MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncvs 25059
Description: The complex left module of complex numbers is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrlmod.c 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cncvs 𝐶 ∈ ℂVec

Proof of Theorem cncvs
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrlmod.c . . . . 5 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)
21cnrlmod 25057 . . . 4 𝐶 ∈ LMod
3 cnfldex 21269 . . . . . 6 fld ∈ V
4 cnfldbas 21270 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
54ressid 17216 . . . . . 6 (ℂfld ∈ V → (ℂflds ℂ) = ℂfld)
63, 5ax-mp 5 . . . . 5 (ℂflds ℂ) = ℂfld
76eqcomi 2736 . . . 4 fld = (ℂflds ℂ)
8 id 22 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
9 addcl 11212 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
10 negcl 11482 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
11 ax-1cn 11188 . . . . 5 1 ∈ ℂ
12 mulcl 11214 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
138, 9, 10, 11, 12cnsubrglem 21336 . . . 4 ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)
14 rlmsca 21080 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ V → ℂfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)))
153, 14ax-mp 5 . . . . . 6 fld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld))
161eqcomi 2736 . . . . . . 7 (ringLMod‘ℂfld) = 𝐶
1716fveq2i 6894 . . . . . 6 (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)) = (Scalar‘𝐶)
1815, 17eqtri 2755 . . . . 5 fld = (Scalar‘𝐶)
1918isclmi 24991 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ℂfld = (ℂflds ℂ) ∧ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → 𝐶 ∈ ℂMod)
202, 7, 13, 19mp3an 1458 . . 3 𝐶 ∈ ℂMod
211cnrlvec 25058 . . 3 𝐶 ∈ LVec
2220, 21elini 4189 . 2 𝐶 ∈ (ℂMod ∩ LVec)
23 df-cvs 25038 . 2 ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
2422, 23eleqtrri 2827 1 𝐶 ∈ ℂVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3469  cin 3943  cfv 6542  (class class class)co 7414  cc 11128  s cress 17200  Scalarcsca 17227  SubRingcsubrg 20495  LModclmod 20732  LVecclvec 20976  ringLModcrglmod 21046  fldccnfld 21266  ℂModcclm 24976  ℂVecccvs 25037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-subg 19069  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lvec 20977  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-cnfld 21267  df-clm 24977  df-cvs 25038
This theorem is referenced by:  cnncvs  25074  cnncvsmulassdemo  25079
  Copyright terms: Public domain W3C validator