Theorem cncvs 25112

Description: The complex left module of complex numbers is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrlmod.c	⊢ 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cncvs	⊢ 𝐶 ∈ ℂVec

Proof of Theorem cncvs

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrlmod.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)
2	1	cnrlmod 25110	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ LMod
3		cnfldex 21355	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ V
4		cnfldbas 21356	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
5	4	ressid 17214	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ V → (ℂfld ↾s ℂ) = ℂfld)
6	3, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℂ) = ℂfld
7	6	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ ℂfld = (ℂfld ↾s ℂ)
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
9		addcl 11120	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
10		negcl 11393	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
11		ax-1cn 11096	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		mulcl 11122	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
13	8, 9, 10, 11, 12	cnsubrglem 21397	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)
14		rlmsca 21193	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ V → ℂfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)))
15	3, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld))
16	1	eqcomi 2745	. . . . . . 7 ⊢ (ringLMod‘ℂfld) = 𝐶
17	16	fveq2i 6843	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)) = (Scalar‘𝐶)
18	15, 17	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ℂfld = (Scalar‘𝐶)
19	18	isclmi 25044	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ ℂfld = (ℂfld ↾s ℂ) ∧ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → 𝐶 ∈ ℂMod)
20	2, 7, 13, 19	mp3an 1464	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂMod
21	1	cnrlvec 25111	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ LVec
22	20, 21	elini 4139	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ (ℂMod ∩ LVec)
23		df-cvs 25091	. 2 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
24	22, 23	eleqtrri 2835	1 ⊢ 𝐶 ∈ ℂVec

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∩ cin 3888  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   ↾_s cress 17200  Scalarcsca 17223  SubRingcsubrg 20546  LModclmod 20855  LVecclvec 21097  ringLModcrglmod 21167  ℂ_fldccnfld 21352  ℂModcclm 25029  ℂVecccvs 25090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lvec 21098  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-cnfld 21353  df-clm 25030  df-cvs 25091

This theorem is referenced by:  cnncvs  25126  cnncvsmulassdemo  25131