MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1varsrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1varsrng 22289
Description: The evaluation of the variable of univariate polynomials over subring yields the same result as evaluated as variable of the polynomials over the ring itself. (Contributed by AV, 12-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1varsrng.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1varsrng.o 𝑂 = (eval1𝑆)
evls1varsrng.v 𝑉 = (var1𝑈)
evls1varsrng.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evls1varsrng.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1varsrng.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evls1varsrng.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
evls1varsrng (𝜑 → (𝑄𝑉) = (𝑂𝑉))

Proof of Theorem evls1varsrng
StepHypRef Expression
1 evls1varsrng.q . . 3 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
2 evls1varsrng.v . . 3 𝑉 = (var1𝑈)
3 evls1varsrng.u . . 3 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
4 evls1varsrng.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 evls1varsrng.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
6 evls1varsrng.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
71, 2, 3, 4, 5, 6evls1var 22287 . 2 (𝜑 → (𝑄𝑉) = ( I ↾ 𝐵))
8 evls1varsrng.o . . . . . 6 𝑂 = (eval1𝑆)
98, 4evl1fval1 22280 . . . . 5 𝑂 = (𝑆 evalSub1 𝐵)
109a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑂 = (𝑆 evalSub1 𝐵))
1110fveq1d 6898 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝑉) = ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘𝑉))
122a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑉 = (var1𝑈))
13 eqid 2725 . . . . . 6 (var1𝑆) = (var1𝑆)
1413, 6, 3subrgvr1 22210 . . . . 5 (𝜑 → (var1𝑆) = (var1𝑈))
154ressid 17233 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ CRing → (𝑆s 𝐵) = 𝑆)
165, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆s 𝐵) = 𝑆)
1716eqcomd 2731 . . . . . 6 (𝜑𝑆 = (𝑆s 𝐵))
1817fveq2d 6900 . . . . 5 (𝜑 → (var1𝑆) = (var1‘(𝑆s 𝐵)))
1912, 14, 183eqtr2d 2771 . . . 4 (𝜑𝑉 = (var1‘(𝑆s 𝐵)))
2019fveq2d 6900 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘𝑉) = ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑆s 𝐵))))
21 eqid 2725 . . . 4 (𝑆 evalSub1 𝐵) = (𝑆 evalSub1 𝐵)
22 eqid 2725 . . . 4 (var1‘(𝑆s 𝐵)) = (var1‘(𝑆s 𝐵))
23 eqid 2725 . . . 4 (𝑆s 𝐵) = (𝑆s 𝐵)
24 crngring 20202 . . . . 5 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
254subrgid 20529 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
265, 24, 253syl 18 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
2721, 22, 23, 4, 5, 26evls1var 22287 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑆s 𝐵))) = ( I ↾ 𝐵))
2811, 20, 273eqtrrd 2770 . 2 (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) = (𝑂𝑉))
297, 28eqtrd 2765 1 (𝜑 → (𝑄𝑉) = (𝑂𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098   I cid 5575  cres 5680  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17188  s cress 17217  Ringcrg 20190  CRingccrg 20191  SubRingcsubrg 20523  var1cv1 22123   evalSub1 ces1 22262  eval1ce1 22263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-sup 9472  df-oi 9540  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14008  df-hash 14331  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-ress 17218  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-sca 17257  df-vsca 17258  df-ip 17259  df-tset 17260  df-ple 17261  df-ds 17263  df-hom 17265  df-cco 17266  df-0g 17431  df-gsum 17432  df-prds 17437  df-pws 17439  df-mre 17574  df-mrc 17575  df-acs 17577  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18748  df-submnd 18749  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19037  df-subg 19091  df-ghm 19181  df-cntz 19285  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20092  df-rng 20110  df-ur 20139  df-srg 20144  df-ring 20192  df-cring 20193  df-rhm 20428  df-subrng 20500  df-subrg 20525  df-lmod 20762  df-lss 20833  df-lsp 20873  df-assa 21809  df-asp 21810  df-ascl 21811  df-psr 21864  df-mvr 21865  df-mpl 21866  df-opsr 21868  df-evls 22045  df-evl 22046  df-psr1 22127  df-vr1 22128  df-ply1 22129  df-evls1 22264  df-evl1 22265
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator