Theorem mulm1d 11561

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11550	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7341  ℂcc 10996  1c1 10999   · cmul 11003  -cneg 11337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-ltxr 11143  df-sub 11338  df-neg 11339

This theorem is referenced by:  recextlem1  11739  ofnegsub  12115  modnegd  13825  modsumfzodifsn  13843  m1expcl2  13984  remullem  15027  sqrtneglem  15165  iseraltlem2  15582  iseraltlem3  15583  fsumneg  15686  incexclem  15735  incexc  15736  risefallfac  15923  efi4p  16038  cosadd  16066  absefib  16099  efieq1re  16100  pwp1fsum  16294  bitsinv1lem  16344  bezoutlem1  16442  pythagtriplem4  16723  negcncf  24835  negcncfOLD  24836  mbfneg  25571  itg1sub  25630  itgcnlem  25711  i1fibl  25729  itgitg1  25730  itgmulc2  25755  dvmptneg  25890  dvlipcn  25919  lhop2  25940  logneg  26517  lognegb  26519  tanarg  26548  logtayl  26589  logtayl2  26591  asinlem  26798  asinlem2  26799  asinsin  26822  efiatan2  26847  2efiatan  26848  atandmtan  26850  atantan  26853  atans2  26861  dvatan  26865  basellem5  27015  lgsdir2lem4  27259  gausslemma2dlem5a  27301  lgseisenlem1  27306  lgseisenlem2  27307  rpvmasum2  27443  ostth3  27569  smcnlem  30667  ipval2  30677  dipsubdir  30818  his2sub  31062  pythagreim  32719  quad3d  32723  constrnegcl  33766  qqhval2lem  33984  fwddifnp1  36178  itgmulc2nc  37707  ftc1anclem5  37716  areacirclem1  37727  lcmineqlem8  42048  readvrec  42374  negexpidd  42694  3cubeslem3r  42699  mzpsubmpt  42755  rmym1  42947  rngunsnply  43181  reabssgn  43648  sqrtcval  43653  expgrowth  44347  isumneg  45621  climneg  45629  stoweidlem22  46039  stirlinglem5  46095  fourierdlem97  46220  sqwvfourb  46246  etransclem46  46297  smfneg  46820  sharhght  46882  sigaradd  46883  altgsumbcALT  48363