Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqrtnegnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtnegnre 46749
Description: The square root of a negative number is not a real number. (Contributed by AV, 28-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
sqrtnegnre ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘‹) โˆ‰ โ„)

Proof of Theorem sqrtnegnre
StepHypRef Expression
1 recn 11226 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
21negnegd 11590 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ --๐‘‹ = ๐‘‹)
32adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ --๐‘‹ = ๐‘‹)
43eqcomd 2731 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ ๐‘‹ = --๐‘‹)
54fveq2d 6895 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘‹) = (โˆšโ€˜--๐‘‹))
6 simpl 481 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
76renegcld 11669 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ -๐‘‹ โˆˆ โ„)
8 0re 11244 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
9 ltle 11330 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘‹ < 0 โ†’ ๐‘‹ โ‰ค 0))
108, 9mpan2 689 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‹ < 0 โ†’ ๐‘‹ โ‰ค 0))
1110imp 405 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ ๐‘‹ โ‰ค 0)
12 le0neg1 11750 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‹ โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐‘‹))
1312adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ (๐‘‹ โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐‘‹))
1411, 13mpbid 231 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ 0 โ‰ค -๐‘‹)
157, 14sqrtnegd 15398 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ (โˆšโ€˜--๐‘‹) = (i ยท (โˆšโ€˜-๐‘‹)))
165, 15eqtrd 2765 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘‹) = (i ยท (โˆšโ€˜-๐‘‹)))
17 ax-icn 11195 . . . . . 6 i โˆˆ โ„‚
1817a1i 11 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
191adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
2019negcld 11586 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ -๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
2120sqrtcld 15414 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ (โˆšโ€˜-๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
2218, 21mulcomd 11263 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ (i ยท (โˆšโ€˜-๐‘‹)) = ((โˆšโ€˜-๐‘‹) ยท i))
237, 14resqrtcld 15394 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ (โˆšโ€˜-๐‘‹) โˆˆ โ„)
24 inelr 12230 . . . . . . . 8 ยฌ i โˆˆ โ„
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ ยฌ i โˆˆ โ„)
2618, 25eldifd 3951 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ i โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„))
27 lt0neg1 11748 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‹ < 0 โ†” 0 < -๐‘‹))
288a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
29 ltne 11339 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐‘‹) โ†’ -๐‘‹ โ‰  0)
3028, 29sylan 578 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐‘‹) โ†’ -๐‘‹ โ‰  0)
31 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐‘‹) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
3231renegcld 11669 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐‘‹) โ†’ -๐‘‹ โˆˆ โ„)
3310, 27, 123imtr3d 292 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (0 < -๐‘‹ โ†’ 0 โ‰ค -๐‘‹))
3433imp 405 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐‘‹) โ†’ 0 โ‰ค -๐‘‹)
35 sqrt00 15240 . . . . . . . . . . . . 13 ((-๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค -๐‘‹) โ†’ ((โˆšโ€˜-๐‘‹) = 0 โ†” -๐‘‹ = 0))
3632, 34, 35syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐‘‹) โ†’ ((โˆšโ€˜-๐‘‹) = 0 โ†” -๐‘‹ = 0))
3736bicomd 222 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐‘‹) โ†’ (-๐‘‹ = 0 โ†” (โˆšโ€˜-๐‘‹) = 0))
3837necon3bid 2975 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐‘‹) โ†’ (-๐‘‹ โ‰  0 โ†” (โˆšโ€˜-๐‘‹) โ‰  0))
3930, 38mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐‘‹) โ†’ (โˆšโ€˜-๐‘‹) โ‰  0)
4039ex 411 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (0 < -๐‘‹ โ†’ (โˆšโ€˜-๐‘‹) โ‰  0))
4127, 40sylbid 239 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‹ < 0 โ†’ (โˆšโ€˜-๐‘‹) โ‰  0))
4241imp 405 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ (โˆšโ€˜-๐‘‹) โ‰  0)
4323, 26, 42recnmulnred 46747 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ ((โˆšโ€˜-๐‘‹) ยท i) โˆ‰ โ„)
44 df-nel 3037 . . . . 5 (((โˆšโ€˜-๐‘‹) ยท i) โˆ‰ โ„ โ†” ยฌ ((โˆšโ€˜-๐‘‹) ยท i) โˆˆ โ„)
4543, 44sylib 217 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ ยฌ ((โˆšโ€˜-๐‘‹) ยท i) โˆˆ โ„)
4622, 45eqneltrd 2845 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ ยฌ (i ยท (โˆšโ€˜-๐‘‹)) โˆˆ โ„)
4716, 46eqneltrd 2845 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ ยฌ (โˆšโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„)
48 df-nel 3037 . 2 ((โˆšโ€˜๐‘‹) โˆ‰ โ„ โ†” ยฌ (โˆšโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„)
4947, 48sylibr 233 1 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘‹) โˆ‰ โ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930   โˆ‰ wnel 3036   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  โ„‚cc 11134  โ„cr 11135  0cc0 11136  ici 11138   ยท cmul 11141   < clt 11276   โ‰ค cle 11277  -cneg 11473  โˆšcsqrt 15210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator