MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1varpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1varpw 21723
Description: Univariate polynomial evaluation maps the exponentiation of a variable to the exponentiation of the evaluated variable. Remark: in contrast to evl1gsumadd 21720, the proof is shorter using evls1varpw 21689 instead of proving it directly. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1varpw.q 𝑄 = (eval1𝑅)
evl1varpw.w 𝑊 = (Poly1𝑅)
evl1varpw.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1varpw.x 𝑋 = (var1𝑅)
evl1varpw.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1varpw.e = (.g𝐺)
evl1varpw.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1varpw.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
evl1varpw (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑄𝑋)))

Proof of Theorem evl1varpw
StepHypRef Expression
1 evl1varpw.q . . . . 5 𝑄 = (eval1𝑅)
2 evl1varpw.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
31, 2evl1fval1 21693 . . . 4 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐵)
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐵))
5 evl1varpw.e . . . . . 6 = (.g𝐺)
6 evl1varpw.g . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
7 evl1varpw.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (Poly1𝑅)
87fveq2i 6843 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘(Poly1𝑅))
96, 8eqtri 2764 . . . . . . 7 𝐺 = (mulGrp‘(Poly1𝑅))
109fveq2i 6843 . . . . . 6 (.g𝐺) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
115, 10eqtri 2764 . . . . 5 = (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
12 evl1varpw.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
132ressid 17122 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → (𝑅s 𝐵) = 𝑅)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅s 𝐵) = 𝑅)
1514eqcomd 2742 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 = (𝑅s 𝐵))
1615fveq2d 6844 . . . . . . 7 (𝜑 → (Poly1𝑅) = (Poly1‘(𝑅s 𝐵)))
1716fveq2d 6844 . . . . . 6 (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1‘(𝑅s 𝐵))))
1817fveq2d 6844 . . . . 5 (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅s 𝐵)))))
1911, 18eqtrid 2788 . . . 4 (𝜑 = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅s 𝐵)))))
20 eqidd 2737 . . . 4 (𝜑𝑁 = 𝑁)
21 evl1varpw.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑅)
2215fveq2d 6844 . . . . 5 (𝜑 → (var1𝑅) = (var1‘(𝑅s 𝐵)))
2321, 22eqtrid 2788 . . . 4 (𝜑𝑋 = (var1‘(𝑅s 𝐵)))
2419, 20, 23oveq123d 7375 . . 3 (𝜑 → (𝑁 𝑋) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅s 𝐵))))(var1‘(𝑅s 𝐵))))
254, 24fveq12d 6847 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 𝑋)) = ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅s 𝐵))))(var1‘(𝑅s 𝐵)))))
26 eqid 2736 . . 3 (𝑅 evalSub1 𝐵) = (𝑅 evalSub1 𝐵)
27 eqid 2736 . . 3 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
28 eqid 2736 . . 3 (Poly1‘(𝑅s 𝐵)) = (Poly1‘(𝑅s 𝐵))
29 eqid 2736 . . 3 (mulGrp‘(Poly1‘(𝑅s 𝐵))) = (mulGrp‘(Poly1‘(𝑅s 𝐵)))
30 eqid 2736 . . 3 (var1‘(𝑅s 𝐵)) = (var1‘(𝑅s 𝐵))
31 eqid 2736 . . 3 (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅s 𝐵)))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅s 𝐵))))
32 crngring 19972 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
332subrgid 20220 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
3412, 32, 333syl 18 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
35 evl1varpw.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3626, 27, 28, 29, 30, 2, 31, 12, 34, 35evls1varpw 21689 . 2 (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅s 𝐵))))(var1‘(𝑅s 𝐵)))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑅s 𝐵)))))
373eqcomi 2745 . . . . 5 (𝑅 evalSub1 𝐵) = 𝑄
3837a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 evalSub1 𝐵) = 𝑄)
3923eqcomd 2742 . . . 4 (𝜑 → (var1‘(𝑅s 𝐵)) = 𝑋)
4038, 39fveq12d 6847 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑅s 𝐵))) = (𝑄𝑋))
4140oveq2d 7370 . 2 (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑅s 𝐵)))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑄𝑋)))
4225, 36, 413eqtrd 2780 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅s 𝐵)))(𝑄𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6494  (class class class)co 7354  0cn0 12410  Basecbs 17080  s cress 17109  s cpws 17325  .gcmg 18868  mulGrpcmgp 19892  Ringcrg 19960  CRingccrg 19961  SubRingcsubrg 20214  var1cv1 21543  Poly1cpl1 21544   evalSub1 ces1 21675  eval1ce1 21676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7614  df-ofr 7615  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-supp 8090  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8645  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8833  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-fsupp 9303  df-sup 9375  df-oi 9443  df-card 9872  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12411  df-z 12497  df-dec 12616  df-uz 12761  df-fz 13422  df-fzo 13565  df-seq 13904  df-hash 14228  df-struct 17016  df-sets 17033  df-slot 17051  df-ndx 17063  df-base 17081  df-ress 17110  df-plusg 17143  df-mulr 17144  df-sca 17146  df-vsca 17147  df-ip 17148  df-tset 17149  df-ple 17150  df-ds 17152  df-hom 17154  df-cco 17155  df-0g 17320  df-gsum 17321  df-prds 17326  df-pws 17328  df-mre 17463  df-mrc 17464  df-acs 17466  df-mgm 18494  df-sgrp 18543  df-mnd 18554  df-mhm 18598  df-submnd 18599  df-grp 18748  df-minusg 18749  df-sbg 18750  df-mulg 18869  df-subg 18921  df-ghm 19002  df-cntz 19093  df-cmn 19560  df-abl 19561  df-mgp 19893  df-ur 19910  df-srg 19914  df-ring 19962  df-cring 19963  df-rnghom 20142  df-subrg 20216  df-lmod 20320  df-lss 20389  df-lsp 20429  df-assa 21255  df-asp 21256  df-ascl 21257  df-psr 21307  df-mvr 21308  df-mpl 21309  df-opsr 21311  df-evls 21478  df-evl 21479  df-psr1 21547  df-vr1 21548  df-ply1 21549  df-evls1 21677  df-evl1 21678
This theorem is referenced by:  evl1scvarpw  21725
  Copyright terms: Public domain W3C validator