Theorem recex 11843

Description: Existence of reciprocal of nonzero complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 22-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
recex	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recex

Dummy variables 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11208	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
2		recextlem2 11842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ 0) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ≠ 0)
3	2	3expia 1122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ 0 → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ≠ 0))
4		remulcl 11192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ)
5	4	anidms 568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ)
6		remulcl 11192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑏 · 𝑏) ∈ ℝ)
7	6	anidms 568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 · 𝑏) ∈ ℝ)
8		readdcl 11190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ (𝑏 · 𝑏) ∈ ℝ) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ)
9	5, 7, 8	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ)
10		ax-rrecex 11179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1)
11	9, 10	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1)
12		recn 11197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
13		recn 11197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
14		recn 11197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
15		ax-icn 11166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ i ∈ ℂ
16		mulcl 11191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
17	15, 16	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
18		subcl 11456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑏) ∈ ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
19	17, 18	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
20		mulcl 11191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) ∈ ℂ)
21	19, 20	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) ∈ ℂ)
22		addcl 11189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑏) ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
23	17, 22	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
24	23	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
25	19	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
26		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
27	24, 25, 26	mulassd 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) · 𝑦) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)))
28		recextlem1 11841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)))
29	28	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)))
30	29	oveq1d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) · 𝑦) = (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦))
31	27, 30	eqtr3d 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)) = (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦))
32		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1)
33	31, 32	sylan9eq 2793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)) = 1)
34		oveq2 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)))
35	34	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)) = 1))
36	35	rspcev 3613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)
37	21, 33, 36	syl2an2r 684	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)
38	37	exp31 421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ → ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)))
39	14, 38	syl5 34	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℝ → ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)))
40	39	rexlimdv 3154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
41	12, 13, 40	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
42	41	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
43	11, 42	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)
44	43	ex 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
45	3, 44	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
46	45	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏))) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
47		neeq1 3004	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ 0))
48	47	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ 0))
49		oveq1 7413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 · 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥))
50	49	eqeq1d 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
51	50	rexbidv 3179	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
52	51	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
53	46, 48, 52	3imtr4d 294	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
54	53	ex 414	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1)))
55	54	rexlimivv 3200	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
56	1, 55	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
57	56	imp 408	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071  (class class class)co 7406  ℂcc 11105  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108  ici 11109   + caddc 11110   · cmul 11112   − cmin 11441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444

This theorem is referenced by:  mulcand  11844  receu  11856