Theorem mulm1d 11795

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → ( -1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11784	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ( -1 · 𝐴) = -𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  1c1 11228   · cmul 11232   -cneg 11569

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-ltxr 11375  df-sub 11570  df-neg 11571

This theorem is used by:  recextlem1  11973  ofnegsub  12345  modnegd  14096  modsumfzodifsn  14114  m1expcl2  14255  remullem  15324  sqrtneglem  15462  iseraltlem2  15879  iseraltlem3  15880  fsumneg  15982  incexclem  16034  incexc  16035  risefallfac  16220  efi4p  16334  cosadd  16362  absefib  16395  efieq1re  16396  pwp1fsum  16590  bitsinv1lem  16640  bezoutlem1  16741  pythagtriplem4  17026  negcncf  25273  mbfneg  26001  itg1sub  26060  itgcnlem  26140  i1fibl  26158  itgitg1  26159  itgmulc2  26184  dvmptneg  26316  dvlipcn  26344  lhop2  26365  logneg  26946  lognegb  26948  tanarg  26977  logtayl  27018  logtayl2  27020  asinlem  27226  asinlem2  27227  asinsin  27250  efiatan2  27275  2efiatan  27276  atandmtan  27278  atantan  27281  atans2  27289  dvatan  27293  basellem5  27442  lgsdir2lem4  27685  gausslemma2dlem5a  27727  lgseisenlem1  27732  lgseisenlem2  27733  rpvmasum2  27869  ostth3  27995  smcnlem  31329  ipval2  31339  dipsubdir  31480  his2sub  31724  pythagreim  33407  quad3d  33411  constrnegcl  34465  qqhval2lem  34683  fwddifnp1  37108  itgmulc2nc  38798  ftc1anclem5  38807  areacirclem1  38818  lcmineqlem8  43278  readvrec  43606  negexpidd  43885  3cubeslem3r  43890  mzpsubmpt  43947  rmym1  44135  rngunsnply  44363  reabssgn  44828  sqrtcval  44833  expgrowth  45511  isumneg  46819  climneg  46827  stoweidlem22  47237  stirlinglem5  47293  fourierdlem97  47418  sqwvfourb  47444  etransclem46  47495  smfneg  48018  sharhght  48080  sigaradd  48081  altgsumbcALT  49670