Theorem mulm1d 11666

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11655	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  1c1 11111   · cmul 11115  -cneg 11445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447

This theorem is referenced by:  recextlem1  11844  ofnegsub  12210  modnegd  13891  modsumfzodifsn  13909  m1expcl2  14051  remullem  15075  sqrtneglem  15213  iseraltlem2  15629  iseraltlem3  15630  fsumneg  15733  incexclem  15782  incexc  15783  risefallfac  15968  efi4p  16080  cosadd  16108  absefib  16141  efieq1re  16142  pwp1fsum  16334  bitsinv1lem  16382  bezoutlem1  16481  pythagtriplem4  16752  negcncf  24438  mbfneg  25167  itg1sub  25227  itgcnlem  25307  i1fibl  25325  itgitg1  25326  itgmulc2  25351  dvmptneg  25483  dvlipcn  25511  lhop2  25532  logneg  26096  lognegb  26098  tanarg  26127  logtayl  26168  logtayl2  26170  asinlem  26373  asinlem2  26374  asinsin  26397  efiatan2  26422  2efiatan  26423  atandmtan  26425  atantan  26428  atans2  26436  dvatan  26440  basellem5  26589  lgsdir2lem4  26831  gausslemma2dlem5a  26873  lgseisenlem1  26878  lgseisenlem2  26879  rpvmasum2  27015  ostth3  27141  smcnlem  29950  ipval2  29960  dipsubdir  30101  his2sub  30345  qqhval2lem  32961  fwddifnp1  35137  gg-negcncf  35166  itgmulc2nc  36556  ftc1anclem5  36565  areacirclem1  36576  lcmineqlem8  40901  negexpidd  41420  3cubeslem3r  41425  mzpsubmpt  41481  rmym1  41674  rngunsnply  41915  reabssgn  42387  sqrtcval  42392  expgrowth  43094  isumneg  44318  climneg  44326  stoweidlem22  44738  stirlinglem5  44794  fourierdlem97  44919  sqwvfourb  44945  etransclem46  44996  smfneg  45519  sharhght  45581  sigaradd  45582  altgsumbcALT  47029