Theorem evl1gsumadd 22584

Description: Univariate polynomial evaluation maps (additive) group sums to group sums. Remark: the proof would be shorter if the theorem is proved directly instead of using evls1gsumadd 22550. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsumadd.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1gsumadd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1gsumadd.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsumadd.p	⊢ 𝑃 = (𝑅 ↑s 𝐾)
evl1gsumadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evl1gsumadd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumadd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1gsumadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
evl1gsumadd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
evl1gsumadd.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
evl1gsumadd	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem evl1gsumadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1gsumadd.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
2		evl1gsumadd.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	evl1fval1 22557	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾))
5	4	fveq1d 6881	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
6		evl1gsumadd.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
7		evl1gsumadd.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
8	2	ressid 17337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐾) = 𝑅)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐾) = 𝑅)
10	9	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s 𝐾))
11	10	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
12	6, 11	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
13	12	fvoveq1d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘((Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
14		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝐾) = (𝑅 evalSub1 𝐾)
15		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))
16		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))) = (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
17		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐾) = (𝑅 ↾s 𝐾)
18		evl1gsumadd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑅 ↑s 𝐾)
19		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
20		crngring 20385	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21	2	subrgid 20736	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
22	7, 20, 21	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
23		evl1gsumadd.y	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		evl1gsumadd.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
25	12	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑊 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
26	25	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (Base‘𝑊) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))))
27	24, 26	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))))
28	23, 27	eleqtrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))))
29		evl1gsumadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
30		evl1gsumadd.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
31	12	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)) = 𝑊)
32	31	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))) = (0g‘𝑊))
33		evl1gsumadd.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
34	32, 33	eqtr4di 2813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))) = 0 )
35	30, 34	breqtrrd 5133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))))
36	14, 2, 15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 28, 29, 35	evls1gsumadd 22550	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘((Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))))
37	13, 36	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))))
38	4	fveq1d 6881	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑌) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))
39	38	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌) = (𝑄‘𝑌))
40	39	mpteq2dv 5199	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌)))
41	40	oveq2d 7430	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))
42	5, 37, 41	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   finSupp cfsupp 9332  ℕ₀cn0 12529  Basecbs 17302   ↾_s cress 17323  0_gc0g 17525   Σ_g cgsu 17526   ↑_s cpws 17532  Ringcrg 20373  CRingccrg 20374  SubRingcsubrg 20732  Poly₁cpl1 22403   evalSub₁ ces1 22539  eval₁ce1 22540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-sup 9413  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-hash 14396  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-hom 17367  df-cco 17368  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-prds 17533  df-pws 17535  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-srg 20327  df-ring 20375  df-cring 20376  df-rhm 20614  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-assa 22069  df-asp 22070  df-ascl 22071  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-evls 22291  df-evl 22292  df-psr1 22406  df-ply1 22408  df-evls1 22541  df-evl1 22542

This theorem is used by: (None)