Theorem subrgid 20654

Description: Every ring is a subring of itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgid	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem subrgid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
2		subrgss.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	ressid 17300	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
4	3, 1	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Ring)
5		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6	2, 5	ringidcl 20344	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
7		ssid 3967	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
8	6, 7	jctil 528	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵))
9	2, 5	issubrg 20652	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Ring) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)))
10	1, 4, 8, 9	syl21anbrc 1361	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265   ↾_s cress 17286  1_rcur 20259  Ringcrg 20311  SubRingcsubrg 20650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mgp 20213  df-ur 20260  df-ring 20313  df-subrg 20651

This theorem is referenced by:  subrgmre  20678  rnrhmsubrg  20686  rgspnval  20693  rgspncl  20694  sdrgid  20869  rlmlmod  21298  ring2idlqus  21416  rlmassa  21985  aspval  21987  evlrhm  22217  evlsscasrng  22221  evlsca  22222  evlsvarsrng  22223  evlvar  22224  mpfsubrg  22227  evlsevl  22248  evlvvval  22249  evl1sca  22459  evl1var  22461  evls1scasrng  22464  evls1varsrng  22465  pf1subrg  22473  pf1ind  22480  evl1gsumadd  22483  evl1varpw  22486  ressply1evl  22495  evl1maprhm  22504  rlmnlm  24810  rlmbn  25485  dvply2  26412  dvnply  26414  taylply  26494  evl1fpws  33795  selvascl  33848  evlextv  33873  fldextid  33990  cos9thpiminply  34119  riccrng1  43174  evlvvvallem  43204  mhphf4  43217  mzpmfp  43363