MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulm1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulm1d 11081
Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
mulm1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mulm1d (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 mulm1 11070 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2111  (class class class)co 7135  cc 10524  1c1 10527   · cmul 10531  -cneg 10860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862
This theorem is referenced by:  recextlem1  11259  ofnegsub  11623  modnegd  13289  modsumfzodifsn  13307  m1expcl2  13447  remullem  14479  sqrtneglem  14618  iseraltlem2  15031  iseraltlem3  15032  fsumneg  15134  incexclem  15183  incexc  15184  risefallfac  15370  efi4p  15482  cosadd  15510  absefib  15543  efieq1re  15544  pwp1fsum  15732  bitsinv1lem  15780  bezoutlem1  15877  pythagtriplem4  16146  negcncf  23527  mbfneg  24254  itg1sub  24313  itgcnlem  24393  i1fibl  24411  itgitg1  24412  itgmulc2  24437  dvmptneg  24569  dvlipcn  24597  lhop2  24618  logneg  25179  lognegb  25181  tanarg  25210  logtayl  25251  logtayl2  25253  asinlem  25454  asinlem2  25455  asinsin  25478  efiatan2  25503  2efiatan  25504  atandmtan  25506  atantan  25509  atans2  25517  dvatan  25521  basellem5  25670  lgsdir2lem4  25912  gausslemma2dlem5a  25954  lgseisenlem1  25959  lgseisenlem2  25960  rpvmasum2  26096  ostth3  26222  smcnlem  28480  ipval2  28490  dipsubdir  28631  his2sub  28875  qqhval2lem  31332  fwddifnp1  33739  itgmulc2nc  35125  ftc1anclem5  35134  areacirclem1  35145  lcmineqlem8  39324  negexpidd  39621  3cubeslem3r  39626  mzpsubmpt  39682  rmym1  39874  rngunsnply  40115  reabssgn  40334  sqrtcval  40339  expgrowth  41037  isumneg  42242  climneg  42250  stoweidlem22  42662  stirlinglem5  42718  fourierdlem97  42843  sqwvfourb  42869  etransclem46  42920  smfneg  43433  sharhght  43477  sigaradd  43478  altgsumbcALT  44753
  Copyright terms: Public domain W3C validator