Theorem mulm1d 11662

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11651	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  1c1 11107   · cmul 11111  -cneg 11441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  recextlem1  11840  ofnegsub  12206  modnegd  13887  modsumfzodifsn  13905  m1expcl2  14047  remullem  15071  sqrtneglem  15209  iseraltlem2  15625  iseraltlem3  15626  fsumneg  15729  incexclem  15778  incexc  15779  risefallfac  15964  efi4p  16076  cosadd  16104  absefib  16137  efieq1re  16138  pwp1fsum  16330  bitsinv1lem  16378  bezoutlem1  16477  pythagtriplem4  16748  negcncf  24429  mbfneg  25158  itg1sub  25218  itgcnlem  25298  i1fibl  25316  itgitg1  25317  itgmulc2  25342  dvmptneg  25474  dvlipcn  25502  lhop2  25523  logneg  26087  lognegb  26089  tanarg  26118  logtayl  26159  logtayl2  26161  asinlem  26362  asinlem2  26363  asinsin  26386  efiatan2  26411  2efiatan  26412  atandmtan  26414  atantan  26417  atans2  26425  dvatan  26429  basellem5  26578  lgsdir2lem4  26820  gausslemma2dlem5a  26862  lgseisenlem1  26867  lgseisenlem2  26868  rpvmasum2  27004  ostth3  27130  smcnlem  29937  ipval2  29947  dipsubdir  30088  his2sub  30332  qqhval2lem  32949  fwddifnp1  35125  gg-negcncf  35154  itgmulc2nc  36544  ftc1anclem5  36553  areacirclem1  36564  lcmineqlem8  40889  negexpidd  41405  3cubeslem3r  41410  mzpsubmpt  41466  rmym1  41659  rngunsnply  41900  reabssgn  42372  sqrtcval  42377  expgrowth  43079  isumneg  44304  climneg  44312  stoweidlem22  44724  stirlinglem5  44780  fourierdlem97  44905  sqwvfourb  44931  etransclem46  44982  smfneg  45505  sharhght  45567  sigaradd  45568  altgsumbcALT  46982