Theorem mulm1d 11670

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11659	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  1c1 11113   · cmul 11117  -cneg 11449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451

This theorem is referenced by:  recextlem1  11848  ofnegsub  12214  modnegd  13895  modsumfzodifsn  13913  m1expcl2  14055  remullem  15079  sqrtneglem  15217  iseraltlem2  15633  iseraltlem3  15634  fsumneg  15737  incexclem  15786  incexc  15787  risefallfac  15972  efi4p  16084  cosadd  16112  absefib  16145  efieq1re  16146  pwp1fsum  16338  bitsinv1lem  16386  bezoutlem1  16485  pythagtriplem4  16756  negcncf  24662  mbfneg  25391  itg1sub  25451  itgcnlem  25531  i1fibl  25549  itgitg1  25550  itgmulc2  25575  dvmptneg  25707  dvlipcn  25735  lhop2  25756  logneg  26320  lognegb  26322  tanarg  26351  logtayl  26392  logtayl2  26394  asinlem  26597  asinlem2  26598  asinsin  26621  efiatan2  26646  2efiatan  26647  atandmtan  26649  atantan  26652  atans2  26660  dvatan  26664  basellem5  26813  lgsdir2lem4  27055  gausslemma2dlem5a  27097  lgseisenlem1  27102  lgseisenlem2  27103  rpvmasum2  27239  ostth3  27365  smcnlem  30205  ipval2  30215  dipsubdir  30356  his2sub  30600  qqhval2lem  33247  fwddifnp1  35429  gg-negcncf  35452  itgmulc2nc  36859  ftc1anclem5  36868  areacirclem1  36879  lcmineqlem8  41207  negexpidd  41722  3cubeslem3r  41727  mzpsubmpt  41783  rmym1  41976  rngunsnply  42217  reabssgn  42689  sqrtcval  42694  expgrowth  43396  isumneg  44617  climneg  44625  stoweidlem22  45037  stirlinglem5  45093  fourierdlem97  45218  sqwvfourb  45244  etransclem46  45295  smfneg  45818  sharhght  45880  sigaradd  45881  altgsumbcALT  47118