Theorem mulm1d 11591

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11580	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  1c1 11028   · cmul 11032  -cneg 11367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369

This theorem is referenced by:  recextlem1  11769  ofnegsub  12146  modnegd  13877  modsumfzodifsn  13895  m1expcl2  14036  remullem  15079  sqrtneglem  15217  iseraltlem2  15634  iseraltlem3  15635  fsumneg  15738  incexclem  15790  incexc  15791  risefallfac  15978  efi4p  16093  cosadd  16121  absefib  16154  efieq1re  16155  pwp1fsum  16349  bitsinv1lem  16399  bezoutlem1  16497  pythagtriplem4  16779  negcncf  24877  mbfneg  25605  itg1sub  25664  itgcnlem  25745  i1fibl  25763  itgitg1  25764  itgmulc2  25789  dvmptneg  25921  dvlipcn  25949  lhop2  25970  logneg  26540  lognegb  26542  tanarg  26571  logtayl  26612  logtayl2  26614  asinlem  26820  asinlem2  26821  asinsin  26844  efiatan2  26869  2efiatan  26870  atandmtan  26872  atantan  26875  atans2  26883  dvatan  26887  basellem5  27036  lgsdir2lem4  27279  gausslemma2dlem5a  27321  lgseisenlem1  27326  lgseisenlem2  27327  rpvmasum2  27463  ostth3  27589  smcnlem  30756  ipval2  30766  dipsubdir  30907  his2sub  31151  pythagreim  32806  quad3d  32810  constrnegcl  33895  qqhval2lem  34113  fwddifnp1  36335  itgmulc2nc  37997  ftc1anclem5  38006  areacirclem1  38017  lcmineqlem8  42463  readvrec  42782  negexpidd  43102  3cubeslem3r  43107  mzpsubmpt  43163  rmym1  43351  rngunsnply  43585  reabssgn  44051  sqrtcval  44056  expgrowth  44750  isumneg  46020  climneg  46028  stoweidlem22  46438  stirlinglem5  46494  fourierdlem97  46619  sqwvfourb  46645  etransclem46  46696  smfneg  47219  sharhght  47281  sigaradd  47282  altgsumbcALT  48817