Theorem mulm1d 11650

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11639	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7396  ℂcc 11082  1c1 11085   · cmul 11089  -cneg 11426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-ltxr 11232  df-sub 11427  df-neg 11428

This theorem is referenced by:  recextlem1  11828  ofnegsub  12203  modnegd  13949  modsumfzodifsn  13967  m1expcl2  14108  remullem  15165  sqrtneglem  15303  iseraltlem2  15720  iseraltlem3  15721  fsumneg  15824  incexclem  15876  incexc  15877  risefallfac  16064  efi4p  16179  cosadd  16207  absefib  16240  efieq1re  16241  pwp1fsum  16435  bitsinv1lem  16485  bezoutlem1  16583  pythagtriplem4  16865  negcncf  24991  mbfneg  25719  itg1sub  25778  itgcnlem  25859  i1fibl  25877  itgitg1  25878  itgmulc2  25903  dvmptneg  26035  dvlipcn  26063  lhop2  26084  logneg  26660  lognegb  26662  tanarg  26691  logtayl  26732  logtayl2  26734  asinlem  26940  asinlem2  26941  asinsin  26964  efiatan2  26989  2efiatan  26990  atandmtan  26992  atantan  26995  atans2  27003  dvatan  27007  basellem5  27156  lgsdir2lem4  27399  gausslemma2dlem5a  27441  lgseisenlem1  27446  lgseisenlem2  27447  rpvmasum2  27583  ostth3  27709  smcnlem  30907  ipval2  30917  dipsubdir  31058  his2sub  31302  pythagreim  32953  quad3d  32957  constrnegcl  34062  qqhval2lem  34280  fwddifnp1  36520  itgmulc2nc  38192  ftc1anclem5  38201  areacirclem1  38212  lcmineqlem8  42658  readvrec  42976  negexpidd  43268  3cubeslem3r  43273  mzpsubmpt  43329  rmym1  43517  rngunsnply  43751  reabssgn  44217  sqrtcval  44222  expgrowth  44902  isumneg  46169  climneg  46177  stoweidlem22  46587  stirlinglem5  46643  fourierdlem97  46768  sqwvfourb  46794  etransclem46  46845  smfneg  47368  sharhght  47430  sigaradd  47431  altgsumbcALT  48966