Theorem sqrtnegnre 45529

Description: The square root of a negative number is not a real number. (Contributed by AV, 28-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtnegnre	⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘𝑋) ∉ ℝ)

Proof of Theorem sqrtnegnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
2	1	negnegd 11503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → --𝑋 = 𝑋)
3	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → --𝑋 = 𝑋)
4	3	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 𝑋 = --𝑋)
5	4	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘𝑋) = (√‘--𝑋))
6		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
7	6	renegcld 11582	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → -𝑋 ∈ ℝ)
8		0re 11157	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		ltle 11243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑋 < 0 → 𝑋 ≤ 0))
10	8, 9	mpan2 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 0 → 𝑋 ≤ 0))
11	10	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 𝑋 ≤ 0)
12		le0neg1 11663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑋))
13	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (𝑋 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑋))
14	11, 13	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 0 ≤ -𝑋)
15	7, 14	sqrtnegd 15306	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘--𝑋) = (i · (√‘-𝑋)))
16	5, 15	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘𝑋) = (i · (√‘-𝑋)))
17		ax-icn 11110	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → i ∈ ℂ)
19	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
20	19	negcld 11499	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → -𝑋 ∈ ℂ)
21	20	sqrtcld 15322	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘-𝑋) ∈ ℂ)
22	18, 21	mulcomd 11176	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (i · (√‘-𝑋)) = ((√‘-𝑋) · i))
23	7, 14	resqrtcld 15302	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘-𝑋) ∈ ℝ)
24		inelr 12143	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ¬ i ∈ ℝ)
26	18, 25	eldifd 3921	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → i ∈ (ℂ ∖ ℝ))
27		lt0neg1 11661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 0 ↔ 0 < -𝑋))
28	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
29		ltne 11252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → -𝑋 ≠ 0)
30	28, 29	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → -𝑋 ≠ 0)
31		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
32	31	renegcld 11582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → -𝑋 ∈ ℝ)
33	10, 27, 12	3imtr3d 292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (0 < -𝑋 → 0 ≤ -𝑋))
34	33	imp 407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → 0 ≤ -𝑋)
35		sqrt00 15148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝑋) → ((√‘-𝑋) = 0 ↔ -𝑋 = 0))
36	32, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → ((√‘-𝑋) = 0 ↔ -𝑋 = 0))
37	36	bicomd 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → (-𝑋 = 0 ↔ (√‘-𝑋) = 0))
38	37	necon3bid 2988	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → (-𝑋 ≠ 0 ↔ (√‘-𝑋) ≠ 0))
39	30, 38	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → (√‘-𝑋) ≠ 0)
40	39	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (0 < -𝑋 → (√‘-𝑋) ≠ 0))
41	27, 40	sylbid 239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 0 → (√‘-𝑋) ≠ 0))
42	41	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘-𝑋) ≠ 0)
43	23, 26, 42	recnmulnred 45527	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ((√‘-𝑋) · i) ∉ ℝ)
44		df-nel 3050	. . . . 5 ⊢ (((√‘-𝑋) · i) ∉ ℝ ↔ ¬ ((√‘-𝑋) · i) ∈ ℝ)
45	43, 44	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ¬ ((√‘-𝑋) · i) ∈ ℝ)
46	22, 45	eqneltrd 2857	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ¬ (i · (√‘-𝑋)) ∈ ℝ)
47	16, 46	eqneltrd 2857	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ¬ (√‘𝑋) ∈ ℝ)
48		df-nel 3050	. 2 ⊢ ((√‘𝑋) ∉ ℝ ↔ ¬ (√‘𝑋) ∈ ℝ)
49	47, 48	sylibr 233	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘𝑋) ∉ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∉ wnel 3049   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  ici 11053   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190  -cneg 11386  √csqrt 15118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121

This theorem is referenced by: (None)