Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cndivrenred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cndivrenred 46686
Description: The quotient of an imaginary number and a real number is not a real number. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
recnaddnred.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
recnaddnred.b (𝜑𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
cndivrenred.n (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
cndivrenred (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∉ ℝ)

Proof of Theorem cndivrenred
StepHypRef Expression
1 recnaddnred.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
21eldifbd 3960 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
3 df-nel 3044 . . 3 ((𝐵 / 𝐴) ∉ ℝ ↔ ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
41eldifad 3959 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5 recnaddnred.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
65recnd 11272 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
7 cndivrenred.n . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ 0)
84, 6, 7divcld 12020 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
9 reim0b 15098 . . . . . 6 ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ → ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = 0))
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = 0))
114imcld 15174 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
1211recnd 11272 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
1312, 6, 7diveq0ad 12030 . . . . . 6 (𝜑 → (((ℑ‘𝐵) / 𝐴) = 0 ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
145, 4, 7imdivd 15209 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = ((ℑ‘𝐵) / 𝐴))
1514eqeq1d 2730 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = 0 ↔ ((ℑ‘𝐵) / 𝐴) = 0))
16 reim0b 15098 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
1813, 15, 173bitr4d 311 . . . . 5 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = 0 ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
1910, 18bitrd 279 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
2019notbid 318 . . 3 (𝜑 → (¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
213, 20bitrid 283 . 2 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) ∉ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
222, 21mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∉ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  wnel 3043  cdif 3944  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11136  cr 11137  0cc0 11138   / cdiv 11901  cim 15077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-2 12305  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080
This theorem is referenced by:  requad01  46961
  Copyright terms: Public domain W3C validator