Theorem recnmulnred 43504

Description: The product of a real number and an imaginary number is not a real number. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
recnaddnred.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
recnaddnred.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
cndivrenred.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
recnmulnred	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∉ ℝ)

Proof of Theorem recnmulnred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnaddnred.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
2	1	eldifbd 3948	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
3		df-nel 3124	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	1	eldifad 3947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		recnaddnred.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6		cndivrenred.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
7		mulre 14479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ))
9	8	bicomd 225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
10	9	notbid 320	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
11	3, 10	syl5bb 285	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
12	2, 11	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∉ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ∉ wnel 3123   ∖ cdif 3932  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  ℝcr 10535  0cc0 10536   · cmul 10541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-2 11699  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459

This theorem is referenced by:  sqrtnegnre  43506  requad01  43785