requad01 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem requad01 47622

Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients to have (at least) one real solution. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
requad2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
requad2.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
requad2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
requad2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
requad2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))

**Assertion**
Ref	Expression
requad01	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝑥,𝐷 𝜑,𝑥

**Proof of Theorem requad01**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		requad2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		requad2.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
6		requad2.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		requad2.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		recn 11158	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14		requad2.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
16	3, 5, 8, 11, 13, 15	quad 26750	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
17		eleq1 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
18	17	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
19		2re 12260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
21	20, 1	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
23	7	negcld 11520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
24	6	resqcld 14090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
25		4re 12270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 4 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
27	1, 9	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
28	26, 27	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
29	24, 28	resubcld 11606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ)
30	14, 29	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
31	30	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
32	31	sqrtcld 15406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
33	23, 32	addcld 11193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
35	6	renegcld 11605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
37	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
38	31	negnegd 11524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → --𝐷 = 𝐷)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → --𝐷 = 𝐷)
40	39	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 = --𝐷)
41	40	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) = (√‘--𝐷))
42	30	renegcld 11605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → -𝐷 ∈ ℝ)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → -𝐷 ∈ ℝ)
44		0red 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
45	30, 44	ltnled 11321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐷))
46		ltle 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐷 < 0 → 𝐷 ≤ 0))
47	30, 44, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝐷 ≤ 0))
48	45, 47	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → 𝐷 ≤ 0))
49	48	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ≤ 0)
50	30	le0neg1d 11749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐷))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (𝐷 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐷))
52	49, 51	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ -𝐷)
53	43, 52	sqrtnegd 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘--𝐷) = (i · (√‘-𝐷)))
54	41, 53	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) = (i · (√‘-𝐷)))
55		ax-icn 11127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ i ∈ ℂ
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → i ∈ ℂ)
57	31	negcld 11520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → -𝐷 ∈ ℂ)
58	57	sqrtcld 15406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (√‘-𝐷) ∈ ℂ)
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ∈ ℂ)
60	56, 59	mulcomd 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (i · (√‘-𝐷)) = ((√‘-𝐷) · i))
61	43, 52	resqrtcld 15384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ∈ ℝ)
62		inelr 12176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
63		eldif 3924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (i ∈ (ℂ ∖ ℝ) ↔ (i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ))
64	55, 62, 63	mpbir2an 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ i ∈ (ℂ ∖ ℝ)
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → i ∈ (ℂ ∖ ℝ))
66	30	lt0neg1d 11747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝐷))
67		ltne 11271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ≠ 0)
68	44, 67	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ≠ 0)
69	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ∈ ℝ)
70		ltle 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐷 ∈ ℝ) → (0 < -𝐷 → 0 ≤ -𝐷))
71	44, 42, 70	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐷 → 0 ≤ -𝐷))
72	71	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → 0 ≤ -𝐷)
73		sqrt00 15229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((-𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐷) → ((√‘-𝐷) = 0 ↔ -𝐷 = 0))
74	69, 72, 73	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → ((√‘-𝐷) = 0 ↔ -𝐷 = 0))
75	74	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (-𝐷 = 0 ↔ (√‘-𝐷) = 0))
76	75	necon3bid 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (-𝐷 ≠ 0 ↔ (√‘-𝐷) ≠ 0))
77	68, 76	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (√‘-𝐷) ≠ 0)
78	77	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐷 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
79	66, 78	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
80	45, 79	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
81	80	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ≠ 0)
82	61, 65, 81	recnmulnred 47306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘-𝐷) · i) ∉ ℝ)
83		df-nel 3030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((√‘-𝐷) · i) ∉ ℝ ↔ ¬ ((√‘-𝐷) · i) ∈ ℝ)
84	82, 83	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((√‘-𝐷) · i) ∈ ℝ)
85	60, 84	eqneltrd 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (i · (√‘-𝐷)) ∈ ℝ)
86	54, 85	eqneltrd 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (√‘𝐷) ∈ ℝ)
87	37, 86	eldifd 3925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
88	36, 87	readdcnnred 47304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∉ ℝ)
89		df-nel 3030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) ∉ ℝ ↔ ¬ (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
90	88, 89	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
91	34, 90	eldifd 3925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
92		2cnd 12264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
93		2ne0 12290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
95	92, 2, 94, 4	mulne0d 11830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
96	95	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
97	22, 91, 96	cndivrenred 47307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ)
98		df-nel 3030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ ↔ ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
99	97, 98	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
100	99	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
101	100	con4d 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
102	101	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
103	18, 102	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
104	103	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
105		eleq1 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
106	105	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
107	23, 32	subcld 11533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
109	36, 87	resubcnnred 47305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∉ ℝ)
110		df-nel 3030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) ∉ ℝ ↔ ¬ (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
111	109, 110	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
112	108, 111	eldifd 3925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
113	22, 112, 96	cndivrenred 47307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ)
114		df-nel 3030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ ↔ ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
115	113, 114	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
116	115	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
117	116	con4d 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
118	117	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
119	106, 118	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
120	119	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
121	104, 120	jaod 859	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
122	121	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → 0 ≤ 𝐷)))
123	122	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → 0 ≤ 𝐷))
124	16, 123	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → 0 ≤ 𝐷))
125	124	rexlimdva 3134	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → 0 ≤ 𝐷))
126	35	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
127	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
128		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷)
129	127, 128	resqrtcld 15384	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
130	126, 129	readdcld 11203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
131	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 2 ∈ ℝ)
132	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
133	131, 132	remulcld 11204	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
134	95	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
135	130, 133, 134	redivcld 12010	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
136		oveq1 7394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥↑2) = (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2))
137	136	oveq2d 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)))
138		oveq2 7395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
139	138	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) = ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶))
140	137, 139	oveq12d 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)))
141	140	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0))
142	141	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0))
143		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))
144	143	orcd 873	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
145	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
146	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ≠ 0)
147	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
148	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
149	92, 2	mulcld 11194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
150	33, 149, 95	divcld 11958	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
151	150	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
152	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
153	145, 146, 147, 148, 151, 152	quad 26750	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0 ↔ (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
154	144, 153	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0)
155	135, 142, 154	rspcedvd 3590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)
156	155	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐷 → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
157	125, 156	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∉ wnel 3029 ∃wrex 3053 ∖ cdif 3911 class class class wbr 5107 ‘cfv 6511 (class class class)co 7387 ℂcc 11066 ℝcr 11067 0cc0 11068 ici 11070 + caddc 11071 · cmul 11073 < clt 11208 ≤ cle 11209 − cmin 11405 -cneg 11406 / cdiv 11835 2c2 12241 4c4 12243 ↑cexp 14026 √csqrt 15199

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145 ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4872 df-iun 4957 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-om 7843 df-2nd 7969 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-er 8671 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-sup 9393 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-div 11836 df-nn 12187 df-2 12249 df-3 12250 df-4 12251 df-n0 12443 df-z 12530 df-uz 12794 df-rp 12952 df-seq 13967 df-exp 14027 df-cj 15065 df-re 15066 df-im 15067 df-sqrt 15201 df-abs 15202

This theorem is referenced by: requad1 47623 requad2 47624

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