Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlrhm 19925
 Description: The simple evaluation map is a ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlval.q 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
evlval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evlrhm.w 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlrhm.t 𝑇 = (𝑅s (𝐵𝑚 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlrhm ((𝐼𝑉𝑅 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem evlrhm
StepHypRef Expression
1 crngring 18949 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21adantl 475 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
3 evlval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
43subrgid 19178 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
52, 4syl 17 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ CRing) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
6 evlval.q . . . . 5 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
76, 3evlval 19924 . . . 4 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝐵)
8 eqid 2778 . . . 4 (𝐼 mPoly (𝑅s 𝐵)) = (𝐼 mPoly (𝑅s 𝐵))
9 eqid 2778 . . . 4 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
10 evlrhm.t . . . 4 𝑇 = (𝑅s (𝐵𝑚 𝐼))
117, 8, 9, 10, 3evlsrhm 19921 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly (𝑅s 𝐵)) RingHom 𝑇))
125, 11mpd3an3 1535 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly (𝑅s 𝐵)) RingHom 𝑇))
133ressid 16335 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → (𝑅s 𝐵) = 𝑅)
1413adantl 475 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ CRing) → (𝑅s 𝐵) = 𝑅)
1514oveq2d 6940 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ CRing) → (𝐼 mPoly (𝑅s 𝐵)) = (𝐼 mPoly 𝑅))
16 evlrhm.w . . . 4 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
1715, 16syl6eqr 2832 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ CRing) → (𝐼 mPoly (𝑅s 𝐵)) = 𝑊)
1817oveq1d 6939 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ CRing) → ((𝐼 mPoly (𝑅s 𝐵)) RingHom 𝑇) = (𝑊 RingHom 𝑇))
1912, 18eleqtrd 2861 1 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ↑𝑚 cmap 8142  Basecbs 16259   ↾s cress 16260   ↑s cpws 16497  Ringcrg 18938  CRingccrg 18939   RingHom crh 19105  SubRingcsubrg 19172   mPoly cmpl 19754   eval cevl 19905 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-ofr 7177  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-sup 8638  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-hash 13440  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-ip 16360  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-hom 16366  df-cco 16367  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-prds 16498  df-pws 16500  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-mhm 17725  df-submnd 17726  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-sbg 17818  df-mulg 17932  df-subg 17979  df-ghm 18046  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-abl 18586  df-mgp 18881  df-ur 18893  df-srg 18897  df-ring 18940  df-cring 18941  df-rnghom 19108  df-subrg 19174  df-lmod 19261  df-lss 19329  df-lsp 19371  df-assa 19713  df-asp 19714  df-ascl 19715  df-psr 19757  df-mvr 19758  df-mpl 19759  df-evls 19906  df-evl 19907 This theorem is referenced by:  evl1val  20093  evl1rhm  20096  mpfpf1  20115  pf1mpf  20116
 Copyright terms: Public domain W3C validator