MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0z 11993
Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0z (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0z
StepHypRef Expression
1 nn0ssz 11991 . 2 0 ⊆ ℤ
21sseli 3911 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2111  0cn0 11885  cz 11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970
This theorem is referenced by:  nn0negz  12008  nn0ltp1le  12028  nn0leltp1  12029  nn0ltlem1  12030  nn0lt2  12033  nn0le2is012  12034  nn0lem1lt  12035  fnn0ind  12069  nn0pzuz  12293  nn0ge2m1nnALT  12330  fz1n  12920  ige2m1fz  12992  elfz2nn0  12993  fznn0  12994  elfz0add  13001  fzctr  13014  difelfzle  13015  fzoun  13069  fzofzim  13079  fzo1fzo0n0  13083  elincfzoext  13090  elfzodifsumelfzo  13098  fz0add1fz1  13102  zpnn0elfzo  13105  fzossfzop1  13110  ubmelm1fzo  13128  elfznelfzo  13137  flmulnn0  13192  quoremnn0  13219  zmodidfzoimp  13264  modmuladdnn0  13278  modfzo0difsn  13306  expdiv  13476  expnngt1  13598  faclbnd3  13648  bccmpl  13665  bcnp1n  13670  bcval5  13674  bcn2  13675  bcp1m1  13676  hashge2el2difr  13835  fi1uzind  13851  wrdred1  13903  wrdred1hash  13904  ccatalpha  13938  swrdnd0  14010  swrdfv2  14014  swrdsb0eq  14016  swrdsbslen  14017  swrdspsleq  14018  swrdlsw  14020  pfxnd  14040  pfxccatin12lem4  14079  pfxccatin12lem3  14085  pfxccat3  14087  swrdccat  14088  pfxccat3a  14091  revlen  14115  repswswrd  14137  repswccat  14139  cshwidxmodr  14157  cshf1  14163  2cshw  14166  cshweqrep  14174  cshwcshid  14180  cshwcsh2id  14181  cats1fv  14212  swrd2lsw  14305  2swrd2eqwrdeq  14306  isercoll  15016  iseraltlem2  15031  bcxmas  15182  geo2sum2  15222  geomulcvg  15224  risefacval2  15356  fallfacval2  15357  zrisefaccl  15366  zfallfaccl  15367  fallrisefac  15371  bpolylem  15394  fsumkthpow  15402  esum  15426  ege2le3  15435  eftlcl  15452  reeftlcl  15453  eftlub  15454  effsumlt  15456  eirrlem  15549  dvds1  15661  dvdsext  15663  addmodlteqALT  15667  oddnn02np1  15689  oddge22np1  15690  nn0ehalf  15719  nn0o1gt2  15722  nno  15723  nn0o  15724  nn0oddm1d2  15726  divalglem4  15737  divalglem5  15738  modremain  15749  bitsinv1  15781  nn0gcdid0  15859  nn0seqcvgd  15904  algcvga  15913  eucalgf  15917  nonsq  16089  odzdvds  16122  coprimeprodsq  16135  coprimeprodsq2  16136  oddprm  16137  iserodd  16162  pcexp  16186  pcidlem  16198  pc11  16206  dvdsprmpweqle  16212  difsqpwdvds  16213  pcfac  16225  prmunb  16240  hashbc2  16332  cshwshashlem2  16422  smndex1ibas  18057  smndex1iidm  18058  smndex2dnrinv  18072  smndex2dlinvh  18074  mulgaddcom  18243  mulginvcom  18244  mulgz  18247  mulgdirlem  18250  mulgass  18256  mndodcongi  18663  oddvdsnn0  18664  odeq  18670  odmulg  18675  efgsdmi  18850  cyggex2  19010  fincygsubgodd  19227  mulgass2  19347  chrrhm  20223  zncrng  20236  znzrh2  20237  zndvds  20241  znchr  20254  znunit  20255  chfacfisf  21459  chfacfisfcpmat  21460  chfacfscmulfsupp  21464  chfacfpmmulfsupp  21468  clmmulg  23706  itgcnlem  24393  degltlem1  24673  plyco0  24789  dgreq0  24862  plydivex  24893  aannenlem1  24924  abelthlem1  25026  abelthlem3  25028  abelthlem8  25034  abelthlem9  25035  advlogexp  25246  cxpexp  25259  leibpi  25528  log2cnv  25530  log2tlbnd  25531  basellem2  25667  sgmnncl  25732  chpp1  25740  bcmono  25861  bcmax  25862  bcp1ctr  25863  lgsneg1  25906  lgsdirnn0  25928  lgsdinn0  25929  2lgslem1c  25977  2lgslem3a1  25984  2lgslem3b1  25985  2lgslem3c1  25986  2lgsoddprmlem2  25993  2sq2  26017  2sqreultlem  26031  dchrisumlem1  26073  qabvle  26209  ostth2lem2  26218  tgldimor  26296  upgrewlkle2  27396  wlkv0  27440  redwlk  27462  pthdadjvtx  27519  pthdlem1  27555  wwlknvtx  27631  wlkiswwlks2lem3  27657  wwlksm1edg  27667  wwlksnred  27678  wwlksnext  27679  clwlkclwwlklem2a1  27777  clwlkclwwlklem2a2  27778  clwlkclwwlklem2fv1  27780  clwlkclwwlklem2fv2  27781  clwlkclwwlklem2a4  27782  clwlkclwwlklem2a  27783  clwlkclwwlklem2  27785  clwlkclwwlk  27787  clwwisshclwwslem  27799  eucrctshift  28028  eucrct2eupth1  28029  eucrct2eupth  28030  numclwwlk5lem  28172  numclwwlk5  28173  numclwwlk7  28176  frgrreggt1  28178  nndiffz1  30535  xrge0mulgnn0  30723  hashf2  31453  signsvtn0  31950  nn0ltp1ne  32460  0nn0m1nnn0  32461  pthhashvtx  32487  fz0n  33075  bcneg1  33081  bccolsum  33084  faclimlem3  33090  faclim  33091  iprodfac  33092  poimirlem28  35085  mblfinlem1  35094  mblfinlem2  35095  lcmineqlem2  39318  numdenexp  39492  negexpidd  39621  nacsfix  39651  fzsplit1nn0  39693  eldioph2lem1  39699  fz1eqin  39708  diophin  39711  eq0rabdioph  39715  rexrabdioph  39733  rexzrexnn0  39743  irrapxlem4  39764  pell14qrss1234  39795  pell1qrss14  39807  monotoddzz  39882  rmxypos  39886  ltrmynn0  39887  ltrmxnn0  39888  lermxnn0  39889  rmxnn  39890  rmynn0  39896  jm2.17a  39899  jm2.17b  39900  rmygeid  39903  jm2.18  39927  jm2.19lem3  39930  jm2.19lem4  39931  jm2.22  39934  rmxdiophlem  39954  hbt  40072  proot1ex  40143  fzisoeu  41930  stirlinglem5  42718  elfzlble  43875  subsubelfzo0  43881  2ffzoeq  43883  fargshiftfo  43957  fmtnof1  44050  fmtnorec1  44052  goldbachthlem1  44060  odz2prm2pw  44078  flsqrt  44108  lighneallem4  44126  nn0eo  44940  nn0ofldiv2  44944  flnn0div2ge  44945  fllog2  44980  blenpw2  44990  blennngt2o2  45004  nn0digval  45012  dignn0fr  45013  digexp  45019  0dig2nn0e  45024  0dig2nn0o  45025  dig2bits  45026  dignn0flhalflem2  45028  dignn0ehalf  45029  dignn0flhalf  45030  nn0sumshdiglemB  45032
  Copyright terms: Public domain W3C validator