Theorem evl1sca 21700

Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1sca.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1sca.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1sca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1sca.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
evl1sca	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Proof of Theorem evl1sca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 19976	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
3		evl1sca.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		evl1sca.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		evl1sca.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7	3, 4, 5, 6	ply1sclf 21656	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃))
9		ffvelcdm 7032	. . . 4 ⊢ ((𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
10	8, 9	sylancom 588	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
11		evl1sca.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
12		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
13		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
14		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
15	3, 14, 6	ply1bas 21566	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
16	11, 12, 5, 13, 15	evl1val 21695	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (((1o eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
17	10, 16	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (((1o eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
18	3, 4	ply1ascl 21629	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))
19	5	ressid 17125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
21	20	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) = (1o mPoly 𝑅))
22	21	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))) = (algSc‘(1o mPoly 𝑅)))
23	18, 22	eqtr4id 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))))
24	23	fveq1d 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) = ((algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)))‘𝑋))
25	24	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) = ((1o eval 𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)))‘𝑋)))
26	12, 5	evlval 21505	. . . . 5 ⊢ (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
27		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) = (1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))
28		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)
29		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))) = (algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)))
30		1on 8424	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1o ∈ On)
32		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
33	5	subrgid 20224	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
34	2, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
35		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
36	26, 27, 28, 5, 29, 31, 32, 34, 35	evlssca 21499	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)))‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}))
37	25, 36	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}))
38	37	coeq1d 5817	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((1o eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
39		df1o2 8419	. . . . . . 7 ⊢ 1o = {∅}
40	5	fvexi 6856	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
41		0ex 5264	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
42		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))
43	39, 40, 41, 42	mapsnf1o3 8833	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑m 1o)
44		f1of 6784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑m 1o) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑m 1o))
45	43, 44	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑m 1o))
46	42	fmpt 7058	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑m 1o))
47	45, 46	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o))
48		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
49		fconstmpt 5694	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ 𝑋)
50	49	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ 𝑋))
51		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1o × {𝑦}) → 𝑋 = 𝑋)
52	47, 48, 50, 51	fmptcof 7076	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
53		fconstmpt 5694	. . 3 ⊢ (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)
54	52, 53	eqtr4di 2794	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝐵 × {𝑋}))
55	17, 38, 54	3eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∅c0 4282  {csn 4586   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631   ∘ ccom 5637  Oncon0 6317  ⟶wf 6492  –1-1-onto→wf1o 6495  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  1_oc1o 8405   ↑_m cmap 8765  Basecbs 17083   ↾_s cress 17112  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  SubRingcsubrg 20218  algSccascl 21258   mPoly cmpl 21308   eval cevl 21481  PwSer₁cps1 21546  Poly₁cpl1 21548  eval₁ce1 21680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-assa 21259  df-asp 21260  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-evls 21482  df-evl 21483  df-psr1 21551  df-ply1 21553  df-evl1 21682

This theorem is referenced by:  evl1scad  21701  pf1const  21712  pf1ind  21721  evl1scvarpw  21729  ply1rem  25528  fta1g  25532  fta1blem  25533  plypf1  25573