MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1sca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1sca 22338
Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1sca.o 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1sca.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1sca.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1sca.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
evl1sca ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑂‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Proof of Theorem evl1sca
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 20242 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
3 evl1sca.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 evl1sca.a . . . . . 6 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5 evl1sca.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
73, 4, 5, 6ply1sclf 22288 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃))
82, 7syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃))
9 ffvelcdm 7101 . . . 4 ((𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐴𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
108, 9sylancom 588 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝐴𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
11 evl1sca.o . . . 4 𝑂 = (eval1𝑅)
12 eqid 2737 . . . 4 (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
13 eqid 2737 . . . 4 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
143, 6ply1bas 22196 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
1511, 12, 5, 13, 14evl1val 22333 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐴𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑂‘(𝐴𝑋)) = (((1o eval 𝑅)‘(𝐴𝑋)) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
1610, 15syldan 591 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑂‘(𝐴𝑋)) = (((1o eval 𝑅)‘(𝐴𝑋)) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
173, 4ply1ascl 22261 . . . . . . 7 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))
185ressid 17290 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → (𝑅s 𝐵) = 𝑅)
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑅s 𝐵) = 𝑅)
2019oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (1o mPoly (𝑅s 𝐵)) = (1o mPoly 𝑅))
2120fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵))) = (algSc‘(1o mPoly 𝑅)))
2217, 21eqtr4id 2796 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵))))
2322fveq1d 6908 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝐴𝑋) = ((algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵)))‘𝑋))
2423fveq2d 6910 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘(𝐴𝑋)) = ((1o eval 𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵)))‘𝑋)))
2512, 5evlval 22119 . . . . 5 (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
26 eqid 2737 . . . . 5 (1o mPoly (𝑅s 𝐵)) = (1o mPoly (𝑅s 𝐵))
27 eqid 2737 . . . . 5 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
28 eqid 2737 . . . . 5 (algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵))) = (algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵)))
29 1on 8518 . . . . . 6 1o ∈ On
3029a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 1o ∈ On)
31 simpl 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
325subrgid 20573 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
332, 32syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
34 simpr 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
3525, 26, 27, 5, 28, 30, 31, 33, 34evlssca 22113 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly (𝑅s 𝐵)))‘𝑋)) = ((𝐵m 1o) × {𝑋}))
3624, 35eqtrd 2777 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘(𝐴𝑋)) = ((𝐵m 1o) × {𝑋}))
3736coeq1d 5872 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (((1o eval 𝑅)‘(𝐴𝑋)) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
38 df1o2 8513 . . . . . . 7 1o = {∅}
395fvexi 6920 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
40 0ex 5307 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
41 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))
4238, 39, 40, 41mapsnf1o3 8935 . . . . . 6 (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵1-1-onto→(𝐵m 1o)
43 f1of 6848 . . . . . 6 ((𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵1-1-onto→(𝐵m 1o) → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵m 1o))
4442, 43mp1i 13 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵m 1o))
4541fmpt 7130 . . . . 5 (∀𝑦𝐵 (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵m 1o) ↔ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵m 1o))
4644, 45sylibr 234 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ∀𝑦𝐵 (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵m 1o))
47 eqidd 2738 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
48 fconstmpt 5747 . . . . 5 ((𝐵m 1o) × {𝑋}) = (𝑥 ∈ (𝐵m 1o) ↦ 𝑋)
4948a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝐵m 1o) × {𝑋}) = (𝑥 ∈ (𝐵m 1o) ↦ 𝑋))
50 eqidd 2738 . . . 4 (𝑥 = (1o × {𝑦}) → 𝑋 = 𝑋)
5146, 47, 49, 50fmptcof 7150 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝑦𝐵𝑋))
52 fconstmpt 5747 . . 3 (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦𝐵𝑋)
5351, 52eqtr4di 2795 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (((𝐵m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝐵 × {𝑋}))
5416, 37, 533eqtrd 2781 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑂‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  c0 4333  {csn 4626  cmpt 5225   × cxp 5683  ccom 5689  Oncon0 6384  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  1oc1o 8499  m cmap 8866  Basecbs 17247  s cress 17274  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  SubRingcsubrg 20569  algSccascl 21872   mPoly cmpl 21926   eval cevl 22097  Poly1cpl1 22178  eval1ce1 22318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-evls 22098  df-evl 22099  df-psr1 22181  df-ply1 22183  df-evl1 22320
This theorem is referenced by:  evl1scad  22339  pf1const  22350  pf1ind  22359  evl1scvarpw  22367  ply1rem  26205  fta1g  26209  fta1blem  26210  plypf1  26251
  Copyright terms: Public domain W3C validator