Theorem cncvs 24214

Description: The complex left module of complex numbers is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrlmod.c	⊢ 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
cncvs	⊢ 𝐶 ∈ ℂVec

Proof of Theorem cncvs

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrlmod.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ringLMod‘ℂfld)
2	1	cnrlmod 24212	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ LMod
3		cnfldex 20513	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ V
4		cnfldbas 20514	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
5	4	ressid 16880	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ V → (ℂfld ↾s ℂ) = ℂfld)
6	3, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℂ) = ℂfld
7	6	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ ℂfld = (ℂfld ↾s ℂ)
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
9		addcl 10884	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
10		negcl 11151	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
11		ax-1cn 10860	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		mulcl 10886	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
13	8, 9, 10, 11, 12	cnsubrglem 20560	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)
14		rlmsca 20383	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ V → ℂfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)))
15	3, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℂfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld))
16	1	eqcomi 2747	. . . . . . 7 ⊢ (ringLMod‘ℂfld) = 𝐶
17	16	fveq2i 6759	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)) = (Scalar‘𝐶)
18	15, 17	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ ℂfld = (Scalar‘𝐶)
19	18	isclmi 24146	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ ℂfld = (ℂfld ↾s ℂ) ∧ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → 𝐶 ∈ ℂMod)
20	2, 7, 13, 19	mp3an 1459	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂMod
21	1	cnrlvec 24213	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ LVec
22	20, 21	elini 4123	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ (ℂMod ∩ LVec)
23		df-cvs 24193	. 2 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
24	22, 23	eleqtrri 2838	1 ⊢ 𝐶 ∈ ℂVec

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∩ cin 3882  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   ↾_s cress 16867  Scalarcsca 16891  SubRingcsubrg 19935  LModclmod 20038  LVecclvec 20279  ringLModcrglmod 20346  ℂ_fldccnfld 20510  ℂModcclm 24131  ℂVecccvs 24192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lvec 20280  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-cnfld 20511  df-clm 24132  df-cvs 24193

This theorem is referenced by:  cnncvs  24228  cnncvsmulassdemo  24233