Theorem nn0z 12698

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 12697	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2	1	sseli 3927	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675

This theorem is used by:  nn0negz  12715  0nn0m1nnn0  12734  nn0ltp1le  12738  nn0leltp1  12739  nn0ltlem1  12740  nn0lt2  12743  nn0le2is012  12744  nn0lem1lt  12745  fnn0ind  12779  nn0pzuz  13013  nn0ge2m1nnALT  13050  fz1n  13655  ige2m1fz  13731  elfz2nn0  13732  fznn0  13733  elfz0add  13740  fzctr  13754  difelfzle  13755  fzoun  13811  fzofzim  13824  fzo1fzo0n0  13830  elincfzoext  13838  elfzodifsumelfzo  13846  fz0add1fz1  13850  zpnn0elfzo  13853  fzossfzop1  13858  ubmelm1fzo  13878  elfznelfzo  13888  flmulnn0  13947  quoremnn0  13976  zmodidfzoimp  14021  modmuladdnn0  14038  modfzo0difsn  14066  expdiv  14236  expnngt1  14365  faclbnd3  14416  bccmpl  14433  bcnp1n  14438  bcval5  14442  bcn2  14443  bcp1m1  14444  hashge2el2difr  14606  fi1uzind  14632  wrdred1  14685  wrdred1hash  14686  ccatalpha  14720  swrdnd0  14787  swrdfv2  14791  swrdsb0eq  14793  swrdsbslen  14794  swrdspsleq  14795  swrdlsw  14797  pfxnd  14817  pfxccatin12lem4  14855  pfxccatin12lem3  14861  pfxccat3  14863  swrdccat  14864  pfxccat3a  14867  revlen  14891  repswswrd  14915  repswccat  14917  cshwidxmodr  14935  cshf1  14941  2cshw  14944  cshweqrep  14952  cshwcshid  14958  cshwcsh2id  14959  cats1fv  14990  swrd2lsw  15085  2swrd2eqwrdeq  15086  isercoll  15815  iseraltlem2  15830  bcxmas  15984  geo2sum2  16023  geomulcvg  16025  risefacval2  16157  fallfacval2  16158  zrisefaccl  16167  zfallfaccl  16168  fallrisefac  16172  bpolylem  16194  fsumkthpow  16202  esum  16226  ege2le3  16236  eftlcl  16255  reeftlcl  16256  eftlub  16257  effsumlt  16259  eirrlem  16352  dvds1  16469  dvdsext  16471  addmodlteqALT  16475  oddnn02np1  16498  oddge22np1  16499  nn0ehalf  16528  nn0o1gt2  16531  nno  16532  nn0o  16533  nn0oddm1d2  16535  divalglem4  16546  divalglem5  16547  modremain  16558  bitsinv1  16592  nn0gcdid0  16673  gcdnn0id  16680  nn0seqcvgd  16725  algcvga  16734  eucalgf  16738  nonsq  16915  numdenexp  16917  odzdvds  16953  coprimeprodsq  16966  coprimeprodsq2  16967  oddprm  16968  iserodd  16993  pcexp  17017  pcidlem  17030  pc11  17038  dvdsprmpweqle  17044  difsqpwdvds  17045  pcfac  17057  prmunb  17072  hashbc2  17164  cshwshashlem2  17254  chnccat  18780  smndex1ibas  19076  smndex1iidm  19077  smndex2dnrinv  19094  smndex2dlinvh  19096  mulgaddcom  19288  mulginvcom  19289  mulgz  19292  mulgdirlem  19295  mulgass  19301  mndodcongi  19737  oddvdsnn0  19738  odeq  19744  odmulg  19750  efgsdmi  19926  cyggex2  20091  fincygsubgodd  20308  mulgass2  20520  chrrhm  21817  zncrng  21830  znzrh2  21831  zndvds  21835  znchr  21848  znunit  21849  chfacfisf  23152  chfacfisfcpmat  23153  chfacfscmulfsupp  23157  chfacfpmmulfsupp  23161  clmmulg  25402  itgcnlem  26090  degltlem1  26370  plyco0  26490  dgreq0  26564  plydivex  26600  aannenlem1  26637  abelthlem1  26740  abelthlem3  26742  abelthlem8  26748  abelthlem9  26749  advlogexp  26965  cxpexp  26978  leibpi  27252  log2cnv  27254  log2tlbnd  27255  basellem2  27391  sgmnncl  27456  chpp1  27464  bcmono  27586  bcmax  27587  bcp1ctr  27588  lgsneg1  27631  lgsdirnn0  27653  lgsdinn0  27654  2lgslem1c  27702  2lgslem3a1  27709  2lgslem3b1  27710  2lgslem3c1  27711  2lgsoddprmlem2  27718  2sq2  27742  2sqreultlem  27756  dchrisumlem1  27798  qabvle  27934  ostth2lem2  27943  fltoprmlem2  27976  tgldimor  28947  upgrewlkle2  30169  wlkv0  30212  redwlk  30233  pthdadjvtx  30295  pthhashvtx  30297  pthdlem1  30334  wwlknvtx  30416  wlkiswwlks2lem3  30442  wwlksm1edg  30452  wwlksnred  30463  wwlksnext  30464  clwlkclwwlklem2a1  30565  clwlkclwwlklem2a2  30566  clwlkclwwlklem2fv1  30568  clwlkclwwlklem2fv2  30569  clwlkclwwlklem2a4  30570  clwlkclwwlklem2a  30571  clwlkclwwlklem2  30573  clwlkclwwlk  30575  clwwisshclwwslem  30587  eucrctshift  30826  eucrct2eupth1  30827  eucrct2eupth  30828  numclwwlk5lem  30970  numclwwlk5  30971  numclwwlk7  30974  frgrreggt1  30976  nndiffz1  33360  nn0diffz0  33368  xrge0mulgnn0  33558  hashf2  34698  signsvtn0  35182  nn0ltp1ne  35871  fz0n  36465  bcneg1  36470  bccolsum  36473  faclimlem3  36479  faclim  36480  iprodfac  36481  poimirlem28  38534  mblfinlem1  38543  mblfinlem2  38544  lcmineqlem2  43048  sticksstones22  43186  negexpidd  43646  nacsfix  43676  fzsplit1nn0  43718  eldioph2lem1  43724  fz1eqin  43733  diophin  43736  eq0rabdioph  43740  rexrabdioph  43754  rexzrexnn0  43764  irrapxlem4  43785  pell14qrss1234  43816  pell1qrss14  43828  monotoddzz  43903  rmxypos  43907  ltrmynn0  43908  ltrmxnn0  43909  lermxnn0  43910  rmxnn  43911  rmynn0  43917  jm2.17a  43920  jm2.17b  43921  rmygeid  43924  jm2.18  43948  jm2.19lem3  43951  jm2.19lem4  43952  jm2.22  43955  rmxdiophlem  43975  hbt  44090  proot1ex  44156  fzisoeu  46259  stirlinglem5  47032  elfzlble  48334  subsubelfzo0  48341  2ffzoeq  48342  addmodne  48364  fargshiftfo  48468  fmtnof1  48564  fmtnorec1  48566  goldbachthlem1  48574  odz2prm2pw  48592  flsqrt  48622  lighneallem4  48639  nn0eo  49584  nn0ofldiv2  49588  flnn0div2ge  49589  fllog2  49624  blenpw2  49634  blennngt2o2  49648  nn0digval  49656  dignn0fr  49657  digexp  49663  0dig2nn0e  49668  0dig2nn0o  49669  dig2bits  49670  dignn0flhalflem2  49672  dignn0ehalf  49673  dignn0flhalf  49674  nn0sumshdiglemB  49676