MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recex 11853
Description: Existence of reciprocal of nonzero complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 22-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
recex ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem recex
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 11218 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)))
2 recextlem2 11852 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ‰  0) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โ‰  0)
323expia 1120 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ‰  0 โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โ‰  0))
4 remulcl 11201 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„)
54anidms 566 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘Ž ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„)
6 remulcl 11201 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
76anidms 566 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
8 readdcl 11199 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„)
95, 7, 8syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„)
10 ax-rrecex 11188 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ) = 1)
119, 10sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ) = 1)
12 recn 11206 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
13 recn 11206 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
14 recn 11206 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
15 ax-icn 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 i โˆˆ โ„‚
16 mulcl 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
1715, 16mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
18 subcl 11466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘Ž โˆ’ (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
1917, 18sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘Ž โˆ’ (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
20 mulcl 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘Ž โˆ’ (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘Ž โˆ’ (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
2119, 20sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘Ž โˆ’ (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
22 addcl 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
2317, 22sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
2519adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘Ž โˆ’ (i ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
26 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
2724, 25, 26mulassd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท (๐‘Ž โˆ’ (i ยท ๐‘))) ยท ๐‘ฆ) = ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ((๐‘Ž โˆ’ (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ)))
28 recextlem1 11851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท (๐‘Ž โˆ’ (i ยท ๐‘))) = ((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)))
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท (๐‘Ž โˆ’ (i ยท ๐‘))) = ((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)))
3029oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท (๐‘Ž โˆ’ (i ยท ๐‘))) ยท ๐‘ฆ) = (((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ))
3127, 30eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ((๐‘Ž โˆ’ (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ)) = (((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ))
32 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ) = 1 โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ) = 1)
3331, 32sylan9eq 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง (((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ) = 1) โ†’ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ((๐‘Ž โˆ’ (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ)) = 1)
34 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž โˆ’ (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฅ) = ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ((๐‘Ž โˆ’ (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ)))
3534eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = ((๐‘Ž โˆ’ (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฅ) = 1 โ†” ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ((๐‘Ž โˆ’ (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ)) = 1))
3635rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘Ž โˆ’ (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ((๐‘Ž โˆ’ (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ)) = 1) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฅ) = 1)
3721, 33, 36syl2an2r 682 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง (((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ) = 1) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฅ) = 1)
3837exp31 419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฅ) = 1)))
3914, 38syl5 34 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†’ ((((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฅ) = 1)))
4039rexlimdv 3152 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฅ) = 1))
4112, 13, 40syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฅ) = 1))
4241adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โ‰  0) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ (((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฆ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฅ) = 1))
4311, 42mpd 15 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฅ) = 1)
4443ex 412 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐‘Ž) + (๐‘ ยท ๐‘)) โ‰  0 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฅ) = 1))
453, 44syld 47 . . . . . . 7 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ‰  0 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฅ) = 1))
4645adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) โ†’ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ‰  0 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฅ) = 1))
47 neeq1 3002 . . . . . . 7 (๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†” (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ‰  0))
4847adantl 481 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†” (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ‰  0))
49 oveq1 7419 . . . . . . . . 9 (๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฅ))
5049eqeq1d 2733 . . . . . . . 8 (๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1 โ†” ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฅ) = 1))
5150rexbidv 3177 . . . . . . 7 (๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1 โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฅ) = 1))
5251adantl 481 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1 โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) ยท ๐‘ฅ) = 1))
5346, 48, 523imtr4d 294 . . . . 5 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โˆง ๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘))) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1))
5453ex 412 . . . 4 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)))
5554rexlimivv 3198 . . 3 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘Ž + (i ยท ๐‘)) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1))
561, 55syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1))
5756imp 406 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  โˆƒwrex 3069  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11114  โ„cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117  ici 11118   + caddc 11119   ยท cmul 11121   โˆ’ cmin 11451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454
This theorem is referenced by:  mulcand  11854  receu  11866
  Copyright terms: Public domain W3C validator