Theorem evl1varpw 22248

Description: Univariate polynomial evaluation maps the exponentiation of a variable to the exponentiation of the evaluated variable. Remark: in contrast to evl1gsumadd 22245, the proof is shorter using evls1varpw 22214 instead of proving it directly. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1varpw.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1varpw.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1varpw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1varpw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1varpw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1varpw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evl1varpw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1varpw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
evl1varpw	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))

Proof of Theorem evl1varpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1varpw.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
2		evl1varpw.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	evl1fval1 22218	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐵)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐵))
5		evl1varpw.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
6		evl1varpw.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
7		evl1varpw.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
8	7	fveq2i 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘(Poly1‘𝑅))
9	6, 8	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘(Poly1‘𝑅))
10	9	fveq2i 6861	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
11	5, 10	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
12		evl1varpw.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	2	ressid 17214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
15	14	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s 𝐵))
16	15	fveq2d 6862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
17	16	fveq2d 6862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))
18	17	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))))
19	11, 18	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))))
20		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = 𝑁)
21		evl1varpw.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
22	15	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑅) = (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
23	21, 22	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
24	19, 20, 23	oveq123d 7408	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))
25	4, 24	fveq12d 6865	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))))
26		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝐵) = (𝑅 evalSub1 𝐵)
27		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)
28		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))
29		eqid 2729	. . 3 ⊢ (mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))) = (mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
30		eqid 2729	. . 3 ⊢ (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵))
31		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))
32		crngring 20154	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
33	2	subrgid 20482	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
34	12, 32, 33	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
35		evl1varpw.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
36	26, 27, 28, 29, 30, 2, 31, 12, 34, 35	evls1varpw 22214	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))))
37	3	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝐵) = 𝑄
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 evalSub1 𝐵) = 𝑄)
39	23	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = 𝑋)
40	38, 39	fveq12d 6865	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵))) = (𝑄‘𝑋))
41	40	oveq2d 7403	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))
42	25, 36, 41	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200   ↑_s cpws 17409  ._gcmg 18999  mulGrpcmgp 20049  Ringcrg 20142  CRingccrg 20143  SubRingcsubrg 20478  var₁cv1 22060  Poly₁cpl1 22061   evalSub₁ ces1 22200  eval₁ce1 22201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-srg 20096  df-ring 20144  df-cring 20145  df-rhm 20381  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-assa 21762  df-asp 21763  df-ascl 21764  df-psr 21818  df-mvr 21819  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-evls 21981  df-evl 21982  df-psr1 22064  df-vr1 22065  df-ply1 22066  df-evls1 22202  df-evl1 22203

This theorem is referenced by:  evl1scvarpw  22250