Theorem mulm1d 11637

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11626	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  1c1 11076   · cmul 11080  -cneg 11413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-neg 11415

This theorem is referenced by:  recextlem1  11815  ofnegsub  12191  modnegd  13898  modsumfzodifsn  13916  m1expcl2  14057  remullem  15101  sqrtneglem  15239  iseraltlem2  15656  iseraltlem3  15657  fsumneg  15760  incexclem  15809  incexc  15810  risefallfac  15997  efi4p  16112  cosadd  16140  absefib  16173  efieq1re  16174  pwp1fsum  16368  bitsinv1lem  16418  bezoutlem1  16516  pythagtriplem4  16797  negcncf  24822  negcncfOLD  24823  mbfneg  25558  itg1sub  25617  itgcnlem  25698  i1fibl  25716  itgitg1  25717  itgmulc2  25742  dvmptneg  25877  dvlipcn  25906  lhop2  25927  logneg  26504  lognegb  26506  tanarg  26535  logtayl  26576  logtayl2  26578  asinlem  26785  asinlem2  26786  asinsin  26809  efiatan2  26834  2efiatan  26835  atandmtan  26837  atantan  26840  atans2  26848  dvatan  26852  basellem5  27002  lgsdir2lem4  27246  gausslemma2dlem5a  27288  lgseisenlem1  27293  lgseisenlem2  27294  rpvmasum2  27430  ostth3  27556  smcnlem  30633  ipval2  30643  dipsubdir  30784  his2sub  31028  pythagreim  32676  quad3d  32680  constrnegcl  33760  qqhval2lem  33978  fwddifnp1  36160  itgmulc2nc  37689  ftc1anclem5  37698  areacirclem1  37709  lcmineqlem8  42031  readvrec  42357  negexpidd  42677  3cubeslem3r  42682  mzpsubmpt  42738  rmym1  42931  rngunsnply  43165  reabssgn  43632  sqrtcval  43637  expgrowth  44331  isumneg  45607  climneg  45615  stoweidlem22  46027  stirlinglem5  46083  fourierdlem97  46208  sqwvfourb  46234  etransclem46  46285  smfneg  46808  sharhght  46870  sigaradd  46871  altgsumbcALT  48345