ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ)))
5049, 24syl5 34 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
5139, 50mpand 694 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ธ โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)))
5221, 51mtod 197 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ยฌ ๐ถ โˆˆ ๐ธ)
5352pm2.21d 121 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ถ โˆˆ ๐ธ โ†’ ๐ถ = ๐ธ))
54 idd 24 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ถ = ๐ธ โ†’ ๐ถ = ๐ธ))
5539eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ๐ท = ๐ต)
56 olc 867 . . . . . . . . . 10 ((๐ท = ๐ต โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐ท โˆˆ ๐ต โˆจ (๐ท = ๐ต โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ถ)))
5756, 34syl5 34 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ((๐ท = ๐ต โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ)))
5855, 57mpand 694 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ธ โˆˆ ๐ถ โ†’ ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โˆˆ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ)))
5929, 58mtod 197 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ยฌ ๐ธ โˆˆ ๐ถ)
6059pm2.21d 121 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ธ โˆˆ ๐ถ โ†’ ๐ถ = ๐ธ))
6153, 54, 603jaod 1429 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ((๐ถ โˆˆ ๐ธ โˆจ ๐ถ = ๐ธ โˆจ ๐ธ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ๐ถ = ๐ธ))
6248, 61mpd 15 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ ๐ถ = ๐ธ)
6339, 62jca 513 . . 3 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โˆง ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ)) โ†’ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ))
6463ex 414 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โ†’ (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ)))
65 oveq2 7369 . . 3 (๐ต = ๐ท โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ท))
66 id 22 . . 3 (๐ถ = ๐ธ โ†’ ๐ถ = ๐ธ)
6765, 66oveqan12d 7380 . 2 ((๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ))
6864, 67impbid1 224 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ On โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ด)) โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ท) +o ๐ธ) โ†” (๐ต = ๐ท โˆง ๐ถ = ๐ธ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆจ w3o 1087   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ…c0 4286  Ord word 6320  Oncon0 6321  (class class class)co 7361   +o coa 8413   ยทo comu 8414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-oadd 8420  df-omul 8421
This theorem is referenced by:  omeu  8536  dfac12lem2  10088
  Copyright terms: Public domain W3C validator