Theorem subrgid 19174

Description: Every ring is a subring of itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgid	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem subrgid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgss.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	ressid 16331	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
4	2, 3	eqeltrd 2859	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Ring)
5	4	ancli 544	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Ring))
6		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	1, 6	ringidcl 18955	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
8		ssid 3842	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
9	7, 8	jctil 515	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵))
10	1, 6	issubrg 19172	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Ring) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)))
11	5, 9, 10	sylanbrc 578	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255   ↾_s cress 16256  1_rcur 18888  Ringcrg 18934  SubRingcsubrg 19168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-subrg 19170

This theorem is referenced by:  subrgmre  19196  rlmlmod  19602  rlmassa  19723  aspval  19725  evlrhm  19921  evlsscasrng  19922  evlsca  19923  evlsvarsrng  19924  evlvar  19925  mpfsubrg  19928  evl1sca  20094  evl1var  20096  evls1scasrng  20099  evls1varsrng  20100  pf1subrg  20108  pf1ind  20115  evl1gsumadd  20118  evl1varpw  20121  rlmnlm  22900  rlmbn  23567  dvply2  24478  dvnply  24480  taylply  24560  mzpmfp  38274  rgspnval  38701  rgspncl  38702