Theorem rgmoddimOLD 33606

Description: Obsolete version of rlmdim 33605 as of 21-Mar-2025. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Aug-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
rlmdim.1	⊢ 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
rgmoddimOLD	⊢ (𝐹 ∈ Field → (dim‘𝑉) = 1)

Proof of Theorem rgmoddimOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfld 20649	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
2	1	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
3		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
4	3	ressid 17214	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (𝐹 ↾s (Base‘𝐹)) = 𝐹)
5	4, 2	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (𝐹 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing)
6		drngring 20645	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
7	3	subrgid 20482	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐹))
8	2, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐹))
9		rlmdim.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (ringLMod‘𝐹)
10		rlmval 21098	. . . . . 6 ⊢ (ringLMod‘𝐹) = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
11	9, 10	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹))
12		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾s (Base‘𝐹)) = (𝐹 ↾s (Base‘𝐹))
13	11, 12	sralvec 33581	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (𝐹 ↾s (Base‘𝐹)) ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘𝐹)) → 𝑉 ∈ LVec)
14	2, 5, 8, 13	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝑉 ∈ LVec)
15	2, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ Ring)
16		ssidd 3970	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹))
17	11, 3	sraring 21093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)) → 𝑉 ∈ Ring)
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝑉 ∈ Ring)
19		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
20		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑉) = (1r‘𝑉)
21	19, 20	ringidcl 20174	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Ring → (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
22	18, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉))
23	11, 3	sradrng 33578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (Base‘𝐹) ⊆ (Base‘𝐹)) → 𝑉 ∈ DivRing)
24	2, 16, 23	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝑉 ∈ DivRing)
25		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑉) = (0g‘𝑉)
26	25, 20	drngunz 20656	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ DivRing → (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉))
27	24, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉))
28	19, 25	lindssn 33349	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ (1r‘𝑉) ∈ (Base‘𝑉) ∧ (1r‘𝑉) ≠ (0g‘𝑉)) → {(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
29	14, 22, 27, 28	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field → {(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉))
30		rspval 21121	. . . . . . . . 9 ⊢ (RSpan‘𝐹) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
31	9	fveq2i 6861	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐹))
32	30, 31	eqtr4i 2755	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝑉)
33	32	fveq1i 6859	. . . . . . 7 ⊢ ((RSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) = ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)})
34		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝐹) = (RSpan‘𝐹)
35		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
36	34, 3, 35	rsp1 21147	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → ((RSpan‘𝐹)‘{(1r‘𝐹)}) = (Base‘𝐹))
37	33, 36	eqtr3id 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = (Base‘𝐹))
38	2, 6, 37	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = (Base‘𝐹))
39	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝑉 = ((subringAlg ‘𝐹)‘(Base‘𝐹)))
40		eqidd 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹))
41	39, 40, 16	sra1r 33577	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (1r‘𝐹) = (1r‘𝑉))
42	41	sneqd 4601	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Field → {(1r‘𝐹)} = {(1r‘𝑉)})
43	42	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝐹)}) = ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}))
44	39, 16	srabase 21084	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (Base‘𝐹) = (Base‘𝑉))
45	38, 43, 44	3eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field → ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}) = (Base‘𝑉))
46		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝑉) = (LBasis‘𝑉)
47		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑉) = (LSpan‘𝑉)
48	19, 46, 47	islbs4 21741	. . . 4 ⊢ ({(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉) ↔ ({(1r‘𝑉)} ∈ (LIndS‘𝑉) ∧ ((LSpan‘𝑉)‘{(1r‘𝑉)}) = (Base‘𝑉)))
49	29, 45, 48	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Field → {(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉))
50	46	dimval 33596	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ {(1r‘𝑉)} ∈ (LBasis‘𝑉)) → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r‘𝑉)}))
51	14, 49, 50	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (dim‘𝑉) = (♯‘{(1r‘𝑉)}))
52		fvex 6871	. . 3 ⊢ (1r‘𝑉) ∈ V
53		hashsng 14334	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑉) ∈ V → (♯‘{(1r‘𝑉)}) = 1)
54	52, 53	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{(1r‘𝑉)}) = 1
55	51, 54	eqtrdi 2780	1 ⊢ (𝐹 ∈ Field → (dim‘𝑉) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  {csn 4589  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1c1 11069  ♯chash 14295  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  0_gc0g 17402  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  CRingccrg 20143  SubRingcsubrg 20478  DivRingcdr 20638  Fieldcfield 20639  LSpanclspn 20877  LBasisclbs 20981  LVecclvec 21009  subringAlg csra 21078  ringLModcrglmod 21079  RSpancrsp 21117  LIndSclinds 21714  dimcldim 33594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-reg 9545  ax-inf2 9594  ax-ac2 10416  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-oi 9463  df-r1 9717  df-rank 9718  df-card 9892  df-acn 9895  df-ac 10069  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ocomp 17241  df-0g 17404  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-mri 17549  df-acs 17550  df-proset 18255  df-drs 18256  df-poset 18274  df-ipo 18487  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-subrg 20479  df-drng 20640  df-field 20641  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-lbs 20982  df-lvec 21010  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-lidl 21118  df-rsp 21119  df-lindf 21715  df-linds 21716  df-dim 33595

This theorem is referenced by: (None)