Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  requad01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem requad01 46368
Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients to have (at least) one real solution. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
requad2.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
requad2.z (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
requad2.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
requad2.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
requad2.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
Assertion
Ref Expression
requad01 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” 0 โ‰ค ๐ท))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐ท   ๐œ‘,๐‘ฅ

Proof of Theorem requad01
StepHypRef Expression
1 requad2.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21recnd 11244 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
32adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 requad2.z . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
54adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โ‰  0)
6 requad2.b . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
76recnd 11244 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
87adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9 requad2.c . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
109recnd 11244 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1110adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
12 recn 11202 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1312adantl 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
14 requad2.d . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
1514adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ท = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
163, 5, 8, 11, 13, 15quad 26352 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)))))
17 eleq1 2821 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†” ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„))
1817adantl 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†” ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„))
19 2re 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
2120, 1remulcld 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
237negcld 11560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„‚)
246resqcld 14092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
25 4re 12298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 โˆˆ โ„
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„)
271, 9remulcld 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
2826, 27remulcld 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
2924, 28resubcld 11644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„)
3014, 29eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
3130recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3231sqrtcld 15386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
3323, 32addcld 11235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
356renegcld 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
3732adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
3831negnegd 11564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ --๐ท = ๐ท)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ --๐ท = ๐ท)
4039eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ท = --๐ท)
4140fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) = (โˆšโ€˜--๐ท))
4230renegcld 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ -๐ท โˆˆ โ„)
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ -๐ท โˆˆ โ„)
44 0red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
4530, 44ltnled 11363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐œ‘ โ†’ (๐ท < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค ๐ท))
46 ltle 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ท < 0 โ†’ ๐ท โ‰ค 0))
4730, 44, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐œ‘ โ†’ (๐ท < 0 โ†’ ๐ท โ‰ค 0))
4845, 47sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค ๐ท โ†’ ๐ท โ‰ค 0))
4948imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ท โ‰ค 0)
5030le0neg1d 11787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐ท))
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ท โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐ท))
5249, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ 0 โ‰ค -๐ท)
5343, 52sqrtnegd 15370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜--๐ท) = (i ยท (โˆšโ€˜-๐ท)))
5441, 53eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) = (i ยท (โˆšโ€˜-๐ท)))
55 ax-icn 11171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 i โˆˆ โ„‚
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
5731negcld 11560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ -๐ท โˆˆ โ„‚)
5857sqrtcld 15386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜-๐ท) โˆˆ โ„‚)
5958adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜-๐ท) โˆˆ โ„‚)
6056, 59mulcomd 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (i ยท (โˆšโ€˜-๐ท)) = ((โˆšโ€˜-๐ท) ยท i))
6143, 52resqrtcld 15366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜-๐ท) โˆˆ โ„)
62 inelr 12204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ยฌ i โˆˆ โ„
63 eldif 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (i โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„) โ†” (i โˆˆ โ„‚ โˆง ยฌ i โˆˆ โ„))
6455, 62, 63mpbir2an 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 i โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ i โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„))
6630lt0neg1d 11785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐œ‘ โ†’ (๐ท < 0 โ†” 0 < -๐ท))
67 ltne 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐ท) โ†’ -๐ท โ‰  0)
6844, 67sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ท) โ†’ -๐ท โ‰  0)
6942adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ท) โ†’ -๐ท โˆˆ โ„)
70 ltle 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((0 โˆˆ โ„ โˆง -๐ท โˆˆ โ„) โ†’ (0 < -๐ท โ†’ 0 โ‰ค -๐ท))
7144, 42, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐œ‘ โ†’ (0 < -๐ท โ†’ 0 โ‰ค -๐ท))
7271imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ท) โ†’ 0 โ‰ค -๐ท)
73 sqrt00 15212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((-๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค -๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜-๐ท) = 0 โ†” -๐ท = 0))
7469, 72, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜-๐ท) = 0 โ†” -๐ท = 0))
7574bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ท) โ†’ (-๐ท = 0 โ†” (โˆšโ€˜-๐ท) = 0))
7675necon3bid 2985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ท) โ†’ (-๐ท โ‰  0 โ†” (โˆšโ€˜-๐ท) โ‰  0))
7768, 76mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง 0 < -๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜-๐ท) โ‰  0)
7877ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐œ‘ โ†’ (0 < -๐ท โ†’ (โˆšโ€˜-๐ท) โ‰  0))
7966, 78sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐œ‘ โ†’ (๐ท < 0 โ†’ (โˆšโ€˜-๐ท) โ‰  0))
8045, 79sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค ๐ท โ†’ (โˆšโ€˜-๐ท) โ‰  0))
8180imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜-๐ท) โ‰  0)
8261, 65, 81recnmulnred 46092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜-๐ท) ยท i) โˆ‰ โ„)
83 df-nel 3047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((โˆšโ€˜-๐ท) ยท i) โˆ‰ โ„ โ†” ยฌ ((โˆšโ€˜-๐ท) ยท i) โˆˆ โ„)
8482, 83sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ยฌ ((โˆšโ€˜-๐ท) ยท i) โˆˆ โ„)
8560, 84eqneltrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ยฌ (i ยท (โˆšโ€˜-๐ท)) โˆˆ โ„)
8654, 85eqneltrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„)
8737, 86eldifd 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„))
8836, 87readdcnnred 46090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) โˆ‰ โ„)
89 df-nel 3047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) โˆ‰ โ„ โ†” ยฌ (-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„)
9088, 89sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ยฌ (-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„)
9134, 90eldifd 3959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„))
92 2cnd 12292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
93 2ne0 12318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โ‰  0
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
9592, 2, 94, 4mulne0d 11868 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) โ‰  0)
9695adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (2 ยท ๐ด) โ‰  0)
9722, 91, 96cndivrenred 46093 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆ‰ โ„)
98 df-nel 3047 . . . . . . . . . . . . 13 (((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆ‰ โ„ โ†” ยฌ ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
9997, 98sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ยฌ ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
10099ex 413 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค ๐ท โ†’ ยฌ ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„))
101100con4d 115 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค ๐ท))
102101adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) โ†’ (((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค ๐ท))
10318, 102sylbid 239 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค ๐ท))
104103ex 413 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)))
105 eleq1 2821 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†” ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„))
106105adantl 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†” ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„))
10723, 32subcld 11573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
108107adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
10936, 87resubcnnred 46091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) โˆ‰ โ„)
110 df-nel 3047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) โˆ‰ โ„ โ†” ยฌ (-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„)
111109, 110sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ยฌ (-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„)
112108, 111eldifd 3959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„))
11322, 112, 96cndivrenred 46093 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆ‰ โ„)
114 df-nel 3047 . . . . . . . . . . . . 13 (((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆ‰ โ„ โ†” ยฌ ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
115113, 114sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ยฌ 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ยฌ ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
116115ex 413 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ 0 โ‰ค ๐ท โ†’ ยฌ ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„))
117116con4d 115 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค ๐ท))
118117adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) โ†’ (((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค ๐ท))
119106, 118sylbid 239 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค ๐ท))
120119ex 413 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)))
121104, 120jaod 857 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)))
122121com23 86 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)))
123122imp 407 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ท))
12416, 123sylbid 239 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†’ 0 โ‰ค ๐ท))
125124rexlimdva 3155 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†’ 0 โ‰ค ๐ท))
12635adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
12730adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
128 simpr 485 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
129127, 128resqrtcld 15366 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„)
130126, 129readdcld 11245 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„)
13119a1i 11 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
1321adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
133131, 132remulcld 11246 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
13495adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (2 ยท ๐ด) โ‰  0)
135130, 133, 134redivcld 12044 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
136 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))โ†‘2))
137136oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) = (๐ด ยท (((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)))
138 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))))
139138oveq1d 7426 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ) = ((๐ต ยท ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) + ๐ถ))
140137, 139oveq12d 7429 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = ((๐ด ยท (((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + ((๐ต ยท ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) + ๐ถ)))
141140eqeq1d 2734 . . . . 5 (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โ†’ (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” ((๐ด ยท (((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + ((๐ต ยท ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) + ๐ถ)) = 0))
142141adantl 482 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง ๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) โ†’ (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” ((๐ด ยท (((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + ((๐ต ยท ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) + ๐ถ)) = 0))
143 eqidd 2733 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)))
144143orcd 871 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))))
1452adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1464adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ด โ‰  0)
1477adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
14810adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
14992, 2mulcld 11236 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
15033, 149, 95divcld 11992 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
151150adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
15214adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ๐ท = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
153145, 146, 147, 148, 151, 152quad 26352 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (((๐ด ยท (((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + ((๐ต ยท ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) + ๐ถ)) = 0 โ†” (((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)))))
154144, 153mpbird 256 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ด ยท (((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))โ†‘2)) + ((๐ต ยท ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) + ๐ถ)) = 0)
155135, 142, 154rspcedvd 3614 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0)
156155ex 413 . 2 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐ท โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0))
157125, 156impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” 0 โ‰ค ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   โˆ‰ wnel 3046  โˆƒwrex 3070   โˆ– cdif 3945   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  2c2 12269  4c4 12271  โ†‘cexp 14029  โˆšcsqrt 15182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185
This theorem is referenced by:  requad1  46369  requad2  46370
  Copyright terms: Public domain W3C validator