Theorem logrec 26708

Description: Logarithm of a reciprocal changes sign. (Contributed by Saveliy Skresanov, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logrec	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘𝐴) = -(log‘(1 / 𝐴)))

Proof of Theorem logrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reccl 11910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
2		recne0 11916	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ≠ 0)
3		eflog 26523	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐴) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 / 𝐴))) = (1 / 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 / 𝐴))) = (1 / 𝐴))
5	4	eqcomd 2734	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) = (exp‘(log‘(1 / 𝐴))))
6	5	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝐴)) = (1 / (exp‘(log‘(1 / 𝐴)))))
7		eflog 26523	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
8		recrec 11942	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴)
9	7, 8	eqtr4d 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = (1 / (1 / 𝐴)))
10	1, 2	logcld 26517	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘(1 / 𝐴)) ∈ ℂ)
11		efneg 16075	. . . . . 6 ⊢ ((log‘(1 / 𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘-(log‘(1 / 𝐴))) = (1 / (exp‘(log‘(1 / 𝐴)))))
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘-(log‘(1 / 𝐴))) = (1 / (exp‘(log‘(1 / 𝐴)))))
13	6, 9, 12	3eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = (exp‘-(log‘(1 / 𝐴))))
14	13	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (exp‘(log‘𝐴)) = (exp‘-(log‘(1 / 𝐴))))
15	14	fveq2d 6901	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘(exp‘(log‘𝐴))) = (log‘(exp‘-(log‘(1 / 𝐴)))))
16		logrncl 26514	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ran log)
17	16	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘𝐴) ∈ ran log)
18		logef 26528	. . 3 ⊢ ((log‘𝐴) ∈ ran log → (log‘(exp‘(log‘𝐴))) = (log‘𝐴))
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘(exp‘(log‘𝐴))) = (log‘𝐴))
20		df-ne 2938	. . . . 5 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π ↔ ¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π)
21		lognegb 26537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐴) ≠ 0) → (-(1 / 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π))
22	1, 2, 21	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-(1 / 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π))
23	22	biimprd 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π → -(1 / 𝐴) ∈ ℝ+))
24		ax-1cn 11197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
25		divneg2 11969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -(1 / 𝐴) = (1 / -𝐴))
26	24, 25	mp3an1 1445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -(1 / 𝐴) = (1 / -𝐴))
27	26	eleq1d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-(1 / 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ (1 / -𝐴) ∈ ℝ+))
28	23, 27	sylibd 238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π → (1 / -𝐴) ∈ ℝ+))
29		negcl 11491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
30		negeq0 11545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
31	30	necon3bid 2982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ -𝐴 ≠ 0))
32	31	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -𝐴 ≠ 0)
33		rpreccl 13033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / -𝐴) ∈ ℝ+ → (1 / (1 / -𝐴)) ∈ ℝ+)
34		recrec 11942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0) → (1 / (1 / -𝐴)) = -𝐴)
35	34	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0) → ((1 / (1 / -𝐴)) ∈ ℝ+ ↔ -𝐴 ∈ ℝ+))
36	33, 35	imbitrid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0) → ((1 / -𝐴) ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ+))
37	29, 32, 36	syl2an2r 684	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / -𝐴) ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ+))
38	28, 37	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π → -𝐴 ∈ ℝ+))
39		lognegb 26537	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
40	38, 39	sylibd 238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π → (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
41	40	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π → ¬ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π))
42	41	3impia 1115	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ ¬ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π) → ¬ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π)
43	20, 42	syl3an3b 1403	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → ¬ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π)
44		logrncl 26514	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐴) ≠ 0) → (log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log)
45	1, 2, 44	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log)
46		logreclem 26707	. . . . 5 ⊢ (((log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log ∧ ¬ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π) → -(log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log)
47	45, 46	stoic3 1771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ ¬ (ℑ‘(log‘(1 / 𝐴))) = π) → -(log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log)
48	43, 47	syld3an3 1407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → -(log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log)
49		logef 26528	. . 3 ⊢ (-(log‘(1 / 𝐴)) ∈ ran log → (log‘(exp‘-(log‘(1 / 𝐴)))) = -(log‘(1 / 𝐴)))
50	48, 49	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘(exp‘-(log‘(1 / 𝐴)))) = -(log‘(1 / 𝐴)))
51	15, 19, 50	3eqtr3d 2776	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘𝐴) = -(log‘(1 / 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ran crn 5679  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℂcc 11137  0cc0 11139  1c1 11140  -cneg 11476   / cdiv 11902  ℝ⁺crp 13007  ℑcim 15078  expce 16038  πcpi 16043  logclog 26501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046  df-cos 16047  df-pi 16049  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503

This theorem is referenced by:  logbrec  26727  isosctrlem2  26764