Theorem nn0z 12589

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 12588	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2	1	sseli 3932	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566

This theorem is referenced by:  nn0negz  12606  nn0ltp1le  12628  nn0leltp1  12629  nn0ltlem1  12630  nn0lt2  12633  nn0le2is012  12634  nn0lem1lt  12635  fnn0ind  12669  nn0pzuz  12903  nn0ge2m1nnALT  12940  fz1n  13544  ige2m1fz  13619  elfz2nn0  13620  fznn0  13621  elfz0add  13628  fzctr  13642  difelfzle  13643  fzoun  13699  fzofzim  13712  fzo1fzo0n0  13718  elincfzoext  13726  elfzodifsumelfzo  13734  fz0add1fz1  13738  zpnn0elfzo  13741  fzossfzop1  13746  ubmelm1fzo  13766  elfznelfzo  13776  flmulnn0  13834  quoremnn0  13863  zmodidfzoimp  13908  modmuladdnn0  13925  modfzo0difsn  13953  expdiv  14123  expnngt1  14251  faclbnd3  14302  bccmpl  14319  bcnp1n  14324  bcval5  14328  bcn2  14329  bcp1m1  14330  hashge2el2difr  14491  fi1uzind  14517  wrdred1  14570  wrdred1hash  14571  ccatalpha  14604  swrdnd0  14668  swrdfv2  14672  swrdsb0eq  14674  swrdsbslen  14675  swrdspsleq  14676  swrdlsw  14678  pfxnd  14698  pfxccatin12lem4  14736  pfxccatin12lem3  14742  pfxccat3  14744  swrdccat  14745  pfxccat3a  14748  revlen  14772  repswswrd  14794  repswccat  14796  cshwidxmodr  14814  cshf1  14820  2cshw  14823  cshweqrep  14831  cshwcshid  14837  cshwcsh2id  14838  cats1fv  14869  swrd2lsw  14962  2swrd2eqwrdeq  14963  isercoll  15678  iseraltlem2  15693  bcxmas  15848  geo2sum2  15887  geomulcvg  15889  risefacval2  16023  fallfacval2  16024  zrisefaccl  16033  zfallfaccl  16034  fallrisefac  16038  bpolylem  16061  fsumkthpow  16069  esum  16093  ege2le3  16103  eftlcl  16122  reeftlcl  16123  eftlub  16124  effsumlt  16126  eirrlem  16219  dvds1  16336  dvdsext  16338  addmodlteqALT  16342  oddnn02np1  16365  oddge22np1  16366  nn0ehalf  16395  nn0o1gt2  16398  nno  16399  nn0o  16400  nn0oddm1d2  16402  divalglem4  16413  divalglem5  16414  modremain  16425  bitsinv1  16459  nn0gcdid0  16538  nn0seqcvgd  16587  algcvga  16596  eucalgf  16600  nonsq  16777  numdenexp  16778  odzdvds  16814  coprimeprodsq  16827  coprimeprodsq2  16828  oddprm  16829  iserodd  16854  pcexp  16878  pcidlem  16891  pc11  16899  dvdsprmpweqle  16905  difsqpwdvds  16906  pcfac  16918  prmunb  16933  hashbc2  17025  cshwshashlem2  17115  chnccat  18641  smndex1ibas  18917  smndex1iidm  18918  smndex2dnrinv  18935  smndex2dlinvh  18937  mulgaddcom  19123  mulginvcom  19124  mulgz  19127  mulgdirlem  19130  mulgass  19136  mndodcongi  19566  oddvdsnn0  19567  odeq  19573  odmulg  19579  efgsdmi  19755  cyggex2  19920  fincygsubgodd  20137  mulgass2  20338  chrrhm  21563  zncrng  21576  znzrh2  21577  zndvds  21581  znchr  21594  znunit  21595  chfacfisf  22894  chfacfisfcpmat  22895  chfacfscmulfsupp  22899  chfacfpmmulfsupp  22903  clmmulg  25143  itgcnlem  25832  degltlem1  26112  plyco0  26232  dgreq0  26305  plydivex  26338  aannenlem1  26369  abelthlem1  26471  abelthlem3  26473  abelthlem8  26479  abelthlem9  26480  advlogexp  26697  cxpexp  26710  leibpi  26984  log2cnv  26986  log2tlbnd  26987  basellem2  27123  sgmnncl  27188  chpp1  27196  bcmono  27318  bcmax  27319  bcp1ctr  27320  lgsneg1  27363  lgsdirnn0  27385  lgsdinn0  27386  2lgslem1c  27434  2lgslem3a1  27441  2lgslem3b1  27442  2lgslem3c1  27443  2lgsoddprmlem2  27450  2sq2  27474  2sqreultlem  27488  dchrisumlem1  27530  qabvle  27666  ostth2lem2  27675  tgldimor  28648  upgrewlkle2  29753  wlkv0  29796  redwlk  29817  pthdadjvtx  29874  pthdlem1  29912  wwlknvtx  29991  wlkiswwlks2lem3  30017  wwlksm1edg  30027  wwlksnred  30038  wwlksnext  30039  clwlkclwwlklem2a1  30140  clwlkclwwlklem2a2  30141  clwlkclwwlklem2fv1  30143  clwlkclwwlklem2fv2  30144  clwlkclwwlklem2a4  30145  clwlkclwwlklem2a  30146  clwlkclwwlklem2  30148  clwlkclwwlk  30150  clwwisshclwwslem  30162  eucrctshift  30391  eucrct2eupth1  30392  eucrct2eupth  30393  numclwwlk5lem  30535  numclwwlk5  30536  numclwwlk7  30539  frgrreggt1  30541  nndiffz1  32938  nn0diffz0  32946  xrge0mulgnn0  33154  hashf2  34342  signsvtn0  34828  nn0ltp1ne  35426  0nn0m1nnn0  35427  pthhashvtx  35442  fz0n  36045  bcneg1  36050  bccolsum  36053  faclimlem3  36059  faclim  36060  iprodfac  36061  poimirlem28  38111  mblfinlem1  38120  mblfinlem2  38121  lcmineqlem2  42611  sticksstones22  42749  gcdnn0id  42902  negexpidd  43227  nacsfix  43257  fzsplit1nn0  43299  eldioph2lem1  43305  fz1eqin  43314  diophin  43317  eq0rabdioph  43321  rexrabdioph  43335  rexzrexnn0  43345  irrapxlem4  43366  pell14qrss1234  43397  pell1qrss14  43409  monotoddzz  43484  rmxypos  43488  ltrmynn0  43489  ltrmxnn0  43490  lermxnn0  43491  rmxnn  43492  rmynn0  43498  jm2.17a  43501  jm2.17b  43502  rmygeid  43505  jm2.18  43529  jm2.19lem3  43532  jm2.19lem4  43533  jm2.22  43536  rmxdiophlem  43556  hbt  43671  proot1ex  43737  fzisoeu  45843  stirlinglem5  46616  elfzlble  47878  subsubelfzo0  47885  2ffzoeq  47886  addmodne  47908  fargshiftfo  48012  fmtnof1  48108  fmtnorec1  48110  goldbachthlem1  48118  odz2prm2pw  48136  flsqrt  48166  lighneallem4  48183  nn0eo  49114  nn0ofldiv2  49118  flnn0div2ge  49119  fllog2  49154  blenpw2  49164  blennngt2o2  49178  nn0digval  49186  dignn0fr  49187  digexp  49193  0dig2nn0e  49198  0dig2nn0o  49199  dig2bits  49200  dignn0flhalflem2  49202  dignn0ehalf  49203  dignn0flhalf  49204  nn0sumshdiglemB  49206