Theorem cndivrenred 47405

Description: The quotient of an imaginary number and a real number is not a real number. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
recnaddnred.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
recnaddnred.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
cndivrenred.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
cndivrenred	⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∉ ℝ)

Proof of Theorem cndivrenred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnaddnred.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
2	1	eldifbd 3910	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ℝ)
3		df-nel 3033	. . 3 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∉ ℝ ↔ ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ)
4	1	eldifad 3909	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		recnaddnred.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7		cndivrenred.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
8	4, 6, 7	divcld 11897	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
9		reim0b 15026	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ → ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = 0))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = 0))
11	4	imcld 15102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
13	12, 6, 7	diveq0ad 11907	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℑ‘𝐵) / 𝐴) = 0 ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
14	5, 4, 7	imdivd 15137	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = ((ℑ‘𝐵) / 𝐴))
15	14	eqeq1d 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = 0 ↔ ((ℑ‘𝐵) / 𝐴) = 0))
16		reim0b 15026	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
17	4, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐵) = 0))
18	13, 15, 17	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = 0 ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
19	10, 18	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ 𝐵 ∈ ℝ))
20	19	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
21	3, 20	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) ∉ ℝ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℝ))
22	2, 21	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∉ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∉ wnel 3032   ∖ cdif 3894  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006   / cdiv 11774  ℑcim 15005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008

This theorem is referenced by:  requad01  47720