Theorem evlrhm 22121

Description: The simple evaluation map is a ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlval.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
evlval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evlrhm.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlrhm.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlrhm	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem evlrhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20243	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
3		evlval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	3	subrgid 20574	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		evlval.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑅)
7	6, 3	evlval 22120	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑅)‘𝐵)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) = (𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)
10		evlrhm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 𝐼))
11	7, 8, 9, 10, 3	evlsrhm 22113	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) RingHom 𝑇))
12	5, 11	mpd3an3 1463	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ ((𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) RingHom 𝑇))
13	3	ressid 17291	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
15	14	oveq2d 7448	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) = (𝐼 mPoly 𝑅))
16		evlrhm.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
17	15, 16	eqtr4di 2794	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) = 𝑊)
18	17	oveq1d 7447	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐼 mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) RingHom 𝑇) = (𝑊 RingHom 𝑇))
19	12, 18	eleqtrd 2842	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑊 RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ↑_m cmap 8867  Basecbs 17248   ↾_s cress 17275   ↑_s cpws 17492  Ringcrg 20231  CRingccrg 20232   RingHom crh 20470  SubRingcsubrg 20570   mPoly cmpl 21927   eval cevl 22098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-srg 20185  df-ring 20233  df-cring 20234  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-assa 21874  df-asp 21875  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-evls 22099  df-evl 22100

This theorem is referenced by:  evl1val  22334  evl1rhm  22337  mpfpf1  22356  pf1mpf  22357  evlcl  42587  evladdval  42590  evlmulval  42591