Theorem logrec 26257

Description: Logarithm of a reciprocal changes sign. (Contributed by Saveliy Skresanov, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logrec	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘𝐴) = -(log‘(1 / 𝐴)))

Proof of Theorem logrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reccl 11875	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
2		recne0 11881	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ≠ 0)
3		eflog 26076	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐴) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 / 𝐴))) = (1 / 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 / 𝐴))) = (1 / 𝐴))
5	4	eqcomd 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) = (exp‘(log‘(1 / 𝐴))))
6	5	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝐴)) = (1 / (exp‘(log‘(1 / 𝐴)))))
7		eflog 26076	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
8		recrec 11907	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴)
9	7, 8	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = (1 / (1 / 𝐴)))
10	1, 2	logcld 26070	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘(1 / 𝐴)) ∈ ℂ)
11		efneg 16037	. . . . . 6 ⊢ ((log‘(1 / 𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘-(log‘(1 / 𝐴))) = (1 / (exp‘(log‘(1 / 𝐴)))))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘-(log‘(1 / 𝐴))) = (1 / (exp‘(log‘(1 / 𝐴)))))
13	6, 9, 12	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = (exp‘-(log‘(1 / 𝐴))))
14	13	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (exp‘(log‘𝐴)) = (exp‘-(log‘(1 / 𝐴))))
15	14	fveq2d 6892	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘(exp‘(log‘𝐴))) = (log‘(exp‘-(log‘(1 / 𝐴)))))
16		logrncl 26067	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ran log)
17	16	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘𝐴) ∈ ran log)
18		logef 26081	. . 3 ⊢ ((log‘𝐴) ∈ ran log → (log‘(exp‘(log‘𝐴))) = (log‘𝐴))
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘(exp‘(log‘𝐴))) = (log‘𝐴))
20		df-ne 2941	. . . . 5 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π ↔ ¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π)
21		lognegb 26089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐴) ≠ 0) → (-(1 / 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π))
22	1, 2, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-(1 / 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π))
23	22	biimprd 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π → -(1 / 𝐴) ∈ ℝ+))
24		ax-1cn 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
25		divneg2 11934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -(1 / 𝐴) = (1 / -𝐴))
26	24, 25	mp3an1 1448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -(1 / 𝐴) = (1 / -𝐴))
27	26	eleq1d 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-(1 / 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ (1 / -𝐴) ∈ ℝ+))
28	23, 27	sylibd 238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π → (1 / -𝐴) ∈ ℝ+))
29		negcl 11456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
30		negeq0 11510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
31	30	necon3bid 2985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ -𝐴 ≠ 0))
32	31	biimpa 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -𝐴 ≠ 0)
33		rpreccl 12996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / -𝐴) ∈ ℝ+ → (1 / (1 / -𝐴)) ∈ ℝ+)
34		recrec 11907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0) → (1 / (1 / -𝐴)) = -𝐴)
35	34	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0) → ((1 / (1 / -𝐴)) ∈ ℝ+ ↔ -𝐴 ∈ ℝ+))
36	33, 35	imbitrid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0) → ((1 / -𝐴) ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ+))
37	29, 32, 36	syl2an2r 683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / -𝐴) ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ+))
38	28, 37	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π → -𝐴 ∈ ℝ+))
39		lognegb 26089	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
40	38, 39	sylibd 238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π → (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
41	40	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π → ¬ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π))
42	41	3impia 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ ¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π) → ¬ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π)
43	20, 42	syl3an3b 1405	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → ¬ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π)
44		logrncl 26067	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐴) ≠ 0) → (log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log)
45	1, 2, 44	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log)
46		logreclem 26256	. . . . 5 ⊢ (((log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log ∧ ¬ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π) → -(log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log)
47	45, 46	stoic3 1778	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ ¬ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π) → -(log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log)
48	43, 47	syld3an3 1409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → -(log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log)
49		logef 26081	. . 3 ⊢ (-(log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log → (log‘(exp‘-(log‘(1 / 𝐴)))) = -(log‘(1 / 𝐴)))
50	48, 49	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘(exp‘-(log‘(1 / 𝐴)))) = -(log‘(1 / 𝐴)))
51	15, 19, 50	3eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘𝐴) = -(log‘(1 / 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ran crn 5676  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107  -cneg 11441   / cdiv 11867  ℝ⁺crp 12970  ℑcim 15041  expce 16001  πcpi 16006  logclog 26054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056

This theorem is referenced by:  logbrec  26276  isosctrlem2  26313