Theorem resubcnnred 47316

Description: The difference of a real number and an imaginary number is not a real number. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
recnaddnred.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
recnaddnred.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))

Assertion

Ref	Expression
resubcnnred	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∉ ℝ)

Proof of Theorem resubcnnred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnaddnred.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
2	1	eldifbd 3964	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
3		df-nel 3047	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4		recnaddnred.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11289	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	1	eldifad 3963	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	5, 6	subcld 11620	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
8		reim0b 15158	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = 0))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = 0))
10	4	reim0d 15264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) = 0)
11	10	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = (0 − (ℑ‘𝐵)))
12		df-neg 11495	. . . . . . . 8 ⊢ -(ℑ‘𝐵) = (0 − (ℑ‘𝐵))
13	11, 12	eqtr4di 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = -(ℑ‘𝐵))
14	13	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐵) = 0))
15	5, 6	imsubd 15256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
16	15	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = 0 ↔ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = 0))
17		reim0b 15158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
18	6, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
19	6	imcld 15234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
21	20	negeq0d 11612	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐵) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐵) = 0))
22	18, 21	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ -(ℑ‘𝐵) = 0))
23	14, 16, 22	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = 0 ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
24	9, 23	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
25	24	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
26	3, 25	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ∉ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
27	2, 26	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∉ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3046   ∖ cdif 3948  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155   − cmin 11492  -cneg 11493  ℑcim 15137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140

This theorem is referenced by:  requad01  47608