MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1gsumadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1gsumadd 21565
Description: Univariate polynomial evaluation maps (additive) group sums to group sums. Remark: the proof would be shorter if the theorem is proved directly instead of using evls1gsumadd 21531. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsumadd.q 𝑄 = (eval1β€˜π‘…)
evl1gsumadd.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
evl1gsumadd.w π‘Š = (Poly1β€˜π‘…)
evl1gsumadd.p 𝑃 = (𝑅 ↑s 𝐾)
evl1gsumadd.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
evl1gsumadd.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumadd.y ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
evl1gsumadd.n (πœ‘ β†’ 𝑁 βŠ† β„•0)
evl1gsumadd.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
evl1gsumadd.f (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
evl1gsumadd (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ))) = (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ (π‘„β€˜π‘Œ))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑅   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   0 (π‘₯)

Proof of Theorem evl1gsumadd
StepHypRef Expression
1 evl1gsumadd.q . . . . 5 𝑄 = (eval1β€˜π‘…)
2 evl1gsumadd.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
31, 2evl1fval1 21538 . . . 4 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾)
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾))
54fveq1d 6802 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ))))
6 evl1gsumadd.w . . . . 5 π‘Š = (Poly1β€˜π‘…)
7 evl1gsumadd.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
82ressid 16995 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐾) = 𝑅)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐾) = 𝑅)
109eqcomd 2742 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (𝑅 β†Ύs 𝐾))
1110fveq2d 6804 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Poly1β€˜π‘…) = (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾)))
126, 11eqtrid 2788 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š = (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾)))
1312fvoveq1d 7325 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜((Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾)) Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ))))
14 eqid 2736 . . . 4 (𝑅 evalSub1 𝐾) = (𝑅 evalSub1 𝐾)
15 eqid 2736 . . . 4 (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾)) = (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾))
16 eqid 2736 . . . 4 (0gβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾))) = (0gβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾)))
17 eqid 2736 . . . 4 (𝑅 β†Ύs 𝐾) = (𝑅 β†Ύs 𝐾)
18 evl1gsumadd.p . . . 4 𝑃 = (𝑅 ↑s 𝐾)
19 eqid 2736 . . . 4 (Baseβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾))) = (Baseβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾)))
20 crngring 19836 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
212subrgid 20067 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
227, 20, 213syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
23 evl1gsumadd.y . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
24 evl1gsumadd.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
2512adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑁) β†’ π‘Š = (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾)))
2625fveq2d 6804 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑁) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾))))
2724, 26eqtrid 2788 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑁) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾))))
2823, 27eleqtrd 2839 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾))))
29 evl1gsumadd.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 βŠ† β„•0)
30 evl1gsumadd.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ) finSupp 0 )
3112eqcomd 2742 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾)) = π‘Š)
3231fveq2d 6804 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾))) = (0gβ€˜π‘Š))
33 evl1gsumadd.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
3432, 33eqtr4di 2794 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾))) = 0 )
3530, 34breqtrrd 5109 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ) finSupp (0gβ€˜(Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾))))
3614, 2, 15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 28, 29, 35evls1gsumadd 21531 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜((Poly1β€˜(𝑅 β†Ύs 𝐾)) Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ))) = (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜π‘Œ))))
3713, 36eqtrd 2776 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ))) = (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜π‘Œ))))
384fveq1d 6802 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘Œ) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜π‘Œ))
3938eqcomd 2742 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜π‘Œ) = (π‘„β€˜π‘Œ))
4039mpteq2dv 5183 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ (π‘„β€˜π‘Œ)))
4140oveq2d 7319 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)β€˜π‘Œ))) = (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ (π‘„β€˜π‘Œ))))
425, 37, 413eqtrd 2780 1 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ π‘Œ))) = (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ (π‘„β€˜π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βŠ† wss 3892   class class class wbr 5081   ↦ cmpt 5164  β€˜cfv 6454  (class class class)co 7303   finSupp cfsupp 9168  β„•0cn0 12275  Basecbs 16953   β†Ύs cress 16982  0gc0g 17191   Ξ£g cgsu 17192   ↑s cpws 17198  Ringcrg 19824  CRingccrg 19825  SubRingcsubrg 20061  Poly1cpl1 21389   evalSub1 ces1 21520  eval1ce1 21521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-se 5552  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-isom 6463  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-of 7561  df-ofr 7562  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-supp 8005  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-er 8525  df-map 8644  df-pm 8645  df-ixp 8713  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-fsupp 9169  df-sup 9241  df-oi 9309  df-card 9737  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-4 12080  df-5 12081  df-6 12082  df-7 12083  df-8 12084  df-9 12085  df-n0 12276  df-z 12362  df-dec 12480  df-uz 12625  df-fz 13282  df-fzo 13425  df-seq 13764  df-hash 14087  df-struct 16889  df-sets 16906  df-slot 16924  df-ndx 16936  df-base 16954  df-ress 16983  df-plusg 17016  df-mulr 17017  df-sca 17019  df-vsca 17020  df-ip 17021  df-tset 17022  df-ple 17023  df-ds 17025  df-hom 17027  df-cco 17028  df-0g 17193  df-gsum 17194  df-prds 17199  df-pws 17201  df-mre 17336  df-mrc 17337  df-acs 17339  df-mgm 18367  df-sgrp 18416  df-mnd 18427  df-mhm 18471  df-submnd 18472  df-grp 18621  df-minusg 18622  df-sbg 18623  df-mulg 18742  df-subg 18793  df-ghm 18873  df-cntz 18964  df-cmn 19429  df-abl 19430  df-mgp 19762  df-ur 19779  df-srg 19783  df-ring 19826  df-cring 19827  df-rnghom 20000  df-subrg 20063  df-lmod 20166  df-lss 20235  df-lsp 20275  df-assa 21101  df-asp 21102  df-ascl 21103  df-psr 21153  df-mvr 21154  df-mpl 21155  df-opsr 21157  df-evls 21323  df-evl 21324  df-psr1 21392  df-ply1 21394  df-evls1 21522  df-evl1 21523
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator