Theorem nn0z 12539

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 12538	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ
2	1	sseli 3918	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516

This theorem is referenced by:  nn0negz  12556  nn0ltp1le  12578  nn0leltp1  12579  nn0ltlem1  12580  nn0lt2  12583  nn0le2is012  12584  nn0lem1lt  12585  fnn0ind  12619  nn0pzuz  12846  nn0ge2m1nnALT  12883  fz1n  13487  ige2m1fz  13562  elfz2nn0  13563  fznn0  13564  elfz0add  13571  fzctr  13585  difelfzle  13586  fzoun  13642  fzofzim  13655  fzo1fzo0n0  13661  elincfzoext  13669  elfzodifsumelfzo  13677  fz0add1fz1  13681  zpnn0elfzo  13684  fzossfzop1  13689  ubmelm1fzo  13709  elfznelfzo  13719  flmulnn0  13777  quoremnn0  13806  zmodidfzoimp  13851  modmuladdnn0  13868  modfzo0difsn  13896  expdiv  14066  expnngt1  14194  faclbnd3  14245  bccmpl  14262  bcnp1n  14267  bcval5  14271  bcn2  14272  bcp1m1  14273  hashge2el2difr  14434  fi1uzind  14460  wrdred1  14513  wrdred1hash  14514  ccatalpha  14547  swrdnd0  14611  swrdfv2  14615  swrdsb0eq  14617  swrdsbslen  14618  swrdspsleq  14619  swrdlsw  14621  pfxnd  14641  pfxccatin12lem4  14679  pfxccatin12lem3  14685  pfxccat3  14687  swrdccat  14688  pfxccat3a  14691  revlen  14715  repswswrd  14737  repswccat  14739  cshwidxmodr  14757  cshf1  14763  2cshw  14766  cshweqrep  14774  cshwcshid  14780  cshwcsh2id  14781  cats1fv  14812  swrd2lsw  14905  2swrd2eqwrdeq  14906  isercoll  15621  iseraltlem2  15636  bcxmas  15791  geo2sum2  15830  geomulcvg  15832  risefacval2  15966  fallfacval2  15967  zrisefaccl  15976  zfallfaccl  15977  fallrisefac  15981  bpolylem  16004  fsumkthpow  16012  esum  16036  ege2le3  16046  eftlcl  16065  reeftlcl  16066  eftlub  16067  effsumlt  16069  eirrlem  16162  dvds1  16279  dvdsext  16281  addmodlteqALT  16285  oddnn02np1  16308  oddge22np1  16309  nn0ehalf  16338  nn0o1gt2  16341  nno  16342  nn0o  16343  nn0oddm1d2  16345  divalglem4  16356  divalglem5  16357  modremain  16368  bitsinv1  16402  nn0gcdid0  16481  nn0seqcvgd  16530  algcvga  16539  eucalgf  16543  nonsq  16720  numdenexp  16721  odzdvds  16757  coprimeprodsq  16770  coprimeprodsq2  16771  oddprm  16772  iserodd  16797  pcexp  16821  pcidlem  16834  pc11  16842  dvdsprmpweqle  16848  difsqpwdvds  16849  pcfac  16861  prmunb  16876  hashbc2  16968  cshwshashlem2  17058  chnccat  18583  smndex1ibas  18859  smndex1iidm  18860  smndex2dnrinv  18877  smndex2dlinvh  18879  mulgaddcom  19065  mulginvcom  19066  mulgz  19069  mulgdirlem  19072  mulgass  19078  mndodcongi  19509  oddvdsnn0  19510  odeq  19516  odmulg  19522  efgsdmi  19698  cyggex2  19863  fincygsubgodd  20080  mulgass2  20281  chrrhm  21521  zncrng  21534  znzrh2  21535  zndvds  21539  znchr  21552  znunit  21553  chfacfisf  22829  chfacfisfcpmat  22830  chfacfscmulfsupp  22834  chfacfpmmulfsupp  22838  clmmulg  25078  itgcnlem  25767  degltlem1  26047  plyco0  26167  dgreq0  26240  plydivex  26274  aannenlem1  26305  abelthlem1  26409  abelthlem3  26411  abelthlem8  26417  abelthlem9  26418  advlogexp  26632  cxpexp  26645  leibpi  26919  log2cnv  26921  log2tlbnd  26922  basellem2  27059  sgmnncl  27124  chpp1  27132  bcmono  27254  bcmax  27255  bcp1ctr  27256  lgsneg1  27299  lgsdirnn0  27321  lgsdinn0  27322  2lgslem1c  27370  2lgslem3a1  27377  2lgslem3b1  27378  2lgslem3c1  27379  2lgsoddprmlem2  27386  2sq2  27410  2sqreultlem  27424  dchrisumlem1  27466  qabvle  27602  ostth2lem2  27611  tgldimor  28584  upgrewlkle2  29690  wlkv0  29733  redwlk  29754  pthdadjvtx  29811  pthdlem1  29849  wwlknvtx  29928  wlkiswwlks2lem3  29954  wwlksm1edg  29964  wwlksnred  29975  wwlksnext  29976  clwlkclwwlklem2a1  30077  clwlkclwwlklem2a2  30078  clwlkclwwlklem2fv1  30080  clwlkclwwlklem2fv2  30081  clwlkclwwlklem2a4  30082  clwlkclwwlklem2a  30083  clwlkclwwlklem2  30085  clwlkclwwlk  30087  clwwisshclwwslem  30099  eucrctshift  30328  eucrct2eupth1  30329  eucrct2eupth  30330  numclwwlk5lem  30472  numclwwlk5  30473  numclwwlk7  30476  frgrreggt1  30478  nndiffz1  32874  nn0diffz0  32882  xrge0mulgnn0  33090  hashf2  34244  signsvtn0  34730  nn0ltp1ne  35310  0nn0m1nnn0  35311  pthhashvtx  35326  fz0n  35929  bcneg1  35934  bccolsum  35937  faclimlem3  35943  faclim  35944  iprodfac  35945  poimirlem28  37983  mblfinlem1  37992  mblfinlem2  37993  lcmineqlem2  42483  sticksstones22  42621  gcdnn0id  42775  negexpidd  43128  nacsfix  43158  fzsplit1nn0  43200  eldioph2lem1  43206  fz1eqin  43215  diophin  43218  eq0rabdioph  43222  rexrabdioph  43240  rexzrexnn0  43250  irrapxlem4  43271  pell14qrss1234  43302  pell1qrss14  43314  monotoddzz  43389  rmxypos  43393  ltrmynn0  43394  ltrmxnn0  43395  lermxnn0  43396  rmxnn  43397  rmynn0  43403  jm2.17a  43406  jm2.17b  43407  rmygeid  43410  jm2.18  43434  jm2.19lem3  43437  jm2.19lem4  43438  jm2.22  43441  rmxdiophlem  43461  hbt  43576  proot1ex  43642  fzisoeu  45751  stirlinglem5  46524  elfzlble  47780  subsubelfzo0  47787  2ffzoeq  47788  addmodne  47810  fargshiftfo  47914  fmtnof1  48010  fmtnorec1  48012  goldbachthlem1  48020  odz2prm2pw  48038  flsqrt  48068  lighneallem4  48085  nn0eo  49016  nn0ofldiv2  49020  flnn0div2ge  49021  fllog2  49056  blenpw2  49066  blennngt2o2  49080  nn0digval  49088  dignn0fr  49089  digexp  49095  0dig2nn0e  49100  0dig2nn0o  49101  dig2bits  49102  dignn0flhalflem2  49104  dignn0ehalf  49105  dignn0flhalf  49106  nn0sumshdiglemB  49108