MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1gsumadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1gsumadd 22098
Description: Univariate polynomial evaluation maps (additive) group sums to group sums. Remark: the proof would be shorter if the theorem is proved directly instead of using evls1gsumadd 22064. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsumadd.q 𝑄 = (eval1β€˜π‘…)
evl1gsumadd.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
evl1gsumadd.w π‘Š = (Poly1β€˜π‘…)
evl1gsumadd.p 𝑃 = (𝑅 ↑s 𝐾)
evl1gsumadd.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
evl1gsumadd.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumadd.y ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
evl1gsumadd.n (πœ‘ β†’ 𝑁 βŠ† β„•0)
evl1gsumadd.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
evl1gsumadd.f (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
evl1gsumadd (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ))) = (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ (π‘„β€˜π‘Œ))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑅   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   0 (π‘₯)

Proof of Theorem evl1gsumadd
StepHypRef Expression
1 evl1gsumadd.q . . . . 5 𝑄 = (eval1β€˜π‘…)
2 evl1gsumadd.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
31, 2evl1fval1 22071 . . . 4 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾)
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾))
54fveq1d 6894 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ))))
6 evl1gsumadd.w . . . . 5 π‘Š = (Poly1β€˜π‘…)
7 evl1gsumadd.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
82ressid 17194 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐾) = 𝑅)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐾) = 𝑅)
109eqcomd 2737 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (𝑅 β†Ύs 𝐾))
1110fveq2d 6896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Poly1β€˜π‘…) = (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾)))
126, 11eqtrid 2783 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š = (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾)))
1312fvoveq1d 7434 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜((Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾)) Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ))))
14 eqid 2731 . . . 4 (𝑅 evalSub1 𝐾) = (𝑅 evalSub1 𝐾)
15 eqid 2731 . . . 4 (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾)) = (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾))
16 eqid 2731 . . . 4 (0gβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾))) = (0gβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾)))
17 eqid 2731 . . . 4 (𝑅 β†Ύs 𝐾) = (𝑅 β†Ύs 𝐾)
18 evl1gsumadd.p . . . 4 𝑃 = (𝑅 ↑s 𝐾)
19 eqid 2731 . . . 4 (Baseβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾))) = (Baseβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾)))
20 crngring 20140 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
212subrgid 20464 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
227, 20, 213syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
23 evl1gsumadd.y . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
24 evl1gsumadd.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
2512adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑁) β†’ π‘Š = (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾)))
2625fveq2d 6896 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑁) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾))))
2724, 26eqtrid 2783 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑁) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾))))
2823, 27eleqtrd 2834 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾))))
29 evl1gsumadd.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 βŠ† β„•0)
30 evl1gsumadd.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ) finSupp 0 )
3112eqcomd 2737 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾)) = π‘Š)
3231fveq2d 6896 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾))) = (0gβ€˜π‘Š))
33 evl1gsumadd.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
3432, 33eqtr4di 2789 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾))) = 0 )
3530, 34breqtrrd 5177 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ) finSupp (0gβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾))))
3614, 2, 15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 28, 29, 35evls1gsumadd 22064 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜((Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾)) Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ))) = (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜π‘Œ))))
3713, 36eqtrd 2771 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ))) = (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜π‘Œ))))
384fveq1d 6894 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘Œ) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜π‘Œ))
3938eqcomd 2737 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜π‘Œ) = (π‘„β€˜π‘Œ))
4039mpteq2dv 5251 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ (π‘„β€˜π‘Œ)))
4140oveq2d 7428 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜π‘Œ))) = (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ (π‘„β€˜π‘Œ))))
425, 37, 413eqtrd 2775 1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ))) = (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ (π‘„β€˜π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   finSupp cfsupp 9364  β„•0cn0 12477  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  0gc0g 17390   Ξ£g cgsu 17391   ↑s cpws 17397  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129  SubRingcsubrg 20458  Poly1cpl1 21921   evalSub1 ces1 22053  eval1ce1 22054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-ofr 7674  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-sup 9440  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-cring 20131  df-rhm 20364  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-assa 21628  df-asp 21629  df-ascl 21630  df-psr 21682  df-mvr 21683  df-mpl 21684  df-opsr 21686  df-evls 21855  df-evl 21856  df-psr1 21924  df-ply1 21926  df-evls1 22055  df-evl1 22056
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator