Theorem recnmulnred 42941

Description: The product of a real number and an imaginary number is not a real number. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
recnaddnred.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
recnaddnred.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
cndivrenred.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
recnmulnred	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∉ ℝ)

Proof of Theorem recnmulnred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnaddnred.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
2	1	eldifbd 3837	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
3		df-nel 3069	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	1	eldifad 3836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		recnaddnred.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6		cndivrenred.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
7		mulre 14340	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1352	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ))
9	8	bicomd 215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
10	9	notbid 310	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
11	3, 10	syl5bb 275	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
12	2, 11	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∉ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2962   ∉ wnel 3068   ∖ cdif 3821  (class class class)co 6975  ℂcc 10332  ℝcr 10333  0cc0 10334   · cmul 10339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-op 4443  df-uni 4710  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-id 5309  df-po 5323  df-so 5324  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-2 11502  df-cj 14318  df-re 14319  df-im 14320

This theorem is referenced by:  sqrtnegnre  42943  requad01  43184