Theorem rlmsca 21142

Description: Scalars in the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlmsca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))

Proof of Theorem rlmsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2	1	ressid 17165	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
3		rlmval 21135	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅)))
5		ssidd 3955	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
6	4, 5	srasca 21124	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
7	2, 6	eqtr3d 2770	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17130   ↾_s cress 17151  Scalarcsca 17174  subringAlg csra 21115  ringLModcrglmod 21116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-ress 17152  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-ip 17189  df-sra 21117  df-rgmod 21118

This theorem is referenced by:  rlmlvec  21148  elrspsn  21187  isphld  21601  phlpropd  21602  frlmlmod  21696  frlmpws  21697  frlmlss  21698  frlmpwsfi  21699  frlmsca  21700  frlmbas  21702  frlmvscafval  21713  cncvs  25082  recvs  25083  qcvs  25084  zclmncvs  25085  cnncvsmulassdemo  25101  elrsp  33348  frlmsnic  42648  mhphf2  42706