Theorem evls1varsrng 22263

Description: The evaluation of the variable of univariate polynomials over subring yields the same result as evaluated as variable of the polynomials over the ring itself. (Contributed by AV, 12-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1varsrng.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1varsrng.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑆)
evls1varsrng.v	⊢ 𝑉 = (var1‘𝑈)
evls1varsrng.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1varsrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1varsrng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1varsrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
evls1varsrng	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑉) = (𝑂‘𝑉))

Proof of Theorem evls1varsrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1varsrng.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
2		evls1varsrng.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (var1‘𝑈)
3		evls1varsrng.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
4		evls1varsrng.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		evls1varsrng.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
6		evls1varsrng.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	evls1var 22261	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑉) = ( I ↾ 𝐵))
8		evls1varsrng.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑆)
9	8, 4	evl1fval1 22254	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑆 evalSub1 𝐵)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑆 evalSub1 𝐵))
11	10	fveq1d 6892	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑉) = ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘𝑉))
12	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (var1‘𝑈))
13		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (var1‘𝑆) = (var1‘𝑆)
14	13, 6, 3	subrgvr1 22184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑆) = (var1‘𝑈))
15	4	ressid 17219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s 𝐵) = 𝑆)
16	5, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐵) = 𝑆)
17	16	eqcomd 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 ↾s 𝐵))
18	17	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑆) = (var1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
19	12, 14, 18	3eqtr2d 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (var1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
20	19	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘𝑉) = ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑆 ↾s 𝐵))))
21		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝑆 evalSub1 𝐵) = (𝑆 evalSub1 𝐵)
22		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (var1‘(𝑆 ↾s 𝐵)) = (var1‘(𝑆 ↾s 𝐵))
23		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
24		crngring 20184	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
25	4	subrgid 20511	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
26	5, 24, 25	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
27	21, 22, 23, 4, 5, 26	evls1var 22261	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑆 ↾s 𝐵))) = ( I ↾ 𝐵))
28	11, 20, 27	3eqtrrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) = (𝑂‘𝑉))
29	7, 28	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑉) = (𝑂‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   I cid 5570   ↾ cres 5675  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174   ↾_s cress 17203  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173  SubRingcsubrg 20505  var₁cv1 22098   evalSub₁ ces1 22236  eval₁ce1 22237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-cring 20175  df-rhm 20410  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-assa 21786  df-asp 21787  df-ascl 21788  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-evls 22020  df-evl 22021  df-psr1 22102  df-vr1 22103  df-ply1 22104  df-evls1 22238  df-evl1 22239

This theorem is referenced by: (None)