MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  retopbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem retopbas 23056
Description: A basis for the standard topology on the reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
retopbas ran (,) ∈ TopBases

Proof of Theorem retopbas
StepHypRef Expression
1 ioof 12689 . . . . 5 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
21fdmi 6399 . . . 4 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
32imaeq2i 5811 . . 3 ((,) “ dom (,)) = ((,) “ (ℝ* × ℝ*))
4 imadmrn 5823 . . 3 ((,) “ dom (,)) = ran (,)
53, 4eqtr3i 2823 . 2 ((,) “ (ℝ* × ℝ*)) = ran (,)
6 ssid 3916 . . 3 * ⊆ ℝ*
76qtopbaslem 23054 . 2 ((,) “ (ℝ* × ℝ*)) ∈ TopBases
85, 7eqeltrri 2882 1 ran (,) ∈ TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2083  𝒫 cpw 4459   × cxp 5448  dom cdm 5450  ran crn 5451  cima 5453  cr 10389  *cxr 10527  (,)cioo 12592  TopBasesctb 21241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-po 5369  df-so 5370  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-ioo 12596  df-bases 21242
This theorem is referenced by:  retop  23057  uniretop  23058  iooretop  23061  qdensere  23065  tgioo  23091  xrtgioo  23101  bndth  23249  ovolicc2  23810  cncombf  23946  cnmbf  23947  elmbfmvol2  31138  iccllysconn  32107  rellysconn  32108  mblfinlem3  34483  mblfinlem4  34484  ismblfin  34485  cnambfre  34492
  Copyright terms: Public domain W3C validator