Theorem mulm1d 11713

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  1c1 11154   · cmul 11158  -cneg 11491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493

This theorem is referenced by:  recextlem1  11891  ofnegsub  12262  modnegd  13964  modsumfzodifsn  13982  m1expcl2  14123  remullem  15164  sqrtneglem  15302  iseraltlem2  15716  iseraltlem3  15717  fsumneg  15820  incexclem  15869  incexc  15870  risefallfac  16057  efi4p  16170  cosadd  16198  absefib  16231  efieq1re  16232  pwp1fsum  16425  bitsinv1lem  16475  bezoutlem1  16573  pythagtriplem4  16853  negcncf  24962  negcncfOLD  24963  mbfneg  25699  itg1sub  25759  itgcnlem  25840  i1fibl  25858  itgitg1  25859  itgmulc2  25884  dvmptneg  26019  dvlipcn  26048  lhop2  26069  logneg  26645  lognegb  26647  tanarg  26676  logtayl  26717  logtayl2  26719  asinlem  26926  asinlem2  26927  asinsin  26950  efiatan2  26975  2efiatan  26976  atandmtan  26978  atantan  26981  atans2  26989  dvatan  26993  basellem5  27143  lgsdir2lem4  27387  gausslemma2dlem5a  27429  lgseisenlem1  27434  lgseisenlem2  27435  rpvmasum2  27571  ostth3  27697  smcnlem  30726  ipval2  30736  dipsubdir  30877  his2sub  31121  quad3d  32761  qqhval2lem  33944  fwddifnp1  36147  itgmulc2nc  37675  ftc1anclem5  37684  areacirclem1  37695  lcmineqlem8  42018  readvrec  42371  negexpidd  42670  3cubeslem3r  42675  mzpsubmpt  42731  rmym1  42924  rngunsnply  43158  reabssgn  43626  sqrtcval  43631  expgrowth  44331  isumneg  45558  climneg  45566  stoweidlem22  45978  stirlinglem5  46034  fourierdlem97  46159  sqwvfourb  46185  etransclem46  46236  smfneg  46759  sharhght  46821  sigaradd  46822  altgsumbcALT  48198