Theorem recex 11874

Description: Existence of reciprocal of nonzero complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 22-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
recex	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recex

Dummy variables 𝑦 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
2		recextlem2 11873	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ 0) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ≠ 0)
3	2	3expia 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ 0 → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ≠ 0))
4		remulcl 11219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ)
5	4	anidms 566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ)
6		remulcl 11219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑏 · 𝑏) ∈ ℝ)
7	6	anidms 566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → (𝑏 · 𝑏) ∈ ℝ)
8		readdcl 11217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 · 𝑎) ∈ ℝ ∧ (𝑏 · 𝑏) ∈ ℝ) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ)
9	5, 7, 8	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ)
10		ax-rrecex 11206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ∈ ℝ ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1)
11	9, 10	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1)
12		recn 11224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
13		recn 11224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
14		recn 11224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
15		ax-icn 11193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ i ∈ ℂ
16		mulcl 11218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
17	15, 16	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
18		subcl 11486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑏) ∈ ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
19	17, 18	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
20		mulcl 11218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) ∈ ℂ)
21	19, 20	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) ∈ ℂ)
22		addcl 11216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑏) ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
23	17, 22	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
25	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑎 − (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
26		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
27	24, 25, 26	mulassd 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) · 𝑦) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)))
28		recextlem1 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)))
30	29	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · (𝑎 − (i · 𝑏))) · 𝑦) = (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦))
31	27, 30	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)) = (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦))
32		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1)
33	31, 32	sylan9eq 2791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)) = 1)
34		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)))
35	34	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)) = 1))
36	35	rspcev 3606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · ((𝑎 − (i · 𝑏)) · 𝑦)) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)
37	21, 33, 36	syl2an2r 685	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)
38	37	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℂ → ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)))
39	14, 38	syl5 34	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ ℝ → ((((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)))
40	39	rexlimdv 3140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
41	12, 13, 40	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℝ (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
43	11, 42	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1)
44	43	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑎) + (𝑏 · 𝑏)) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
45	3, 44	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
46	45	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏))) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
47		neeq1 2995	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ 0))
48	47	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝑎 + (i · 𝑏)) ≠ 0))
49		oveq1 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 · 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥))
50	49	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
51	50	rexbidv 3165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
52	51	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) · 𝑥) = 1))
53	46, 48, 52	3imtr4d 294	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏))) → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
54	53	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1)))
55	54	rexlimivv 3187	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
56	1, 55	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1))
57	56	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135  ici 11136   + caddc 11137   · cmul 11139   − cmin 11471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474

This theorem is referenced by:  mulcand  11875  receu  11887