Theorem invrfval 20371

Description: Multiplicative inverse function for a division ring. (Contributed by NM, 21-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
invrfval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invrfval.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
invrfval.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
invrfval	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Proof of Theorem invrfval

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invrfval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
2		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (mulGrp‘𝑟) = (mulGrp‘𝑅))
3		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Unit‘𝑟) = (Unit‘𝑅))
4		invrfval.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	3, 4	eqtr4di 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Unit‘𝑟) = 𝑈)
6	2, 5	oveq12d 7387	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
7		invrfval.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
8	6, 7	eqtr4di 2790	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟)) = 𝐺)
9	8	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (invg‘((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟))) = (invg‘𝐺))
10		df-invr 20370	. . . 4 ⊢ invr = (𝑟 ∈ V ↦ (invg‘((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟))))
11		fvex 6855	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 6949	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (invr‘𝑅) = (invg‘𝐺))
13		fvprc 6834	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (invr‘𝑅) = ∅)
14		base0 17186	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘∅) = (invg‘∅)
16	14, 15	grpinvfn 18959	. . . . . 6 ⊢ (invg‘∅) Fn ∅
17		fn0 6631	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘∅) Fn ∅ ↔ (invg‘∅) = ∅)
18	16, 17	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (invg‘∅) = ∅
19	13, 18	eqtr4di 2790	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (invr‘𝑅) = (invg‘∅))
20		fvprc 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
21	20	oveq1d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (∅ ↾s 𝑈))
22	7, 21	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝐺 = (∅ ↾s 𝑈))
23		ress0 17215	. . . . . 6 ⊢ (∅ ↾s 𝑈) = ∅
24	22, 23	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝐺 = ∅)
25	24	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (invg‘𝐺) = (invg‘∅))
26	19, 25	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (invr‘𝑅) = (invg‘𝐺))
27	12, 26	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘𝐺)
28	1, 27	eqtri 2760	1 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274   Fn wfn 6495  ‘cfv 6500  (class class class)co 7369   ↾_s cress 17202  inv_gcminusg 18912  mulGrpcmgp 20123  Unitcui 20337  inv_rcinvr 20369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-cnex 11096  ax-1cn 11098  ax-addcl 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7820  df-2nd 7945  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-nn 12177  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17182  df-ress 17203  df-minusg 18915  df-invr 20370

This theorem is referenced by:  unitinvcl  20372  unitinvinv  20373  unitlinv  20375  unitrinv  20376  rdivmuldivd  20395  invrpropd  20400  subrgugrp  20570  cntzsdrg  20781  cnmsubglem  21412  psgninv  21564  invrvald  22643  invrcn2  24147  nrginvrcn  24659  nrgtdrg  24660  sum2dchr  27239  ringinvval  33298  dvrcan5  33299