requad01 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem requad01 43793

Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients to have (at least) one real solution. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
requad2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
requad2.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
requad2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
requad2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
requad2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))

**Assertion**
Ref	Expression
requad01	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝑥,𝐷 𝜑,𝑥

**Proof of Theorem requad01**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		requad2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10671	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		requad2.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5	4	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
6		requad2.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	recnd 10671	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		requad2.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	recnd 10671	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		recn 10629	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14		requad2.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
15	14	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
16	3, 5, 8, 11, 13, 15	quad 25420	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
17		eleq1 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
18	17	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
19		2re 11714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
21	20, 1	remulcld 10673	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
22	21	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
23	7	negcld 10986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
24	6	resqcld 13614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
25		4re 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 4 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
27	1, 9	remulcld 10673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
28	26, 27	remulcld 10673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
29	24, 28	resubcld 11070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ)
30	14, 29	eqeltrd 2915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
31	30	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
32	31	sqrtcld 14799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
33	23, 32	addcld 10662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
34	33	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
35	6	renegcld 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
36	35	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
37	32	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
38	31	negnegd 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → --𝐷 = 𝐷)
39	38	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → --𝐷 = 𝐷)
40	39	eqcomd 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 = --𝐷)
41	40	fveq2d 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) = (√‘--𝐷))
42	30	renegcld 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → -𝐷 ∈ ℝ)
43	42	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → -𝐷 ∈ ℝ)
44		0red 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
45	30, 44	ltnled 10789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐷))
46		ltle 10731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐷 < 0 → 𝐷 ≤ 0))
47	30, 44, 46	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝐷 ≤ 0))
48	45, 47	sylbird 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → 𝐷 ≤ 0))
49	48	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ≤ 0)
50	30	le0neg1d 11213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐷))
51	50	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (𝐷 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐷))
52	49, 51	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ -𝐷)
53	43, 52	sqrtnegd 14783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘--𝐷) = (i · (√‘-𝐷)))
54	41, 53	eqtrd 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) = (i · (√‘-𝐷)))
55		ax-icn 10598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ i ∈ ℂ
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → i ∈ ℂ)
57	31	negcld 10986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → -𝐷 ∈ ℂ)
58	57	sqrtcld 14799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (√‘-𝐷) ∈ ℂ)
59	58	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ∈ ℂ)
60	56, 59	mulcomd 10664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (i · (√‘-𝐷)) = ((√‘-𝐷) · i))
61	43, 52	resqrtcld 14779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ∈ ℝ)
62		inelr 11630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
63		eldif 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (i ∈ (ℂ ∖ ℝ) ↔ (i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ))
64	55, 62, 63	mpbir2an 709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ i ∈ (ℂ ∖ ℝ)
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → i ∈ (ℂ ∖ ℝ))
66	30	lt0neg1d 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝐷))
67		ltne 10739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ≠ 0)
68	44, 67	sylan 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ≠ 0)
69	42	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ∈ ℝ)
70		ltle 10731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐷 ∈ ℝ) → (0 < -𝐷 → 0 ≤ -𝐷))
71	44, 42, 70	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐷 → 0 ≤ -𝐷))
72	71	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → 0 ≤ -𝐷)
73		sqrt00 14625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((-𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐷) → ((√‘-𝐷) = 0 ↔ -𝐷 = 0))
74	69, 72, 73	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → ((√‘-𝐷) = 0 ↔ -𝐷 = 0))
75	74	bicomd 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (-𝐷 = 0 ↔ (√‘-𝐷) = 0))
76	75	necon3bid 3062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (-𝐷 ≠ 0 ↔ (√‘-𝐷) ≠ 0))
77	68, 76	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (√‘-𝐷) ≠ 0)
78	77	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐷 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
79	66, 78	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
80	45, 79	sylbird 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
81	80	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ≠ 0)
82	61, 65, 81	recnmulnred 43512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘-𝐷) · i) ∉ ℝ)
83		df-nel 3126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((√‘-𝐷) · i) ∉ ℝ ↔ ¬ ((√‘-𝐷) · i) ∈ ℝ)
84	82, 83	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((√‘-𝐷) · i) ∈ ℝ)
85	60, 84	eqneltrd 2934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (i · (√‘-𝐷)) ∈ ℝ)
86	54, 85	eqneltrd 2934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (√‘𝐷) ∈ ℝ)
87	37, 86	eldifd 3949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
88	36, 87	readdcnnred 43510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∉ ℝ)
89		df-nel 3126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) ∉ ℝ ↔ ¬ (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
90	88, 89	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
91	34, 90	eldifd 3949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
92		2cnd 11718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
93		2ne0 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
95	92, 2, 94, 4	mulne0d 11294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
96	95	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
97	22, 91, 96	cndivrenred 43513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ)
98		df-nel 3126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ ↔ ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
99	97, 98	sylib 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
100	99	ex 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
101	100	con4d 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
102	101	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
103	18, 102	sylbid 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
104	103	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
105		eleq1 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
106	105	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
107	23, 32	subcld 10999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
108	107	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
109	36, 87	resubcnnred 43511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∉ ℝ)
110		df-nel 3126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) ∉ ℝ ↔ ¬ (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
111	109, 110	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
112	108, 111	eldifd 3949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
113	22, 112, 96	cndivrenred 43513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ)
114		df-nel 3126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ ↔ ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
115	113, 114	sylib 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
116	115	ex 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
117	116	con4d 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
118	117	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
119	106, 118	sylbid 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
120	119	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
121	104, 120	jaod 855	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
122	121	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → 0 ≤ 𝐷)))
123	122	imp 409	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → 0 ≤ 𝐷))
124	16, 123	sylbid 242	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → 0 ≤ 𝐷))
125	124	rexlimdva 3286	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → 0 ≤ 𝐷))
126	35	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
127	30	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
128		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷)
129	127, 128	resqrtcld 14779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
130	126, 129	readdcld 10672	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
131	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 2 ∈ ℝ)
132	1	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
133	131, 132	remulcld 10673	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
134	95	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
135	130, 133, 134	redivcld 11470	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
136		oveq1 7165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥↑2) = (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2))
137	136	oveq2d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)))
138		oveq2 7166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
139	138	oveq1d 7173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) = ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶))
140	137, 139	oveq12d 7176	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)))
141	140	eqeq1d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0))
142	141	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0))
143		eqidd 2824	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))
144	143	orcd 869	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
145	2	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
146	4	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ≠ 0)
147	7	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
148	10	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
149	92, 2	mulcld 10663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
150	33, 149, 95	divcld 11418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
151	150	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
152	14	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
153	145, 146, 147, 148, 151, 152	quad 25420	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0 ↔ (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
154	144, 153	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0)
155	135, 142, 154	rspcedvd 3628	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)
156	155	ex 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐷 → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
157	125, 156	impbid 214	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∨ wo 843 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 ≠ wne 3018 ∉ wnel 3125 ∃wrex 3141 ∖ cdif 3935 class class class wbr 5068 ‘cfv 6357 (class class class)co 7158 ℂcc 10537 ℝcr 10538 0cc0 10539 ici 10541 + caddc 10542 · cmul 10544 < clt 10677 ≤ cle 10678 − cmin 10872 -cneg 10873 / cdiv 11299 2c2 11695 4c4 11697 ↑cexp 13432 √csqrt 14594

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2795 ax-sep 5205 ax-nul 5212 ax-pow 5268 ax-pr 5332 ax-un 7463 ax-cnex 10595 ax-resscn 10596 ax-1cn 10597 ax-icn 10598 ax-addcl 10599 ax-addrcl 10600 ax-mulcl 10601 ax-mulrcl 10602 ax-mulcom 10603 ax-addass 10604 ax-mulass 10605 ax-distr 10606 ax-i2m1 10607 ax-1ne0 10608 ax-1rid 10609 ax-rnegex 10610 ax-rrecex 10611 ax-cnre 10612 ax-pre-lttri 10613 ax-pre-lttrn 10614 ax-pre-ltadd 10615 ax-pre-mulgt0 10616 ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2802 df-cleq 2816 df-clel 2895 df-nfc 2965 df-ne 3019 df-nel 3126 df-ral 3145 df-rex 3146 df-reu 3147 df-rmo 3148 df-rab 3149 df-v 3498 df-sbc 3775 df-csb 3886 df-dif 3941 df-un 3943 df-in 3945 df-ss 3954 df-pss 3956 df-nul 4294 df-if 4470 df-pw 4543 df-sn 4570 df-pr 4572 df-tp 4574 df-op 4576 df-uni 4841 df-iun 4923 df-br 5069 df-opab 5131 df-mpt 5149 df-tr 5175 df-id 5462 df-eprel 5467 df-po 5476 df-so 5477 df-fr 5516 df-we 5518 df-xp 5563 df-rel 5564 df-cnv 5565 df-co 5566 df-dm 5567 df-rn 5568 df-res 5569 df-ima 5570 df-pred 6150 df-ord 6196 df-on 6197 df-lim 6198 df-suc 6199 df-iota 6316 df-fun 6359 df-fn 6360 df-f 6361 df-f1 6362 df-fo 6363 df-f1o 6364 df-fv 6365 df-riota 7116 df-ov 7161 df-oprab 7162 df-mpo 7163 df-om 7583 df-2nd 7692 df-wrecs 7949 df-recs 8010 df-rdg 8048 df-er 8291 df-en 8512 df-dom 8513 df-sdom 8514 df-sup 8908 df-pnf 10679 df-mnf 10680 df-xr 10681 df-ltxr 10682 df-le 10683 df-sub 10874 df-neg 10875 df-div 11300 df-nn 11641 df-2 11703 df-3 11704 df-4 11705 df-n0 11901 df-z 11985 df-uz 12247 df-rp 12393 df-seq 13373 df-exp 13433 df-cj 14460 df-re 14461 df-im 14462 df-sqrt 14596 df-abs 14597

This theorem is referenced by: requad1 43794 requad2 43795

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