Theorem sqrtnegnre 48513

Description: The square root of a negative number is not a real number. (Contributed by AV, 28-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtnegnre	⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘𝑋) ∉ ℝ)

Proof of Theorem sqrtnegnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
2	1	negnegd 11667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → - -𝑋 = 𝑋)
3	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → - -𝑋 = 𝑋)
4	3	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 𝑋 = - -𝑋)
5	4	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘𝑋) = (√‘ - -𝑋))
6		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
7	6	renegcld 11750	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → -𝑋 ∈ ℝ)
8		0re 11317	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		ltle 11405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑋 < 0 → 𝑋 ≤ 0))
10	8, 9	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 0 → 𝑋 ≤ 0))
11	10	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 𝑋 ≤ 0)
12		le0neg1 11831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑋))
13	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (𝑋 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑋))
14	11, 13	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 0 ≤ -𝑋)
15	7, 14	sqrtnegd 15598	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘ - -𝑋) = (i · (√‘ -𝑋)))
16	5, 15	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘𝑋) = (i · (√‘ -𝑋)))
17		ax-icn 11266	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → i ∈ ℂ)
19	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
20	19	negcld 11663	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → -𝑋 ∈ ℂ)
21	20	sqrtcld 15616	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘ -𝑋) ∈ ℂ)
22	18, 21	mulcomd 11337	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (i · (√‘ -𝑋)) = ((√‘ -𝑋) · i))
23	7, 14	resqrtcld 15594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘ -𝑋) ∈ ℝ)
24		inelr 12317	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ¬ i ∈ ℝ)
26	18, 25	eldifd 4049	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → i ∈ (ℂ ∖ ℝ))
27		lt0neg1 11829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 0 ↔ 0 < -𝑋))
28	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
29		ltne 11414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → -𝑋 ≠ 0)
30	28, 29	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → -𝑋 ≠ 0)
31		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
32	31	renegcld 11750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → -𝑋 ∈ ℝ)
33	10, 27, 12	3imtr3d 296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (0 < -𝑋 → 0 ≤ -𝑋))
34	33	imp 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → 0 ≤ -𝑋)
35		sqrt00 15439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝑋) → ((√‘ -𝑋) = 0 ↔ -𝑋 = 0))
36	32, 34, 35	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → ((√‘ -𝑋) = 0 ↔ -𝑋 = 0))
37	36	bicomd 226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → ( -𝑋 = 0 ↔ (√‘ -𝑋) = 0))
38	37	necon3bid 2999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → ( -𝑋 ≠ 0 ↔ (√‘ -𝑋) ≠ 0))
39	30, 38	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → (√‘ -𝑋) ≠ 0)
40	39	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (0 < -𝑋 → (√‘ -𝑋) ≠ 0))
41	27, 40	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 0 → (√‘ -𝑋) ≠ 0))
42	41	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘ -𝑋) ≠ 0)
43	23, 26, 42	recnmulnred 48511	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ((√‘ -𝑋) · i) ∉ ℝ)
44		df-nel 3062	. . . . 5 ⊢ (((√‘ -𝑋) · i) ∉ ℝ ↔ ¬ ((√‘ -𝑋) · i) ∈ ℝ)
45	43, 44	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ¬ ((√‘ -𝑋) · i) ∈ ℝ)
46	22, 45	eqneltrd 2880	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ¬ (i · (√‘ -𝑋)) ∈ ℝ)
47	16, 46	eqneltrd 2880	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ¬ (√‘𝑋) ∈ ℝ)
48		df-nel 3062	. 2 ⊢ ((√‘𝑋) ∉ ℝ ↔ ¬ (√‘𝑋) ∈ ℝ)
49	47, 48	sylibr 237	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘𝑋) ∉ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∉ wnel 3061   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207  ici 11209   · cmul 11212   < clt 11350   ≤ cle 11351   -cneg 11549  √csqrt 15409

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-sup 9441  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412

This theorem is used by: (None)