MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logrec 24903
Description: Logarithm of a reciprocal changes sign. (Contributed by Saveliy Skresanov, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
logrec ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘𝐴) = -(log‘(1 / 𝐴)))

Proof of Theorem logrec
StepHypRef Expression
1 reccl 11017 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
2 recne0 11023 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ≠ 0)
3 eflog 24722 . . . . . . . 8 (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐴) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 / 𝐴))) = (1 / 𝐴))
41, 2, 3syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 / 𝐴))) = (1 / 𝐴))
54eqcomd 2831 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) = (exp‘(log‘(1 / 𝐴))))
65oveq2d 6921 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝐴)) = (1 / (exp‘(log‘(1 / 𝐴)))))
7 eflog 24722 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
8 recrec 11048 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴)
97, 8eqtr4d 2864 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = (1 / (1 / 𝐴)))
101, 2logcld 24716 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘(1 / 𝐴)) ∈ ℂ)
11 efneg 15200 . . . . . 6 ((log‘(1 / 𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘-(log‘(1 / 𝐴))) = (1 / (exp‘(log‘(1 / 𝐴)))))
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘-(log‘(1 / 𝐴))) = (1 / (exp‘(log‘(1 / 𝐴)))))
136, 9, 123eqtr4d 2871 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = (exp‘-(log‘(1 / 𝐴))))
14133adant3 1166 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (exp‘(log‘𝐴)) = (exp‘-(log‘(1 / 𝐴))))
1514fveq2d 6437 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘(exp‘(log‘𝐴))) = (log‘(exp‘-(log‘(1 / 𝐴)))))
16 logrncl 24713 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ran log)
17163adant3 1166 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘𝐴) ∈ ran log)
18 logef 24727 . . 3 ((log‘𝐴) ∈ ran log → (log‘(exp‘(log‘𝐴))) = (log‘𝐴))
1917, 18syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘(exp‘(log‘𝐴))) = (log‘𝐴))
20 df-ne 3000 . . . . 5 ((ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π ↔ ¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π)
21 lognegb 24735 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐴) ≠ 0) → (-(1 / 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π))
221, 2, 21syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-(1 / 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π))
2322biimprd 240 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π → -(1 / 𝐴) ∈ ℝ+))
24 ax-1cn 10310 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
25 divneg2 11075 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -(1 / 𝐴) = (1 / -𝐴))
2624, 25mp3an1 1576 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -(1 / 𝐴) = (1 / -𝐴))
2726eleq1d 2891 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-(1 / 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ (1 / -𝐴) ∈ ℝ+))
2823, 27sylibd 231 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π → (1 / -𝐴) ∈ ℝ+))
29 negcl 10601 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3029adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
31 negeq0 10656 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
3231necon3bid 3043 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ -𝐴 ≠ 0))
3332biimpa 470 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -𝐴 ≠ 0)
34 rpreccl 12140 . . . . . . . . . . 11 ((1 / -𝐴) ∈ ℝ+ → (1 / (1 / -𝐴)) ∈ ℝ+)
35 recrec 11048 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0) → (1 / (1 / -𝐴)) = -𝐴)
3635eleq1d 2891 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0) → ((1 / (1 / -𝐴)) ∈ ℝ+ ↔ -𝐴 ∈ ℝ+))
3734, 36syl5ib 236 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0) → ((1 / -𝐴) ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ+))
3830, 33, 37syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / -𝐴) ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ+))
3928, 38syld 47 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π → -𝐴 ∈ ℝ+))
40 lognegb 24735 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
4139, 40sylibd 231 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π → (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
4241con3d 150 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π → ¬ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π))
43423impia 1149 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ ¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π) → ¬ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π)
4420, 43syl3an3b 1528 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → ¬ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π)
45 logrncl 24713 . . . . . 6 (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐴) ≠ 0) → (log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log)
461, 2, 45syl2anc 579 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log)
47 logreclem 24902 . . . . 5 (((log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log ∧ ¬ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π) → -(log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log)
4846, 47stoic3 1875 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ ¬ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π) → -(log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log)
4944, 48syld3an3 1532 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → -(log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log)
50 logef 24727 . . 3 (-(log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log → (log‘(exp‘-(log‘(1 / 𝐴)))) = -(log‘(1 / 𝐴)))
5149, 50syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘(exp‘-(log‘(1 / 𝐴)))) = -(log‘(1 / 𝐴)))
5215, 19, 513eqtr3d 2869 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘𝐴) = -(log‘(1 / 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  ran crn 5343  cfv 6123  (class class class)co 6905  cc 10250  0cc0 10252  1c1 10253  -cneg 10586   / cdiv 11009  +crp 12112  cim 14215  expce 15164  πcpi 15169  logclog 24700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ioc 12468  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-fac 13354  df-bc 13383  df-hash 13411  df-shft 14184  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-limsup 14579  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-ef 15170  df-sin 15172  df-cos 15173  df-pi 15175  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-nei 21273  df-lp 21311  df-perf 21312  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-haus 21490  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-fil 22020  df-fm 22112  df-flim 22113  df-flf 22114  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-cncf 23051  df-limc 24029  df-dv 24030  df-log 24702
This theorem is referenced by:  logbrec  24922  isosctrlem2  24959
  Copyright terms: Public domain W3C validator