Theorem subrgid 20007

Description: Every ring is a subring of itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgid	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem subrgid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
2		subrgss.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	ressid 16935	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
4	3, 1	eqeltrd 2840	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Ring)
5		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6	2, 5	ringidcl 19788	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
7		ssid 3947	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
8	6, 7	jctil 519	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵))
9	2, 5	issubrg 20005	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Ring) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)))
10	1, 4, 8, 9	syl21anbrc 1342	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3891  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Basecbs 16893   ↾_s cress 16922  1_rcur 19718  Ringcrg 19764  SubRingcsubrg 20001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-0g 17133  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-subrg 20003

This theorem is referenced by:  subrgmre  20029  rnrhmsubrg  20037  sdrgid  20045  rlmlmod  20456  rlmassa  21056  aspval  21058  evlrhm  21287  evlsscasrng  21288  evlsca  21289  evlsvarsrng  21290  evlvar  21291  mpfsubrg  21294  evl1sca  21481  evl1var  21483  evls1scasrng  21486  evls1varsrng  21487  pf1subrg  21495  pf1ind  21502  evl1gsumadd  21505  evl1varpw  21508  rlmnlm  23833  rlmbn  24506  dvply2  25427  dvnply  25429  taylply  25509  rgmoddim  31672  fldextid  31713  mhphf4  40268  mzpmfp  40549  rgspnval  40973  rgspncl  40974