Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cndivrenred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cndivrenred 44259
 Description: The quotient of an imaginary number and a real number is not a real number. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
recnaddnred.b (𝜑𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
cndivrenred.n (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
cndivrenred (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∉ ℝ)

Proof of Theorem cndivrenred
StepHypRef Expression
1 recnaddnred.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
21eldifbd 3873 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
3 df-nel 3056 . . 3 ((𝐵 / 𝐴) ∉ ℝ ↔ ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
41eldifad 3872 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5 recnaddnred.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
65recnd 10712 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
7 cndivrenred.n . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ 0)
84, 6, 7divcld 11459 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
9 reim0b 14531 . . . . . 6 ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ → ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = 0))
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = 0))
114imcld 14607 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
1211recnd 10712 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
1312, 6, 7diveq0ad 11469 . . . . . 6 (𝜑 → (((ℑ‘𝐵) / 𝐴) = 0 ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
145, 4, 7imdivd 14642 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = ((ℑ‘𝐵) / 𝐴))
1514eqeq1d 2760 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = 0 ↔ ((ℑ‘𝐵) / 𝐴) = 0))
16 reim0b 14531 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
1813, 15, 173bitr4d 314 . . . . 5 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = 0 ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
1910, 18bitrd 282 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
2019notbid 321 . . 3 (𝜑 → (¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
213, 20syl5bb 286 . 2 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) ∉ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
222, 21mpbird 260 1 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∉ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ∉ wnel 3055   ∖ cdif 3857  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ℂcc 10578  ℝcr 10579  0cc0 10580   / cdiv 11340  ℑcim 14510 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-id 5433  df-po 5446  df-so 5447  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-2 11742  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513 This theorem is referenced by:  requad01  44534
 Copyright terms: Public domain W3C validator