requad01 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem requad01 47863

Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients to have (at least) one real solution. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
requad2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
requad2.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
requad2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
requad2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
requad2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))

**Assertion**
Ref	Expression
requad01	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝑥,𝐷 𝜑,𝑥

**Proof of Theorem requad01**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		requad2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		requad2.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
6		requad2.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		requad2.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		recn 11116	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14		requad2.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
16	3, 5, 8, 11, 13, 15	quad 26806	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
17		eleq1 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
18	17	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
19		2re 12219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
21	20, 1	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
23	7	negcld 11479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
24	6	resqcld 14048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
25		4re 12229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 4 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
27	1, 9	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
28	26, 27	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
29	24, 28	resubcld 11565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ)
30	14, 29	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
31	30	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
32	31	sqrtcld 15363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
33	23, 32	addcld 11151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
35	6	renegcld 11564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
37	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
38	31	negnegd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → --𝐷 = 𝐷)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → --𝐷 = 𝐷)
40	39	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 = --𝐷)
41	40	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) = (√‘--𝐷))
42	30	renegcld 11564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → -𝐷 ∈ ℝ)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → -𝐷 ∈ ℝ)
44		0red 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
45	30, 44	ltnled 11280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐷))
46		ltle 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐷 < 0 → 𝐷 ≤ 0))
47	30, 44, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝐷 ≤ 0))
48	45, 47	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → 𝐷 ≤ 0))
49	48	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ≤ 0)
50	30	le0neg1d 11708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐷))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (𝐷 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐷))
52	49, 51	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ -𝐷)
53	43, 52	sqrtnegd 15345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘--𝐷) = (i · (√‘-𝐷)))
54	41, 53	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) = (i · (√‘-𝐷)))
55		ax-icn 11085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ i ∈ ℂ
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → i ∈ ℂ)
57	31	negcld 11479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → -𝐷 ∈ ℂ)
58	57	sqrtcld 15363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (√‘-𝐷) ∈ ℂ)
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ∈ ℂ)
60	56, 59	mulcomd 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (i · (√‘-𝐷)) = ((√‘-𝐷) · i))
61	43, 52	resqrtcld 15341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ∈ ℝ)
62		inelr 12135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
63		eldif 3911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (i ∈ (ℂ ∖ ℝ) ↔ (i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ))
64	55, 62, 63	mpbir2an 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ i ∈ (ℂ ∖ ℝ)
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → i ∈ (ℂ ∖ ℝ))
66	30	lt0neg1d 11706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝐷))
67		ltne 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ≠ 0)
68	44, 67	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ≠ 0)
69	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ∈ ℝ)
70		ltle 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐷 ∈ ℝ) → (0 < -𝐷 → 0 ≤ -𝐷))
71	44, 42, 70	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐷 → 0 ≤ -𝐷))
72	71	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → 0 ≤ -𝐷)
73		sqrt00 15186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((-𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐷) → ((√‘-𝐷) = 0 ↔ -𝐷 = 0))
74	69, 72, 73	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → ((√‘-𝐷) = 0 ↔ -𝐷 = 0))
75	74	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (-𝐷 = 0 ↔ (√‘-𝐷) = 0))
76	75	necon3bid 2976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (-𝐷 ≠ 0 ↔ (√‘-𝐷) ≠ 0))
77	68, 76	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (√‘-𝐷) ≠ 0)
78	77	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐷 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
79	66, 78	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
80	45, 79	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
81	80	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ≠ 0)
82	61, 65, 81	recnmulnred 47547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘-𝐷) · i) ∉ ℝ)
83		df-nel 3037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((√‘-𝐷) · i) ∉ ℝ ↔ ¬ ((√‘-𝐷) · i) ∈ ℝ)
84	82, 83	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((√‘-𝐷) · i) ∈ ℝ)
85	60, 84	eqneltrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (i · (√‘-𝐷)) ∈ ℝ)
86	54, 85	eqneltrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (√‘𝐷) ∈ ℝ)
87	37, 86	eldifd 3912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
88	36, 87	readdcnnred 47545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∉ ℝ)
89		df-nel 3037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) ∉ ℝ ↔ ¬ (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
90	88, 89	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
91	34, 90	eldifd 3912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
92		2cnd 12223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
93		2ne0 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
95	92, 2, 94, 4	mulne0d 11789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
96	95	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
97	22, 91, 96	cndivrenred 47548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ)
98		df-nel 3037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ ↔ ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
99	97, 98	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
100	99	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
101	100	con4d 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
102	101	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
103	18, 102	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
104	103	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
105		eleq1 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
106	105	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
107	23, 32	subcld 11492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
109	36, 87	resubcnnred 47546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∉ ℝ)
110		df-nel 3037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) ∉ ℝ ↔ ¬ (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
111	109, 110	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
112	108, 111	eldifd 3912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
113	22, 112, 96	cndivrenred 47548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ)
114		df-nel 3037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ ↔ ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
115	113, 114	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
116	115	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
117	116	con4d 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
118	117	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
119	106, 118	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
120	119	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
121	104, 120	jaod 859	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
122	121	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → 0 ≤ 𝐷)))
123	122	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → 0 ≤ 𝐷))
124	16, 123	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → 0 ≤ 𝐷))
125	124	rexlimdva 3137	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → 0 ≤ 𝐷))
126	35	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
127	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
128		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷)
129	127, 128	resqrtcld 15341	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
130	126, 129	readdcld 11161	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
131	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 2 ∈ ℝ)
132	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
133	131, 132	remulcld 11162	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
134	95	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
135	130, 133, 134	redivcld 11969	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
136		oveq1 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥↑2) = (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2))
137	136	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)))
138		oveq2 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
139	138	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) = ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶))
140	137, 139	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)))
141	140	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0))
142	141	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0))
143		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))
144	143	orcd 873	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
145	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
146	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ≠ 0)
147	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
148	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
149	92, 2	mulcld 11152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
150	33, 149, 95	divcld 11917	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
151	150	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
152	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
153	145, 146, 147, 148, 151, 152	quad 26806	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0 ↔ (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
154	144, 153	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0)
155	135, 142, 154	rspcedvd 3578	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)
156	155	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐷 → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
157	125, 156	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2932 ∉ wnel 3036 ∃wrex 3060 ∖ cdif 3898 class class class wbr 5098 ‘cfv 6492 (class class class)co 7358 ℂcc 11024 ℝcr 11025 0cc0 11026 ici 11028 + caddc 11029 · cmul 11031 < clt 11166 ≤ cle 11167 − cmin 11364 -cneg 11365 / cdiv 11794 2c2 12200 4c4 12202 ↑cexp 13984 √csqrt 15156

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-cnex 11082 ax-resscn 11083 ax-1cn 11084 ax-icn 11085 ax-addcl 11086 ax-addrcl 11087 ax-mulcl 11088 ax-mulrcl 11089 ax-mulcom 11090 ax-addass 11091 ax-mulass 11092 ax-distr 11093 ax-i2m1 11094 ax-1ne0 11095 ax-1rid 11096 ax-rnegex 11097 ax-rrecex 11098 ax-cnre 11099 ax-pre-lttri 11100 ax-pre-lttrn 11101 ax-pre-ltadd 11102 ax-pre-mulgt0 11103 ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-op 4587 df-uni 4864 df-iun 4948 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7809 df-2nd 7934 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-er 8635 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-sup 9345 df-pnf 11168 df-mnf 11169 df-xr 11170 df-ltxr 11171 df-le 11172 df-sub 11366 df-neg 11367 df-div 11795 df-nn 12146 df-2 12208 df-3 12209 df-4 12210 df-n0 12402 df-z 12489 df-uz 12752 df-rp 12906 df-seq 13925 df-exp 13985 df-cj 15022 df-re 15023 df-im 15024 df-sqrt 15158 df-abs 15159

This theorem is referenced by: requad1 47864 requad2 47865

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