Theorem retopbas 23830

Description: A basis for the standard topology on the reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
retopbas	⊢ ran (,) ∈ TopBases

Proof of Theorem retopbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 13108	. . . . 5 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2	1	fdmi 6596	. . . 4 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
3	2	imaeq2i 5956	. . 3 ⊢ ((,) “ dom (,)) = ((,) “ (ℝ* × ℝ*))
4		imadmrn 5968	. . 3 ⊢ ((,) “ dom (,)) = ran (,)
5	3, 4	eqtr3i 2768	. 2 ⊢ ((,) “ (ℝ* × ℝ*)) = ran (,)
6		ssid 3939	. . 3 ⊢ ℝ* ⊆ ℝ*
7	6	qtopbaslem 23828	. 2 ⊢ ((,) “ (ℝ* × ℝ*)) ∈ TopBases
8	5, 7	eqeltrri 2836	1 ⊢ ran (,) ∈ TopBases

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  𝒫 cpw 4530   × cxp 5578  dom cdm 5580  ran crn 5581   “ cima 5583  ℝcr 10801  ℝ^*cxr 10939  (,)cioo 13008  TopBasesctb 22003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-ioo 13012  df-bases 22004

This theorem is referenced by:  retop  23831  uniretop  23832  iooretop  23835  qdensere  23839  tgioo  23865  xrtgioo  23875  bndth  24027  ovolicc2  24591  cncombf  24727  cnmbf  24728  elmbfmvol2  32134  iccllysconn  33112  rellysconn  33113  mblfinlem3  35743  mblfinlem4  35744  ismblfin  35745  cnambfre  35752