Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1sca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1sca 20967
 Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1sca.o 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1sca.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1sca.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1sca.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
evl1sca ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑂‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Proof of Theorem evl1sca
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 19311 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
3 evl1sca.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 evl1sca.a . . . . . 6 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5 evl1sca.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
73, 4, 5, 6ply1sclf 20923 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃))
82, 7syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃))
9 ffvelrn 6842 . . . 4 ((𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐴𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
108, 9sylancom 591 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝐴𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
11 evl1sca.o . . . 4 𝑂 = (eval1𝑅)
12 eqid 2824 . . . 4 (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
13 eqid 2824 . . . 4 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
14 eqid 2824 . . . . 5 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
153, 14, 6ply1bas 20833 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
1611, 12, 5, 13, 15evl1val 20962 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐴𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑂‘(𝐴𝑋)) = (((1o eval 𝑅)‘(𝐴𝑋)) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
1710, 16syldan 594 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑂‘(𝐴𝑋)) = (((1o eval 𝑅)‘(𝐴𝑋)) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
185ressid 16561 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → (𝑅s 𝐵) = 𝑅)
1918adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑅s 𝐵) = 𝑅)
2019oveq2d 7167 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (1o mPoly (𝑅s 𝐵)) = (1o mPoly 𝑅))
2120fveq2d 6667 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵))) = (algSc‘(1o mPoly 𝑅)))
223, 4ply1ascl 20896 . . . . . . 7 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))
2321, 22syl6reqr 2878 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵))))
2423fveq1d 6665 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝐴𝑋) = ((algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵)))‘𝑋))
2524fveq2d 6667 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘(𝐴𝑋)) = ((1o eval 𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵)))‘𝑋)))
2612, 5evlval 20776 . . . . 5 (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
27 eqid 2824 . . . . 5 (1o mPoly (𝑅s 𝐵)) = (1o mPoly (𝑅s 𝐵))
28 eqid 2824 . . . . 5 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
29 eqid 2824 . . . . 5 (algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵))) = (algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵)))
30 1on 8107 . . . . . 6 1o ∈ On
3130a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 1o ∈ On)
32 simpl 486 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
335subrgid 19539 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
342, 33syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
35 simpr 488 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
3626, 27, 28, 5, 29, 31, 32, 34, 35evlssca 20770 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵)))‘𝑋)) = ((𝐵m 1o) × {𝑋}))
3725, 36eqtrd 2859 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘(𝐴𝑋)) = ((𝐵m 1o) × {𝑋}))
3837coeq1d 5720 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (((1o eval 𝑅)‘(𝐴𝑋)) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
39 df1o2 8114 . . . . . . 7 1o = {∅}
405fvexi 6677 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
41 0ex 5198 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
42 eqid 2824 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))
4339, 40, 41, 42mapsnf1o3 8457 . . . . . 6 (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵1-1-onto→(𝐵m 1o)
44 f1of 6608 . . . . . 6 ((𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵1-1-onto→(𝐵m 1o) → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵m 1o))
4543, 44mp1i 13 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵m 1o))
4642fmpt 6867 . . . . 5 (∀𝑦𝐵 (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵m 1o) ↔ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵m 1o))
4745, 46sylibr 237 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ∀𝑦𝐵 (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵m 1o))
48 eqidd 2825 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
49 fconstmpt 5602 . . . . 5 ((𝐵m 1o) × {𝑋}) = (𝑥 ∈ (𝐵m 1o) ↦ 𝑋)
5049a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝐵m 1o) × {𝑋}) = (𝑥 ∈ (𝐵m 1o) ↦ 𝑋))
51 eqidd 2825 . . . 4 (𝑥 = (1o × {𝑦}) → 𝑋 = 𝑋)
5247, 48, 50, 51fmptcof 6885 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝑦𝐵𝑋))
53 fconstmpt 5602 . . 3 (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦𝐵𝑋)
5452, 53eqtr4di 2877 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝐵 × {𝑋}))
5517, 38, 543eqtrd 2863 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑂‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  ∅c0 4276  {csn 4550   ↦ cmpt 5133   × cxp 5541   ∘ ccom 5547  Oncon0 6180  ⟶wf 6341  –1-1-onto→wf1o 6344  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  1oc1o 8093   ↑m cmap 8404  Basecbs 16485   ↾s cress 16486  Ringcrg 19299  CRingccrg 19300  SubRingcsubrg 19533  algSccascl 20550   mPoly cmpl 20600   eval cevl 20753  PwSer1cps1 20813  Poly1cpl1 20815  eval1ce1 20947 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7405  df-ofr 7406  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-seq 13376  df-hash 13698  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-prds 16723  df-pws 16725  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-mulg 18227  df-subg 18278  df-ghm 18358  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-srg 19258  df-ring 19301  df-cring 19302  df-rnghom 19472  df-subrg 19535  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-assa 20551  df-asp 20552  df-ascl 20553  df-psr 20603  df-mvr 20604  df-mpl 20605  df-opsr 20607  df-evls 20754  df-evl 20755  df-psr1 20818  df-ply1 20820  df-evl1 20949 This theorem is referenced by:  evl1scad  20968  pf1const  20979  pf1ind  20988  evl1scvarpw  20996  ply1rem  24773  fta1g  24777  fta1blem  24778  plypf1  24818
 Copyright terms: Public domain W3C validator