Theorem mulm1d 11689

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11678	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  1c1 11130   · cmul 11134  -cneg 11467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is referenced by:  recextlem1  11867  ofnegsub  12238  modnegd  13944  modsumfzodifsn  13962  m1expcl2  14103  remullem  15147  sqrtneglem  15285  iseraltlem2  15699  iseraltlem3  15700  fsumneg  15803  incexclem  15852  incexc  15853  risefallfac  16040  efi4p  16155  cosadd  16183  absefib  16216  efieq1re  16217  pwp1fsum  16410  bitsinv1lem  16460  bezoutlem1  16558  pythagtriplem4  16839  negcncf  24866  negcncfOLD  24867  mbfneg  25603  itg1sub  25662  itgcnlem  25743  i1fibl  25761  itgitg1  25762  itgmulc2  25787  dvmptneg  25922  dvlipcn  25951  lhop2  25972  logneg  26549  lognegb  26551  tanarg  26580  logtayl  26621  logtayl2  26623  asinlem  26830  asinlem2  26831  asinsin  26854  efiatan2  26879  2efiatan  26880  atandmtan  26882  atantan  26885  atans2  26893  dvatan  26897  basellem5  27047  lgsdir2lem4  27291  gausslemma2dlem5a  27333  lgseisenlem1  27338  lgseisenlem2  27339  rpvmasum2  27475  ostth3  27601  smcnlem  30678  ipval2  30688  dipsubdir  30829  his2sub  31073  pythagreim  32723  quad3d  32727  constrnegcl  33797  qqhval2lem  34012  fwddifnp1  36183  itgmulc2nc  37712  ftc1anclem5  37721  areacirclem1  37732  lcmineqlem8  42049  readvrec  42405  negexpidd  42705  3cubeslem3r  42710  mzpsubmpt  42766  rmym1  42959  rngunsnply  43193  reabssgn  43660  sqrtcval  43665  expgrowth  44359  isumneg  45631  climneg  45639  stoweidlem22  46051  stirlinglem5  46107  fourierdlem97  46232  sqwvfourb  46258  etransclem46  46309  smfneg  46832  sharhght  46894  sigaradd  46895  altgsumbcALT  48328