Theorem evl1sca 20179

Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1sca.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1sca.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1sca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1sca.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
evl1sca	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Proof of Theorem evl1sca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 18998	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
3		evl1sca.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		evl1sca.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		evl1sca.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7	3, 4, 5, 6	ply1sclf 20136	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃))
9		ffvelrn 6714	. . . 4 ⊢ ((𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
10	8, 9	sylancom 588	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
11		evl1sca.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
12		eqid 2795	. . . 4 ⊢ (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
13		eqid 2795	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
14		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
15	3, 14, 6	ply1bas 20046	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
16	11, 12, 5, 13, 15	evl1val 20174	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (((1o eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
17	10, 16	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (((1o eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
18	5	ressid 16388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
20	19	oveq2d 7032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) = (1o mPoly 𝑅))
21	20	fveq2d 6542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))) = (algSc‘(1o mPoly 𝑅)))
22	3, 4	ply1ascl 20109	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))
23	21, 22	syl6reqr 2850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))))
24	23	fveq1d 6540	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) = ((algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)))‘𝑋))
25	24	fveq2d 6542	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) = ((1o eval 𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)))‘𝑋)))
26	12, 5	evlval 19991	. . . . 5 ⊢ (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
27		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) = (1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))
28		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)
29		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))) = (algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)))
30		1on 7960	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1o ∈ On)
32		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
33	5	subrgid 19227	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
34	2, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
35		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
36	26, 27, 28, 5, 29, 31, 32, 34, 35	evlssca 19989	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)))‘𝑋)) = ((𝐵 ↑𝑚 1o) × {𝑋}))
37	25, 36	eqtrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑𝑚 1o) × {𝑋}))
38	37	coeq1d 5618	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((1o eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵 ↑𝑚 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
39		df1o2 7967	. . . . . . 7 ⊢ 1o = {∅}
40	5	fvexi 6552	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
41		0ex 5102	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
42		eqid 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))
43	39, 40, 41, 42	mapsnf1o3 8308	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 1o)
44		f1of 6483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑𝑚 1o) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑𝑚 1o))
45	43, 44	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑𝑚 1o))
46	42	fmpt 6737	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑𝑚 1o))
47	45, 46	sylibr 235	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o))
48		eqidd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
49		fconstmpt 5500	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ↑𝑚 1o) × {𝑋}) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o) ↦ 𝑋)
50	49	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐵 ↑𝑚 1o) × {𝑋}) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑𝑚 1o) ↦ 𝑋))
51		eqidd 2796	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1o × {𝑦}) → 𝑋 = 𝑋)
52	47, 48, 50, 51	fmptcof 6755	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝐵 ↑𝑚 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
53		fconstmpt 5500	. . 3 ⊢ (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)
54	52, 53	syl6eqr 2849	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝐵 ↑𝑚 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝐵 × {𝑋}))
55	17, 38, 54	3eqtrd 2835	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105  ∅c0 4211  {csn 4472   ↦ cmpt 5041   × cxp 5441   ∘ ccom 5447  Oncon0 6066  ⟶wf 6221  –1-1-onto→wf1o 6224  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  1_oc1o 7946   ↑_𝑚 cmap 8256  Basecbs 16312   ↾_s cress 16313  Ringcrg 18987  CRingccrg 18988  SubRingcsubrg 19221  algSccascl 19773   mPoly cmpl 19821   eval cevl 19972  PwSer₁cps1 20026  Poly₁cpl1 20028  eval₁ce1 20160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-ofr 7268  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-sup 8752  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-hash 13541  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-hom 16418  df-cco 16419  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-prds 16550  df-pws 16552  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mhm 17774  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-mulg 17982  df-subg 18030  df-ghm 18097  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-srg 18946  df-ring 18989  df-cring 18990  df-rnghom 19157  df-subrg 19223  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-lsp 19434  df-assa 19774  df-asp 19775  df-ascl 19776  df-psr 19824  df-mvr 19825  df-mpl 19826  df-opsr 19828  df-evls 19973  df-evl 19974  df-psr1 20031  df-ply1 20033  df-evl1 20162

This theorem is referenced by:  evl1scad  20180  pf1const  20191  pf1ind  20200  evl1scvarpw  20208  ply1rem  24440  fta1g  24444  fta1blem  24445  plypf1  24485