requad01 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem requad01 48363

Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients to have (at least) one real solution. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
requad2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
requad2.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
requad2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
requad2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
requad2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))

**Assertion**
Ref	Expression
requad01	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝑥,𝐷 𝜑,𝑥

**Proof of Theorem requad01**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		requad2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		requad2.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
6		requad2.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		requad2.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		recn 11191	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14		requad2.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
15	14	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
16	3, 5, 8, 11, 13, 15	quad 26983	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
17		eleq1 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
18	17	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
19		2re 12316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
21	20, 1	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
22	21	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
23	7	negcld 11557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
24	6	resqcld 14163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
25		4re 12326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 4 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
27	1, 9	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
28	26, 27	remulcld 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
29	24, 28	resubcld 11643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ)
30	14, 29	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
31	30	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
32	31	sqrtcld 15493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
33	23, 32	addcld 11229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
34	33	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
35	6	renegcld 11642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
36	35	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
37	32	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
38	31	negnegd 11561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → --𝐷 = 𝐷)
39	38	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → --𝐷 = 𝐷)
40	39	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 = --𝐷)
41	40	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) = (√‘--𝐷))
42	30	renegcld 11642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → -𝐷 ∈ ℝ)
43	42	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → -𝐷 ∈ ℝ)
44		0red 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
45	30, 44	ltnled 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐷))
46		ltle 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐷 < 0 → 𝐷 ≤ 0))
47	30, 44, 46	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 → 𝐷 ≤ 0))
48	45, 47	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → 𝐷 ≤ 0))
49	48	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ≤ 0)
50	30	le0neg1d 11786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐷))
51	50	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (𝐷 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐷))
52	49, 51	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ -𝐷)
53	43, 52	sqrtnegd 15475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘--𝐷) = (i · (√‘-𝐷)))
54	41, 53	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) = (i · (√‘-𝐷)))
55		ax-icn 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ i ∈ ℂ
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → i ∈ ℂ)
57	31	negcld 11557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → -𝐷 ∈ ℂ)
58	57	sqrtcld 15493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (√‘-𝐷) ∈ ℂ)
59	58	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ∈ ℂ)
60	56, 59	mulcomd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (i · (√‘-𝐷)) = ((√‘-𝐷) · i))
61	43, 52	resqrtcld 15471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ∈ ℝ)
62		inelr 12209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
63		eldif 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (i ∈ (ℂ ∖ ℝ) ↔ (i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ))
64	55, 62, 63	mpbir2an 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ i ∈ (ℂ ∖ ℝ)
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → i ∈ (ℂ ∖ ℝ))
66	30	lt0neg1d 11784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝐷))
67		ltne 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ≠ 0)
68	44, 67	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ≠ 0)
69	42	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → -𝐷 ∈ ℝ)
70		ltle 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐷 ∈ ℝ) → (0 < -𝐷 → 0 ≤ -𝐷))
71	44, 42, 70	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐷 → 0 ≤ -𝐷))
72	71	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → 0 ≤ -𝐷)
73		sqrt00 15316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((-𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐷) → ((√‘-𝐷) = 0 ↔ -𝐷 = 0))
74	69, 72, 73	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → ((√‘-𝐷) = 0 ↔ -𝐷 = 0))
75	74	bicomd 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (-𝐷 = 0 ↔ (√‘-𝐷) = 0))
76	75	necon3bid 3002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (-𝐷 ≠ 0 ↔ (√‘-𝐷) ≠ 0))
77	68, 76	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐷) → (√‘-𝐷) ≠ 0)
78	77	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐷 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
79	66, 78	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < 0 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
80	45, 79	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → (√‘-𝐷) ≠ 0))
81	80	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘-𝐷) ≠ 0)
82	61, 65, 81	recnmulnred 48019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘-𝐷) · i) ∉ ℝ)
83		df-nel 3065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((√‘-𝐷) · i) ∉ ℝ ↔ ¬ ((√‘-𝐷) · i) ∈ ℝ)
84	82, 83	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((√‘-𝐷) · i) ∈ ℝ)
85	60, 84	eqneltrd 2883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (i · (√‘-𝐷)) ∈ ℝ)
86	54, 85	eqneltrd 2883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (√‘𝐷) ∈ ℝ)
87	37, 86	eldifd 3917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
88	36, 87	readdcnnred 48017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∉ ℝ)
89		df-nel 3065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) ∉ ℝ ↔ ¬ (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
90	88, 89	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
91	34, 90	eldifd 3917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
92		2cnd 12320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
93		2ne0 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
95	92, 2, 94, 4	mulne0d 11867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
96	95	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
97	22, 91, 96	cndivrenred 48020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ)
98		df-nel 3065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ ↔ ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
99	97, 98	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
100	99	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ¬ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
101	100	con4d 116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
102	101	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
103	18, 102	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
104	103	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
105		eleq1 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
106	105	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
107	23, 32	subcld 11570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
108	107	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
109	36, 87	resubcnnred 48018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∉ ℝ)
110		df-nel 3065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) ∉ ℝ ↔ ¬ (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
111	109, 110	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
112	108, 111	eldifd 3917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ (ℂ ∖ ℝ))
113	22, 112, 96	cndivrenred 48020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ)
114		df-nel 3065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∉ ℝ ↔ ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
115	113, 114	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐷) → ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
116	115	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ 0 ≤ 𝐷 → ¬ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ))
117	116	con4d 116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
118	117	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
119	106, 118	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷))
120	119	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
121	104, 120	jaod 872	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝐷)))
122	121	com23 87	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → 0 ≤ 𝐷)))
123	122	imp 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → 0 ≤ 𝐷))
124	16, 123	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → 0 ≤ 𝐷))
125	124	rexlimdva 3166	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → 0 ≤ 𝐷))
126	35	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
127	30	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
128		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 0 ≤ 𝐷)
129	127, 128	resqrtcld 15471	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
130	126, 129	readdcld 11239	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
131	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 2 ∈ ℝ)
132	1	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℝ)
133	131, 132	remulcld 11240	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
134	95	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
135	130, 133, 134	redivcld 12044	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
136		oveq1 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝑥↑2) = (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2))
137	136	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)))
138		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
139	138	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) = ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶))
140	137, 139	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)))
141	140	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0))
142	141	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0))
143		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))
144	143	orcd 886	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
145	2	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ∈ ℂ)
146	4	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ≠ 0)
147	7	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐵 ∈ ℂ)
148	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
149	92, 2	mulcld 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
150	33, 149, 95	divcld 11992	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
151	150	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
152	14	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
153	145, 146, 147, 148, 151, 152	quad 26983	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0 ↔ (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
154	144, 153	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝐴 · (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))↑2)) + ((𝐵 · ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) + 𝐶)) = 0)
155	135, 142, 154	rspcedvd 3584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)
156	155	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐷 → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
157	125, 156	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∨ wo 860 = wceq 1570 ∈ wcel 2143 ≠ wne 2958 ∉ wnel 3064 ∃wrex 3089 ∖ cdif 3903 class class class wbr 5110 ‘cfv 6538 (class class class)co 7412 ℂcc 11099 ℝcr 11100 0cc0 11101 ici 11103 + caddc 11104 · cmul 11106 < clt 11244 ≤ cle 11245 − cmin 11442 -cneg 11443 / cdiv 11872 2c2 12296 4c4 12298 ↑cexp 14099 √csqrt 15286

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-sep 5258 ax-nul 5270 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7734 ax-cnex 11157 ax-resscn 11158 ax-1cn 11159 ax-icn 11160 ax-addcl 11161 ax-addrcl 11162 ax-mulcl 11163 ax-mulrcl 11164 ax-mulcom 11165 ax-addass 11166 ax-mulass 11167 ax-distr 11168 ax-i2m1 11169 ax-1ne0 11170 ax-1rid 11171 ax-rnegex 11172 ax-rrecex 11173 ax-cnre 11174 ax-pre-lttri 11175 ax-pre-lttrn 11176 ax-pre-ltadd 11177 ax-pre-mulgt0 11178 ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3746 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4288 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4874 df-iun 4959 df-br 5111 df-opab 5175 df-mpt 5194 df-tr 5220 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7369 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7864 df-2nd 7988 df-frecs 8279 df-wrecs 8310 df-recs 8359 df-rdg 8398 df-er 8695 df-en 8945 df-dom 8946 df-sdom 8947 df-sup 9403 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11444 df-neg 11445 df-div 11873 df-nn 12235 df-2 12304 df-3 12305 df-4 12306 df-n0 12506 df-z 12593 df-uz 12864 df-rp 13018 df-seq 14040 df-exp 14100 df-cj 15152 df-re 15153 df-im 15154 df-sqrt 15288 df-abs 15289

This theorem is referenced by: requad1 48364 requad2 48365

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