Theorem mulm1d 11593

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11582	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  1c1 11031   · cmul 11035  -cneg 11369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  recextlem1  11771  ofnegsub  12147  modnegd  13853  modsumfzodifsn  13871  m1expcl2  14012  remullem  15055  sqrtneglem  15193  iseraltlem2  15610  iseraltlem3  15611  fsumneg  15714  incexclem  15763  incexc  15764  risefallfac  15951  efi4p  16066  cosadd  16094  absefib  16127  efieq1re  16128  pwp1fsum  16322  bitsinv1lem  16372  bezoutlem1  16470  pythagtriplem4  16751  negcncf  24875  negcncfOLD  24876  mbfneg  25611  itg1sub  25670  itgcnlem  25751  i1fibl  25769  itgitg1  25770  itgmulc2  25795  dvmptneg  25930  dvlipcn  25959  lhop2  25980  logneg  26557  lognegb  26559  tanarg  26588  logtayl  26629  logtayl2  26631  asinlem  26838  asinlem2  26839  asinsin  26862  efiatan2  26887  2efiatan  26888  atandmtan  26890  atantan  26893  atans2  26901  dvatan  26905  basellem5  27055  lgsdir2lem4  27299  gausslemma2dlem5a  27341  lgseisenlem1  27346  lgseisenlem2  27347  rpvmasum2  27483  ostth3  27609  smcnlem  30755  ipval2  30765  dipsubdir  30906  his2sub  31150  pythagreim  32806  quad3d  32810  constrnegcl  33901  qqhval2lem  34119  fwddifnp1  36340  itgmulc2nc  37860  ftc1anclem5  37869  areacirclem1  37880  lcmineqlem8  42327  readvrec  42653  negexpidd  42960  3cubeslem3r  42965  mzpsubmpt  43021  rmym1  43213  rngunsnply  43447  reabssgn  43913  sqrtcval  43918  expgrowth  44612  isumneg  45884  climneg  45892  stoweidlem22  46302  stirlinglem5  46358  fourierdlem97  46483  sqwvfourb  46509  etransclem46  46560  smfneg  47083  sharhght  47145  sigaradd  47146  altgsumbcALT  48635