Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqrtnegnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtnegnre 46592
Description: The square root of a negative number is not a real number. (Contributed by AV, 28-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
sqrtnegnre ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘‹) โˆ‰ โ„)

Proof of Theorem sqrtnegnre
StepHypRef Expression
1 recn 11202 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
21negnegd 11566 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ --๐‘‹ = ๐‘‹)
32adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ --๐‘‹ = ๐‘‹)
43eqcomd 2732 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ ๐‘‹ = --๐‘‹)
54fveq2d 6889 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘‹) = (โˆšโ€˜--๐‘‹))
6 simpl 482 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
76renegcld 11645 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ -๐‘‹ โˆˆ โ„)
8 0re 11220 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
9 ltle 11306 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘‹ < 0 โ†’ ๐‘‹ โ‰ค 0))
108, 9mpan2 688 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‹ < 0 โ†’ ๐‘‹ โ‰ค 0))
1110imp 406 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ ๐‘‹ โ‰ค 0)
12 le0neg1 11726 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‹ โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐‘‹))
1312adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ (๐‘‹ โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐‘‹))
1411, 13mpbid 231 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ 0 โ‰ค -๐‘‹)
157, 14sqrtnegd 15374 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ (โˆšโ€˜--๐‘‹) = (i ยท (โˆšโ€˜-๐‘‹)))
165, 15eqtrd 2766 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘‹) = (i ยท (โˆšโ€˜-๐‘‹)))
17 ax-icn 11171 . . . . . 6 i โˆˆ โ„‚
1817a1i 11 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
191adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
2019negcld 11562 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ -๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
2120sqrtcld 15390 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ (โˆšโ€˜-๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
2218, 21mulcomd 11239 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ (i ยท (โˆšโ€˜-๐‘‹)) = ((โˆšโ€˜-๐‘‹) ยท i))
237, 14resqrtcld 15370 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ (โˆšโ€˜-๐‘‹) โˆˆ โ„)
24 inelr 12206 . . . . . . . 8 ยฌ i โˆˆ โ„
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ ยฌ i โˆˆ โ„)
2618, 25eldifd 3954 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ i โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„))
27 lt0neg1 11724 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‹ < 0 โ†” 0 < -๐‘‹))
288a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
29 ltne 11315 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐‘‹) โ†’ -๐‘‹ โ‰  0)
3028, 29sylan 579 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐‘‹) โ†’ -๐‘‹ โ‰  0)
31 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐‘‹) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
3231renegcld 11645 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐‘‹) โ†’ -๐‘‹ โˆˆ โ„)
3310, 27, 123imtr3d 293 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (0 < -๐‘‹ โ†’ 0 โ‰ค -๐‘‹))
3433imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐‘‹) โ†’ 0 โ‰ค -๐‘‹)
35 sqrt00 15216 . . . . . . . . . . . . 13 ((-๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค -๐‘‹) โ†’ ((โˆšโ€˜-๐‘‹) = 0 โ†” -๐‘‹ = 0))
3632, 34, 35syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐‘‹) โ†’ ((โˆšโ€˜-๐‘‹) = 0 โ†” -๐‘‹ = 0))
3736bicomd 222 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐‘‹) โ†’ (-๐‘‹ = 0 โ†” (โˆšโ€˜-๐‘‹) = 0))
3837necon3bid 2979 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐‘‹) โ†’ (-๐‘‹ โ‰  0 โ†” (โˆšโ€˜-๐‘‹) โ‰  0))
3930, 38mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐‘‹) โ†’ (โˆšโ€˜-๐‘‹) โ‰  0)
4039ex 412 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (0 < -๐‘‹ โ†’ (โˆšโ€˜-๐‘‹) โ‰  0))
4127, 40sylbid 239 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘‹ < 0 โ†’ (โˆšโ€˜-๐‘‹) โ‰  0))
4241imp 406 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ (โˆšโ€˜-๐‘‹) โ‰  0)
4323, 26, 42recnmulnred 46590 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ ((โˆšโ€˜-๐‘‹) ยท i) โˆ‰ โ„)
44 df-nel 3041 . . . . 5 (((โˆšโ€˜-๐‘‹) ยท i) โˆ‰ โ„ โ†” ยฌ ((โˆšโ€˜-๐‘‹) ยท i) โˆˆ โ„)
4543, 44sylib 217 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ ยฌ ((โˆšโ€˜-๐‘‹) ยท i) โˆˆ โ„)
4622, 45eqneltrd 2847 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ ยฌ (i ยท (โˆšโ€˜-๐‘‹)) โˆˆ โ„)
4716, 46eqneltrd 2847 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ ยฌ (โˆšโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„)
48 df-nel 3041 . 2 ((โˆšโ€˜๐‘‹) โˆ‰ โ„ โ†” ยฌ (โˆšโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„)
4947, 48sylibr 233 1 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < 0) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘‹) โˆ‰ โ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   โˆ‰ wnel 3040   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  ici 11114   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253  -cneg 11449  โˆšcsqrt 15186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator