Theorem cndivrenred 48579

Description: The quotient of an imaginary number and a real number is not a real number. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
recnaddnred.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
recnaddnred.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
cndivrenred.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
cndivrenred	⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∉ ℝ)

Proof of Theorem cndivrenred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnaddnred.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
2	1	eldifbd 4055	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
3		df-nel 3066	. . 3 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∉ ℝ ↔ ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1	eldifad 4054	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		recnaddnred.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11361	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7		cndivrenred.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
8	4, 6, 7	divcld 12117	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
9		reim0b 15312	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ → ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = 0))
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = 0))
11	4	imcld 15388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11361	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
13	12, 6, 7	diveq0ad 12127	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐵) / 𝐴) = 0 ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
14	5, 4, 7	imdivd 15423	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = ((ℑ‘𝐵) / 𝐴))
15	14	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = 0 ↔ ((ℑ‘𝐵) / 𝐴) = 0))
16		reim0b 15312	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
17	4, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
18	13, 15, 17	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = 0 ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
19	10, 18	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
20	19	notbid 321	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
21	3, 20	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) ∉ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
22	2, 21	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∉ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∉ wnel 3065   ∖ cdif 4048  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  ℝcr 11223  0cc0 11224   / cdiv 11997  ℑcim 15291

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294

This theorem is used by:  requad01  48922