Theorem evl1gsumadd 22383

Description: Univariate polynomial evaluation maps (additive) group sums to group sums. Remark: the proof would be shorter if the theorem is proved directly instead of using evls1gsumadd 22349. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsumadd.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1gsumadd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1gsumadd.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsumadd.p	⊢ 𝑃 = (𝑅 ↑s 𝐾)
evl1gsumadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evl1gsumadd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumadd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1gsumadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
evl1gsumadd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
evl1gsumadd.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
evl1gsumadd	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem evl1gsumadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1gsumadd.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
2		evl1gsumadd.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	evl1fval1 22356	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾))
5	4	fveq1d 6922	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
6		evl1gsumadd.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
7		evl1gsumadd.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
8	2	ressid 17303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐾) = 𝑅)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐾) = 𝑅)
10	9	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s 𝐾))
11	10	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
12	6, 11	eqtrid 2792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
13	12	fvoveq1d 7470	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘((Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
14		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝐾) = (𝑅 evalSub1 𝐾)
15		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))
16		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))) = (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
17		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐾) = (𝑅 ↾s 𝐾)
18		evl1gsumadd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑅 ↑s 𝐾)
19		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
20		crngring 20272	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21	2	subrgid 20601	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
22	7, 20, 21	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
23		evl1gsumadd.y	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		evl1gsumadd.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
25	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑊 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
26	25	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (Base‘𝑊) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))))
27	24, 26	eqtrid 2792	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))))
28	23, 27	eleqtrd 2846	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))))
29		evl1gsumadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
30		evl1gsumadd.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
31	12	eqcomd 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)) = 𝑊)
32	31	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))) = (0g‘𝑊))
33		evl1gsumadd.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
34	32, 33	eqtr4di 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))) = 0 )
35	30, 34	breqtrrd 5194	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))))
36	14, 2, 15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 28, 29, 35	evls1gsumadd 22349	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘((Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))))
37	13, 36	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))))
38	4	fveq1d 6922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑌) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))
39	38	eqcomd 2746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌) = (𝑄‘𝑌))
40	39	mpteq2dv 5268	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌)))
41	40	oveq2d 7464	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))
42	5, 37, 41	3eqtrd 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   finSupp cfsupp 9431  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  0_gc0g 17499   Σ_g cgsu 17500   ↑_s cpws 17506  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261  SubRingcsubrg 20595  Poly₁cpl1 22199   evalSub₁ ces1 22338  eval₁ce1 22339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-srg 20214  df-ring 20262  df-cring 20263  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-assa 21896  df-asp 21897  df-ascl 21898  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-evls 22121  df-evl 22122  df-psr1 22202  df-ply1 22204  df-evls1 22340  df-evl1 22341

This theorem is referenced by: (None)