Theorem cncvs 25052

Description: The complex left module of complex numbers is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrlmod.c	⊢ 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cncvs	⊢ 𝐶 ∈ ℂVec

Proof of Theorem cncvs

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrlmod.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)
2	1	cnrlmod 25050	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ LMod
3		cnfldex 21274	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ V
4		cnfldbas 21275	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
5	4	ressid 17221	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ V → (ℂfld ↾s ℂ) = ℂfld)
6	3, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℂ) = ℂfld
7	6	eqcomi 2739	. . . 4 ⊢ ℂfld = (ℂfld ↾s ℂ)
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
9		addcl 11157	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
10		negcl 11428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
11		ax-1cn 11133	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		mulcl 11159	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
13	8, 9, 10, 11, 12	cnsubrglem 21340	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)
14		rlmsca 21112	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ V → ℂfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)))
15	3, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld))
16	1	eqcomi 2739	. . . . . . 7 ⊢ (ringLMod‘ℂfld) = 𝐶
17	16	fveq2i 6864	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)) = (Scalar‘𝐶)
18	15, 17	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ ℂfld = (Scalar‘𝐶)
19	18	isclmi 24984	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ ℂfld = (ℂfld ↾s ℂ) ∧ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → 𝐶 ∈ ℂMod)
20	2, 7, 13, 19	mp3an 1463	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂMod
21	1	cnrlvec 25051	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ LVec
22	20, 21	elini 4165	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ (ℂMod ∩ LVec)
23		df-cvs 25031	. 2 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
24	22, 23	eleqtrri 2828	1 ⊢ 𝐶 ∈ ℂVec

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∩ cin 3916  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   ↾_s cress 17207  Scalarcsca 17230  SubRingcsubrg 20485  LModclmod 20773  LVecclvec 21016  ringLModcrglmod 21086  ℂ_fldccnfld 21271  ℂModcclm 24969  ℂVecccvs 25030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-subg 19062  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lvec 21017  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-cnfld 21272  df-clm 24970  df-cvs 25031

This theorem is referenced by:  cnncvs  25066  cnncvsmulassdemo  25071