Theorem evl1gsumadd 22296

Description: Univariate polynomial evaluation maps (additive) group sums to group sums. Remark: the proof would be shorter if the theorem is proved directly instead of using evls1gsumadd 22262. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsumadd.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1gsumadd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1gsumadd.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsumadd.p	⊢ 𝑃 = (𝑅 ↑s 𝐾)
evl1gsumadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evl1gsumadd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumadd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1gsumadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
evl1gsumadd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
evl1gsumadd.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
evl1gsumadd	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem evl1gsumadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1gsumadd.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
2		evl1gsumadd.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	evl1fval1 22269	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾))
5	4	fveq1d 6878	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
6		evl1gsumadd.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
7		evl1gsumadd.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
8	2	ressid 17265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐾) = 𝑅)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐾) = 𝑅)
10	9	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s 𝐾))
11	10	fveq2d 6880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
12	6, 11	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
13	12	fvoveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘((Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
14		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝐾) = (𝑅 evalSub1 𝐾)
15		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))
16		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))) = (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
17		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐾) = (𝑅 ↾s 𝐾)
18		evl1gsumadd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑅 ↑s 𝐾)
19		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
20		crngring 20205	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21	2	subrgid 20533	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
22	7, 20, 21	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
23		evl1gsumadd.y	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		evl1gsumadd.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
25	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑊 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
26	25	fveq2d 6880	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (Base‘𝑊) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))))
27	24, 26	eqtrid 2782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))))
28	23, 27	eleqtrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))))
29		evl1gsumadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
30		evl1gsumadd.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
31	12	eqcomd 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)) = 𝑊)
32	31	fveq2d 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))) = (0g‘𝑊))
33		evl1gsumadd.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
34	32, 33	eqtr4di 2788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))) = 0 )
35	30, 34	breqtrrd 5147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))))
36	14, 2, 15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 28, 29, 35	evls1gsumadd 22262	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘((Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))))
37	13, 36	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))))
38	4	fveq1d 6878	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑌) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))
39	38	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌) = (𝑄‘𝑌))
40	39	mpteq2dv 5215	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌)))
41	40	oveq2d 7421	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))
42	5, 37, 41	3eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   finSupp cfsupp 9373  ℕ₀cn0 12501  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  0_gc0g 17453   Σ_g cgsu 17454   ↑_s cpws 17460  Ringcrg 20193  CRingccrg 20194  SubRingcsubrg 20529  Poly₁cpl1 22112   evalSub₁ ces1 22251  eval₁ce1 22252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-ofr 7672  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-srg 20147  df-ring 20195  df-cring 20196  df-rhm 20432  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-assa 21813  df-asp 21814  df-ascl 21815  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-evls 22032  df-evl 22033  df-psr1 22115  df-ply1 22117  df-evls1 22253  df-evl1 22254

This theorem is referenced by: (None)