Theorem mulm1d 11665

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11654	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  1c1 11100   · cmul 11104  -cneg 11441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  recextlem1  11843  ofnegsub  12215  modnegd  13961  modsumfzodifsn  13979  m1expcl2  14120  remullem  15178  sqrtneglem  15316  iseraltlem2  15733  iseraltlem3  15734  fsumneg  15837  incexclem  15889  incexc  15890  risefallfac  16077  efi4p  16192  cosadd  16220  absefib  16253  efieq1re  16254  pwp1fsum  16448  bitsinv1lem  16498  bezoutlem1  16596  pythagtriplem4  16878  negcncf  25060  mbfneg  25788  itg1sub  25847  itgcnlem  25928  i1fibl  25946  itgitg1  25947  itgmulc2  25972  dvmptneg  26104  dvlipcn  26132  lhop2  26153  logneg  26729  lognegb  26731  tanarg  26760  logtayl  26801  logtayl2  26803  asinlem  27009  asinlem2  27010  asinsin  27033  efiatan2  27058  2efiatan  27059  atandmtan  27061  atantan  27064  atans2  27072  dvatan  27076  basellem5  27225  lgsdir2lem4  27468  gausslemma2dlem5a  27510  lgseisenlem1  27515  lgseisenlem2  27516  rpvmasum2  27652  ostth3  27778  smcnlem  31015  ipval2  31025  dipsubdir  31166  his2sub  31410  pythagreim  33056  quad3d  33060  constrnegcl  34119  qqhval2lem  34337  fwddifnp1  36611  itgmulc2nc  38283  ftc1anclem5  38292  areacirclem1  38303  lcmineqlem8  42749  readvrec  43069  negexpidd  43361  3cubeslem3r  43366  mzpsubmpt  43422  rmym1  43610  rngunsnply  43844  reabssgn  44310  sqrtcval  44315  expgrowth  44993  isumneg  46266  climneg  46274  stoweidlem22  46684  stirlinglem5  46740  fourierdlem97  46865  sqwvfourb  46891  etransclem46  46942  smfneg  47465  sharhght  47527  sigaradd  47528  altgsumbcALT  49078