Theorem retopbas 24992

Description: A basis for the standard topology on the reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
retopbas	⊢ ran (,) ∈ TopBases

Proof of Theorem retopbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 13504	. . . . 5 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2	1	fdmi 6718	. . . 4 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
3	2	imaeq2i 6058	. . 3 ⊢ ((,) “ dom (,)) = ((,) “ (ℝ* × ℝ*))
4		imadmrn 6070	. . 3 ⊢ ((,) “ dom (,)) = ran (,)
5	3, 4	eqtr3i 2787	. 2 ⊢ ((,) “ (ℝ* × ℝ*)) = ran (,)
6		ssid 3956	. . 3 ⊢ ℝ* ⊆ ℝ*
7	6	qtopbaslem 24990	. 2 ⊢ ((,) “ (ℝ* × ℝ*)) ∈ TopBases
8	5, 7	eqeltrri 2859	1 ⊢ ran (,) ∈ TopBases

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  𝒫 cpw 4560   × cxp 5657  dom cdm 5659  ran crn 5660   “ cima 5662  ℝcr 11127  ℝ^*cxr 11270  (,)cioo 13402  TopBasesctb 23176

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-ioo 13406  df-bases 23177

This theorem is used by:  retop  24993  uniretop  24994  iooretop  24997  qdensere  25001  tgioo  25028  xrtgioo  25039  bndth  25192  ovolicc2  25756  cncombf  25892  cnmbf  25893  elmbfmvol2  34786  iccllysconn  35837  rellysconn  35838  mblfinlem3  38416  mblfinlem4  38417  ismblfin  38418  cnambfre  38425