MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncvs 23313
Description: The complex left module of complex numbers is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrlmod.c 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cncvs 𝐶 ∈ ℂVec

Proof of Theorem cncvs
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrlmod.c . . . . 5 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)
21cnrlmod 23311 . . . 4 𝐶 ∈ LMod
3 cnfldex 20108 . . . . . 6 fld ∈ V
4 cnfldbas 20109 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
54ressid 16297 . . . . . 6 (ℂfld ∈ V → (ℂflds ℂ) = ℂfld)
63, 5ax-mp 5 . . . . 5 (ℂflds ℂ) = ℂfld
76eqcomi 2833 . . . 4 fld = (ℂflds ℂ)
8 id 22 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
9 addcl 10333 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
10 negcl 10600 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
11 ax-1cn 10309 . . . . 5 1 ∈ ℂ
12 mulcl 10335 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
138, 9, 10, 11, 12cnsubrglem 20155 . . . 4 ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)
14 rlmsca 19560 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ V → ℂfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)))
153, 14ax-mp 5 . . . . . 6 fld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld))
161eqcomi 2833 . . . . . . 7 (ringLMod‘ℂfld) = 𝐶
1716fveq2i 6435 . . . . . 6 (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)) = (Scalar‘𝐶)
1815, 17eqtri 2848 . . . . 5 fld = (Scalar‘𝐶)
1918isclmi 23245 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ℂfld = (ℂflds ℂ) ∧ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → 𝐶 ∈ ℂMod)
202, 7, 13, 19mp3an 1591 . . 3 𝐶 ∈ ℂMod
211cnrlvec 23312 . . 3 𝐶 ∈ LVec
22 elin 4022 . . 3 (𝐶 ∈ (ℂMod ∩ LVec) ↔ (𝐶 ∈ ℂMod ∧ 𝐶 ∈ LVec))
2320, 21, 22mpbir2an 704 . 2 𝐶 ∈ (ℂMod ∩ LVec)
24 df-cvs 23292 . 2 ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
2523, 24eleqtrri 2904 1 𝐶 ∈ ℂVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1658  wcel 2166  Vcvv 3413  cin 3796  cfv 6122  (class class class)co 6904  cc 10249  s cress 16222  Scalarcsca 16307  SubRingcsubrg 19131  LModclmod 19218  LVecclvec 19460  ringLModcrglmod 19529  fldccnfld 20105  ℂModcclm 23230  ℂVecccvs 23291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-addf 10330  ax-mulf 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-tpos 7616  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-fz 12619  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-starv 16319  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-unif 16327  df-0g 16454  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-subg 17941  df-cmn 18547  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-ring 18902  df-cring 18903  df-oppr 18976  df-dvdsr 18994  df-unit 18995  df-invr 19025  df-dvr 19036  df-drng 19104  df-subrg 19133  df-lmod 19220  df-lvec 19461  df-sra 19532  df-rgmod 19533  df-cnfld 20106  df-clm 23231  df-cvs 23292
This theorem is referenced by:  cnncvs  23327  cnncvsmulassdemo  23332
  Copyright terms: Public domain W3C validator