Theorem evl1sca 22494

Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1sca.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1sca.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1sca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1sca.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
evl1sca	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Proof of Theorem evl1sca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20322	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
3		evl1sca.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		evl1sca.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		evl1sca.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7	3, 4, 5, 6	ply1sclf 22446	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃))
8	2, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃))
9		ffvelcdm 7076	. . . 4 ⊢ ((𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
10	8, 9	sylancom 599	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
11		evl1sca.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
12		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
13		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
14	3, 6	ply1bas 22355	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
15	11, 12, 5, 13, 14	evl1val 22489	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (((1o eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
16	10, 15	syldan 602	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (((1o eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
17	3, 4	ply1ascl 22419	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))
18	5	ressid 17299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
19	18	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
20	19	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) = (1o mPoly 𝑅))
21	20	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))) = (algSc‘(1o mPoly 𝑅)))
22	17, 21	eqtr4id 2817	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))))
23	22	fveq1d 6883	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) = ((algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)))‘𝑋))
24	23	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) = ((1o eval 𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)))‘𝑋)))
25	12, 5	evlval 22251	. . . . 5 ⊢ (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
26		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) = (1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))
27		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)
28		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))) = (algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)))
29		1on 8462	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1o ∈ On)
31		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
32	5	subrgid 20672	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
33	2, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
34		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
35	25, 26, 27, 5, 28, 30, 31, 33, 34	evlssca 22245	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)))‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}))
36	24, 35	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}))
37	36	coeq1d 5847	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((1o eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
38		df1o2 8456	. . . . . . 7 ⊢ 1o = {∅}
39	5	fvexi 6895	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
40		0ex 5270	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
41		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))
42	38, 39, 40, 41	mapsnf1o3 8889	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑m 1o)
43		f1of 6820	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑m 1o) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑m 1o))
44	42, 43	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑m 1o))
45	41	fmpt 7105	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑m 1o))
46	44, 45	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o))
47		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
48		fconstmpt 5723	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ 𝑋)
49	48	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ 𝑋))
50		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1o × {𝑦}) → 𝑋 = 𝑋)
51	46, 47, 49, 50	fmptcof 7126	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
52		fconstmpt 5723	. . 3 ⊢ (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)
53	51, 52	eqtr4di 2816	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝐵 × {𝑋}))
54	16, 37, 53	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∅c0 4286  {csn 4589   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659   ∘ ccom 5665  Oncon0 6360  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1_oc1o 8442   ↑_m cmap 8820  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  Ringcrg 20310  CRingccrg 20311  SubRingcsubrg 20668  algSccascl 22002   mPoly cmpl 22056   eval cevl 22224  Poly₁cpl1 22337  eval₁ce1 22474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-srg 20264  df-ring 20312  df-cring 20313  df-rhm 20550  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-assa 22003  df-asp 22004  df-ascl 22005  df-psr 22059  df-mvr 22060  df-mpl 22061  df-opsr 22063  df-evls 22225  df-evl 22226  df-psr1 22340  df-ply1 22342  df-evl1 22476

This theorem is referenced by:  evl1scad  22495  pf1const  22506  pf1ind  22515  evl1scvarpw  22523  ply1rem  26323  fta1g  26327  fta1blem  26328  plypf1  26369