MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1sca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1sca 21716
Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1sca.o 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
evl1sca.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
evl1sca.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
evl1sca.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
evl1sca ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‚β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (𝐡 Γ— {𝑋}))

Proof of Theorem evl1sca
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 19983 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 evl1sca.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
4 evl1sca.a . . . . . 6 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
5 evl1sca.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
6 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
73, 4, 5, 6ply1sclf 21672 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐴:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
82, 7syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
9 ffvelcdm 7037 . . . 4 ((𝐴:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π΄β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
108, 9sylancom 589 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π΄β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
11 evl1sca.o . . . 4 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
12 eqid 2737 . . . 4 (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
13 eqid 2737 . . . 4 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
14 eqid 2737 . . . . 5 (PwSer1β€˜π‘…) = (PwSer1β€˜π‘…)
153, 14, 6ply1bas 21582 . . . 4 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅))
1611, 12, 5, 13, 15evl1val 21711 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (π΄β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘‚β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (((1o eval 𝑅)β€˜(π΄β€˜π‘‹)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
1710, 16syldan 592 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‚β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (((1o eval 𝑅)β€˜(π΄β€˜π‘‹)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
183, 4ply1ascl 21645 . . . . . . 7 𝐴 = (algScβ€˜(1o mPoly 𝑅))
195ressid 17132 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐡) = 𝑅)
2019adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐡) = 𝑅)
2120oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)) = (1o mPoly 𝑅))
2221fveq2d 6851 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡))) = (algScβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
2318, 22eqtr4id 2796 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 = (algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡))))
2423fveq1d 6849 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π΄β€˜π‘‹) = ((algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)))β€˜π‘‹))
2524fveq2d 6851 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1o eval 𝑅)β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = ((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)))β€˜π‘‹)))
2612, 5evlval 21521 . . . . 5 (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)β€˜π΅)
27 eqid 2737 . . . . 5 (1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)) = (1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡))
28 eqid 2737 . . . . 5 (𝑅 β†Ύs 𝐡) = (𝑅 β†Ύs 𝐡)
29 eqid 2737 . . . . 5 (algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡))) = (algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)))
30 1on 8429 . . . . . 6 1o ∈ On
3130a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 1o ∈ On)
32 simpl 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
335subrgid 20240 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
342, 33syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
35 simpr 486 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3626, 27, 28, 5, 29, 31, 32, 34, 35evlssca 21515 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)))β€˜π‘‹)) = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}))
3725, 36eqtrd 2777 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1o eval 𝑅)β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}))
3837coeq1d 5822 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (((1o eval 𝑅)β€˜(π΄β€˜π‘‹)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
39 df1o2 8424 . . . . . . 7 1o = {βˆ…}
405fvexi 6861 . . . . . . 7 𝐡 ∈ V
41 0ex 5269 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
42 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))
4339, 40, 41, 42mapsnf1o3 8840 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})):𝐡–1-1-ontoβ†’(𝐡 ↑m 1o)
44 f1of 6789 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})):𝐡–1-1-ontoβ†’(𝐡 ↑m 1o) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})):𝐡⟢(𝐡 ↑m 1o))
4543, 44mp1i 13 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})):𝐡⟢(𝐡 ↑m 1o))
4642fmpt 7063 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (1o Γ— {𝑦}) ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})):𝐡⟢(𝐡 ↑m 1o))
4745, 46sylibr 233 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (1o Γ— {𝑦}) ∈ (𝐡 ↑m 1o))
48 eqidd 2738 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))
49 fconstmpt 5699 . . . . 5 ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) = (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ 𝑋)
5049a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) = (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ 𝑋))
51 eqidd 2738 . . . 4 (π‘₯ = (1o Γ— {𝑦}) β†’ 𝑋 = 𝑋)
5247, 48, 50, 51fmptcof 7081 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋))
53 fconstmpt 5699 . . 3 (𝐡 Γ— {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋)
5452, 53eqtr4di 2795 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (𝐡 Γ— {𝑋}))
5517, 38, 543eqtrd 2781 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‚β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (𝐡 Γ— {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆ…c0 4287  {csn 4591   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636   ∘ ccom 5642  Oncon0 6322  βŸΆwf 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1oc1o 8410   ↑m cmap 8772  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972  SubRingcsubrg 20234  algSccascl 21274   mPoly cmpl 21324   eval cevl 21497  PwSer1cps1 21562  Poly1cpl1 21564  eval1ce1 21696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-srg 19925  df-ring 19973  df-cring 19974  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-assa 21275  df-asp 21276  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-evls 21498  df-evl 21499  df-psr1 21567  df-ply1 21569  df-evl1 21698
This theorem is referenced by:  evl1scad  21717  pf1const  21728  pf1ind  21737  evl1scvarpw  21745  ply1rem  25544  fta1g  25548  fta1blem  25549  plypf1  25589
  Copyright terms: Public domain W3C validator