Theorem retopbas 25085

Description: A basis for the standard topology on the reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
retopbas	⊢ ran (,) ∈ TopBases

Proof of Theorem retopbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 13582	. . . . 5 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2	1	fdmi 6722	. . . 4 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
3	2	imaeq2i 6049	. . 3 ⊢ ((,) “ dom (,)) = ((,) “ (ℝ* × ℝ*))
4		imadmrn 6066	. . 3 ⊢ ((,) “ dom (,)) = ran (,)
5	3, 4	eqtr3i 2785	. 2 ⊢ ((,) “ (ℝ* × ℝ*)) = ran (,)
6		ssid 3930	. . 3 ⊢ ℝ* ⊆ ℝ*
7	6	qtopbaslem 25083	. 2 ⊢ ((,) “ (ℝ* × ℝ*)) ∈ TopBases
8	5, 7	eqeltrri 2857	1 ⊢ ran (,) ∈ TopBases

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  𝒫 cpw 4556   × cxp 5648  dom cdm 5650  ran crn 5651   “ cima 5653  ℝcr 11203  ℝ^*cxr 11346  (,)cioo 13480  TopBasesctb 23269

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-ioo 13484  df-bases 23270

This theorem is used by:  retop  25086  uniretop  25087  iooretop  25090  qdensere  25094  tgioo  25121  xrtgioo  25132  bndth  25285  ovolicc2  25849  cncombf  25985  cnmbf  25986  elmbfmvol2  34946  iccllysconn  36102  rellysconn  36103  mblfinlem3  38671  mblfinlem4  38672  ismblfin  38673  cnambfre  38680