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Theorem requad01 47613
Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients to have (at least) one real solution. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
requad2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
requad2.z (𝜑𝐴 ≠ 0)
requad2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
requad2.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
requad2.d (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
Assertion
Ref Expression
requad01 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem requad01
StepHypRef Expression
1 requad2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 11290 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
32adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 requad2.z . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ 0)
54adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
6 requad2.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
76recnd 11290 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 requad2.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
109recnd 11290 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
12 recn 11246 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
1312adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14 requad2.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
1514adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
163, 5, 8, 11, 13, 15quad 26884 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
17 eleq1 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
1817adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
19 2re 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
2120, 1remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
237negcld 11608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
246resqcld 14166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
25 4re 12351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
271, 9remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
2826, 27remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2924, 28resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ)
3014, 29eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
3130recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3231sqrtcld 15477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
3323, 32addcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
356renegcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
3732adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
3831negnegd 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → --𝐷 = 𝐷)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → --𝐷 = 𝐷)
4039eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 = --𝐷)
4140fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) = (√‘--𝐷))
4230renegcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -𝐷 ∈ ℝ)
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → -𝐷 ∈ ℝ)
44 0red 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4530, 44ltnled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐷))
46 ltle 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐷 < 0 → 𝐷 ≤ 0))
4730, 44, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝐷 ≤ 0))
4845, 47sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷𝐷 ≤ 0))
4948imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ≤ 0)
5030le0neg1d 11835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐷 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐷))
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (𝐷 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐷))
5249, 51mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ -𝐷)
5343, 52sqrtnegd 15461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘--𝐷) = (i · (√‘-𝐷)))
5441, 53eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) = (i · (√‘-𝐷)))
55 ax-icn 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 i ∈ ℂ
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → i ∈ ℂ)
5731negcld 11608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → -𝐷 ∈ ℂ)
5857sqrtcld 15477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (√‘-𝐷) ∈ ℂ)
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ∈ ℂ)
6056, 59mulcomd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (i · (√‘-𝐷)) = ((√‘-𝐷) · i))
6143, 52resqrtcld 15457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ∈ ℝ)
62 inelr 12257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ¬ i ∈ ℝ
63 eldif 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (i ∈ (ℂ ∖ ℝ) ↔ (i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ))
6455, 62, 63mpbir2an 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 i ∈ (ℂ ∖ ℝ)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → i ∈ (ℂ ∖ ℝ))
6630lt0neg1d 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝐷))
67 ltne 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ≠ 0)
6844, 67sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ≠ 0)
6942adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ∈ ℝ)
70 ltle 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐷 ∈ ℝ) → (0 < -𝐷 → 0 ≤ -𝐷))
7144, 42, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (0 < -𝐷 → 0 ≤ -𝐷))
7271imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → 0 ≤ -𝐷)
73 sqrt00 15303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((-𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐷) → ((√‘-𝐷) = 0 ↔ -𝐷 = 0))
7469, 72, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → ((√‘-𝐷) = 0 ↔ -𝐷 = 0))
7574bicomd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (-𝐷 = 0 ↔ (√‘-𝐷) = 0))
7675necon3bid 2984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (-𝐷 ≠ 0 ↔ (√‘-𝐷) ≠ 0))
7768, 76mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (√‘-𝐷) ≠ 0)
7877ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (0 < -𝐷 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
7966, 78sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐷 < 0 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
8045, 79sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
8180imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ≠ 0)
8261, 65, 81recnmulnred 47322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘-𝐷) · i) ∉ ℝ)
83 df-nel 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((√‘-𝐷) · i) ∉ ℝ ↔ ¬ ((√‘-𝐷) · i) ∈ ℝ)
8482, 83sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((√‘-𝐷) · i) ∈ ℝ)
8560, 84eqneltrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (i · (√‘-𝐷)) ∈ ℝ)
8654, 85eqneltrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (√‘𝐷) ∈ ℝ)
8737, 86eldifd 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
8836, 87readdcnnred 47320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∉ ℝ)
89 df-nel 3046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-𝐵 + (√‘𝐷)) ∉ ℝ ↔ ¬ (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
9088, 89sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
9134, 90eldifd 3961 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
92 2cnd 12345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
93 2ne0 12371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 0
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9592, 2, 94, 4mulne0d 11916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
9722, 91, 96cndivrenred 47323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ)
98 df-nel 3046 . . . . . . . . . . . . 13 (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ ↔ ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
9997, 98sylib 218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
10099ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
101100con4d 115 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
102101adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
10318, 102sylbid 240 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
104103ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
105 eleq1 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
106105adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
10723, 32subcld 11621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
108107adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
10936, 87resubcnnred 47321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∉ ℝ)
110 df-nel 3046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-𝐵 − (√‘𝐷)) ∉ ℝ ↔ ¬ (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
111109, 110sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
112108, 111eldifd 3961 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
11322, 112, 96cndivrenred 47323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ)
114 df-nel 3046 . . . . . . . . . . . . 13 (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ ↔ ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
115113, 114sylib 218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
116115ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
117116con4d 115 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
118117adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
119106, 118sylbid 240 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
120119ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
121104, 120jaod 859 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
122121com23 86 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → 0 ≤ 𝐷)))
123122imp 406 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → 0 ≤ 𝐷))
12416, 123sylbid 240 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → 0 ≤ 𝐷))
125124rexlimdva 3154 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → 0 ≤ 𝐷))
12635adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
12730adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
128 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷)
129127, 128resqrtcld 15457 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
130126, 129readdcld 11291 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
13119a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 2 ∈ ℝ)
1321adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
133131, 132remulcld 11292 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
13495adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
135130, 133, 134redivcld 12096 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
136 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥↑2) = (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2))
137136oveq2d 7448 . . . . . . 7 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)))
138 oveq2 7440 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
139138oveq1d 7447 . . . . . . 7 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) = ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶))
140137, 139oveq12d 7450 . . . . . 6 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)))
141140eqeq1d 2738 . . . . 5 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0))
142141adantl 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0))
143 eqidd 2737 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))
144143orcd 873 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
1452adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
1464adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ≠ 0)
1477adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
14810adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
14992, 2mulcld 11282 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
15033, 149, 95divcld 12044 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
151150adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
15214adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
153145, 146, 147, 148, 151, 152quad 26884 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0 ↔ (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
154144, 153mpbird 257 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0)
155135, 142, 154rspcedvd 3623 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)
156155ex 412 . 2 (𝜑 → (0 ≤ 𝐷 → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
157125, 156impbid 212 1 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wnel 3045  wrex 3069  cdif 3947   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  ici 11158   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  2c2 12322  4c4 12324  cexp 14103  csqrt 15273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276
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