Theorem resubcnnred 47764

Description: The difference of a real number and an imaginary number is not a real number. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
recnaddnred.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
recnaddnred.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))

Assertion

Ref	Expression
resubcnnred	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∉ ℝ)

Proof of Theorem resubcnnred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnaddnred.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
2	1	eldifbd 3903	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
3		df-nel 3038	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4		recnaddnred.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	1	eldifad 3902	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	5, 6	subcld 11496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
8		reim0b 15072	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = 0))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = 0))
10	4	reim0d 15178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) = 0)
11	10	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = (0 − (ℑ‘𝐵)))
12		df-neg 11371	. . . . . . . 8 ⊢ -(ℑ‘𝐵) = (0 − (ℑ‘𝐵))
13	11, 12	eqtr4di 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = -(ℑ‘𝐵))
14	13	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐵) = 0))
15	5, 6	imsubd 15170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
16	15	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = 0 ↔ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = 0))
17		reim0b 15072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
18	6, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
19	6	imcld 15148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
21	20	negeq0d 11488	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐵) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐵) = 0))
22	18, 21	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ -(ℑ‘𝐵) = 0))
23	14, 16, 22	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = 0 ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
24	9, 23	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
25	24	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
26	3, 25	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
27	2, 26	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∉ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037   ∖ cdif 3887  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029   − cmin 11368  -cneg 11369  ℑcim 15051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054

This theorem is referenced by:  requad01  48109