MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  retopbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem retopbas 24763
Description: A basis for the standard topology on the reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
retopbas ran (,) ∈ TopBases

Proof of Theorem retopbas
StepHypRef Expression
1 ioof 13470 . . . . 5 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
21fdmi 6729 . . . 4 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
32imaeq2i 6058 . . 3 ((,) “ dom (,)) = ((,) “ (ℝ* × ℝ*))
4 imadmrn 6070 . . 3 ((,) “ dom (,)) = ran (,)
53, 4eqtr3i 2756 . 2 ((,) “ (ℝ* × ℝ*)) = ran (,)
6 ssid 4002 . . 3 * ⊆ ℝ*
76qtopbaslem 24761 . 2 ((,) “ (ℝ* × ℝ*)) ∈ TopBases
85, 7eqeltrri 2823 1 ran (,) ∈ TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2099  𝒫 cpw 4598   × cxp 5671  dom cdm 5673  ran crn 5674  cima 5676  cr 11146  *cxr 11286  (,)cioo 13370  TopBasesctb 22934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-ioo 13374  df-bases 22935
This theorem is referenced by:  retop  24764  uniretop  24765  iooretop  24768  qdensere  24772  tgioo  24798  xrtgioo  24808  bndth  24970  ovolicc2  25537  cncombf  25673  cnmbf  25674  elmbfmvol2  34112  iccllysconn  35089  rellysconn  35090  mblfinlem3  37371  mblfinlem4  37372  ismblfin  37373  cnambfre  37380
  Copyright terms: Public domain W3C validator