Theorem mulm1d 11625

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11614	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  (class class class)co 7381  ℂcc 11057  1c1 11060   · cmul 11064  -cneg 11401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-ltxr 11207  df-sub 11402  df-neg 11403

This theorem is referenced by:  recextlem1  11803  ofnegsub  12179  modnegd  13925  modsumfzodifsn  13943  m1expcl2  14084  remullem  15127  sqrtneglem  15265  iseraltlem2  15682  iseraltlem3  15683  fsumneg  15786  incexclem  15838  incexc  15839  risefallfac  16026  efi4p  16141  cosadd  16169  absefib  16202  efieq1re  16203  pwp1fsum  16397  bitsinv1lem  16447  bezoutlem1  16545  pythagtriplem4  16827  negcncf  24953  mbfneg  25681  itg1sub  25740  itgcnlem  25821  i1fibl  25839  itgitg1  25840  itgmulc2  25865  dvmptneg  25997  dvlipcn  26025  lhop2  26046  logneg  26619  lognegb  26621  tanarg  26650  logtayl  26691  logtayl2  26693  asinlem  26899  asinlem2  26900  asinsin  26923  efiatan2  26948  2efiatan  26949  atandmtan  26951  atantan  26954  atans2  26962  dvatan  26966  basellem5  27115  lgsdir2lem4  27358  gausslemma2dlem5a  27400  lgseisenlem1  27405  lgseisenlem2  27406  rpvmasum2  27542  ostth3  27668  smcnlem  30835  ipval2  30845  dipsubdir  30986  his2sub  31230  pythagreim  32886  quad3d  32890  constrnegcl  34004  qqhval2lem  34222  fwddifnp1  36453  itgmulc2nc  38125  ftc1anclem5  38134  areacirclem1  38145  lcmineqlem8  42591  readvrec  42909  negexpidd  43201  3cubeslem3r  43206  mzpsubmpt  43262  rmym1  43450  rngunsnply  43684  reabssgn  44150  sqrtcval  44155  expgrowth  44849  isumneg  46116  climneg  46124  stoweidlem22  46534  stirlinglem5  46590  fourierdlem97  46715  sqwvfourb  46741  etransclem46  46792  smfneg  47315  sharhght  47377  sigaradd  47378  altgsumbcALT  48913