Theorem mulm1d 11672

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11661	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  1c1 11107   · cmul 11111  -cneg 11448

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11449  df-neg 11450

This theorem is used by:  recextlem1  11850  ofnegsub  12222  modnegd  13969  modsumfzodifsn  13987  m1expcl2  14128  remullem  15186  sqrtneglem  15324  iseraltlem2  15741  iseraltlem3  15742  fsumneg  15845  incexclem  15897  incexc  15898  risefallfac  16085  efi4p  16199  cosadd  16227  absefib  16260  efieq1re  16261  pwp1fsum  16455  bitsinv1lem  16505  bezoutlem1  16603  pythagtriplem4  16885  negcncf  25092  mbfneg  25820  itg1sub  25879  itgcnlem  25960  i1fibl  25978  itgitg1  25979  itgmulc2  26004  dvmptneg  26136  dvlipcn  26164  lhop2  26185  logneg  26764  lognegb  26766  tanarg  26795  logtayl  26836  logtayl2  26838  asinlem  27044  asinlem2  27045  asinsin  27068  efiatan2  27093  2efiatan  27094  atandmtan  27096  atantan  27099  atans2  27107  dvatan  27111  basellem5  27260  lgsdir2lem4  27503  gausslemma2dlem5a  27545  lgseisenlem1  27550  lgseisenlem2  27551  rpvmasum2  27687  ostth3  27813  smcnlem  31060  ipval2  31070  dipsubdir  31211  his2sub  31455  pythagreim  33101  quad3d  33105  constrnegcl  34162  qqhval2lem  34380  fwddifnp1  36665  itgmulc2nc  38367  ftc1anclem5  38376  areacirclem1  38387  lcmineqlem8  42831  readvrec  43151  negexpidd  43441  3cubeslem3r  43446  mzpsubmpt  43502  rmym1  43690  rngunsnply  43924  reabssgn  44390  sqrtcval  44395  expgrowth  45073  isumneg  46346  climneg  46354  stoweidlem22  46764  stirlinglem5  46820  fourierdlem97  46945  sqwvfourb  46971  etransclem46  47022  smfneg  47545  sharhght  47607  sigaradd  47608  altgsumbcALT  49161