Theorem mulm1d 11590

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11579	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  1c1 11029   · cmul 11033  -cneg 11366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367  df-neg 11368

This theorem is referenced by:  recextlem1  11768  ofnegsub  12144  modnegd  13851  modsumfzodifsn  13869  m1expcl2  14010  remullem  15053  sqrtneglem  15191  iseraltlem2  15608  iseraltlem3  15609  fsumneg  15712  incexclem  15761  incexc  15762  risefallfac  15949  efi4p  16064  cosadd  16092  absefib  16125  efieq1re  16126  pwp1fsum  16320  bitsinv1lem  16370  bezoutlem1  16468  pythagtriplem4  16749  negcncf  24831  negcncfOLD  24832  mbfneg  25567  itg1sub  25626  itgcnlem  25707  i1fibl  25725  itgitg1  25726  itgmulc2  25751  dvmptneg  25886  dvlipcn  25915  lhop2  25936  logneg  26513  lognegb  26515  tanarg  26544  logtayl  26585  logtayl2  26587  asinlem  26794  asinlem2  26795  asinsin  26818  efiatan2  26843  2efiatan  26844  atandmtan  26846  atantan  26849  atans2  26857  dvatan  26861  basellem5  27011  lgsdir2lem4  27255  gausslemma2dlem5a  27297  lgseisenlem1  27302  lgseisenlem2  27303  rpvmasum2  27439  ostth3  27565  smcnlem  30659  ipval2  30669  dipsubdir  30810  his2sub  31054  pythagreim  32702  quad3d  32706  constrnegcl  33729  qqhval2lem  33947  fwddifnp1  36138  itgmulc2nc  37667  ftc1anclem5  37676  areacirclem1  37687  lcmineqlem8  42009  readvrec  42335  negexpidd  42655  3cubeslem3r  42660  mzpsubmpt  42716  rmym1  42908  rngunsnply  43142  reabssgn  43609  sqrtcval  43614  expgrowth  44308  isumneg  45584  climneg  45592  stoweidlem22  46004  stirlinglem5  46060  fourierdlem97  46185  sqwvfourb  46211  etransclem46  46262  smfneg  46785  sharhght  46847  sigaradd  46848  altgsumbcALT  48325