Theorem evl1gsumadd 22300

Description: Univariate polynomial evaluation maps (additive) group sums to group sums. Remark: the proof would be shorter if the theorem is proved directly instead of using evls1gsumadd 22266. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsumadd.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1gsumadd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1gsumadd.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsumadd.p	⊢ 𝑃 = (𝑅 ↑s 𝐾)
evl1gsumadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evl1gsumadd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumadd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1gsumadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
evl1gsumadd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
evl1gsumadd.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
evl1gsumadd	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem evl1gsumadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1gsumadd.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
2		evl1gsumadd.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	evl1fval1 22273	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾))
5	4	fveq1d 6834	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
6		evl1gsumadd.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
7		evl1gsumadd.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
8	2	ressid 17169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐾) = 𝑅)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐾) = 𝑅)
10	9	eqcomd 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s 𝐾))
11	10	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
12	6, 11	eqtrid 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
13	12	fvoveq1d 7378	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘((Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
14		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝐾) = (𝑅 evalSub1 𝐾)
15		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))
16		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))) = (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
17		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐾) = (𝑅 ↾s 𝐾)
18		evl1gsumadd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑅 ↑s 𝐾)
19		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
20		crngring 20178	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21	2	subrgid 20504	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
22	7, 20, 21	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
23		evl1gsumadd.y	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		evl1gsumadd.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
25	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑊 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
26	25	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (Base‘𝑊) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))))
27	24, 26	eqtrid 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))))
28	23, 27	eleqtrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))))
29		evl1gsumadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
30		evl1gsumadd.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
31	12	eqcomd 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)) = 𝑊)
32	31	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))) = (0g‘𝑊))
33		evl1gsumadd.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
34	32, 33	eqtr4di 2787	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))) = 0 )
35	30, 34	breqtrrd 5124	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))))
36	14, 2, 15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 28, 29, 35	evls1gsumadd 22266	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘((Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))))
37	13, 36	eqtrd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))))
38	4	fveq1d 6834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑌) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))
39	38	eqcomd 2740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌) = (𝑄‘𝑌))
40	39	mpteq2dv 5190	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌)))
41	40	oveq2d 7372	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))
42	5, 37, 41	3eqtrd 2773	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   finSupp cfsupp 9262  ℕ₀cn0 12399  Basecbs 17134   ↾_s cress 17155  0_gc0g 17357   Σ_g cgsu 17358   ↑_s cpws 17364  Ringcrg 20166  CRingccrg 20167  SubRingcsubrg 20500  Poly₁cpl1 22115   evalSub₁ ces1 22255  eval₁ce1 22256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-prds 17365  df-pws 17367  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-srg 20120  df-ring 20168  df-cring 20169  df-rhm 20406  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-assa 21806  df-asp 21807  df-ascl 21808  df-psr 21863  df-mvr 21864  df-mpl 21865  df-opsr 21867  df-evls 22027  df-evl 22028  df-psr1 22118  df-ply1 22120  df-evls1 22257  df-evl1 22258

This theorem is referenced by: (None)