Theorem reccl 11886

Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reccl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem reccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11174	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		divcl 11885	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mp3an1 1447	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  0cc0 11116  1c1 11117   / cdiv 11878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879

This theorem is referenced by:  divrec  11895  divrec2  11896  divass  11897  divdir  11904  divneg  11913  recrec  11918  rec11  11919  divdiv32  11929  conjmul  11938  recclzi  11946  reccld  11990  expclzlem  14056  exprec  14076  expdiv  14086  rlimdiv  15599  geoisumr  15831  cndrng  21178  divcnOLD  24617  divccn  24624  divccnOLD  24626  divccncf  24659  dvexp3  25743  quotlem  26063  quotcl2  26065  quotdgr  26066  aareccl  26089  logtayllem  26418  logtayl  26419  cxpeq  26516  logrec  26519  dchrisum0lem2a  27271  dchrisum0lem2  27272  mulogsum  27286  pntlemr  27356  axcontlem2  28505  nvmul0or  30185  hvmul0or  30560  h1datomi  31116  nmopleid  31674