Theorem evl1varpw 22365

Description: Univariate polynomial evaluation maps the exponentiation of a variable to the exponentiation of the evaluated variable. Remark: in contrast to evl1gsumadd 22362, the proof is shorter using evls1varpw 22331 instead of proving it directly. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1varpw.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1varpw.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1varpw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1varpw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1varpw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1varpw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evl1varpw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1varpw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
evl1varpw	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))

Proof of Theorem evl1varpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1varpw.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
2		evl1varpw.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	evl1fval1 22335	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐵)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐵))
5		evl1varpw.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
6		evl1varpw.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
7		evl1varpw.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
8	7	fveq2i 6909	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘(Poly1‘𝑅))
9	6, 8	eqtri 2765	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘(Poly1‘𝑅))
10	9	fveq2i 6909	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
11	5, 10	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
12		evl1varpw.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	2	ressid 17290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
15	14	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s 𝐵))
16	15	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
17	16	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))
18	17	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))))
19	11, 18	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))))
20		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = 𝑁)
21		evl1varpw.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
22	15	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑅) = (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
23	21, 22	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
24	19, 20, 23	oveq123d 7452	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))
25	4, 24	fveq12d 6913	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))))
26		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝐵) = (𝑅 evalSub1 𝐵)
27		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)
28		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))
29		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))) = (mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
30		eqid 2737	. . 3 ⊢ (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵))
31		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))
32		crngring 20242	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
33	2	subrgid 20573	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
34	12, 32, 33	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
35		evl1varpw.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
36	26, 27, 28, 29, 30, 2, 31, 12, 34, 35	evls1varpw 22331	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))))
37	3	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝐵) = 𝑄
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 evalSub1 𝐵) = 𝑄)
39	23	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = 𝑋)
40	38, 39	fveq12d 6913	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵))) = (𝑄‘𝑋))
41	40	oveq2d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))
42	25, 36, 41	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274   ↑_s cpws 17491  ._gcmg 19085  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  SubRingcsubrg 20569  var₁cv1 22177  Poly₁cpl1 22178   evalSub₁ ces1 22317  eval₁ce1 22318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-evls 22098  df-evl 22099  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-evls1 22319  df-evl1 22320

This theorem is referenced by:  evl1scvarpw  22367