Theorem sqrtnegnre 47257

Description: The square root of a negative number is not a real number. (Contributed by AV, 28-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtnegnre	⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘𝑋) ∉ ℝ)

Proof of Theorem sqrtnegnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
2	1	negnegd 11609	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → --𝑋 = 𝑋)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → --𝑋 = 𝑋)
4	3	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 𝑋 = --𝑋)
5	4	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘𝑋) = (√‘--𝑋))
6		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
7	6	renegcld 11688	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → -𝑋 ∈ ℝ)
8		0re 11261	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		ltle 11347	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑋 < 0 → 𝑋 ≤ 0))
10	8, 9	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 0 → 𝑋 ≤ 0))
11	10	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 𝑋 ≤ 0)
12		le0neg1 11769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑋))
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (𝑋 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑋))
14	11, 13	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 0 ≤ -𝑋)
15	7, 14	sqrtnegd 15457	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘--𝑋) = (i · (√‘-𝑋)))
16	5, 15	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘𝑋) = (i · (√‘-𝑋)))
17		ax-icn 11212	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → i ∈ ℂ)
19	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
20	19	negcld 11605	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → -𝑋 ∈ ℂ)
21	20	sqrtcld 15473	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘-𝑋) ∈ ℂ)
22	18, 21	mulcomd 11280	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (i · (√‘-𝑋)) = ((√‘-𝑋) · i))
23	7, 14	resqrtcld 15453	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘-𝑋) ∈ ℝ)
24		inelr 12254	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ¬ i ∈ ℝ)
26	18, 25	eldifd 3974	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → i ∈ (ℂ ∖ ℝ))
27		lt0neg1 11767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 0 ↔ 0 < -𝑋))
28	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
29		ltne 11356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → -𝑋 ≠ 0)
30	28, 29	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → -𝑋 ≠ 0)
31		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
32	31	renegcld 11688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → -𝑋 ∈ ℝ)
33	10, 27, 12	3imtr3d 293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (0 < -𝑋 → 0 ≤ -𝑋))
34	33	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → 0 ≤ -𝑋)
35		sqrt00 15299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝑋) → ((√‘-𝑋) = 0 ↔ -𝑋 = 0))
36	32, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → ((√‘-𝑋) = 0 ↔ -𝑋 = 0))
37	36	bicomd 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → (-𝑋 = 0 ↔ (√‘-𝑋) = 0))
38	37	necon3bid 2983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → (-𝑋 ≠ 0 ↔ (√‘-𝑋) ≠ 0))
39	30, 38	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → (√‘-𝑋) ≠ 0)
40	39	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (0 < -𝑋 → (√‘-𝑋) ≠ 0))
41	27, 40	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 0 → (√‘-𝑋) ≠ 0))
42	41	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘-𝑋) ≠ 0)
43	23, 26, 42	recnmulnred 47255	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ((√‘-𝑋) · i) ∉ ℝ)
44		df-nel 3045	. . . . 5 ⊢ (((√‘-𝑋) · i) ∉ ℝ ↔ ¬ ((√‘-𝑋) · i) ∈ ℝ)
45	43, 44	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ¬ ((√‘-𝑋) · i) ∈ ℝ)
46	22, 45	eqneltrd 2859	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ¬ (i · (√‘-𝑋)) ∈ ℝ)
47	16, 46	eqneltrd 2859	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ¬ (√‘𝑋) ∈ ℝ)
48		df-nel 3045	. 2 ⊢ ((√‘𝑋) ∉ ℝ ↔ ¬ (√‘𝑋) ∈ ℝ)
49	47, 48	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘𝑋) ∉ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∉ wnel 3044   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  ici 11155   · cmul 11158   < clt 11293   ≤ cle 11294  -cneg 11491  √csqrt 15269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272

This theorem is referenced by: (None)