Theorem rlmsca 21184

Description: Scalars in the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlmsca	⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))

Proof of Theorem rlmsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2	1	ressid 17258	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
3		rlmval 21177	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅)))
5		ssidd 4003	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
6	4, 5	srasca 21162	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
7	2, 6	eqtr3d 2768	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑋 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213   ↾_s cress 17242  Scalarcsca 17269  subringAlg csra 21149  ringLModcrglmod 21150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-ress 17243  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-sra 21151  df-rgmod 21152

This theorem is referenced by:  rlmlvec  21190  elrspsn  21229  isphld  21650  phlpropd  21651  frlmlmod  21747  frlmpws  21748  frlmlss  21749  frlmpwsfi  21750  frlmsca  21751  frlmbas  21753  frlmvscafval  21764  cncvs  25163  recvs  25164  recvsOLD  25165  qcvs  25166  zclmncvs  25167  cnncvsmulassdemo  25183  elrsp  33247  frlmsnic  42012  mhphf2  42070