Theorem mulm1d 11630

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11619	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  1c1 11069   · cmul 11073  -cneg 11406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  recextlem1  11808  ofnegsub  12184  modnegd  13891  modsumfzodifsn  13909  m1expcl2  14050  remullem  15094  sqrtneglem  15232  iseraltlem2  15649  iseraltlem3  15650  fsumneg  15753  incexclem  15802  incexc  15803  risefallfac  15990  efi4p  16105  cosadd  16133  absefib  16166  efieq1re  16167  pwp1fsum  16361  bitsinv1lem  16411  bezoutlem1  16509  pythagtriplem4  16790  negcncf  24815  negcncfOLD  24816  mbfneg  25551  itg1sub  25610  itgcnlem  25691  i1fibl  25709  itgitg1  25710  itgmulc2  25735  dvmptneg  25870  dvlipcn  25899  lhop2  25920  logneg  26497  lognegb  26499  tanarg  26528  logtayl  26569  logtayl2  26571  asinlem  26778  asinlem2  26779  asinsin  26802  efiatan2  26827  2efiatan  26828  atandmtan  26830  atantan  26833  atans2  26841  dvatan  26845  basellem5  26995  lgsdir2lem4  27239  gausslemma2dlem5a  27281  lgseisenlem1  27286  lgseisenlem2  27287  rpvmasum2  27423  ostth3  27549  smcnlem  30626  ipval2  30636  dipsubdir  30777  his2sub  31021  pythagreim  32669  quad3d  32673  constrnegcl  33753  qqhval2lem  33971  fwddifnp1  36153  itgmulc2nc  37682  ftc1anclem5  37691  areacirclem1  37702  lcmineqlem8  42024  readvrec  42350  negexpidd  42670  3cubeslem3r  42675  mzpsubmpt  42731  rmym1  42924  rngunsnply  43158  reabssgn  43625  sqrtcval  43630  expgrowth  44324  isumneg  45600  climneg  45608  stoweidlem22  46020  stirlinglem5  46076  fourierdlem97  46201  sqwvfourb  46227  etransclem46  46278  smfneg  46801  sharhght  46863  sigaradd  46864  altgsumbcALT  48341