Theorem invrfval 19990

Description: Multiplicative inverse function for a division ring. (Contributed by NM, 21-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
invrfval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invrfval.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
invrfval.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
invrfval	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Proof of Theorem invrfval

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invrfval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
2		fveq2 6812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (mulGrp‘𝑟) = (mulGrp‘𝑅))
3		fveq2 6812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Unit‘𝑟) = (Unit‘𝑅))
4		invrfval.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	3, 4	eqtr4di 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Unit‘𝑟) = 𝑈)
6	2, 5	oveq12d 7335	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
7		invrfval.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
8	6, 7	eqtr4di 2795	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟)) = 𝐺)
9	8	fveq2d 6816	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (invg‘((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟))) = (invg‘𝐺))
10		df-invr 19989	. . . 4 ⊢ invr = (𝑟 ∈ V ↦ (invg‘((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟))))
11		fvex 6825	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 6915	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (invr‘𝑅) = (invg‘𝐺))
13		fvprc 6804	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (invr‘𝑅) = ∅)
14		base0 16994	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘∅) = (invg‘∅)
16	14, 15	grpinvfn 18697	. . . . . 6 ⊢ (invg‘∅) Fn ∅
17		fn0 6602	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘∅) Fn ∅ ↔ (invg‘∅) = ∅)
18	16, 17	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ (invg‘∅) = ∅
19	13, 18	eqtr4di 2795	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (invr‘𝑅) = (invg‘∅))
20		fvprc 6804	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
21	20	oveq1d 7332	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (∅ ↾s 𝑈))
22	7, 21	eqtrid 2789	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝐺 = (∅ ↾s 𝑈))
23		ress0 17030	. . . . . 6 ⊢ (∅ ↾s 𝑈) = ∅
24	22, 23	eqtrdi 2793	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝐺 = ∅)
25	24	fveq2d 6816	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (invg‘𝐺) = (invg‘∅))
26	19, 25	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (invr‘𝑅) = (invg‘𝐺))
27	12, 26	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘𝐺)
28	1, 27	eqtri 2765	1 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441  ∅c0 4267   Fn wfn 6461  ‘cfv 6466  (class class class)co 7317   ↾_s cress 17018  inv_gcminusg 18654  mulGrpcmgp 19795  Unitcui 19956  inv_rcinvr 19988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-1cn 11009  ax-addcl 11011

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-nn 12054  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-ress 17019  df-minusg 18657  df-invr 19989

This theorem is referenced by:  unitinvcl  19991  unitinvinv  19992  unitlinv  19994  unitrinv  19995  invrpropd  20015  subrgugrp  20125  cntzsdrg  20153  cnmsubglem  20744  psgninv  20870  invrvald  21908  invrcn2  23414  nrginvrcn  23939  nrgtdrg  23940  sum2dchr  26505  rdivmuldivd  31623  ringinvval  31624  dvrcan5  31625