Theorem sqrtnegnre 48104

Description: The square root of a negative number is not a real number. (Contributed by AV, 28-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtnegnre	⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘𝑋) ∉ ℝ)

Proof of Theorem sqrtnegnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
2	1	negnegd 11577	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → --𝑋 = 𝑋)
3	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → --𝑋 = 𝑋)
4	3	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 𝑋 = --𝑋)
5	4	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘𝑋) = (√‘--𝑋))
6		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
7	6	renegcld 11658	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → -𝑋 ∈ ℝ)
8		0re 11227	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		ltle 11315	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑋 < 0 → 𝑋 ≤ 0))
10	8, 9	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 0 → 𝑋 ≤ 0))
11	10	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 𝑋 ≤ 0)
12		le0neg1 11739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑋))
13	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (𝑋 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑋))
14	11, 13	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 0 ≤ -𝑋)
15	7, 14	sqrtnegd 15499	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘--𝑋) = (i · (√‘-𝑋)))
16	5, 15	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘𝑋) = (i · (√‘-𝑋)))
17		ax-icn 11176	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → i ∈ ℂ)
19	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
20	19	negcld 11573	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → -𝑋 ∈ ℂ)
21	20	sqrtcld 15517	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘-𝑋) ∈ ℂ)
22	18, 21	mulcomd 11247	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (i · (√‘-𝑋)) = ((√‘-𝑋) · i))
23	7, 14	resqrtcld 15495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘-𝑋) ∈ ℝ)
24		inelr 12225	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ¬ i ∈ ℝ)
26	18, 25	eldifd 3917	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → i ∈ (ℂ ∖ ℝ))
27		lt0neg1 11737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 0 ↔ 0 < -𝑋))
28	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
29		ltne 11324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → -𝑋 ≠ 0)
30	28, 29	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → -𝑋 ≠ 0)
31		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
32	31	renegcld 11658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → -𝑋 ∈ ℝ)
33	10, 27, 12	3imtr3d 296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (0 < -𝑋 → 0 ≤ -𝑋))
34	33	imp 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → 0 ≤ -𝑋)
35		sqrt00 15340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝑋) → ((√‘-𝑋) = 0 ↔ -𝑋 = 0))
36	32, 34, 35	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → ((√‘-𝑋) = 0 ↔ -𝑋 = 0))
37	36	bicomd 226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → (-𝑋 = 0 ↔ (√‘-𝑋) = 0))
38	37	necon3bid 3004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → (-𝑋 ≠ 0 ↔ (√‘-𝑋) ≠ 0))
39	30, 38	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → (√‘-𝑋) ≠ 0)
40	39	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (0 < -𝑋 → (√‘-𝑋) ≠ 0))
41	27, 40	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 0 → (√‘-𝑋) ≠ 0))
42	41	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘-𝑋) ≠ 0)
43	23, 26, 42	recnmulnred 48102	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ((√‘-𝑋) · i) ∉ ℝ)
44		df-nel 3067	. . . . 5 ⊢ (((√‘-𝑋) · i) ∉ ℝ ↔ ¬ ((√‘-𝑋) · i) ∈ ℝ)
45	43, 44	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ¬ ((√‘-𝑋) · i) ∈ ℝ)
46	22, 45	eqneltrd 2885	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ¬ (i · (√‘-𝑋)) ∈ ℝ)
47	16, 46	eqneltrd 2885	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ¬ (√‘𝑋) ∈ ℝ)
48		df-nel 3067	. 2 ⊢ ((√‘𝑋) ∉ ℝ ↔ ¬ (√‘𝑋) ∈ ℝ)
49	47, 48	sylibr 237	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘𝑋) ∉ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∉ wnel 3066   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  ℝcr 11116  0cc0 11117  ici 11119   · cmul 11122   < clt 11260   ≤ cle 11261  -cneg 11459  √csqrt 15310

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313

This theorem is used by: (None)