MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1gsumadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1gsumadd 22362
Description: Univariate polynomial evaluation maps (additive) group sums to group sums. Remark: the proof would be shorter if the theorem is proved directly instead of using evls1gsumadd 22328. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsumadd.q 𝑄 = (eval1𝑅)
evl1gsumadd.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1gsumadd.w 𝑊 = (Poly1𝑅)
evl1gsumadd.p 𝑃 = (𝑅s 𝐾)
evl1gsumadd.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
evl1gsumadd.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumadd.y ((𝜑𝑥𝑁) → 𝑌𝐵)
evl1gsumadd.n (𝜑𝑁 ⊆ ℕ0)
evl1gsumadd.0 0 = (0g𝑊)
evl1gsumadd.f (𝜑 → (𝑥𝑁𝑌) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
evl1gsumadd (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem evl1gsumadd
StepHypRef Expression
1 evl1gsumadd.q . . . . 5 𝑄 = (eval1𝑅)
2 evl1gsumadd.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
31, 2evl1fval1 22335 . . . 4 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾)
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾))
54fveq1d 6908 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))))
6 evl1gsumadd.w . . . . 5 𝑊 = (Poly1𝑅)
7 evl1gsumadd.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
82ressid 17290 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → (𝑅s 𝐾) = 𝑅)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅s 𝐾) = 𝑅)
109eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (𝑅s 𝐾))
1110fveq2d 6910 . . . . 5 (𝜑 → (Poly1𝑅) = (Poly1‘(𝑅s 𝐾)))
126, 11eqtrid 2789 . . . 4 (𝜑𝑊 = (Poly1‘(𝑅s 𝐾)))
1312fvoveq1d 7453 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘((Poly1‘(𝑅s 𝐾)) Σg (𝑥𝑁𝑌))))
14 eqid 2737 . . . 4 (𝑅 evalSub1 𝐾) = (𝑅 evalSub1 𝐾)
15 eqid 2737 . . . 4 (Poly1‘(𝑅s 𝐾)) = (Poly1‘(𝑅s 𝐾))
16 eqid 2737 . . . 4 (0g‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))) = (0g‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾)))
17 eqid 2737 . . . 4 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
18 evl1gsumadd.p . . . 4 𝑃 = (𝑅s 𝐾)
19 eqid 2737 . . . 4 (Base‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾)))
20 crngring 20242 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
212subrgid 20573 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
227, 20, 213syl 18 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
23 evl1gsumadd.y . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑁) → 𝑌𝐵)
24 evl1gsumadd.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑊)
2512adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑁) → 𝑊 = (Poly1‘(𝑅s 𝐾)))
2625fveq2d 6910 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑁) → (Base‘𝑊) = (Base‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))))
2724, 26eqtrid 2789 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑁) → 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))))
2823, 27eleqtrd 2843 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))))
29 evl1gsumadd.n . . . 4 (𝜑𝑁 ⊆ ℕ0)
30 evl1gsumadd.f . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑁𝑌) finSupp 0 )
3112eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → (Poly1‘(𝑅s 𝐾)) = 𝑊)
3231fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝜑 → (0g‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))) = (0g𝑊))
33 evl1gsumadd.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
3432, 33eqtr4di 2795 . . . . 5 (𝜑 → (0g‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))) = 0 )
3530, 34breqtrrd 5171 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑁𝑌) finSupp (0g‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))))
3614, 2, 15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 28, 29, 35evls1gsumadd 22328 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘((Poly1‘(𝑅s 𝐾)) Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))))
3713, 36eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))))
384fveq1d 6908 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑌) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))
3938eqcomd 2743 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌) = (𝑄𝑌))
4039mpteq2dv 5244 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌)) = (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌)))
4140oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))))
425, 37, 413eqtrd 2781 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431   finSupp cfsupp 9401  0cn0 12526  Basecbs 17247  s cress 17274  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  s cpws 17491  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  SubRingcsubrg 20569  Poly1cpl1 22178   evalSub1 ces1 22317  eval1ce1 22318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-evls 22098  df-evl 22099  df-psr1 22181  df-ply1 22183  df-evls1 22319  df-evl1 22320
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator