Theorem invrfval 20300

Description: Multiplicative inverse function for a division ring. (Contributed by NM, 21-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
invrfval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invrfval.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
invrfval.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
invrfval	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Proof of Theorem invrfval

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invrfval.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
2		fveq2 6817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (mulGrp‘𝑟) = (mulGrp‘𝑅))
3		fveq2 6817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Unit‘𝑟) = (Unit‘𝑅))
4		invrfval.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	3, 4	eqtr4di 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Unit‘𝑟) = 𝑈)
6	2, 5	oveq12d 7359	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
7		invrfval.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
8	6, 7	eqtr4di 2783	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟)) = 𝐺)
9	8	fveq2d 6821	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (invg‘((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟))) = (invg‘𝐺))
10		df-invr 20299	. . . 4 ⊢ invr = (𝑟 ∈ V ↦ (invg‘((mulGrp‘𝑟) ↾s (Unit‘𝑟))))
11		fvex 6830	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt 6924	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (invr‘𝑅) = (invg‘𝐺))
13		fvprc 6809	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (invr‘𝑅) = ∅)
14		base0 17117	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
15		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘∅) = (invg‘∅)
16	14, 15	grpinvfn 18886	. . . . . 6 ⊢ (invg‘∅) Fn ∅
17		fn0 6608	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘∅) Fn ∅ ↔ (invg‘∅) = ∅)
18	16, 17	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (invg‘∅) = ∅
19	13, 18	eqtr4di 2783	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (invr‘𝑅) = (invg‘∅))
20		fvprc 6809	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
21	20	oveq1d 7356	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = (∅ ↾s 𝑈))
22	7, 21	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝐺 = (∅ ↾s 𝑈))
23		ress0 17146	. . . . . 6 ⊢ (∅ ↾s 𝑈) = ∅
24	22, 23	eqtrdi 2781	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝐺 = ∅)
25	24	fveq2d 6821	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (invg‘𝐺) = (invg‘∅))
26	19, 25	eqtr4d 2768	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (invr‘𝑅) = (invg‘𝐺))
27	12, 26	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘𝐺)
28	1, 27	eqtri 2753	1 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  Vcvv 3434  ∅c0 4281   Fn wfn 6472  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   ↾_s cress 17133  inv_gcminusg 18839  mulGrpcmgp 20051  Unitcui 20266  inv_rcinvr 20298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-1cn 11056  ax-addcl 11058

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-nn 12118  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-minusg 18842  df-invr 20299

This theorem is referenced by:  unitinvcl  20301  unitinvinv  20302  unitlinv  20304  unitrinv  20305  rdivmuldivd  20324  invrpropd  20329  subrgugrp  20499  cntzsdrg  20710  cnmsubglem  21360  psgninv  21512  invrvald  22584  invrcn2  24088  nrginvrcn  24600  nrgtdrg  24601  sum2dchr  27205  ringinvval  33192  dvrcan5  33193