Theorem mulm1d 11693

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11682	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  1c1 11128   · cmul 11132  -cneg 11469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11470  df-neg 11471

This theorem is used by:  recextlem1  11871  ofnegsub  12243  modnegd  13992  modsumfzodifsn  14010  m1expcl2  14151  remullem  15217  sqrtneglem  15355  iseraltlem2  15772  iseraltlem3  15773  fsumneg  15875  incexclem  15927  incexc  15928  risefallfac  16115  efi4p  16229  cosadd  16257  absefib  16290  efieq1re  16291  pwp1fsum  16485  bitsinv1lem  16535  bezoutlem1  16633  pythagtriplem4  16915  negcncf  25151  mbfneg  25879  itg1sub  25938  itgcnlem  26019  i1fibl  26037  itgitg1  26038  itgmulc2  26063  dvmptneg  26195  dvlipcn  26223  lhop2  26244  logneg  26823  lognegb  26825  tanarg  26854  logtayl  26895  logtayl2  26897  asinlem  27103  asinlem2  27104  asinsin  27127  efiatan2  27152  2efiatan  27153  atandmtan  27155  atantan  27158  atans2  27166  dvatan  27170  basellem5  27319  lgsdir2lem4  27562  gausslemma2dlem5a  27604  lgseisenlem1  27609  lgseisenlem2  27610  rpvmasum2  27746  ostth3  27872  smcnlem  31164  ipval2  31174  dipsubdir  31315  his2sub  31559  pythagreim  33203  quad3d  33207  constrnegcl  34260  qqhval2lem  34478  fwddifnp1  36732  itgmulc2nc  38424  ftc1anclem5  38433  areacirclem1  38444  lcmineqlem8  42889  readvrec  43224  negexpidd  43514  3cubeslem3r  43519  mzpsubmpt  43575  rmym1  43763  rngunsnply  43997  reabssgn  44463  sqrtcval  44468  expgrowth  45146  isumneg  46419  climneg  46427  stoweidlem22  46837  stirlinglem5  46893  fourierdlem97  47018  sqwvfourb  47044  etransclem46  47095  smfneg  47618  sharhght  47680  sigaradd  47681  altgsumbcALT  49270