Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rgmoddimOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rgmoddimOLD 33151
Description: Obsolete version of rlmdim 33150 as of 21-Mar-2025. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
rlmdim.1 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
rgmoddimOLD (𝐹 ∈ Field → (dim‘𝑉) = 1)

Proof of Theorem rgmoddimOLD
StepHypRef Expression
1 isfld 20594 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
21simplbi 497 . . . 4 (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
3 eqid 2731 . . . . . 6 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
43ressid 17196 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → (𝐹s (Base‘𝐹)) = 𝐹)
54, 2eqeltrd 2832 . . . 4 (𝐹 ∈ Field → (𝐹s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
6 drngring 20590 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
73subrgid 20471 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐹))
82, 6, 73syl 18 . . . 4 (𝐹 ∈ Field → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐹))
9 rlmdim.1 . . . . . 6 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)
10 rlmval 21043 . . . . . 6 (ringLMod‘𝐹) = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
119, 10eqtri 2759 . . . . 5 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
12 eqid 2731 . . . . 5 (𝐹s (Base‘𝐹)) = (𝐹s (Base‘𝐹))
1311, 12sralvec 33128 . . . 4 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (𝐹s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐹)) → 𝑉 ∈ LVec)
142, 5, 8, 13syl3anc 1370 . . 3 (𝐹 ∈ Field → 𝑉 ∈ LVec)
152, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ Ring)
16 ssidd 4005 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Field → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹))
1711, 3sraring 21038 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)) → 𝑉 ∈ Ring)
1815, 16, 17syl2anc 583 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field → 𝑉 ∈ Ring)
19 eqid 2731 . . . . . . 7 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
20 eqid 2731 . . . . . . 7 (1r𝑉) = (1r𝑉)
2119, 20ringidcl 20161 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Ring → (1r𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
2218, 21syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → (1r𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
2311, 3sradrng 33126 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)) → 𝑉 ∈ DivRing)
242, 16, 23syl2anc 583 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field → 𝑉 ∈ DivRing)
25 eqid 2731 . . . . . . 7 (0g𝑉) = (0g𝑉)
2625, 20drngunz 20602 . . . . . 6 (𝑉 ∈ DivRing → (1r𝑉) ≠ (0g𝑉))
2724, 26syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → (1r𝑉) ≠ (0g𝑉))
2819, 25lindssn 32936 . . . . 5 ((𝑉 ∈ LVec ∧ (1r𝑉) ∈ (Base‘𝑉) ∧ (1r𝑉) ≠ (0g𝑉)) → {(1r𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
2914, 22, 27, 28syl3anc 1370 . . . 4 (𝐹 ∈ Field → {(1r𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
30 rspval 21066 . . . . . . . . 9 (RSpan‘𝐹) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
319fveq2i 6894 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
3230, 31eqtr4i 2762 . . . . . . . 8 (RSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝑉)
3332fveq1i 6892 . . . . . . 7 ((RSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}) = ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝐹)})
34 eqid 2731 . . . . . . . 8 (RSpan‘𝐹) = (RSpan‘𝐹)
35 eqid 2731 . . . . . . . 8 (1r𝐹) = (1r𝐹)
3634, 3, 35rsp1 21092 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring → ((RSpan‘𝐹)‘{(1r𝐹)}) = (Base‘𝐹))
3733, 36eqtr3id 2785 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝐹)}) = (Base‘𝐹))
382, 6, 373syl 18 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝐹)}) = (Base‘𝐹))
3911a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Field → 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹)))
40 eqidd 2732 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Field → (1r𝐹) = (1r𝐹))
4139, 40, 16sra1r 33125 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Field → (1r𝐹) = (1r𝑉))
4241sneqd 4640 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field → {(1r𝐹)} = {(1r𝑉)})
4342fveq2d 6895 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝐹)}) = ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝑉)}))
4439, 16srabase 21022 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → (Base‘𝐹) = (Base‘𝑉))
4538, 43, 443eqtr3d 2779 . . . 4 (𝐹 ∈ Field → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝑉)}) = (Base‘𝑉))
46 eqid 2731 . . . . 5 (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
47 eqid 2731 . . . . 5 (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘𝑉)
4819, 46, 47islbs4 21698 . . . 4 ({(1r𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉) ↔ ({(1r𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉) ∧ ((LSpan‘𝑉)‘{(1r𝑉)}) = (Base‘𝑉)))
4929, 45, 48sylanbrc 582 . . 3 (𝐹 ∈ Field → {(1r𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉))
5046dimval 33141 . . 3 ((𝑉 ∈ LVec ∧ {(1r𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r𝑉)}))
5114, 49, 50syl2anc 583 . 2 (𝐹 ∈ Field → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r𝑉)}))
52 fvex 6904 . . 3 (1r𝑉) ∈ V
53 hashsng 14336 . . 3 ((1r𝑉) ∈ V → (♯‘{(1r𝑉)}) = 1)
5452, 53ax-mp 5 . 2 (♯‘{(1r𝑉)}) = 1
5551, 54eqtrdi 2787 1 (𝐹 ∈ Field → (dim‘𝑉) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  Vcvv 3473  wss 3948  {csn 4628  cfv 6543  (class class class)co 7412  1c1 11117  chash 14297  Basecbs 17151  s cress 17180  0gc0g 17392  1rcur 20082  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135  SubRingcsubrg 20465  DivRingcdr 20583  Fieldcfield 20584  LSpanclspn 20814  LBasisclbs 20918  LVecclvec 20946  subringAlg csra 21015  ringLModcrglmod 21016  RSpancrsp 21062  LIndSclinds 21671  dimcldim 33139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-reg 9593  ax-inf2 9642  ax-ac2 10464  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-oi 9511  df-r1 9765  df-rank 9766  df-card 9940  df-acn 9943  df-ac 10117  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ocomp 17225  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-mri 17539  df-acs 17540  df-proset 18258  df-drs 18259  df-poset 18276  df-ipo 18491  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-field 20586  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lbs 20919  df-lvec 20947  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-lidl 21063  df-rsp 21064  df-lindf 21672  df-linds 21673  df-dim 33140
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator