Theorem evl1varpw 22255

Description: Univariate polynomial evaluation maps the exponentiation of a variable to the exponentiation of the evaluated variable. Remark: in contrast to evl1gsumadd 22252, the proof is shorter using evls1varpw 22221 instead of proving it directly. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1varpw.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1varpw.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1varpw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1varpw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1varpw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1varpw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evl1varpw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1varpw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
evl1varpw	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))

Proof of Theorem evl1varpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1varpw.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
2		evl1varpw.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	evl1fval1 22225	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐵)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐵))
5		evl1varpw.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
6		evl1varpw.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
7		evl1varpw.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
8	7	fveq2i 6864	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘(Poly1‘𝑅))
9	6, 8	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘(Poly1‘𝑅))
10	9	fveq2i 6864	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
11	5, 10	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
12		evl1varpw.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	2	ressid 17221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
15	14	eqcomd 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s 𝐵))
16	15	fveq2d 6865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
17	16	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))
18	17	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))))
19	11, 18	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))))
20		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = 𝑁)
21		evl1varpw.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
22	15	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑅) = (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
23	21, 22	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
24	19, 20, 23	oveq123d 7411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))
25	4, 24	fveq12d 6868	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))))
26		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝐵) = (𝑅 evalSub1 𝐵)
27		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)
28		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))
29		eqid 2730	. . 3 ⊢ (mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))) = (mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
30		eqid 2730	. . 3 ⊢ (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵))
31		eqid 2730	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))
32		crngring 20161	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
33	2	subrgid 20489	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
34	12, 32, 33	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
35		evl1varpw.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
36	26, 27, 28, 29, 30, 2, 31, 12, 34, 35	evls1varpw 22221	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))))
37	3	eqcomi 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝐵) = 𝑄
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 evalSub1 𝐵) = 𝑄)
39	23	eqcomd 2736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = 𝑋)
40	38, 39	fveq12d 6868	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵))) = (𝑄‘𝑋))
41	40	oveq2d 7406	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))
42	25, 36, 41	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℕ₀cn0 12449  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207   ↑_s cpws 17416  ._gcmg 19006  mulGrpcmgp 20056  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150  SubRingcsubrg 20485  var₁cv1 22067  Poly₁cpl1 22068   evalSub₁ ces1 22207  eval₁ce1 22208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-srg 20103  df-ring 20151  df-cring 20152  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-assa 21769  df-asp 21770  df-ascl 21771  df-psr 21825  df-mvr 21826  df-mpl 21827  df-opsr 21829  df-evls 21988  df-evl 21989  df-psr1 22071  df-vr1 22072  df-ply1 22073  df-evls1 22209  df-evl1 22210

This theorem is referenced by:  evl1scvarpw  22257