Theorem mulm1d 11590

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11579	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  1c1 11028   · cmul 11032  -cneg 11366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-ltxr 11172  df-sub 11367  df-neg 11368

This theorem is referenced by:  recextlem1  11768  ofnegsub  12144  modnegd  13850  modsumfzodifsn  13868  m1expcl2  14009  remullem  15052  sqrtneglem  15190  iseraltlem2  15607  iseraltlem3  15608  fsumneg  15711  incexclem  15760  incexc  15761  risefallfac  15948  efi4p  16063  cosadd  16091  absefib  16124  efieq1re  16125  pwp1fsum  16319  bitsinv1lem  16369  bezoutlem1  16467  pythagtriplem4  16748  negcncf  24867  mbfneg  25595  itg1sub  25654  itgcnlem  25735  i1fibl  25753  itgitg1  25754  itgmulc2  25779  dvmptneg  25911  dvlipcn  25940  lhop2  25961  logneg  26537  lognegb  26539  tanarg  26568  logtayl  26609  logtayl2  26611  asinlem  26818  asinlem2  26819  asinsin  26842  efiatan2  26867  2efiatan  26868  atandmtan  26870  atantan  26873  atans2  26881  dvatan  26885  basellem5  27035  lgsdir2lem4  27279  gausslemma2dlem5a  27321  lgseisenlem1  27326  lgseisenlem2  27327  rpvmasum2  27463  ostth3  27589  smcnlem  30757  ipval2  30767  dipsubdir  30908  his2sub  31152  pythagreim  32808  quad3d  32812  constrnegcl  33913  qqhval2lem  34131  fwddifnp1  36353  itgmulc2nc  38000  ftc1anclem5  38009  areacirclem1  38020  lcmineqlem8  42467  readvrec  42793  negexpidd  43113  3cubeslem3r  43118  mzpsubmpt  43174  rmym1  43366  rngunsnply  43600  reabssgn  44066  sqrtcval  44071  expgrowth  44765  isumneg  46036  climneg  46044  stoweidlem22  46454  stirlinglem5  46510  fourierdlem97  46635  sqwvfourb  46661  etransclem46  46712  smfneg  47235  sharhght  47297  sigaradd  47298  altgsumbcALT  48787