Theorem resubcnnred 44423

Description: The difference of a real number and an imaginary number is not a real number. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
recnaddnred.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
recnaddnred.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))

Assertion

Ref	Expression
resubcnnred	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∉ ℝ)

Proof of Theorem resubcnnred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnaddnred.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
2	1	eldifbd 3870	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
3		df-nel 3040	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4		recnaddnred.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	recnd 10844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	1	eldifad 3869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	5, 6	subcld 11172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
8		reim0b 14665	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = 0))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = 0))
10	4	reim0d 14771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) = 0)
11	10	oveq1d 7217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = (0 − (ℑ‘𝐵)))
12		df-neg 11048	. . . . . . . 8 ⊢ -(ℑ‘𝐵) = (0 − (ℑ‘𝐵))
13	11, 12	eqtr4di 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = -(ℑ‘𝐵))
14	13	eqeq1d 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐵) = 0))
15	5, 6	imsubd 14763	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
16	15	eqeq1d 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = 0 ↔ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = 0))
17		reim0b 14665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
18	6, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
19	6	imcld 14741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
20	19	recnd 10844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
21	20	negeq0d 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐵) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐵) = 0))
22	18, 21	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ -(ℑ‘𝐵) = 0))
23	14, 16, 22	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = 0 ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
24	9, 23	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
25	24	notbid 321	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
26	3, 25	syl5bb 286	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
27	2, 26	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∉ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∉ wnel 3039   ∖ cdif 3854  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  ℂcc 10710  ℝcr 10711  0cc0 10712   − cmin 11045  -cneg 11046  ℑcim 14644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-op 4538  df-uni 4810  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-id 5444  df-po 5457  df-so 5458  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-2 11876  df-cj 14645  df-re 14646  df-im 14647

This theorem is referenced by:  requad01  44700