Theorem resubcnnred 47334

Description: The difference of a real number and an imaginary number is not a real number. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
recnaddnred.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
recnaddnred.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))

Assertion

Ref	Expression
resubcnnred	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∉ ℝ)

Proof of Theorem resubcnnred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnaddnred.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
2	1	eldifbd 3915	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
3		df-nel 3033	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4		recnaddnred.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11137	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	1	eldifad 3914	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	5, 6	subcld 11469	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
8		reim0b 15023	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = 0))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = 0))
10	4	reim0d 15129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) = 0)
11	10	oveq1d 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = (0 − (ℑ‘𝐵)))
12		df-neg 11344	. . . . . . . 8 ⊢ -(ℑ‘𝐵) = (0 − (ℑ‘𝐵))
13	11, 12	eqtr4di 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = -(ℑ‘𝐵))
14	13	eqeq1d 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐵) = 0))
15	5, 6	imsubd 15121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
16	15	eqeq1d 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = 0 ↔ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = 0))
17		reim0b 15023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
18	6, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
19	6	imcld 15099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
21	20	negeq0d 11461	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐵) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐵) = 0))
22	18, 21	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ -(ℑ‘𝐵) = 0))
23	14, 16, 22	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = 0 ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
24	9, 23	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
25	24	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
26	3, 25	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
27	2, 26	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∉ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3032   ∖ cdif 3899  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  ℝcr 11002  0cc0 11003   − cmin 11341  -cneg 11342  ℑcim 15002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005

This theorem is referenced by:  requad01  47651