Theorem retopbas 24676

Description: A basis for the standard topology on the reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
retopbas	⊢ ran (,) ∈ TopBases

Proof of Theorem retopbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 13347	. . . . 5 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2	1	fdmi 6662	. . . 4 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
3	2	imaeq2i 6007	. . 3 ⊢ ((,) “ dom (,)) = ((,) “ (ℝ* × ℝ*))
4		imadmrn 6019	. . 3 ⊢ ((,) “ dom (,)) = ran (,)
5	3, 4	eqtr3i 2756	. 2 ⊢ ((,) “ (ℝ* × ℝ*)) = ran (,)
6		ssid 3957	. . 3 ⊢ ℝ* ⊆ ℝ*
7	6	qtopbaslem 24674	. 2 ⊢ ((,) “ (ℝ* × ℝ*)) ∈ TopBases
8	5, 7	eqeltrri 2828	1 ⊢ ran (,) ∈ TopBases

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  𝒫 cpw 4550   × cxp 5614  dom cdm 5616  ran crn 5617   “ cima 5619  ℝcr 11005  ℝ^*cxr 11145  (,)cioo 13245  TopBasesctb 22861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-ioo 13249  df-bases 22862

This theorem is referenced by:  retop  24677  uniretop  24678  iooretop  24681  qdensere  24685  tgioo  24712  xrtgioo  24723  bndth  24885  ovolicc2  25451  cncombf  25587  cnmbf  25588  elmbfmvol2  34278  iccllysconn  35292  rellysconn  35293  mblfinlem3  37705  mblfinlem4  37706  ismblfin  37707  cnambfre  37714