MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1sca Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evl1sca 22203
Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1sca.o 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
evl1sca.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
evl1sca.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
evl1sca.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
evl1sca ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‚β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (𝐡 Γ— {𝑋}))
Proof of Theorem evl1sca
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 20147 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 evl1sca.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
4 evl1sca.a . . . . . 6 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
5 evl1sca.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
6 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
73, 4, 5, 6ply1sclf 22154 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐴:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
82, 7syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
9 ffvelcdm 7076 . . . 4 ((𝐴:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π΄β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
108, 9sylancom 587 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π΄β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
11 evl1sca.o . . . 4 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
12 eqid 2726 . . . 4 (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
13 eqid 2726 . . . 4 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
14 eqid 2726 . . . . 5 (PwSer1β€˜π‘…) = (PwSer1β€˜π‘…)
153, 14, 6ply1bas 22064 . . . 4 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(1o mPoly 𝑅))
1611, 12, 5, 13, 15evl1val 22198 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (π΄β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘‚β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (((1o eval 𝑅)β€˜(π΄β€˜π‘‹)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
1710, 16syldan 590 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‚β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (((1o eval 𝑅)β€˜(π΄β€˜π‘‹)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
183, 4ply1ascl 22127 . . . . . . 7 𝐴 = (algScβ€˜(1o mPoly 𝑅))
195ressid 17195 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐡) = 𝑅)
2019adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐡) = 𝑅)
2120oveq2d 7420 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)) = (1o mPoly 𝑅))
2221fveq2d 6888 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡))) = (algScβ€˜(1o mPoly 𝑅)))
2318, 22eqtr4id 2785 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 = (algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡))))
2423fveq1d 6886 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π΄β€˜π‘‹) = ((algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)))β€˜π‘‹))
2524fveq2d 6888 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1o eval 𝑅)β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = ((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)))β€˜π‘‹)))
2612, 5evlval 21995 . . . . 5 (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)β€˜π΅)
27 eqid 2726 . . . . 5 (1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)) = (1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡))
28 eqid 2726 . . . . 5 (𝑅 β†Ύs 𝐡) = (𝑅 β†Ύs 𝐡)
29 eqid 2726 . . . . 5 (algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡))) = (algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)))
30 1on 8476 . . . . . 6 1o ∈ On
3130a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 1o ∈ On)
32 simpl 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
335subrgid 20472 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
342, 33syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
35 simpr 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3626, 27, 28, 5, 29, 31, 32, 34, 35evlssca 21989 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1o eval 𝑅)β€˜((algScβ€˜(1o mPoly (𝑅 β†Ύs 𝐡)))β€˜π‘‹)) = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}))
3725, 36eqtrd 2766 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1o eval 𝑅)β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}))
3837coeq1d 5854 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (((1o eval 𝑅)β€˜(π΄β€˜π‘‹)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
39 df1o2 8471 . . . . . . 7 1o = {βˆ…}
405fvexi 6898 . . . . . . 7 𝐡 ∈ V
41 0ex 5300 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
42 eqid 2726 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))
4339, 40, 41, 42mapsnf1o3 8888 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})):𝐡–1-1-ontoβ†’(𝐡 ↑m 1o)
44 f1of 6826 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})):𝐡–1-1-ontoβ†’(𝐡 ↑m 1o) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})):𝐡⟢(𝐡 ↑m 1o))
4543, 44mp1i 13 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})):𝐡⟢(𝐡 ↑m 1o))
4642fmpt 7104 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (1o Γ— {𝑦}) ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})):𝐡⟢(𝐡 ↑m 1o))
4745, 46sylibr 233 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (1o Γ— {𝑦}) ∈ (𝐡 ↑m 1o))
48 eqidd 2727 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))
49 fconstmpt 5731 . . . . 5 ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) = (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ 𝑋)
5049a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) = (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m 1o) ↦ 𝑋))
51 eqidd 2727 . . . 4 (π‘₯ = (1o Γ— {𝑦}) β†’ 𝑋 = 𝑋)
5247, 48, 50, 51fmptcof 7123 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋))
53 fconstmpt 5731 . . 3 (𝐡 Γ— {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ 𝑋)
5452, 53eqtr4di 2784 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (((𝐡 ↑m 1o) Γ— {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (𝐡 Γ— {𝑋}))
5517, 38, 543eqtrd 2770 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‚β€˜(π΄β€˜π‘‹)) = (𝐡 Γ— {𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆ…c0 4317  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667   ∘ ccom 5673  Oncon0 6357  βŸΆwf 6532  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6535  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  1oc1o 8457   ↑m cmap 8819  Basecbs 17150   β†Ύs cress 17179  Ringcrg 20135  CRingccrg 20136  SubRingcsubrg 20466  algSccascl 21742   mPoly cmpl 21795   eval cevl 21971  PwSer1cps1 22044  Poly1cpl1 22046  eval1ce1 22183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-srg 20089  df-ring 20137  df-cring 20138  df-rhm 20371  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-assa 21743  df-asp 21744  df-ascl 21745  df-psr 21798  df-mvr 21799  df-mpl 21800  df-opsr 21802  df-evls 21972  df-evl 21973  df-psr1 22049  df-ply1 22051  df-evl1 22185
This theorem is referenced by:  evl1scad  22204  pf1const  22215  pf1ind  22224  evl1scvarpw  22232  ply1rem  26050  fta1g  26054  fta1blem  26055  plypf1  26096
  Copyright terms: Public domain W3C validator