Theorem evlrhm 22465

Description: The simple evaluation map is a ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlval.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
evlval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evlrhm.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlrhm.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlrhm	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem evlrhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20523	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
3		evlval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	3	subrgid 20876	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
5	2, 4	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		evlval.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
7	6, 3	evlval 22464	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝐵)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) = (𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)
10		evlrhm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
11	7, 8, 9, 10, 3	evlsrhm 22452	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) RingHom 𝑇))
12	5, 11	mpd3an3 1492	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) RingHom 𝑇))
13	3	ressid 17466	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
14	13	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
15	14	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) = (𝐼 mPoly 𝑅))
16		evlrhm.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
17	15, 16	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) = 𝑊)
18	17	oveq1d 7466	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) RingHom 𝑇) = (𝑊 RingHom 𝑇))
19	12, 18	eleqtrd 2866	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452   ↑_s cpws 17667  Ringcrg 20510  CRingccrg 20511   RingHom crh 20750  SubRingcsubrg 20872   mPoly cmpl 22269   eval cevl 22437

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-srg 20464  df-ring 20512  df-cring 20513  df-rhm 20753  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-assa 22216  df-asp 22217  df-ascl 22218  df-psr 22272  df-mvr 22273  df-mpl 22274  df-evls 22438  df-evl 22439

This theorem is used by:  evlcl  22466  evladdval  22467  evlmulval  22468  evl1val  22702  evl1rhm  22705  mpfpf1  22724  pf1mpf  22725