Theorem mulm1d 11602

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11591	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  1c1 11039   · cmul 11043  -cneg 11378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  recextlem1  11780  ofnegsub  12157  modnegd  13888  modsumfzodifsn  13906  m1expcl2  14047  remullem  15090  sqrtneglem  15228  iseraltlem2  15645  iseraltlem3  15646  fsumneg  15749  incexclem  15801  incexc  15802  risefallfac  15989  efi4p  16104  cosadd  16132  absefib  16165  efieq1re  16166  pwp1fsum  16360  bitsinv1lem  16410  bezoutlem1  16508  pythagtriplem4  16790  negcncf  24889  mbfneg  25617  itg1sub  25676  itgcnlem  25757  i1fibl  25775  itgitg1  25776  itgmulc2  25801  dvmptneg  25933  dvlipcn  25961  lhop2  25982  logneg  26552  lognegb  26554  tanarg  26583  logtayl  26624  logtayl2  26626  asinlem  26832  asinlem2  26833  asinsin  26856  efiatan2  26881  2efiatan  26882  atandmtan  26884  atantan  26887  atans2  26895  dvatan  26899  basellem5  27048  lgsdir2lem4  27291  gausslemma2dlem5a  27333  lgseisenlem1  27338  lgseisenlem2  27339  rpvmasum2  27475  ostth3  27601  smcnlem  30768  ipval2  30778  dipsubdir  30919  his2sub  31163  pythagreim  32818  quad3d  32822  constrnegcl  33907  qqhval2lem  34125  fwddifnp1  36347  itgmulc2nc  38009  ftc1anclem5  38018  areacirclem1  38029  lcmineqlem8  42475  readvrec  42794  negexpidd  43114  3cubeslem3r  43119  mzpsubmpt  43175  rmym1  43363  rngunsnply  43597  reabssgn  44063  sqrtcval  44068  expgrowth  44762  isumneg  46032  climneg  46040  stoweidlem22  46450  stirlinglem5  46506  fourierdlem97  46631  sqwvfourb  46657  etransclem46  46708  smfneg  47231  sharhght  47293  sigaradd  47294  altgsumbcALT  48823