Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  recnmulnred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recnmulnred 46471
Description: The product of a real number and an imaginary number is not a real number. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
recnaddnred.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
recnaddnred.b (𝜑𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
cndivrenred.n (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
recnmulnred (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∉ ℝ)

Proof of Theorem recnmulnred
StepHypRef Expression
1 recnaddnred.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
21eldifbd 3961 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
3 df-nel 3046 . . 3 ((𝐴 · 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
41eldifad 3960 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5 recnaddnred.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 cndivrenred.n . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ 0)
7 mulre 15075 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ))
84, 5, 6, 7syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ))
98bicomd 222 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
109notbid 318 . . 3 (𝜑 → (¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
113, 10bitrid 283 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
122, 11mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∉ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wcel 2105  wne 2939  wnel 3045  cdif 3945  (class class class)co 7412  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116   · cmul 11121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-2 12282  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055
This theorem is referenced by:  sqrtnegnre  46473  requad01  46747
  Copyright terms: Public domain W3C validator