Theorem mulm1d 11357

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11346	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   · cmul 10807  -cneg 11136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  recextlem1  11535  ofnegsub  11901  modnegd  13574  modsumfzodifsn  13592  m1expcl2  13732  remullem  14767  sqrtneglem  14906  iseraltlem2  15322  iseraltlem3  15323  fsumneg  15427  incexclem  15476  incexc  15477  risefallfac  15662  efi4p  15774  cosadd  15802  absefib  15835  efieq1re  15836  pwp1fsum  16028  bitsinv1lem  16076  bezoutlem1  16175  pythagtriplem4  16448  negcncf  23991  mbfneg  24719  itg1sub  24779  itgcnlem  24859  i1fibl  24877  itgitg1  24878  itgmulc2  24903  dvmptneg  25035  dvlipcn  25063  lhop2  25084  logneg  25648  lognegb  25650  tanarg  25679  logtayl  25720  logtayl2  25722  asinlem  25923  asinlem2  25924  asinsin  25947  efiatan2  25972  2efiatan  25973  atandmtan  25975  atantan  25978  atans2  25986  dvatan  25990  basellem5  26139  lgsdir2lem4  26381  gausslemma2dlem5a  26423  lgseisenlem1  26428  lgseisenlem2  26429  rpvmasum2  26565  ostth3  26691  smcnlem  28960  ipval2  28970  dipsubdir  29111  his2sub  29355  qqhval2lem  31831  fwddifnp1  34394  itgmulc2nc  35772  ftc1anclem5  35781  areacirclem1  35792  lcmineqlem8  39972  negexpidd  40420  3cubeslem3r  40425  mzpsubmpt  40481  rmym1  40673  rngunsnply  40914  reabssgn  41133  sqrtcval  41138  expgrowth  41842  isumneg  43033  climneg  43041  stoweidlem22  43453  stirlinglem5  43509  fourierdlem97  43634  sqwvfourb  43660  etransclem46  43711  smfneg  44224  sharhght  44268  sigaradd  44269  altgsumbcALT  45577