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Theorem requad01 45803
Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients to have (at least) one real solution. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
requad2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
requad2.z (𝜑𝐴 ≠ 0)
requad2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
requad2.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
requad2.d (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
Assertion
Ref Expression
requad01 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem requad01
StepHypRef Expression
1 requad2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
32adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 requad2.z . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ 0)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
6 requad2.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
76recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
87adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 requad2.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
109recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
12 recn 11141 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
1312adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14 requad2.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
1514adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
163, 5, 8, 11, 13, 15quad 26190 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
17 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
1817adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
19 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
2120, 1remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
237negcld 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
246resqcld 14030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
25 4re 12237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
271, 9remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
2826, 27remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2924, 28resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ)
3014, 29eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
3130recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3231sqrtcld 15322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
3323, 32addcld 11174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
356renegcld 11582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
3732adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
3831negnegd 11503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → --𝐷 = 𝐷)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → --𝐷 = 𝐷)
4039eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 = --𝐷)
4140fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) = (√‘--𝐷))
4230renegcld 11582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → -𝐷 ∈ ℝ)
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → -𝐷 ∈ ℝ)
44 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4530, 44ltnled 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐷))
46 ltle 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐷 < 0 → 𝐷 ≤ 0))
4730, 44, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝐷 ≤ 0))
4845, 47sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷𝐷 ≤ 0))
4948imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ≤ 0)
5030le0neg1d 11726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐷 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐷))
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (𝐷 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐷))
5249, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ -𝐷)
5343, 52sqrtnegd 15306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘--𝐷) = (i · (√‘-𝐷)))
5441, 53eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) = (i · (√‘-𝐷)))
55 ax-icn 11110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 i ∈ ℂ
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → i ∈ ℂ)
5731negcld 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → -𝐷 ∈ ℂ)
5857sqrtcld 15322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (√‘-𝐷) ∈ ℂ)
5958adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ∈ ℂ)
6056, 59mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (i · (√‘-𝐷)) = ((√‘-𝐷) · i))
6143, 52resqrtcld 15302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ∈ ℝ)
62 inelr 12143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ¬ i ∈ ℝ
63 eldif 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (i ∈ (ℂ ∖ ℝ) ↔ (i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ))
6455, 62, 63mpbir2an 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 i ∈ (ℂ ∖ ℝ)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → i ∈ (ℂ ∖ ℝ))
6630lt0neg1d 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝐷))
67 ltne 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ≠ 0)
6844, 67sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ≠ 0)
6942adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ∈ ℝ)
70 ltle 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐷 ∈ ℝ) → (0 < -𝐷 → 0 ≤ -𝐷))
7144, 42, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (0 < -𝐷 → 0 ≤ -𝐷))
7271imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → 0 ≤ -𝐷)
73 sqrt00 15148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((-𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐷) → ((√‘-𝐷) = 0 ↔ -𝐷 = 0))
7469, 72, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → ((√‘-𝐷) = 0 ↔ -𝐷 = 0))
7574bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (-𝐷 = 0 ↔ (√‘-𝐷) = 0))
7675necon3bid 2988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (-𝐷 ≠ 0 ↔ (√‘-𝐷) ≠ 0))
7768, 76mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (√‘-𝐷) ≠ 0)
7877ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (0 < -𝐷 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
7966, 78sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐷 < 0 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
8045, 79sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
8180imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ≠ 0)
8261, 65, 81recnmulnred 45527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘-𝐷) · i) ∉ ℝ)
83 df-nel 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((√‘-𝐷) · i) ∉ ℝ ↔ ¬ ((√‘-𝐷) · i) ∈ ℝ)
8482, 83sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((√‘-𝐷) · i) ∈ ℝ)
8560, 84eqneltrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (i · (√‘-𝐷)) ∈ ℝ)
8654, 85eqneltrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (√‘𝐷) ∈ ℝ)
8737, 86eldifd 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
8836, 87readdcnnred 45525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∉ ℝ)
89 df-nel 3050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-𝐵 + (√‘𝐷)) ∉ ℝ ↔ ¬ (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
9088, 89sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
9134, 90eldifd 3921 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
92 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
93 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 0
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9592, 2, 94, 4mulne0d 11807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
9695adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
9722, 91, 96cndivrenred 45528 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ)
98 df-nel 3050 . . . . . . . . . . . . 13 (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ ↔ ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
9997, 98sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
10099ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
101100con4d 115 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
102101adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
10318, 102sylbid 239 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
104103ex 413 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
105 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
106105adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
10723, 32subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
108107adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
10936, 87resubcnnred 45526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∉ ℝ)
110 df-nel 3050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-𝐵 − (√‘𝐷)) ∉ ℝ ↔ ¬ (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
111109, 110sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
112108, 111eldifd 3921 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
11322, 112, 96cndivrenred 45528 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ)
114 df-nel 3050 . . . . . . . . . . . . 13 (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ ↔ ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
115113, 114sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
116115ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
117116con4d 115 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
118117adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
119106, 118sylbid 239 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
120119ex 413 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
121104, 120jaod 857 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
122121com23 86 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → 0 ≤ 𝐷)))
123122imp 407 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → 0 ≤ 𝐷))
12416, 123sylbid 239 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → 0 ≤ 𝐷))
125124rexlimdva 3152 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → 0 ≤ 𝐷))
12635adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
12730adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
128 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷)
129127, 128resqrtcld 15302 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
130126, 129readdcld 11184 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
13119a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 2 ∈ ℝ)
1321adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
133131, 132remulcld 11185 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
13495adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
135130, 133, 134redivcld 11983 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
136 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥↑2) = (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2))
137136oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)))
138 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
139138oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) = ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶))
140137, 139oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)))
141140eqeq1d 2738 . . . . 5 (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0))
142141adantl 482 . . . 4 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0))
143 eqidd 2737 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))
144143orcd 871 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
1452adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
1464adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ≠ 0)
1477adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
14810adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
14992, 2mulcld 11175 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
15033, 149, 95divcld 11931 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
151150adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
15214adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
153145, 146, 147, 148, 151, 152quad 26190 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0 ↔ (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
154144, 153mpbird 256 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0)
155135, 142, 154rspcedvd 3583 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)
156155ex 413 . 2 (𝜑 → (0 ≤ 𝐷 → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
157125, 156impbid 211 1 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wnel 3049  wrex 3073  cdif 3907   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  4c4 12210  cexp 13967  csqrt 15118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121
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