Theorem mulm1d 11715

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  1c1 11156   · cmul 11160  -cneg 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  recextlem1  11893  ofnegsub  12264  modnegd  13967  modsumfzodifsn  13985  m1expcl2  14126  remullem  15167  sqrtneglem  15305  iseraltlem2  15719  iseraltlem3  15720  fsumneg  15823  incexclem  15872  incexc  15873  risefallfac  16060  efi4p  16173  cosadd  16201  absefib  16234  efieq1re  16235  pwp1fsum  16428  bitsinv1lem  16478  bezoutlem1  16576  pythagtriplem4  16857  negcncf  24948  negcncfOLD  24949  mbfneg  25685  itg1sub  25744  itgcnlem  25825  i1fibl  25843  itgitg1  25844  itgmulc2  25869  dvmptneg  26004  dvlipcn  26033  lhop2  26054  logneg  26630  lognegb  26632  tanarg  26661  logtayl  26702  logtayl2  26704  asinlem  26911  asinlem2  26912  asinsin  26935  efiatan2  26960  2efiatan  26961  atandmtan  26963  atantan  26966  atans2  26974  dvatan  26978  basellem5  27128  lgsdir2lem4  27372  gausslemma2dlem5a  27414  lgseisenlem1  27419  lgseisenlem2  27420  rpvmasum2  27556  ostth3  27682  smcnlem  30716  ipval2  30726  dipsubdir  30867  his2sub  31111  quad3d  32754  qqhval2lem  33982  fwddifnp1  36166  itgmulc2nc  37695  ftc1anclem5  37704  areacirclem1  37715  lcmineqlem8  42037  readvrec  42392  negexpidd  42693  3cubeslem3r  42698  mzpsubmpt  42754  rmym1  42947  rngunsnply  43181  reabssgn  43649  sqrtcval  43654  expgrowth  44354  isumneg  45617  climneg  45625  stoweidlem22  46037  stirlinglem5  46093  fourierdlem97  46218  sqwvfourb  46244  etransclem46  46295  smfneg  46818  sharhght  46880  sigaradd  46881  altgsumbcALT  48269