MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  npncand Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem npncand 11533
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
npncand (𝜑 → ((𝐴𝐵) + (𝐵𝐶)) = (𝐴𝐶))

Proof of Theorem npncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subaddd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 npncan 11419 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + (𝐵𝐶)) = (𝐴𝐶))
51, 2, 3, 4syl3anc 1371 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) + (𝐵𝐶)) = (𝐴𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7354  cc 11046   + caddc 11051  cmin 11382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-ltxr 11191  df-sub 11384
This theorem is referenced by:  subeqxfrd  11561  recextlem1  11782  subsq  14111  bpoly4  15939  sylow1lem1  19376  rrxmet  24768  ioombl1lem3  24920  vitalilem1  24968  dvmulbr  25299  abelthlem9  25795  pntibndlem2  26935  axcontlem8  27818  bj-bary1  35772  mblfinlem3  36106  rrnmet  36277  metakunt15  40580  metakunt16  40581  metakunt28  40593  congtr  41265  ioodvbdlimc1lem2  44143  ioodvbdlimc2lem  44145  dirkertrigeqlem2  44310  fourierdlem42  44360  hoidmv1lelem2  44803  hoidmvlelem2  44807  hspmbllem1  44837  sharhght  45076  itscnhlinecirc02plem2  46839  inlinecirc02p  46843
  Copyright terms: Public domain W3C validator