Theorem cndivrenred 47695

Description: The quotient of an imaginary number and a real number is not a real number. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
recnaddnred.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
recnaddnred.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
cndivrenred.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
cndivrenred	⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∉ ℝ)

Proof of Theorem cndivrenred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnaddnred.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
2	1	eldifbd 3916	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
3		df-nel 3038	. . 3 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∉ ℝ ↔ ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1	eldifad 3915	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		recnaddnred.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7		cndivrenred.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
8	4, 6, 7	divcld 11931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
9		reim0b 15056	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ → ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = 0))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = 0))
11	4	imcld 15132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
13	12, 6, 7	diveq0ad 11941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐵) / 𝐴) = 0 ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
14	5, 4, 7	imdivd 15167	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = ((ℑ‘𝐵) / 𝐴))
15	14	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = 0 ↔ ((ℑ‘𝐵) / 𝐴) = 0))
16		reim0b 15056	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
17	4, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
18	13, 15, 17	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = 0 ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
19	10, 18	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
20	19	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
21	3, 20	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) ∉ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
22	2, 21	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∉ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∉ wnel 3037   ∖ cdif 3900  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ℂcc 11038  ℝcr 11039  0cc0 11040   / cdiv 11808  ℑcim 15035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038

This theorem is referenced by:  requad01  48010