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Theorem requad01 44136
Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients to have (at least) one real solution. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
requad2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
requad2.z (𝜑𝐴 ≠ 0)
requad2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
requad2.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
requad2.d (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
Assertion
Ref Expression
requad01 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem requad01
StepHypRef Expression
1 requad2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 10662 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
32adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 requad2.z . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ 0)
54adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
6 requad2.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
76recnd 10662 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
87adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 requad2.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
109recnd 10662 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1110adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
12 recn 10620 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
1312adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14 requad2.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
1514adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
163, 5, 8, 11, 13, 15quad 25430 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
17 eleq1 2880 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
1817adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
19 2re 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
2120, 1remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
2221adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
237negcld 10977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
246resqcld 13611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
25 4re 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
271, 9remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
2826, 27remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2924, 28resubcld 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ)
3014, 29eqeltrd 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
3130recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3231sqrtcld 14793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
3323, 32addcld 10653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
3433adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
356renegcld 11060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
3635adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
3732adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
3831negnegd 10981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → --𝐷 = 𝐷)
3938adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → --𝐷 = 𝐷)
4039eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 = --𝐷)
4140fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) = (√‘--𝐷))
4230renegcld 11060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -𝐷 ∈ ℝ)
4342adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → -𝐷 ∈ ℝ)
44 0red 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4530, 44ltnled 10780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐷))
46 ltle 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐷 < 0 → 𝐷 ≤ 0))
4730, 44, 46syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝐷 ≤ 0))
4845, 47sylbird 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷𝐷 ≤ 0))
4948imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ≤ 0)
5030le0neg1d 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐷 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐷))
5150adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (𝐷 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐷))
5249, 51mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ -𝐷)
5343, 52sqrtnegd 14777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘--𝐷) = (i · (√‘-𝐷)))
5441, 53eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) = (i · (√‘-𝐷)))
55 ax-icn 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 i ∈ ℂ
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → i ∈ ℂ)
5731negcld 10977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → -𝐷 ∈ ℂ)
5857sqrtcld 14793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (√‘-𝐷) ∈ ℂ)
5958adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ∈ ℂ)
6056, 59mulcomd 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (i · (√‘-𝐷)) = ((√‘-𝐷) · i))
6143, 52resqrtcld 14773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ∈ ℝ)
62 inelr 11619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ¬ i ∈ ℝ
63 eldif 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (i ∈ (ℂ ∖ ℝ) ↔ (i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ))
6455, 62, 63mpbir2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 i ∈ (ℂ ∖ ℝ)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → i ∈ (ℂ ∖ ℝ))
6630lt0neg1d 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝐷))
67 ltne 10730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ≠ 0)
6844, 67sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ≠ 0)
6942adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ∈ ℝ)
70 ltle 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐷 ∈ ℝ) → (0 < -𝐷 → 0 ≤ -𝐷))
7144, 42, 70syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (0 < -𝐷 → 0 ≤ -𝐷))
7271imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → 0 ≤ -𝐷)
73 sqrt00 14619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((-𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐷) → ((√‘-𝐷) = 0 ↔ -𝐷 = 0))
7469, 72, 73syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → ((√‘-𝐷) = 0 ↔ -𝐷 = 0))
7574bicomd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (-𝐷 = 0 ↔ (√‘-𝐷) = 0))
7675necon3bid 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (-𝐷 ≠ 0 ↔ (√‘-𝐷) ≠ 0))
7768, 76mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (√‘-𝐷) ≠ 0)
7877ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (0 < -𝐷 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
7966, 78sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐷 < 0 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
8045, 79sylbird 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
8180imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ≠ 0)
8261, 65, 81recnmulnred 43859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘-𝐷) · i) ∉ ℝ)
83 df-nel 3095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((√‘-𝐷) · i) ∉ ℝ ↔ ¬ ((√‘-𝐷) · i) ∈ ℝ)
8482, 83sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((√‘-𝐷) · i) ∈ ℝ)
8560, 84eqneltrd 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (i · (√‘-𝐷)) ∈ ℝ)
8654, 85eqneltrd 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (√‘𝐷) ∈ ℝ)
8737, 86eldifd 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
8836, 87readdcnnred 43857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∉ ℝ)
89 df-nel 3095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-𝐵 + (√‘𝐷)) ∉ ℝ ↔ ¬ (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
9088, 89sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
9134, 90eldifd 3895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
92 2cnd 11707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
93 2ne0 11733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 0
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9592, 2, 94, 4mulne0d 11285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
9695adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
9722, 91, 96cndivrenred 43860 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ)
98 df-nel 3095 . . . . . . . . . . . . 13 (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ ↔ ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
9997, 98sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
10099ex 416 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
101100con4d 115 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
102101adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
10318, 102sylbid 243 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
104103ex 416 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
105 eleq1 2880 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
106105adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
10723, 32subcld 10990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
108107adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
10936, 87resubcnnred 43858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∉ ℝ)
110 df-nel 3095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-𝐵 − (√‘𝐷)) ∉ ℝ ↔ ¬ (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
111109, 110sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
112108, 111eldifd 3895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
11322, 112, 96cndivrenred 43860 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ)
114 df-nel 3095 . . . . . . . . . . . . 13 (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ ↔ ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
115113, 114sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
116115ex 416 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
117116con4d 115 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
118117adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
119106, 118sylbid 243 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
120119ex 416 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
121104, 120jaod 856 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
122121com23 86 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → 0 ≤ 𝐷)))
123122imp 410 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → 0 ≤ 𝐷))
12416, 123sylbid 243 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → 0 ≤ 𝐷))
125124rexlimdva 3246 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → 0 ≤ 𝐷))
12635adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
12730adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
128 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷)
129127, 128resqrtcld 14773 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
130126, 129readdcld 10663 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
13119a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 2 ∈ ℝ)
1321adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
133131, 132remulcld 10664 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
13495adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
135130, 133, 134redivcld 11461 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
136 oveq1 7146 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥↑2) = (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2))
137136oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)))
138 oveq2 7147 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
139138oveq1d 7154 . . . . . . 7 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) = ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶))
140137, 139oveq12d 7157 . . . . . 6 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)))
141140eqeq1d 2803 . . . . 5 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0))
142141adantl 485 . . . 4 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0))
143 eqidd 2802 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))
144143orcd 870 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
1452adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
1464adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ≠ 0)
1477adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
14810adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
14992, 2mulcld 10654 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
15033, 149, 95divcld 11409 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
151150adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
15214adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
153145, 146, 147, 148, 151, 152quad 25430 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0 ↔ (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
154144, 153mpbird 260 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0)
155135, 142, 154rspcedvd 3577 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)
156155ex 416 . 2 (𝜑 → (0 ≤ 𝐷 → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
157125, 156impbid 215 1 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wnel 3094  wrex 3110  cdif 3881   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  ici 10532   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  -cneg 10864   / cdiv 11290  2c2 11684  4c4 11686  cexp 13429  csqrt 14588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591
This theorem is referenced by:  requad1  44137  requad2  44138
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