MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invrfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invrfval 20103
Description: Multiplicative inverse function for a division ring. (Contributed by NM, 21-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
invrfval.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
invrfval.g 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
invrfval.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
invrfval 𝐼 = (invgβ€˜πΊ)

Proof of Theorem invrfval
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 invrfval.i . 2 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
2 fveq2 6843 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (mulGrpβ€˜π‘Ÿ) = (mulGrpβ€˜π‘…))
3 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (Unitβ€˜π‘Ÿ) = (Unitβ€˜π‘…))
4 invrfval.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
53, 4eqtr4di 2795 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (Unitβ€˜π‘Ÿ) = π‘ˆ)
62, 5oveq12d 7376 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((mulGrpβ€˜π‘Ÿ) β†Ύs (Unitβ€˜π‘Ÿ)) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ))
7 invrfval.g . . . . . 6 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
86, 7eqtr4di 2795 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((mulGrpβ€˜π‘Ÿ) β†Ύs (Unitβ€˜π‘Ÿ)) = 𝐺)
98fveq2d 6847 . . . 4 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘Ÿ) β†Ύs (Unitβ€˜π‘Ÿ))) = (invgβ€˜πΊ))
10 df-invr 20102 . . . 4 invr = (π‘Ÿ ∈ V ↦ (invgβ€˜((mulGrpβ€˜π‘Ÿ) β†Ύs (Unitβ€˜π‘Ÿ))))
11 fvex 6856 . . . 4 (invgβ€˜πΊ) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 6949 . . 3 (𝑅 ∈ V β†’ (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜πΊ))
13 fvprc 6835 . . . . 5 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (invrβ€˜π‘…) = βˆ…)
14 base0 17089 . . . . . . 7 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
15 eqid 2737 . . . . . . 7 (invgβ€˜βˆ…) = (invgβ€˜βˆ…)
1614, 15grpinvfn 18793 . . . . . 6 (invgβ€˜βˆ…) Fn βˆ…
17 fn0 6633 . . . . . 6 ((invgβ€˜βˆ…) Fn βˆ… ↔ (invgβ€˜βˆ…) = βˆ…)
1816, 17mpbi 229 . . . . 5 (invgβ€˜βˆ…) = βˆ…
1913, 18eqtr4di 2795 . . . 4 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜βˆ…))
20 fvprc 6835 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) = βˆ…)
2120oveq1d 7373 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ) = (βˆ… β†Ύs π‘ˆ))
227, 21eqtrid 2789 . . . . . 6 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ 𝐺 = (βˆ… β†Ύs π‘ˆ))
23 ress0 17125 . . . . . 6 (βˆ… β†Ύs π‘ˆ) = βˆ…
2422, 23eqtrdi 2793 . . . . 5 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ 𝐺 = βˆ…)
2524fveq2d 6847 . . . 4 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜βˆ…))
2619, 25eqtr4d 2780 . . 3 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜πΊ))
2712, 26pm2.61i 182 . 2 (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜πΊ)
281, 27eqtri 2765 1 𝐼 = (invgβ€˜πΊ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446  βˆ…c0 4283   Fn wfn 6492  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   β†Ύs cress 17113  invgcminusg 18750  mulGrpcmgp 19897  Unitcui 20069  invrcinvr 20101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-1cn 11110  ax-addcl 11112
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-nn 12155  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-minusg 18753  df-invr 20102
This theorem is referenced by:  unitinvcl  20104  unitinvinv  20105  unitlinv  20107  unitrinv  20108  invrpropd  20128  subrgugrp  20244  cntzsdrg  20272  cnmsubglem  20863  psgninv  20989  invrvald  22028  invrcn2  23534  nrginvrcn  24059  nrgtdrg  24060  sum2dchr  26625  rdivmuldivd  32074  ringinvval  32075  dvrcan5  32076
  Copyright terms: Public domain W3C validator