Theorem mulm1d 11742

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11731	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  1c1 11185   · cmul 11189  -cneg 11521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  recextlem1  11920  ofnegsub  12291  modnegd  13977  modsumfzodifsn  13995  m1expcl2  14136  remullem  15177  sqrtneglem  15315  iseraltlem2  15731  iseraltlem3  15732  fsumneg  15835  incexclem  15884  incexc  15885  risefallfac  16072  efi4p  16185  cosadd  16213  absefib  16246  efieq1re  16247  pwp1fsum  16439  bitsinv1lem  16487  bezoutlem1  16586  pythagtriplem4  16866  negcncf  24967  negcncfOLD  24968  mbfneg  25704  itg1sub  25764  itgcnlem  25845  i1fibl  25863  itgitg1  25864  itgmulc2  25889  dvmptneg  26024  dvlipcn  26053  lhop2  26074  logneg  26648  lognegb  26650  tanarg  26679  logtayl  26720  logtayl2  26722  asinlem  26929  asinlem2  26930  asinsin  26953  efiatan2  26978  2efiatan  26979  atandmtan  26981  atantan  26984  atans2  26992  dvatan  26996  basellem5  27146  lgsdir2lem4  27390  gausslemma2dlem5a  27432  lgseisenlem1  27437  lgseisenlem2  27438  rpvmasum2  27574  ostth3  27700  smcnlem  30729  ipval2  30739  dipsubdir  30880  his2sub  31124  quad3d  32757  qqhval2lem  33927  fwddifnp1  36129  itgmulc2nc  37648  ftc1anclem5  37657  areacirclem1  37668  lcmineqlem8  41993  negexpidd  42638  3cubeslem3r  42643  mzpsubmpt  42699  rmym1  42892  rngunsnply  43130  reabssgn  43598  sqrtcval  43603  expgrowth  44304  isumneg  45523  climneg  45531  stoweidlem22  45943  stirlinglem5  45999  fourierdlem97  46124  sqwvfourb  46150  etransclem46  46201  smfneg  46724  sharhght  46786  sigaradd  46787  altgsumbcALT  48078