Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resubcnnred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resubcnnred 43859
 Description: The difference of a real number and an imaginary number is not a real number. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
recnaddnred.b (𝜑𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
Assertion
Ref Expression
resubcnnred (𝜑 → (𝐴𝐵) ∉ ℝ)

Proof of Theorem resubcnnred
StepHypRef Expression
1 recnaddnred.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
21eldifbd 3894 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
3 df-nel 3092 . . 3 ((𝐴𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
4 recnaddnred.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
54recnd 10658 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
61eldifad 3893 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
75, 6subcld 10986 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
8 reim0b 14470 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴𝐵) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐴𝐵)) = 0))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐴𝐵)) = 0))
104reim0d 14576 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) = 0)
1110oveq1d 7150 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = (0 − (ℑ‘𝐵)))
12 df-neg 10862 . . . . . . . 8 -(ℑ‘𝐵) = (0 − (ℑ‘𝐵))
1311, 12eqtr4di 2851 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = -(ℑ‘𝐵))
1413eqeq1d 2800 . . . . . 6 (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐵) = 0))
155, 6imsubd 14568 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℑ‘(𝐴𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
1615eqeq1d 2800 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴𝐵)) = 0 ↔ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = 0))
17 reim0b 14470 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
186, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
196imcld 14546 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
2019recnd 10658 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
2120negeq0d 10978 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℑ‘𝐵) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐵) = 0))
2218, 21bitrd 282 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ -(ℑ‘𝐵) = 0))
2314, 16, 223bitr4d 314 . . . . 5 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴𝐵)) = 0 ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
249, 23bitrd 282 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
2524notbid 321 . . 3 (𝜑 → (¬ (𝐴𝐵) ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
263, 25syl5bb 286 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
272, 26mpbird 260 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∉ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3091   ∖ cdif 3878  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526   − cmin 10859  -cneg 10860  ℑcim 14449 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452 This theorem is referenced by:  requad01  44137
 Copyright terms: Public domain W3C validator