Theorem mulm1d 11427

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872   · cmul 10876  -cneg 11206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208

This theorem is referenced by:  recextlem1  11605  ofnegsub  11971  modnegd  13646  modsumfzodifsn  13664  m1expcl2  13804  remullem  14839  sqrtneglem  14978  iseraltlem2  15394  iseraltlem3  15395  fsumneg  15499  incexclem  15548  incexc  15549  risefallfac  15734  efi4p  15846  cosadd  15874  absefib  15907  efieq1re  15908  pwp1fsum  16100  bitsinv1lem  16148  bezoutlem1  16247  pythagtriplem4  16520  negcncf  24085  mbfneg  24814  itg1sub  24874  itgcnlem  24954  i1fibl  24972  itgitg1  24973  itgmulc2  24998  dvmptneg  25130  dvlipcn  25158  lhop2  25179  logneg  25743  lognegb  25745  tanarg  25774  logtayl  25815  logtayl2  25817  asinlem  26018  asinlem2  26019  asinsin  26042  efiatan2  26067  2efiatan  26068  atandmtan  26070  atantan  26073  atans2  26081  dvatan  26085  basellem5  26234  lgsdir2lem4  26476  gausslemma2dlem5a  26518  lgseisenlem1  26523  lgseisenlem2  26524  rpvmasum2  26660  ostth3  26786  smcnlem  29059  ipval2  29069  dipsubdir  29210  his2sub  29454  qqhval2lem  31931  fwddifnp1  34467  itgmulc2nc  35845  ftc1anclem5  35854  areacirclem1  35865  lcmineqlem8  40044  negexpidd  40504  3cubeslem3r  40509  mzpsubmpt  40565  rmym1  40757  rngunsnply  40998  reabssgn  41244  sqrtcval  41249  expgrowth  41953  isumneg  43143  climneg  43151  stoweidlem22  43563  stirlinglem5  43619  fourierdlem97  43744  sqwvfourb  43770  etransclem46  43821  smfneg  44337  sharhght  44381  sigaradd  44382  altgsumbcALT  45689