Theorem subrgid 19530

Description: Every ring is a subring of itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgid	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem subrgid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
2		subrgss.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	ressid 16551	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
4	3, 1	eqeltrd 2890	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Ring)
5		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6	2, 5	ringidcl 19314	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
7		ssid 3937	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
8	6, 7	jctil 523	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵))
9	2, 5	issubrg 19528	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Ring) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)))
10	1, 4, 8, 9	syl21anbrc 1341	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  1_rcur 19244  Ringcrg 19290  SubRingcsubrg 19524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-subrg 19526

This theorem is referenced by:  subrgmre  19552  rnrhmsubrg  19560  sdrgid  19568  rlmlmod  19970  rlmassa  20557  aspval  20559  evlrhm  20768  evlsscasrng  20769  evlsca  20770  evlsvarsrng  20771  evlvar  20772  mpfsubrg  20775  evl1sca  20958  evl1var  20960  evls1scasrng  20963  evls1varsrng  20964  pf1subrg  20972  pf1ind  20979  evl1gsumadd  20982  evl1varpw  20985  rlmnlm  23294  rlmbn  23965  dvply2  24882  dvnply  24884  taylply  24964  rgmoddim  31096  fldextid  31137  mzpmfp  39688  rgspnval  40112  rgspncl  40113