Theorem evl1varpw 21527

Description: Univariate polynomial evaluation maps the exponentiation of a variable to the exponentiation of the evaluated variable. Remark: in contrast to evl1gsumadd 21524, the proof is shorter using evls1varpw 21493 instead of proving it directly. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1varpw.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1varpw.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1varpw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1varpw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1varpw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1varpw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evl1varpw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1varpw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
evl1varpw	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))

Proof of Theorem evl1varpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1varpw.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
2		evl1varpw.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	evl1fval1 21497	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐵)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐵))
5		evl1varpw.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
6		evl1varpw.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
7		evl1varpw.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
8	7	fveq2i 6777	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘(Poly1‘𝑅))
9	6, 8	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘(Poly1‘𝑅))
10	9	fveq2i 6777	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
11	5, 10	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
12		evl1varpw.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	2	ressid 16954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
15	14	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s 𝐵))
16	15	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
17	16	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))
18	17	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))))
19	11, 18	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))))
20		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = 𝑁)
21		evl1varpw.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
22	15	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑅) = (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
23	21, 22	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
24	19, 20, 23	oveq123d 7296	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))
25	4, 24	fveq12d 6781	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))))
26		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝐵) = (𝑅 evalSub1 𝐵)
27		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)
28		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))
29		eqid 2738	. . 3 ⊢ (mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))) = (mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
30		eqid 2738	. . 3 ⊢ (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵))
31		eqid 2738	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))
32		crngring 19795	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
33	2	subrgid 20026	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
34	12, 32, 33	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
35		evl1varpw.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
36	26, 27, 28, 29, 30, 2, 31, 12, 34, 35	evls1varpw 21493	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))))
37	3	eqcomi 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝐵) = 𝑄
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 evalSub1 𝐵) = 𝑄)
39	23	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = 𝑋)
40	38, 39	fveq12d 6781	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵))) = (𝑄‘𝑋))
41	40	oveq2d 7291	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))
42	25, 36, 41	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941   ↑_s cpws 17157  ._gcmg 18700  mulGrpcmgp 19720  Ringcrg 19783  CRingccrg 19784  SubRingcsubrg 20020  var₁cv1 21347  Poly₁cpl1 21348   evalSub₁ ces1 21479  eval₁ce1 21480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-srg 19742  df-ring 19785  df-cring 19786  df-rnghom 19959  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-assa 21060  df-asp 21061  df-ascl 21062  df-psr 21112  df-mvr 21113  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-evls 21282  df-evl 21283  df-psr1 21351  df-vr1 21352  df-ply1 21353  df-evls1 21481  df-evl1 21482

This theorem is referenced by:  evl1scvarpw  21529