MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  retopbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem retopbas 24781
Description: A basis for the standard topology on the reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
retopbas ran (,) ∈ TopBases

Proof of Theorem retopbas
StepHypRef Expression
1 ioof 13487 . . . . 5 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
21fdmi 6747 . . . 4 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
32imaeq2i 6076 . . 3 ((,) “ dom (,)) = ((,) “ (ℝ* × ℝ*))
4 imadmrn 6088 . . 3 ((,) “ dom (,)) = ran (,)
53, 4eqtr3i 2767 . 2 ((,) “ (ℝ* × ℝ*)) = ran (,)
6 ssid 4006 . . 3 * ⊆ ℝ*
76qtopbaslem 24779 . 2 ((,) “ (ℝ* × ℝ*)) ∈ TopBases
85, 7eqeltrri 2838 1 ran (,) ∈ TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2108  𝒫 cpw 4600   × cxp 5683  dom cdm 5685  ran crn 5686  cima 5688  cr 11154  *cxr 11294  (,)cioo 13387  TopBasesctb 22952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ioo 13391  df-bases 22953
This theorem is referenced by:  retop  24782  uniretop  24783  iooretop  24786  qdensere  24790  tgioo  24817  xrtgioo  24828  bndth  24990  ovolicc2  25557  cncombf  25693  cnmbf  25694  elmbfmvol2  34269  iccllysconn  35255  rellysconn  35256  mblfinlem3  37666  mblfinlem4  37667  ismblfin  37668  cnambfre  37675
  Copyright terms: Public domain W3C validator