Theorem nn0z 12606

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 12605	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2	1	sseli 3935	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583

This theorem is referenced by:  nn0negz  12623  nn0ltp1le  12645  nn0leltp1  12646  nn0ltlem1  12647  nn0lt2  12650  nn0le2is012  12651  nn0lem1lt  12652  fnn0ind  12686  nn0pzuz  12920  nn0ge2m1nnALT  12957  fz1n  13561  ige2m1fz  13636  elfz2nn0  13637  fznn0  13638  elfz0add  13645  fzctr  13659  difelfzle  13660  fzoun  13716  fzofzim  13729  fzo1fzo0n0  13735  elincfzoext  13743  elfzodifsumelfzo  13751  fz0add1fz1  13755  zpnn0elfzo  13758  fzossfzop1  13763  ubmelm1fzo  13783  elfznelfzo  13793  flmulnn0  13851  quoremnn0  13880  zmodidfzoimp  13925  modmuladdnn0  13942  modfzo0difsn  13970  expdiv  14140  expnngt1  14268  faclbnd3  14319  bccmpl  14336  bcnp1n  14341  bcval5  14345  bcn2  14346  bcp1m1  14347  hashge2el2difr  14508  fi1uzind  14534  wrdred1  14587  wrdred1hash  14588  ccatalpha  14621  swrdnd0  14685  swrdfv2  14689  swrdsb0eq  14691  swrdsbslen  14692  swrdspsleq  14693  swrdlsw  14695  pfxnd  14715  pfxccatin12lem4  14753  pfxccatin12lem3  14759  pfxccat3  14761  swrdccat  14762  pfxccat3a  14765  revlen  14789  repswswrd  14811  repswccat  14813  cshwidxmodr  14831  cshf1  14837  2cshw  14840  cshweqrep  14848  cshwcshid  14854  cshwcsh2id  14855  cats1fv  14886  swrd2lsw  14979  2swrd2eqwrdeq  14980  isercoll  15709  iseraltlem2  15724  bcxmas  15879  geo2sum2  15918  geomulcvg  15920  risefacval2  16054  fallfacval2  16055  zrisefaccl  16064  zfallfaccl  16065  fallrisefac  16069  bpolylem  16092  fsumkthpow  16100  esum  16124  ege2le3  16134  eftlcl  16153  reeftlcl  16154  eftlub  16155  effsumlt  16157  eirrlem  16250  dvds1  16367  dvdsext  16369  addmodlteqALT  16373  oddnn02np1  16396  oddge22np1  16397  nn0ehalf  16426  nn0o1gt2  16429  nno  16430  nn0o  16431  nn0oddm1d2  16433  divalglem4  16444  divalglem5  16445  modremain  16456  bitsinv1  16490  nn0gcdid0  16569  nn0seqcvgd  16618  algcvga  16627  eucalgf  16631  nonsq  16808  numdenexp  16809  odzdvds  16845  coprimeprodsq  16858  coprimeprodsq2  16859  oddprm  16860  iserodd  16885  pcexp  16909  pcidlem  16922  pc11  16930  dvdsprmpweqle  16936  difsqpwdvds  16937  pcfac  16949  prmunb  16964  hashbc2  17056  cshwshashlem2  17146  chnccat  18672  smndex1ibas  18949  smndex1iidm  18950  smndex2dnrinv  18967  smndex2dlinvh  18969  mulgaddcom  19155  mulginvcom  19156  mulgz  19159  mulgdirlem  19162  mulgass  19168  mndodcongi  19604  oddvdsnn0  19605  odeq  19611  odmulg  19617  efgsdmi  19793  cyggex2  19958  fincygsubgodd  20175  mulgass2  20383  chrrhm  21641  zncrng  21654  znzrh2  21655  zndvds  21659  znchr  21672  znunit  21673  chfacfisf  22972  chfacfisfcpmat  22973  chfacfscmulfsupp  22977  chfacfpmmulfsupp  22981  clmmulg  25221  itgcnlem  25910  degltlem1  26190  plyco0  26310  dgreq0  26383  plydivex  26419  aannenlem1  26450  abelthlem1  26552  abelthlem3  26554  abelthlem8  26560  abelthlem9  26561  advlogexp  26778  cxpexp  26791  leibpi  27065  log2cnv  27067  log2tlbnd  27068  basellem2  27204  sgmnncl  27269  chpp1  27277  bcmono  27399  bcmax  27400  bcp1ctr  27401  lgsneg1  27444  lgsdirnn0  27466  lgsdinn0  27467  2lgslem1c  27515  2lgslem3a1  27522  2lgslem3b1  27523  2lgslem3c1  27524  2lgsoddprmlem2  27531  2sq2  27555  2sqreultlem  27569  dchrisumlem1  27611  qabvle  27747  ostth2lem2  27756  tgldimor  28729  upgrewlkle2  29865  wlkv0  29908  redwlk  29929  pthdadjvtx  29986  pthdlem1  30024  wwlknvtx  30103  wlkiswwlks2lem3  30129  wwlksm1edg  30139  wwlksnred  30150  wwlksnext  30151  clwlkclwwlklem2a1  30252  clwlkclwwlklem2a2  30253  clwlkclwwlklem2fv1  30255  clwlkclwwlklem2fv2  30256  clwlkclwwlklem2a4  30257  clwlkclwwlklem2a  30258  clwlkclwwlklem2  30260  clwlkclwwlk  30262  clwwisshclwwslem  30274  eucrctshift  30503  eucrct2eupth1  30504  eucrct2eupth  30505  numclwwlk5lem  30647  numclwwlk5  30648  numclwwlk7  30651  frgrreggt1  30653  nndiffz1  33043  nn0diffz0  33051  xrge0mulgnn0  33248  hashf2  34391  signsvtn0  34874  nn0ltp1ne  35474  0nn0m1nnn0  35475  pthhashvtx  35491  fz0n  36094  bcneg1  36099  bccolsum  36102  faclimlem3  36108  faclim  36109  iprodfac  36110  poimirlem28  38159  mblfinlem1  38168  mblfinlem2  38169  lcmineqlem2  42659  sticksstones22  42797  gcdnn0id  42950  negexpidd  43275  nacsfix  43305  fzsplit1nn0  43347  eldioph2lem1  43353  fz1eqin  43362  diophin  43365  eq0rabdioph  43369  rexrabdioph  43383  rexzrexnn0  43393  irrapxlem4  43414  pell14qrss1234  43445  pell1qrss14  43457  monotoddzz  43532  rmxypos  43536  ltrmynn0  43537  ltrmxnn0  43538  lermxnn0  43539  rmxnn  43540  rmynn0  43546  jm2.17a  43549  jm2.17b  43550  rmygeid  43553  jm2.18  43577  jm2.19lem3  43580  jm2.19lem4  43581  jm2.22  43584  rmxdiophlem  43604  hbt  43719  proot1ex  43785  fzisoeu  45877  stirlinglem5  46650  elfzlble  47912  subsubelfzo0  47919  2ffzoeq  47920  addmodne  47942  fargshiftfo  48046  fmtnof1  48142  fmtnorec1  48144  goldbachthlem1  48152  odz2prm2pw  48170  flsqrt  48200  lighneallem4  48217  nn0eo  49159  nn0ofldiv2  49163  flnn0div2ge  49164  fllog2  49199  blenpw2  49209  blennngt2o2  49223  nn0digval  49231  dignn0fr  49232  digexp  49238  0dig2nn0e  49243  0dig2nn0o  49244  dig2bits  49245  dignn0flhalflem2  49247  dignn0ehalf  49248  dignn0flhalf  49249  nn0sumshdiglemB  49251