MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1sca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1sca 20179
Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1sca.o 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1sca.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1sca.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1sca.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
evl1sca ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑂‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Proof of Theorem evl1sca
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 18998 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
3 evl1sca.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 evl1sca.a . . . . . 6 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5 evl1sca.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 eqid 2795 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
73, 4, 5, 6ply1sclf 20136 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃))
82, 7syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃))
9 ffvelrn 6714 . . . 4 ((𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐴𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
108, 9sylancom 588 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝐴𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
11 evl1sca.o . . . 4 𝑂 = (eval1𝑅)
12 eqid 2795 . . . 4 (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
13 eqid 2795 . . . 4 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
14 eqid 2795 . . . . 5 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
153, 14, 6ply1bas 20046 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
1611, 12, 5, 13, 15evl1val 20174 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐴𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑂‘(𝐴𝑋)) = (((1o eval 𝑅)‘(𝐴𝑋)) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
1710, 16syldan 591 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑂‘(𝐴𝑋)) = (((1o eval 𝑅)‘(𝐴𝑋)) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
185ressid 16388 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → (𝑅s 𝐵) = 𝑅)
1918adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑅s 𝐵) = 𝑅)
2019oveq2d 7032 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (1o mPoly (𝑅s 𝐵)) = (1o mPoly 𝑅))
2120fveq2d 6542 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵))) = (algSc‘(1o mPoly 𝑅)))
223, 4ply1ascl 20109 . . . . . . 7 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))
2321, 22syl6reqr 2850 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵))))
2423fveq1d 6540 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝐴𝑋) = ((algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵)))‘𝑋))
2524fveq2d 6542 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘(𝐴𝑋)) = ((1o eval 𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵)))‘𝑋)))
2612, 5evlval 19991 . . . . 5 (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
27 eqid 2795 . . . . 5 (1o mPoly (𝑅s 𝐵)) = (1o mPoly (𝑅s 𝐵))
28 eqid 2795 . . . . 5 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
29 eqid 2795 . . . . 5 (algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵))) = (algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵)))
30 1on 7960 . . . . . 6 1o ∈ On
3130a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 1o ∈ On)
32 simpl 483 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
335subrgid 19227 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
342, 33syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
35 simpr 485 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
3626, 27, 28, 5, 29, 31, 32, 34, 35evlssca 19989 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵)))‘𝑋)) = ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}))
3725, 36eqtrd 2831 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘(𝐴𝑋)) = ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}))
3837coeq1d 5618 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (((1o eval 𝑅)‘(𝐴𝑋)) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
39 df1o2 7967 . . . . . . 7 1o = {∅}
405fvexi 6552 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
41 0ex 5102 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
42 eqid 2795 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))
4339, 40, 41, 42mapsnf1o3 8308 . . . . . 6 (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵1-1-onto→(𝐵𝑚 1o)
44 f1of 6483 . . . . . 6 ((𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵1-1-onto→(𝐵𝑚 1o) → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵𝑚 1o))
4543, 44mp1i 13 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵𝑚 1o))
4642fmpt 6737 . . . . 5 (∀𝑦𝐵 (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵𝑚 1o) ↔ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵𝑚 1o))
4745, 46sylibr 235 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ∀𝑦𝐵 (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵𝑚 1o))
48 eqidd 2796 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
49 fconstmpt 5500 . . . . 5 ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) = (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ 𝑋)
5049a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) = (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 1o) ↦ 𝑋))
51 eqidd 2796 . . . 4 (𝑥 = (1o × {𝑦}) → 𝑋 = 𝑋)
5247, 48, 50, 51fmptcof 6755 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝑦𝐵𝑋))
53 fconstmpt 5500 . . 3 (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦𝐵𝑋)
5452, 53syl6eqr 2849 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (((𝐵𝑚 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝐵 × {𝑋}))
5517, 38, 543eqtrd 2835 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑂‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  c0 4211  {csn 4472  cmpt 5041   × cxp 5441  ccom 5447  Oncon0 6066  wf 6221  1-1-ontowf1o 6224  cfv 6225  (class class class)co 7016  1oc1o 7946  𝑚 cmap 8256  Basecbs 16312  s cress 16313  Ringcrg 18987  CRingccrg 18988  SubRingcsubrg 19221  algSccascl 19773   mPoly cmpl 19821   eval cevl 19972  PwSer1cps1 20026  Poly1cpl1 20028  eval1ce1 20160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-ofr 7268  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-sup 8752  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-hash 13541  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-hom 16418  df-cco 16419  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-prds 16550  df-pws 16552  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mhm 17774  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-mulg 17982  df-subg 18030  df-ghm 18097  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-srg 18946  df-ring 18989  df-cring 18990  df-rnghom 19157  df-subrg 19223  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-lsp 19434  df-assa 19774  df-asp 19775  df-ascl 19776  df-psr 19824  df-mvr 19825  df-mpl 19826  df-opsr 19828  df-evls 19973  df-evl 19974  df-psr1 20031  df-ply1 20033  df-evl1 20162
This theorem is referenced by:  evl1scad  20180  pf1const  20191  pf1ind  20200  evl1scvarpw  20208  ply1rem  24440  fta1g  24444  fta1blem  24445  plypf1  24485
  Copyright terms: Public domain W3C validator