Theorem rgmoddimOLD 33625

Description: Obsolete version of rlmdim 33624 as of 21-Mar-2025. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
rlmdim.1	⊢ 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
rgmoddimOLD	⊢ (𝐹 ∈ Field → (dim‘𝑉) = 1)

Proof of Theorem rgmoddimOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfld 20764	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
2	1	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
3		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
4	3	ressid 17305	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (𝐹 ↾s (Base‘𝐹)) = 𝐹)
5	4, 2	eqeltrd 2844	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (𝐹 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
6		drngring 20760	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
7	3	subrgid 20603	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐹))
8	2, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐹))
9		rlmdim.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)
10		rlmval 21223	. . . . . 6 ⊢ (ringLMod‘𝐹) = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
11	9, 10	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
12		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾s (Base‘𝐹)) = (𝐹 ↾s (Base‘𝐹))
13	11, 12	sralvec 33602	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (𝐹 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐹)) → 𝑉 ∈ LVec)
14	2, 5, 8, 13	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝑉 ∈ LVec)
15	2, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ Ring)
16		ssidd 4032	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹))
17	11, 3	sraring 21218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)) → 𝑉 ∈ Ring)
18	15, 16, 17	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝑉 ∈ Ring)
19		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
20		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑉) = (1r‘𝑉)
21	19, 20	ringidcl 20291	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Ring → (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
22	18, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
23	11, 3	sradrng 33600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)) → 𝑉 ∈ DivRing)
24	2, 16, 23	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝑉 ∈ DivRing)
25		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑉) = (0g‘𝑉)
26	25, 20	drngunz 20771	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ DivRing → (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉))
27	24, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉))
28	19, 25	lindssn 33373	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉) ∧ (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉)) → {(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
29	14, 22, 27, 28	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field → {(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
30		rspval 21246	. . . . . . . . 9 ⊢ (RSpan‘𝐹) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
31	9	fveq2i 6925	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
32	30, 31	eqtr4i 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝑉)
33	32	fveq1i 6923	. . . . . . 7 ⊢ ((RSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) = ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)})
34		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝐹) = (RSpan‘𝐹)
35		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
36	34, 3, 35	rsp1 21272	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → ((RSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) = (Base‘𝐹))
37	33, 36	eqtr3id 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = (Base‘𝐹))
38	2, 6, 37	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = (Base‘𝐹))
39	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹)))
40		eqidd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹))
41	39, 40, 16	sra1r 33599	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (1r‘𝐹) = (1r‘𝑉))
42	41	sneqd 4660	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Field → {(1r‘𝐹)} = {(1r‘𝑉)})
43	42	fveq2d 6926	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}))
44	39, 16	srabase 21202	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (Base‘𝐹) = (Base‘𝑉))
45	38, 43, 44	3eqtr3d 2788	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}) = (Base‘𝑉))
46		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
47		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘𝑉)
48	19, 46, 47	islbs4 21877	. . . 4 ⊢ ({(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉) ↔ ({(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉) ∧ ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}) = (Base‘𝑉)))
49	29, 45, 48	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Field → {(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉))
50	46	dimval 33615	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ {(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r‘𝑉)}))
51	14, 49, 50	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r‘𝑉)}))
52		fvex 6935	. . 3 ⊢ (1r‘𝑉) ∈ V
53		hashsng 14420	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑉) ∈ V → (♯‘{(1r‘𝑉)}) = 1)
54	52, 53	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{(1r‘𝑉)}) = 1
55	51, 54	eqtrdi 2796	1 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (dim‘𝑉) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  1c1 11187  ♯chash 14381  Basecbs 17260   ↾_s cress 17289  0_gc0g 17501  1_rcur 20210  Ringcrg 20262  CRingccrg 20263  SubRingcsubrg 20597  DivRingcdr 20753  Fieldcfield 20754  LSpanclspn 20994  LBasisclbs 21098  LVecclvec 21126  subringAlg csra 21195  ringLModcrglmod 21196  RSpancrsp 21242  LIndSclinds 21850  dimcldim 33613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-reg 9663  ax-inf2 9712  ax-ac2 10534  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-tpos 8269  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-er 8765  df-map 8888  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-oi 9581  df-r1 9835  df-rank 9836  df-card 10010  df-acn 10013  df-ac 10187  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-xnn0 12628  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-fz 13570  df-hash 14382  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ocomp 17334  df-0g 17503  df-mre 17646  df-mrc 17647  df-mri 17648  df-acs 17649  df-proset 18367  df-drs 18368  df-poset 18385  df-ipo 18600  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-submnd 18821  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-cmn 19826  df-abl 19827  df-mgp 20164  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20362  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-subrg 20599  df-drng 20755  df-field 20756  df-lmod 20884  df-lss 20955  df-lsp 20995  df-lbs 21099  df-lvec 21127  df-sra 21197  df-rgmod 21198  df-lidl 21243  df-rsp 21244  df-lindf 21851  df-linds 21852  df-dim 33614

This theorem is referenced by: (None)