Theorem sqrtnegnre 44687

Description: The square root of a negative number is not a real number. (Contributed by AV, 28-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtnegnre	⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘𝑋) ∉ ℝ)

Proof of Theorem sqrtnegnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 10892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
2	1	negnegd 11253	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → --𝑋 = 𝑋)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → --𝑋 = 𝑋)
4	3	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 𝑋 = --𝑋)
5	4	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘𝑋) = (√‘--𝑋))
6		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
7	6	renegcld 11332	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → -𝑋 ∈ ℝ)
8		0re 10908	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		ltle 10994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑋 < 0 → 𝑋 ≤ 0))
10	8, 9	mpan2 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 0 → 𝑋 ≤ 0))
11	10	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 𝑋 ≤ 0)
12		le0neg1 11413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑋))
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (𝑋 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑋))
14	11, 13	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 0 ≤ -𝑋)
15	7, 14	sqrtnegd 15061	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘--𝑋) = (i · (√‘-𝑋)))
16	5, 15	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘𝑋) = (i · (√‘-𝑋)))
17		ax-icn 10861	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → i ∈ ℂ)
19	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
20	19	negcld 11249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → -𝑋 ∈ ℂ)
21	20	sqrtcld 15077	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘-𝑋) ∈ ℂ)
22	18, 21	mulcomd 10927	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (i · (√‘-𝑋)) = ((√‘-𝑋) · i))
23	7, 14	resqrtcld 15057	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘-𝑋) ∈ ℝ)
24		inelr 11893	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ¬ i ∈ ℝ)
26	18, 25	eldifd 3894	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → i ∈ (ℂ ∖ ℝ))
27		lt0neg1 11411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 0 ↔ 0 < -𝑋))
28	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
29		ltne 11002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → -𝑋 ≠ 0)
30	28, 29	sylan 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → -𝑋 ≠ 0)
31		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
32	31	renegcld 11332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → -𝑋 ∈ ℝ)
33	10, 27, 12	3imtr3d 292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (0 < -𝑋 → 0 ≤ -𝑋))
34	33	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → 0 ≤ -𝑋)
35		sqrt00 14903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝑋) → ((√‘-𝑋) = 0 ↔ -𝑋 = 0))
36	32, 34, 35	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → ((√‘-𝑋) = 0 ↔ -𝑋 = 0))
37	36	bicomd 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → (-𝑋 = 0 ↔ (√‘-𝑋) = 0))
38	37	necon3bid 2987	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → (-𝑋 ≠ 0 ↔ (√‘-𝑋) ≠ 0))
39	30, 38	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝑋) → (√‘-𝑋) ≠ 0)
40	39	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (0 < -𝑋 → (√‘-𝑋) ≠ 0))
41	27, 40	sylbid 239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 0 → (√‘-𝑋) ≠ 0))
42	41	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘-𝑋) ≠ 0)
43	23, 26, 42	recnmulnred 44685	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ((√‘-𝑋) · i) ∉ ℝ)
44		df-nel 3049	. . . . 5 ⊢ (((√‘-𝑋) · i) ∉ ℝ ↔ ¬ ((√‘-𝑋) · i) ∈ ℝ)
45	43, 44	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ¬ ((√‘-𝑋) · i) ∈ ℝ)
46	22, 45	eqneltrd 2858	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ¬ (i · (√‘-𝑋)) ∈ ℝ)
47	16, 46	eqneltrd 2858	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → ¬ (√‘𝑋) ∈ ℝ)
48		df-nel 3049	. 2 ⊢ ((√‘𝑋) ∉ ℝ ↔ ¬ (√‘𝑋) ∈ ℝ)
49	47, 48	sylibr 233	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 0) → (√‘𝑋) ∉ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∉ wnel 3048   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  ici 10804   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941  -cneg 11136  √csqrt 14872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875

This theorem is referenced by: (None)