Theorem mulm1d 11579

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11568	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  1c1 11017   · cmul 11021  -cneg 11355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-ltxr 11161  df-sub 11356  df-neg 11357

This theorem is referenced by:  recextlem1  11757  ofnegsub  12133  modnegd  13843  modsumfzodifsn  13861  m1expcl2  14002  remullem  15045  sqrtneglem  15183  iseraltlem2  15600  iseraltlem3  15601  fsumneg  15704  incexclem  15753  incexc  15754  risefallfac  15941  efi4p  16056  cosadd  16084  absefib  16117  efieq1re  16118  pwp1fsum  16312  bitsinv1lem  16362  bezoutlem1  16460  pythagtriplem4  16741  negcncf  24852  negcncfOLD  24853  mbfneg  25588  itg1sub  25647  itgcnlem  25728  i1fibl  25746  itgitg1  25747  itgmulc2  25772  dvmptneg  25907  dvlipcn  25936  lhop2  25957  logneg  26534  lognegb  26536  tanarg  26565  logtayl  26606  logtayl2  26608  asinlem  26815  asinlem2  26816  asinsin  26839  efiatan2  26864  2efiatan  26865  atandmtan  26867  atantan  26870  atans2  26878  dvatan  26882  basellem5  27032  lgsdir2lem4  27276  gausslemma2dlem5a  27318  lgseisenlem1  27323  lgseisenlem2  27324  rpvmasum2  27460  ostth3  27586  smcnlem  30688  ipval2  30698  dipsubdir  30839  his2sub  31083  pythagreim  32740  quad3d  32744  constrnegcl  33787  qqhval2lem  34005  fwddifnp1  36220  itgmulc2nc  37738  ftc1anclem5  37747  areacirclem1  37758  lcmineqlem8  42139  readvrec  42470  negexpidd  42789  3cubeslem3r  42794  mzpsubmpt  42850  rmym1  43042  rngunsnply  43276  reabssgn  43743  sqrtcval  43748  expgrowth  44442  isumneg  45716  climneg  45724  stoweidlem22  46134  stirlinglem5  46190  fourierdlem97  46315  sqwvfourb  46341  etransclem46  46392  smfneg  46915  sharhght  46977  sigaradd  46978  altgsumbcALT  48467