Proof of Theorem requad01
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | requad2.a | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 2 | 1 | recnd 11289 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) | 
| 3 | 2 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ) | 
| 4 |  | requad2.z | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0) | 
| 5 | 4 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0) | 
| 6 |  | requad2.b | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 7 | 6 | recnd 11289 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) | 
| 8 | 7 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ) | 
| 9 |  | requad2.c | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ) | 
| 10 | 9 | recnd 11289 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) | 
| 11 | 10 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ) | 
| 12 |  | recn 11245 | . . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈
ℂ) | 
| 13 | 12 | adantl 481 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ) | 
| 14 |  | requad2.d | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) | 
| 15 | 14 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) | 
| 16 | 3, 5, 8, 11, 13, 15 | quad 26883 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))) | 
| 17 |  | eleq1 2829 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)) | 
| 18 | 17 | adantl 481 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)) | 
| 19 |  | 2re 12340 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 2 ∈
ℝ | 
| 20 | 19 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℝ) | 
| 21 | 20, 1 | remulcld 11291 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈
ℝ) | 
| 22 | 21 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈
ℝ) | 
| 23 | 7 | negcld 11607 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ) | 
| 24 | 6 | resqcld 14165 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ) | 
| 25 |  | 4re 12350 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ 4 ∈
ℝ | 
| 26 | 25 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → 4 ∈
ℝ) | 
| 27 | 1, 9 | remulcld 11291 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ) | 
| 28 | 26, 27 | remulcld 11291 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ) | 
| 29 | 24, 28 | resubcld 11691 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ) | 
| 30 | 14, 29 | eqeltrd 2841 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ) | 
| 31 | 30 | recnd 11289 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ) | 
| 32 | 31 | sqrtcld 15476 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (√‘𝐷) ∈
ℂ) | 
| 33 | 23, 32 | addcld 11280 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ) | 
| 34 | 33 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ) | 
| 35 | 6 | renegcld 11690 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ) | 
| 36 | 35 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ) | 
| 37 | 32 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈
ℂ) | 
| 38 | 31 | negnegd 11611 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → --𝐷 = 𝐷) | 
| 39 | 38 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → --𝐷 = 𝐷) | 
| 40 | 39 | eqcomd 2743 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 = --𝐷) | 
| 41 | 40 | fveq2d 6910 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) = (√‘--𝐷)) | 
| 42 | 30 | renegcld 11690 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → -𝐷 ∈ ℝ) | 
| 43 | 42 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → -𝐷 ∈ ℝ) | 
| 44 |  | 0red 11264 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) | 
| 45 | 30, 44 | ltnled 11408 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐷)) | 
| 46 |  | ltle 11349 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ∈
ℝ) → (𝐷 < 0
→ 𝐷 ≤
0)) | 
| 47 | 30, 44, 46 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝐷 ≤ 0)) | 
| 48 | 45, 47 | sylbird 260 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → 𝐷 ≤ 0)) | 
| 49 | 48 | imp 406 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ≤ 0) | 
| 50 | 30 | le0neg1d 11834 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → (𝐷 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐷)) | 
| 51 | 50 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (𝐷 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐷)) | 
| 52 | 49, 51 | mpbid 232 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ -𝐷) | 
| 53 | 43, 52 | sqrtnegd 15460 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘--𝐷) = (i ·
(√‘-𝐷))) | 
| 54 | 41, 53 | eqtrd 2777 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) = (i ·
(√‘-𝐷))) | 
| 55 |  | ax-icn 11214 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ i ∈
ℂ | 
| 56 | 55 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → i ∈
ℂ) | 
| 57 | 31 | negcld 11607 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → -𝐷 ∈ ℂ) | 
| 58 | 57 | sqrtcld 15476 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (√‘-𝐷) ∈
ℂ) | 
| 59 | 58 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ∈
ℂ) | 
| 60 | 56, 59 | mulcomd 11282 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (i ·
(√‘-𝐷)) =
((√‘-𝐷)
· i)) | 
| 61 | 43, 52 | resqrtcld 15456 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ∈
ℝ) | 
| 62 |  | inelr 12256 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢  ¬ i
∈ ℝ | 
| 63 |  | eldif 3961 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (i ∈
(ℂ ∖ ℝ) ↔ (i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈
ℝ)) | 
| 64 | 55, 62, 63 | mpbir2an 711 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ i ∈
(ℂ ∖ ℝ) | 
| 65 | 64 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → i ∈ (ℂ
∖ ℝ)) | 
| 66 | 30 | lt0neg1d 11832 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝐷)) | 
| 67 |  | ltne 11358 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ≠ 0) | 
| 68 | 44, 67 | sylan 580 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ≠ 0) | 
| 69 | 42 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ∈ ℝ) | 
| 70 |  | ltle 11349 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ -𝐷
∈ ℝ) → (0 < -𝐷 → 0 ≤ -𝐷)) | 
| 71 | 44, 42, 70 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝜑 → (0 < -𝐷 → 0 ≤ -𝐷)) | 
| 72 | 71 | imp 406 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → 0 ≤ -𝐷) | 
| 73 |  | sqrt00 15302 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((-𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
-𝐷) →
((√‘-𝐷) = 0
↔ -𝐷 =
0)) | 
| 74 | 69, 72, 73 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → ((√‘-𝐷) = 0 ↔ -𝐷 = 0)) | 
| 75 | 74 | bicomd 223 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (-𝐷 = 0 ↔ (√‘-𝐷) = 0)) | 
| 76 | 75 | necon3bid 2985 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (-𝐷 ≠ 0 ↔ (√‘-𝐷) ≠ 0)) | 
| 77 | 68, 76 | mpbid 232 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (√‘-𝐷) ≠ 0) | 
| 78 | 77 | ex 412 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → (0 < -𝐷 → (√‘-𝐷) ≠ 0)) | 
| 79 | 66, 78 | sylbid 240 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 → (√‘-𝐷) ≠ 0)) | 
| 80 | 45, 79 | sylbird 260 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → (√‘-𝐷) ≠ 0)) | 
| 81 | 80 | imp 406 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ≠ 0) | 
| 82 | 61, 65, 81 | recnmulnred 47317 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘-𝐷) · i) ∉
ℝ) | 
| 83 |  | df-nel 3047 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((√‘-𝐷)
· i) ∉ ℝ ↔ ¬ ((√‘-𝐷) · i) ∈
ℝ) | 
| 84 | 82, 83 | sylib 218 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬
((√‘-𝐷)
· i) ∈ ℝ) | 
| 85 | 60, 84 | eqneltrd 2861 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (i ·
(√‘-𝐷)) ∈
ℝ) | 
| 86 | 54, 85 | eqneltrd 2861 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬
(√‘𝐷) ∈
ℝ) | 
| 87 | 37, 86 | eldifd 3962 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ (ℂ ∖
ℝ)) | 
| 88 | 36, 87 | readdcnnred 47315 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∉ ℝ) | 
| 89 |  | df-nel 3047 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) ∉ ℝ ↔ ¬
(-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈
ℝ) | 
| 90 | 88, 89 | sylib 218 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈
ℝ) | 
| 91 | 34, 90 | eldifd 3962 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ (ℂ ∖
ℝ)) | 
| 92 |  | 2cnd 12344 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) | 
| 93 |  | 2ne0 12370 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 2 ≠
0 | 
| 94 | 93 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0) | 
| 95 | 92, 2, 94, 4 | mulne0d 11915 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0) | 
| 96 | 95 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0) | 
| 97 | 22, 91, 96 | cndivrenred 47318 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ) | 
| 98 |  | df-nel 3047 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ ↔ ¬
((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈
ℝ) | 
| 99 | 97, 98 | sylib 218 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈
ℝ) | 
| 100 | 99 | ex 412 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈
ℝ)) | 
| 101 | 100 | con4d 115 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)) | 
| 102 | 101 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)) | 
| 103 | 18, 102 | sylbid 240 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)) | 
| 104 | 103 | ex 412 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))) | 
| 105 |  | eleq1 2829 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)) | 
| 106 | 105 | adantl 481 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)) | 
| 107 | 23, 32 | subcld 11620 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ) | 
| 108 | 107 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ) | 
| 109 | 36, 87 | resubcnnred 47316 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∉ ℝ) | 
| 110 |  | df-nel 3047 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) ∉ ℝ ↔ ¬
(-𝐵 −
(√‘𝐷)) ∈
ℝ) | 
| 111 | 109, 110 | sylib 218 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈
ℝ) | 
| 112 | 108, 111 | eldifd 3962 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ (ℂ ∖
ℝ)) | 
| 113 | 22, 112, 96 | cndivrenred 47318 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ) | 
| 114 |  | df-nel 3047 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ ↔ ¬
((-𝐵 −
(√‘𝐷)) / (2
· 𝐴)) ∈
ℝ) | 
| 115 | 113, 114 | sylib 218 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈
ℝ) | 
| 116 | 115 | ex 412 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈
ℝ)) | 
| 117 | 116 | con4d 115 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)) | 
| 118 | 117 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)) | 
| 119 | 106, 118 | sylbid 240 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)) | 
| 120 | 119 | ex 412 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))) | 
| 121 | 104, 120 | jaod 860 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))) | 
| 122 | 121 | com23 86 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → 0 ≤ 𝐷))) | 
| 123 | 122 | imp 406 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → 0 ≤ 𝐷)) | 
| 124 | 16, 123 | sylbid 240 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → 0 ≤ 𝐷)) | 
| 125 | 124 | rexlimdva 3155 | . 2
⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → 0 ≤ 𝐷)) | 
| 126 | 35 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ) | 
| 127 | 30 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ) | 
| 128 |  | simpr 484 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷) | 
| 129 | 127, 128 | resqrtcld 15456 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℝ) | 
| 130 | 126, 129 | readdcld 11290 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ) | 
| 131 | 19 | a1i 11 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 2 ∈ ℝ) | 
| 132 | 1 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 133 | 131, 132 | remulcld 11291 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ) | 
| 134 | 95 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0) | 
| 135 | 130, 133,
134 | redivcld 12095 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ) | 
| 136 |  | oveq1 7438 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥↑2) = (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) | 
| 137 | 136 | oveq2d 7447 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2))) | 
| 138 |  | oveq2 7439 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))) | 
| 139 | 138 | oveq1d 7446 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) = ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) | 
| 140 | 137, 139 | oveq12d 7449 | . . . . . 6
⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶))) | 
| 141 | 140 | eqeq1d 2739 | . . . . 5
⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0)) | 
| 142 | 141 | adantl 481 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0)) | 
| 143 |  | eqidd 2738 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) | 
| 144 | 143 | orcd 874 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))) | 
| 145 | 2 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ) | 
| 146 | 4 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ≠ 0) | 
| 147 | 7 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ) | 
| 148 | 10 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ) | 
| 149 | 92, 2 | mulcld 11281 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈
ℂ) | 
| 150 | 33, 149, 95 | divcld 12043 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ) | 
| 151 | 150 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ) | 
| 152 | 14 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶)))) | 
| 153 | 145, 146,
147, 148, 151, 152 | quad 26883 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0 ↔ (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))) | 
| 154 | 144, 153 | mpbird 257 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0) | 
| 155 | 135, 142,
154 | rspcedvd 3624 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0) | 
| 156 | 155 | ex 412 | . 2
⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐷 → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)) | 
| 157 | 125, 156 | impbid 212 | 1
⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷)) |