Theorem evls1varsrng 20071

Description: The evaluation of the variable of univariate polynomials over subring yields the same result as evaluated as variable of the polynomials over the ring itself. (Contributed by AV, 12-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1varsrng.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1varsrng.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑆)
evls1varsrng.v	⊢ 𝑉 = (var1‘𝑈)
evls1varsrng.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1varsrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1varsrng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1varsrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
evls1varsrng	⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑉) = (𝑂‘𝑉))

Proof of Theorem evls1varsrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1varsrng.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
2		evls1varsrng.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (var1‘𝑈)
3		evls1varsrng.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
4		evls1varsrng.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		evls1varsrng.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
6		evls1varsrng.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	evls1var 20069	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑉) = ( I ↾ 𝐵))
8		evls1varsrng.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑆)
9	8, 4	evl1fval1 20062	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑆 evalSub1 𝐵)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑆 evalSub1 𝐵))
11	10	fveq1d 6439	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑉) = ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘𝑉))
12	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (var1‘𝑈))
13		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ (var1‘𝑆) = (var1‘𝑆)
14	13, 6, 3	subrgvr1 19998	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑆) = (var1‘𝑈))
15	4	ressid 16305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s 𝐵) = 𝑆)
16	5, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐵) = 𝑆)
17	16	eqcomd 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 ↾s 𝐵))
18	17	fveq2d 6441	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑆) = (var1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
19	12, 14, 18	3eqtr2d 2867	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (var1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
20	19	fveq2d 6441	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘𝑉) = ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑆 ↾s 𝐵))))
21		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (𝑆 evalSub1 𝐵) = (𝑆 evalSub1 𝐵)
22		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (var1‘(𝑆 ↾s 𝐵)) = (var1‘(𝑆 ↾s 𝐵))
23		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
24		crngring 18919	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
25	4	subrgid 19145	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
26	5, 24, 25	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
27	21, 22, 23, 4, 5, 26	evls1var 20069	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(var1‘(𝑆 ↾s 𝐵))) = ( I ↾ 𝐵))
28	11, 20, 27	3eqtrrd 2866	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) = (𝑂‘𝑉))
29	7, 28	eqtrd 2861	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑉) = (𝑂‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   I cid 5251   ↾ cres 5348  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229   ↾_s cress 16230  Ringcrg 18908  CRingccrg 18909  SubRingcsubrg 19139  var₁cv1 19913   evalSub₁ ces1 20045  eval₁ce1 20046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-ofr 7163  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-hash 13418  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-hom 16336  df-cco 16337  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-prds 16468  df-pws 16470  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-srg 18867  df-ring 18910  df-cring 18911  df-rnghom 19078  df-subrg 19141  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-assa 19680  df-asp 19681  df-ascl 19682  df-psr 19724  df-mvr 19725  df-mpl 19726  df-opsr 19728  df-evls 19873  df-evl 19874  df-psr1 19917  df-vr1 19918  df-ply1 19919  df-evls1 20047  df-evl1 20048

This theorem is referenced by: (None)