Theorem cncvs 24992

Description: The complex left module of complex numbers is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrlmod.c	⊢ 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cncvs	⊢ 𝐶 ∈ ℂVec

Proof of Theorem cncvs

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrlmod.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)
2	1	cnrlmod 24990	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ LMod
3		cnfldex 21236	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ V
4		cnfldbas 21237	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
5	4	ressid 17196	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ V → (ℂfld ↾s ℂ) = ℂfld)
6	3, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℂ) = ℂfld
7	6	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ ℂfld = (ℂfld ↾s ℂ)
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
9		addcl 11198	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
10		negcl 11467	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
11		ax-1cn 11174	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		mulcl 11200	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
13	8, 9, 10, 11, 12	cnsubrglem 21284	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)
14		rlmsca 21056	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ V → ℂfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)))
15	3, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld))
16	1	eqcomi 2740	. . . . . . 7 ⊢ (ringLMod‘ℂfld) = 𝐶
17	16	fveq2i 6894	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)) = (Scalar‘𝐶)
18	15, 17	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ℂfld = (Scalar‘𝐶)
19	18	isclmi 24924	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ ℂfld = (ℂfld ↾s ℂ) ∧ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → 𝐶 ∈ ℂMod)
20	2, 7, 13, 19	mp3an 1460	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂMod
21	1	cnrlvec 24991	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ LVec
22	20, 21	elini 4193	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ (ℂMod ∩ LVec)
23		df-cvs 24971	. 2 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
24	22, 23	eleqtrri 2831	1 ⊢ 𝐶 ∈ ℂVec

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ∩ cin 3947  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114   ↾_s cress 17180  Scalarcsca 17207  SubRingcsubrg 20465  LModclmod 20702  LVecclvec 20946  ringLModcrglmod 21016  ℂ_fldccnfld 21233  ℂModcclm 24909  ℂVecccvs 24970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-addf 11195  ax-mulf 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lvec 20947  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-cnfld 21234  df-clm 24910  df-cvs 24971

This theorem is referenced by:  cnncvs  25007  cnncvsmulassdemo  25012