Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1gsumadd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Univariate polynomial evaluation maps (additive) group sums to group sums. Remark: the proof would be shorter if the theorem is proved directly instead of using evls1gsumadd 21048. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsumadd.f (𝜑 → (𝑥𝑁𝑌) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
evl1gsumadd (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   0 (𝑥)

StepHypRef Expression
1 evl1gsumadd.q . . . . 5 𝑄 = (eval1𝑅)
2 evl1gsumadd.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
31, 2evl1fval1 21055 . . . 4 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾)
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾))
54fveq1d 6664 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))))
6 evl1gsumadd.w . . . . 5 𝑊 = (Poly1𝑅)
7 evl1gsumadd.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
82ressid 16622 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → (𝑅s 𝐾) = 𝑅)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅s 𝐾) = 𝑅)
109eqcomd 2764 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (𝑅s 𝐾))
1110fveq2d 6666 . . . . 5 (𝜑 → (Poly1𝑅) = (Poly1‘(𝑅s 𝐾)))
126, 11syl5eq 2805 . . . 4 (𝜑𝑊 = (Poly1‘(𝑅s 𝐾)))
1312fvoveq1d 7177 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘((Poly1‘(𝑅s 𝐾)) Σg (𝑥𝑁𝑌))))
14 eqid 2758 . . . 4 (𝑅 evalSub1 𝐾) = (𝑅 evalSub1 𝐾)
15 eqid 2758 . . . 4 (Poly1‘(𝑅s 𝐾)) = (Poly1‘(𝑅s 𝐾))
16 eqid 2758 . . . 4 (0g‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))) = (0g‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾)))
17 eqid 2758 . . . 4 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
18 evl1gsumadd.p . . . 4 𝑃 = (𝑅s 𝐾)
19 eqid 2758 . . . 4 (Base‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾)))
20 crngring 19382 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
212subrgid 19610 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
227, 20, 213syl 18 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
23 evl1gsumadd.y . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑁) → 𝑌𝐵)
24 evl1gsumadd.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑊)
2512adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑁) → 𝑊 = (Poly1‘(𝑅s 𝐾)))
2625fveq2d 6666 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑁) → (Base‘𝑊) = (Base‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))))
2724, 26syl5eq 2805 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑁) → 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))))
2823, 27eleqtrd 2854 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))))
29 evl1gsumadd.n . . . 4 (𝜑𝑁 ⊆ ℕ0)
30 evl1gsumadd.f . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑁𝑌) finSupp 0 )
3112eqcomd 2764 . . . . . . 7 (𝜑 → (Poly1‘(𝑅s 𝐾)) = 𝑊)
3231fveq2d 6666 . . . . . 6 (𝜑 → (0g‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))) = (0g𝑊))
33 evl1gsumadd.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
3432, 33eqtr4di 2811 . . . . 5 (𝜑 → (0g‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))) = 0 )
3530, 34breqtrrd 5063 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑁𝑌) finSupp (0g‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))))
3614, 2, 15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 28, 29, 35evls1gsumadd 21048 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘((Poly1‘(𝑅s 𝐾)) Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))))
3713, 36eqtrd 2793 . 2 (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))))
384fveq1d 6664 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑌) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))
3938eqcomd 2764 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌) = (𝑄𝑌))
4039mpteq2dv 5131 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌)) = (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌)))
4140oveq2d 7171 . 2 (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))))
425, 37, 413eqtrd 2797 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3860   class class class wbr 5035   ↦ cmpt 5115  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   finSupp cfsupp 8871  ℕ0cn0 11939  Basecbs 16546   ↾s cress 16547  0gc0g 16776   Σg cgsu 16777   ↑s cpws 16783  Ringcrg 19370  CRingccrg 19371  SubRingcsubrg 19604  Poly1cpl1 20906   evalSub1 ces1 21037  eval1ce1 21038 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-ofr 7411  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-sup 8944  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-seq 13424  df-hash 13746  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-hom 16652  df-cco 16653  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-prds 16784  df-pws 16786  df-mre 16920  df-mrc 16921  df-acs 16923  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-mhm 18027  df-submnd 18028  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-mulg 18297  df-subg 18348  df-ghm 18428  df-cntz 18519  df-cmn 18980  df-abl 18981  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-srg 19329  df-ring 19372  df-cring 19373  df-rnghom 19543  df-subrg 19606  df-lmod 19709  df-lss 19777  df-lsp 19817  df-assa 20623  df-asp 20624  df-ascl 20625  df-psr 20676  df-mvr 20677  df-mpl 20678  df-opsr 20680  df-evls 20840  df-evl 20841  df-psr1 20909  df-ply1 20911  df-evls1 21039  df-evl1 21040 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator