Theorem evlsscasrng 22429

Description: The evaluation of a scalar of a subring yields the same result as evaluated as a scalar over the ring itself. (Contributed by AV, 12-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsscasrng.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsscasrng.o	⊢ 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
evlsscasrng.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsscasrng.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsscasrng.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
evlsscasrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlsscasrng.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evlsscasrng.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑃)
evlsscasrng.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsscasrng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsscasrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsscasrng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evlsscasrng	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑂‘(𝐶‘𝑋)))

Proof of Theorem evlsscasrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsscasrng.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑃)
2		evlsscasrng.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
3		evlsscasrng.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
4		evlsscasrng.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5	4	ressid 17437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s 𝐵) = 𝑆)
6	5	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 = (𝑆 ↾s 𝐵))
7	3, 6	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 ↾s 𝐵))
8	7	oveq2d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPoly 𝑆) = (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝐵)))
9	2, 8	eqtrid 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝐵)))
10	9	fveq2d 6900	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑃) = (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝐵))))
11	1, 10	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝐵))))
12	11	fveq1d 6898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑋) = ((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝐵)))‘𝑋))
13	12	fveq2d 6900	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘(𝐶‘𝑋)) = (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝐵)))‘𝑋)))
14		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)
15		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝐵)) = (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝐵))
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
17		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝐵))) = (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝐵)))
18		evlsscasrng.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
19		crngring 20487	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
20	4	subrgid 20840	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
21	3, 19, 20	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
22		evlsscasrng.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
23	4	subrgss 20839	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
24	22, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐵)
25		evlsscasrng.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
26	24, 25	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
27	14, 15, 16, 4, 17, 18, 3, 21, 26	evlssca 22418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝐵)))‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
28	13, 27	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘(𝐶‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
29		evlsscasrng.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
30	29, 4	evlval 22424	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵))
32	31	fveq1d 6898	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐶‘𝑋)) = (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘(𝐶‘𝑋)))
33		evlsscasrng.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
34		evlsscasrng.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑈)
35		evlsscasrng.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
36		evlsscasrng.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
37	33, 34, 35, 4, 36, 18, 3, 22, 25	evlssca 22418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
38	28, 32, 37	3eqtr4rd 2809	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑂‘(𝐶‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3900  {csn 4588   × cxp 5653  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   ↑_m cmap 8861  Basecbs 17402   ↾_s cress 17423  Ringcrg 20474  CRingccrg 20475  SubRingcsubrg 20836  algSccascl 22175   mPoly cmpl 22229   evalSub ces 22396   eval cevl 22397

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-ofr 7704  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-sup 9447  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-seq 14158  df-hash 14488  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-hom 17467  df-cco 17468  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-prds 17633  df-pws 17635  df-mre 17771  df-mrc 17772  df-acs 17774  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-mhm 18993  df-submnd 18994  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-mulg 19293  df-subg 19348  df-ghm 19443  df-cntz 19546  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-srg 20428  df-ring 20476  df-cring 20477  df-rhm 20717  df-subrng 20813  df-subrg 20837  df-lmod 21152  df-lss 21222  df-lsp 21262  df-assa 22176  df-asp 22177  df-ascl 22178  df-psr 22232  df-mvr 22233  df-mpl 22234  df-evls 22398  df-evl 22399

This theorem is used by:  evlsca  22430