Theorem evl1varpw 22381

Description: Univariate polynomial evaluation maps the exponentiation of a variable to the exponentiation of the evaluated variable. Remark: in contrast to evl1gsumadd 22378, the proof is shorter using evls1varpw 22347 instead of proving it directly. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1varpw.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1varpw.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1varpw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1varpw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1varpw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1varpw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evl1varpw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1varpw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
evl1varpw	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))

Proof of Theorem evl1varpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1varpw.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
2		evl1varpw.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	evl1fval1 22351	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐵)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐵))
5		evl1varpw.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
6		evl1varpw.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
7		evl1varpw.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
8	7	fveq2i 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘(Poly1‘𝑅))
9	6, 8	eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘(Poly1‘𝑅))
10	9	fveq2i 6910	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
11	5, 10	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
12		evl1varpw.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	2	ressid 17290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
15	14	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s 𝐵))
16	15	fveq2d 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
17	16	fveq2d 6911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))
18	17	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))))
19	11, 18	eqtrid 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))))
20		eqidd 2736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = 𝑁)
21		evl1varpw.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
22	15	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑅) = (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
23	21, 22	eqtrid 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
24	19, 20, 23	oveq123d 7452	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))
25	4, 24	fveq12d 6914	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))))
26		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝐵) = (𝑅 evalSub1 𝐵)
27		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)
28		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))
29		eqid 2735	. . 3 ⊢ (mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))) = (mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
30		eqid 2735	. . 3 ⊢ (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵))
31		eqid 2735	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))
32		crngring 20263	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
33	2	subrgid 20590	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
34	12, 32, 33	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
35		evl1varpw.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
36	26, 27, 28, 29, 30, 2, 31, 12, 34, 35	evls1varpw 22347	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))))
37	3	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝐵) = 𝑄
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 evalSub1 𝐵) = 𝑄)
39	23	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = 𝑋)
40	38, 39	fveq12d 6914	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵))) = (𝑄‘𝑋))
41	40	oveq2d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))((𝑅 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))
42	25, 36, 41	3eqtrd 2779	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋)) = (𝑁(.g‘(mulGrp‘(𝑅 ↑s 𝐵)))(𝑄‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274   ↑_s cpws 17493  ._gcmg 19098  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  SubRingcsubrg 20586  var₁cv1 22193  Poly₁cpl1 22194   evalSub₁ ces1 22333  eval₁ce1 22334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-evls1 22335  df-evl1 22336

This theorem is referenced by:  evl1scvarpw  22383