Theorem mulm1d 11737

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11726	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7408  ℂcc 11169  1c1 11172   · cmul 11176  -cneg 11513

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-ltxr 11319  df-sub 11514  df-neg 11515

This theorem is used by:  recextlem1  11915  ofnegsub  12287  modnegd  14037  modsumfzodifsn  14055  m1expcl2  14196  remullem  15262  sqrtneglem  15400  iseraltlem2  15817  iseraltlem3  15818  fsumneg  15920  incexclem  15972  incexc  15973  risefallfac  16158  efi4p  16272  cosadd  16300  absefib  16333  efieq1re  16334  pwp1fsum  16528  bitsinv1lem  16578  bezoutlem1  16676  pythagtriplem4  16958  negcncf  25204  mbfneg  25932  itg1sub  25991  itgcnlem  26071  i1fibl  26089  itgitg1  26090  itgmulc2  26115  dvmptneg  26247  dvlipcn  26275  lhop2  26296  logneg  26879  lognegb  26881  tanarg  26910  logtayl  26951  logtayl2  26953  asinlem  27159  asinlem2  27160  asinsin  27183  efiatan2  27208  2efiatan  27209  atandmtan  27211  atantan  27214  atans2  27222  dvatan  27226  basellem5  27375  lgsdir2lem4  27618  gausslemma2dlem5a  27660  lgseisenlem1  27665  lgseisenlem2  27666  rpvmasum2  27802  ostth3  27928  smcnlem  31232  ipval2  31242  dipsubdir  31383  his2sub  31627  pythagreim  33270  quad3d  33274  constrnegcl  34328  qqhval2lem  34546  fwddifnp1  36852  itgmulc2nc  38526  ftc1anclem5  38535  areacirclem1  38546  lcmineqlem8  43006  readvrec  43341  negexpidd  43631  3cubeslem3r  43636  mzpsubmpt  43692  rmym1  43880  rngunsnply  44114  reabssgn  44580  sqrtcval  44585  expgrowth  45263  isumneg  46536  climneg  46544  stoweidlem22  46954  stirlinglem5  47010  fourierdlem97  47135  sqwvfourb  47161  etransclem46  47212  smfneg  47735  sharhght  47797  sigaradd  47798  altgsumbcALT  49387