Theorem evl1gsumadd 22362

Description: Univariate polynomial evaluation maps (additive) group sums to group sums. Remark: the proof would be shorter if the theorem is proved directly instead of using evls1gsumadd 22328. (Contributed by AV, 15-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsumadd.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1gsumadd.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1gsumadd.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsumadd.p	⊢ 𝑃 = (𝑅 ↑s 𝐾)
evl1gsumadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evl1gsumadd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumadd.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1gsumadd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
evl1gsumadd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
evl1gsumadd.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
evl1gsumadd	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem evl1gsumadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1gsumadd.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
2		evl1gsumadd.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	evl1fval1 22335	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 evalSub1 𝐾))
5	4	fveq1d 6908	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
6		evl1gsumadd.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
7		evl1gsumadd.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
8	2	ressid 17290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐾) = 𝑅)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐾) = 𝑅)
10	9	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑅 ↾s 𝐾))
11	10	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
12	6, 11	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
13	12	fvoveq1d 7453	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘((Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))))
14		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝐾) = (𝑅 evalSub1 𝐾)
15		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))
16		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))) = (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
17		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐾) = (𝑅 ↾s 𝐾)
18		evl1gsumadd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑅 ↑s 𝐾)
19		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
20		crngring 20242	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21	2	subrgid 20573	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
22	7, 20, 21	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘𝑅))
23		evl1gsumadd.y	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		evl1gsumadd.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
25	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑊 = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)))
26	25	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → (Base‘𝑊) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))))
27	24, 26	eqtrid 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))))
28	23, 27	eleqtrd 2843	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))))
29		evl1gsumadd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
30		evl1gsumadd.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp 0 )
31	12	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)) = 𝑊)
32	31	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))) = (0g‘𝑊))
33		evl1gsumadd.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
34	32, 33	eqtr4di 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))) = 0 )
35	30, 34	breqtrrd 5171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌) finSupp (0g‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾))))
36	14, 2, 15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 28, 29, 35	evls1gsumadd 22328	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘((Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐾)) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))))
37	13, 36	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))))
38	4	fveq1d 6908	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑌) = ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))
39	38	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌) = (𝑄‘𝑌))
40	39	mpteq2dv 5244	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌)))
41	40	oveq2d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑅 evalSub1 𝐾)‘𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))
42	5, 37, 41	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑌))) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ (𝑄‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   finSupp cfsupp 9401  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485   ↑_s cpws 17491  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  SubRingcsubrg 20569  Poly₁cpl1 22178   evalSub₁ ces1 22317  eval₁ce1 22318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-evls 22098  df-evl 22099  df-psr1 22181  df-ply1 22183  df-evls1 22319  df-evl1 22320

This theorem is referenced by: (None)