Theorem logrec 26698

Description: Logarithm of a reciprocal changes sign. (Contributed by Saveliy Skresanov, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logrec	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘𝐴) = -(log‘(1 / 𝐴)))

Proof of Theorem logrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reccl 11780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
2		recne0 11786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ≠ 0)
3		eflog 26510	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐴) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 / 𝐴))) = (1 / 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 / 𝐴))) = (1 / 𝐴))
5	4	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) = (exp‘(log‘(1 / 𝐴))))
6	5	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝐴)) = (1 / (exp‘(log‘(1 / 𝐴)))))
7		eflog 26510	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
8		recrec 11815	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴)
9	7, 8	eqtr4d 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = (1 / (1 / 𝐴)))
10	1, 2	logcld 26504	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘(1 / 𝐴)) ∈ ℂ)
11		efneg 16004	. . . . . 6 ⊢ ((log‘(1 / 𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘-(log‘(1 / 𝐴))) = (1 / (exp‘(log‘(1 / 𝐴)))))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘-(log‘(1 / 𝐴))) = (1 / (exp‘(log‘(1 / 𝐴)))))
13	6, 9, 12	3eqtr4d 2776	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = (exp‘-(log‘(1 / 𝐴))))
14	13	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (exp‘(log‘𝐴)) = (exp‘-(log‘(1 / 𝐴))))
15	14	fveq2d 6826	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘(exp‘(log‘𝐴))) = (log‘(exp‘-(log‘(1 / 𝐴)))))
16		logrncl 26501	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ran log)
17	16	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘𝐴) ∈ ran log)
18		logef 26515	. . 3 ⊢ ((log‘𝐴) ∈ ran log → (log‘(exp‘(log‘𝐴))) = (log‘𝐴))
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘(exp‘(log‘𝐴))) = (log‘𝐴))
20		df-ne 2929	. . . . 5 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π ↔ ¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π)
21		lognegb 26524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐴) ≠ 0) → (-(1 / 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π))
22	1, 2, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-(1 / 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π))
23	22	biimprd 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π → -(1 / 𝐴) ∈ ℝ+))
24		ax-1cn 11061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
25		divneg2 11842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -(1 / 𝐴) = (1 / -𝐴))
26	24, 25	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -(1 / 𝐴) = (1 / -𝐴))
27	26	eleq1d 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-(1 / 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ (1 / -𝐴) ∈ ℝ+))
28	23, 27	sylibd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π → (1 / -𝐴) ∈ ℝ+))
29		negcl 11357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
30		negeq0 11412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
31	30	necon3bid 2972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ -𝐴 ≠ 0))
32	31	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -𝐴 ≠ 0)
33		rpreccl 12915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / -𝐴) ∈ ℝ+ → (1 / (1 / -𝐴)) ∈ ℝ+)
34		recrec 11815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0) → (1 / (1 / -𝐴)) = -𝐴)
35	34	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0) → ((1 / (1 / -𝐴)) ∈ ℝ+ ↔ -𝐴 ∈ ℝ+))
36	33, 35	imbitrid 244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0) → ((1 / -𝐴) ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ+))
37	29, 32, 36	syl2an2r 685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / -𝐴) ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ+))
38	28, 37	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π → -𝐴 ∈ ℝ+))
39		lognegb 26524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
40	38, 39	sylibd 239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π → (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
41	40	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π → ¬ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π))
42	41	3impia 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ ¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π) → ¬ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π)
43	20, 42	syl3an3b 1407	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → ¬ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π)
44		logrncl 26501	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐴) ≠ 0) → (log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log)
45	1, 2, 44	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log)
46		logreclem 26697	. . . . 5 ⊢ (((log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log ∧ ¬ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π) → -(log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log)
47	45, 46	stoic3 1777	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ ¬ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π) → -(log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log)
48	43, 47	syld3an3 1411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → -(log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log)
49		logef 26515	. . 3 ⊢ (-(log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log → (log‘(exp‘-(log‘(1 / 𝐴)))) = -(log‘(1 / 𝐴)))
50	48, 49	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘(exp‘-(log‘(1 / 𝐴)))) = -(log‘(1 / 𝐴)))
51	15, 19, 50	3eqtr3d 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘𝐴) = -(log‘(1 / 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ran crn 5617  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003  1c1 11004  -cneg 11342   / cdiv 11771  ℝ⁺crp 12887  ℑcim 15002  expce 15965  πcpi 15970  logclog 26488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ioo 13246  df-ioc 13247  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-fac 14178  df-bc 14207  df-hash 14235  df-shft 14971  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-limsup 15375  df-clim 15392  df-rlim 15393  df-sum 15591  df-ef 15971  df-sin 15973  df-cos 15974  df-pi 15976  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-pt 17345  df-prds 17348  df-xrs 17403  df-qtop 17408  df-imas 17409  df-xps 17411  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-mulg 18978  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-fbas 21286  df-fg 21287  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cld 22932  df-ntr 22933  df-cls 22934  df-nei 23011  df-lp 23049  df-perf 23050  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-haus 23228  df-tx 23475  df-hmeo 23668  df-fil 23759  df-fm 23851  df-flim 23852  df-flf 23853  df-xms 24233  df-ms 24234  df-tms 24235  df-cncf 24796  df-limc 25792  df-dv 25793  df-log 26490

This theorem is referenced by:  logbrec  26717  isosctrlem2  26754  arginv  32726