Theorem mulm1d 11094

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11083	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  1c1 10540   · cmul 10544  -cneg 10873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-sub 10874  df-neg 10875

This theorem is referenced by:  recextlem1  11272  ofnegsub  11638  modnegd  13297  modsumfzodifsn  13315  m1expcl2  13454  remullem  14489  sqrtneglem  14628  iseraltlem2  15041  iseraltlem3  15042  fsumneg  15144  incexclem  15193  incexc  15194  risefallfac  15380  efi4p  15492  cosadd  15520  absefib  15553  efieq1re  15554  pwp1fsum  15744  bitsinv1lem  15792  bezoutlem1  15889  pythagtriplem4  16158  negcncf  23528  mbfneg  24253  itg1sub  24312  itgcnlem  24392  i1fibl  24410  itgitg1  24411  itgmulc2  24436  dvmptneg  24565  dvlipcn  24593  lhop2  24614  logneg  25173  lognegb  25175  tanarg  25204  logtayl  25245  logtayl2  25247  asinlem  25448  asinlem2  25449  asinsin  25472  efiatan2  25497  2efiatan  25498  atandmtan  25500  atantan  25503  atans2  25511  dvatan  25515  basellem5  25664  lgsdir2lem4  25906  gausslemma2dlem5a  25948  lgseisenlem1  25953  lgseisenlem2  25954  rpvmasum2  26090  ostth3  26216  smcnlem  28476  ipval2  28486  dipsubdir  28627  his2sub  28871  qqhval2lem  31224  fwddifnp1  33628  itgmulc2nc  34962  ftc1anclem5  34973  areacirclem1  34984  negexpidd  39286  3cubeslem3r  39291  mzpsubmpt  39347  rmym1  39539  rngunsnply  39780  expgrowth  40674  isumneg  41890  climneg  41898  stoweidlem22  42314  stirlinglem5  42370  fourierdlem97  42495  sqwvfourb  42521  etransclem46  42572  smfneg  43085  sharhght  43129  sigaradd  43130  altgsumbcALT  44408