Theorem retopbas 25072

Description: A basis for the standard topology on the reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
retopbas	⊢ ran (,) ∈ TopBases

Proof of Theorem retopbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 13571	. . . . 5 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2	1	fdmi 6719	. . . 4 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
3	2	imaeq2i 6050	. . 3 ⊢ ((,) “ dom (,)) = ((,) “ (ℝ* × ℝ*))
4		imadmrn 6067	. . 3 ⊢ ((,) “ dom (,)) = ran (,)
5	3, 4	eqtr3i 2786	. 2 ⊢ ((,) “ (ℝ* × ℝ*)) = ran (,)
6		ssid 3953	. . 3 ⊢ ℝ* ⊆ ℝ*
7	6	qtopbaslem 25070	. 2 ⊢ ((,) “ (ℝ* × ℝ*)) ∈ TopBases
8	5, 7	eqeltrri 2858	1 ⊢ ran (,) ∈ TopBases

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  𝒫 cpw 4557   × cxp 5649  dom cdm 5651  ran crn 5652   “ cima 5654  ℝcr 11192  ℝ^*cxr 11335  (,)cioo 13469  TopBasesctb 23256

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-ioo 13473  df-bases 23257

This theorem is used by:  retop  25073  uniretop  25074  iooretop  25077  qdensere  25081  tgioo  25108  xrtgioo  25119  bndth  25272  ovolicc2  25836  cncombf  25972  cnmbf  25973  elmbfmvol2  34892  iccllysconn  35994  rellysconn  35995  mblfinlem3  38557  mblfinlem4  38558  ismblfin  38559  cnambfre  38566