MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1varpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1varpw 21743
Description: Univariate polynomial evaluation maps the exponentiation of a variable to the exponentiation of the evaluated variable. Remark: in contrast to evl1gsumadd 21740, the proof is shorter using evls1varpw 21709 instead of proving it directly. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1varpw.q 𝑄 = (eval1β€˜π‘…)
evl1varpw.w π‘Š = (Poly1β€˜π‘…)
evl1varpw.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
evl1varpw.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
evl1varpw.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
evl1varpw.e ↑ = (.gβ€˜πΊ)
evl1varpw.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
evl1varpw.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
evl1varpw (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑅 ↑s 𝐡)))(π‘„β€˜π‘‹)))

Proof of Theorem evl1varpw
StepHypRef Expression
1 evl1varpw.q . . . . 5 𝑄 = (eval1β€˜π‘…)
2 evl1varpw.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
31, 2evl1fval1 21713 . . . 4 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐡)
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐡))
5 evl1varpw.e . . . . . 6 ↑ = (.gβ€˜πΊ)
6 evl1varpw.g . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
7 evl1varpw.w . . . . . . . . 9 π‘Š = (Poly1β€˜π‘…)
87fveq2i 6850 . . . . . . . 8 (mulGrpβ€˜π‘Š) = (mulGrpβ€˜(Poly1β€˜π‘…))
96, 8eqtri 2765 . . . . . . 7 𝐺 = (mulGrpβ€˜(Poly1β€˜π‘…))
109fveq2i 6850 . . . . . 6 (.gβ€˜πΊ) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Poly1β€˜π‘…)))
115, 10eqtri 2765 . . . . 5 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Poly1β€˜π‘…)))
12 evl1varpw.r . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
132ressid 17132 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐡) = 𝑅)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐡) = 𝑅)
1514eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (𝑅 β†Ύs 𝐡))
1615fveq2d 6851 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Poly1β€˜π‘…) = (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡)))
1716fveq2d 6851 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) = (mulGrpβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡))))
1817fveq2d 6851 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Poly1β€˜π‘…))) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡)))))
1911, 18eqtrid 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡)))))
20 eqidd 2738 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 = 𝑁)
21 evl1varpw.x . . . . 5 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
2215fveq2d 6851 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (var1β€˜π‘…) = (var1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡)))
2321, 22eqtrid 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (var1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡)))
2419, 20, 23oveq123d 7383 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 ↑ 𝑋) = (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡))))(var1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡))))
254, 24fveq12d 6854 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑅 evalSub1 𝐡)β€˜(𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡))))(var1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡)))))
26 eqid 2737 . . 3 (𝑅 evalSub1 𝐡) = (𝑅 evalSub1 𝐡)
27 eqid 2737 . . 3 (𝑅 β†Ύs 𝐡) = (𝑅 β†Ύs 𝐡)
28 eqid 2737 . . 3 (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡)) = (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡))
29 eqid 2737 . . 3 (mulGrpβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡))) = (mulGrpβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡)))
30 eqid 2737 . . 3 (var1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡)) = (var1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡))
31 eqid 2737 . . 3 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡)))) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡))))
32 crngring 19983 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
332subrgid 20240 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
3412, 32, 333syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
35 evl1varpw.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3626, 27, 28, 29, 30, 2, 31, 12, 34, 35evls1varpw 21709 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑅 evalSub1 𝐡)β€˜(𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡))))(var1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡)))) = (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑅 ↑s 𝐡)))((𝑅 evalSub1 𝐡)β€˜(var1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡)))))
373eqcomi 2746 . . . . 5 (𝑅 evalSub1 𝐡) = 𝑄
3837a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 evalSub1 𝐡) = 𝑄)
3923eqcomd 2743 . . . 4 (πœ‘ β†’ (var1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡)) = 𝑋)
4038, 39fveq12d 6854 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑅 evalSub1 𝐡)β€˜(var1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡))) = (π‘„β€˜π‘‹))
4140oveq2d 7378 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑅 ↑s 𝐡)))((𝑅 evalSub1 𝐡)β€˜(var1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐡)))) = (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑅 ↑s 𝐡)))(π‘„β€˜π‘‹)))
4225, 36, 413eqtrd 2781 1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.gβ€˜(mulGrpβ€˜(𝑅 ↑s 𝐡)))(π‘„β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„•0cn0 12420  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119   ↑s cpws 17335  .gcmg 18879  mulGrpcmgp 19903  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972  SubRingcsubrg 20234  var1cv1 21563  Poly1cpl1 21564   evalSub1 ces1 21695  eval1ce1 21696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-srg 19925  df-ring 19973  df-cring 19974  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-assa 21275  df-asp 21276  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-evls 21498  df-evl 21499  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-evls1 21697  df-evl1 21698
This theorem is referenced by:  evl1scvarpw  21745
  Copyright terms: Public domain W3C validator