Theorem invrfval 20369

Description: Multiplicative inverse function for a division ring. (Contributed by NM, 21-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
invrfval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invrfval.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
invrfval.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
invrfval	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Proof of Theorem invrfval

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invrfval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
2		fveq2 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (mulGrp‘𝑟) = (mulGrp‘𝑅))
3		fveq2 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Unit‘𝑟) = (Unit‘𝑅))
4		invrfval.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	3, 4	eqtr4di 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Unit‘𝑟) = 𝑈)
6	2, 5	oveq12d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
7		invrfval.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
8	6, 7	eqtr4di 2790	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟)) = 𝐺)
9	8	fveq2d 6845	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (invg‘((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟))) = (invg‘𝐺))
10		df-invr 20368	. . . 4 ⊢ invr = (𝑟 ∈ V ↦ (invg‘((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟))))
11		fvex 6854	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 6948	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (invr‘𝑅) = (invg‘𝐺))
13		fvprc 6833	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (invr‘𝑅) = ∅)
14		base0 17184	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘∅) = (invg‘∅)
16	14, 15	grpinvfn 18957	. . . . . 6 ⊢ (invg‘∅) Fn ∅
17		fn0 6630	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘∅) Fn ∅ ↔ (invg‘∅) = ∅)
18	16, 17	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (invg‘∅) = ∅
19	13, 18	eqtr4di 2790	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (invr‘𝑅) = (invg‘∅))
20		fvprc 6833	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
21	20	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (∅ ↾s 𝑈))
22	7, 21	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝐺 = (∅ ↾s 𝑈))
23		ress0 17213	. . . . . 6 ⊢ (∅ ↾s 𝑈) = ∅
24	22, 23	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝐺 = ∅)
25	24	fveq2d 6845	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (invg‘𝐺) = (invg‘∅))
26	19, 25	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (invr‘𝑅) = (invg‘𝐺))
27	12, 26	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘𝐺)
28	1, 27	eqtri 2760	1 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274   Fn wfn 6494  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   ↾_s cress 17200  inv_gcminusg 18910  mulGrpcmgp 20121  Unitcui 20335  inv_rcinvr 20367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-nn 12175  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-minusg 18913  df-invr 20368

This theorem is referenced by:  unitinvcl  20370  unitinvinv  20371  unitlinv  20373  unitrinv  20374  rdivmuldivd  20393  invrpropd  20398  subrgugrp  20568  cntzsdrg  20779  cnmsubglem  21410  psgninv  21562  invrvald  22641  invrcn2  24145  nrginvrcn  24657  nrgtdrg  24658  sum2dchr  27237  ringinvval  33296  dvrcan5  33297