MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1gsumadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1gsumadd 22378
Description: Univariate polynomial evaluation maps (additive) group sums to group sums. Remark: the proof would be shorter if the theorem is proved directly instead of using evls1gsumadd 22344. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsumadd.q 𝑄 = (eval1𝑅)
evl1gsumadd.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1gsumadd.w 𝑊 = (Poly1𝑅)
evl1gsumadd.p 𝑃 = (𝑅s 𝐾)
evl1gsumadd.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
evl1gsumadd.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumadd.y ((𝜑𝑥𝑁) → 𝑌𝐵)
evl1gsumadd.n (𝜑𝑁 ⊆ ℕ0)
evl1gsumadd.0 0 = (0g𝑊)
evl1gsumadd.f (𝜑 → (𝑥𝑁𝑌) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
evl1gsumadd (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem evl1gsumadd
StepHypRef Expression
1 evl1gsumadd.q . . . . 5 𝑄 = (eval1𝑅)
2 evl1gsumadd.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
31, 2evl1fval1 22351 . . . 4 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾)
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾))
54fveq1d 6909 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))))
6 evl1gsumadd.w . . . . 5 𝑊 = (Poly1𝑅)
7 evl1gsumadd.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
82ressid 17290 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → (𝑅s 𝐾) = 𝑅)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅s 𝐾) = 𝑅)
109eqcomd 2741 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (𝑅s 𝐾))
1110fveq2d 6911 . . . . 5 (𝜑 → (Poly1𝑅) = (Poly1‘(𝑅s 𝐾)))
126, 11eqtrid 2787 . . . 4 (𝜑𝑊 = (Poly1‘(𝑅s 𝐾)))
1312fvoveq1d 7453 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘((Poly1‘(𝑅s 𝐾)) Σg (𝑥𝑁𝑌))))
14 eqid 2735 . . . 4 (𝑅 evalSub1 𝐾) = (𝑅 evalSub1 𝐾)
15 eqid 2735 . . . 4 (Poly1‘(𝑅s 𝐾)) = (Poly1‘(𝑅s 𝐾))
16 eqid 2735 . . . 4 (0g‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))) = (0g‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾)))
17 eqid 2735 . . . 4 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
18 evl1gsumadd.p . . . 4 𝑃 = (𝑅s 𝐾)
19 eqid 2735 . . . 4 (Base‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾)))
20 crngring 20263 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
212subrgid 20590 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
227, 20, 213syl 18 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
23 evl1gsumadd.y . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑁) → 𝑌𝐵)
24 evl1gsumadd.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑊)
2512adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑁) → 𝑊 = (Poly1‘(𝑅s 𝐾)))
2625fveq2d 6911 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑁) → (Base‘𝑊) = (Base‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))))
2724, 26eqtrid 2787 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑁) → 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))))
2823, 27eleqtrd 2841 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))))
29 evl1gsumadd.n . . . 4 (𝜑𝑁 ⊆ ℕ0)
30 evl1gsumadd.f . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑁𝑌) finSupp 0 )
3112eqcomd 2741 . . . . . . 7 (𝜑 → (Poly1‘(𝑅s 𝐾)) = 𝑊)
3231fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝜑 → (0g‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))) = (0g𝑊))
33 evl1gsumadd.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
3432, 33eqtr4di 2793 . . . . 5 (𝜑 → (0g‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))) = 0 )
3530, 34breqtrrd 5176 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑁𝑌) finSupp (0g‘(Poly1‘(𝑅s 𝐾))))
3614, 2, 15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 28, 29, 35evls1gsumadd 22344 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘((Poly1‘(𝑅s 𝐾)) Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))))
3713, 36eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))))
384fveq1d 6909 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑌) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))
3938eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌) = (𝑄𝑌))
4039mpteq2dv 5250 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌)) = (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌)))
4140oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))))
425, 37, 413eqtrd 2779 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥𝑁𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁 ↦ (𝑄𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431   finSupp cfsupp 9399  0cn0 12524  Basecbs 17245  s cress 17274  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  s cpws 17493  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  SubRingcsubrg 20586  Poly1cpl1 22194   evalSub1 ces1 22333  eval1ce1 22334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-ply1 22199  df-evls1 22335  df-evl1 22336
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator