Theorem evl1sca 22270

Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1sca.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1sca.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1sca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1sca.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
evl1sca	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Proof of Theorem evl1sca

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20203	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
3		evl1sca.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		evl1sca.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		evl1sca.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7	3, 4, 5, 6	ply1sclf 22220	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃))
9		ffvelcdm 7070	. . . 4 ⊢ ((𝐴:𝐵⟶(Base‘𝑃) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
10	8, 9	sylancom 588	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
11		evl1sca.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
12		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (1o eval 𝑅) = (1o eval 𝑅)
13		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
14	3, 6	ply1bas 22128	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
15	11, 12, 5, 13, 14	evl1val 22265	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (((1o eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
16	10, 15	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (((1o eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
17	3, 4	ply1ascl 22193	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly 𝑅))
18	5	ressid 17263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
20	19	oveq2d 7419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) = (1o mPoly 𝑅))
21	20	fveq2d 6879	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))) = (algSc‘(1o mPoly 𝑅)))
22	17, 21	eqtr4id 2789	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴 = (algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))))
23	22	fveq1d 6877	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) = ((algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)))‘𝑋))
24	23	fveq2d 6879	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) = ((1o eval 𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)))‘𝑋)))
25	12, 5	evlval 22051	. . . . 5 ⊢ (1o eval 𝑅) = ((1o evalSub 𝑅)‘𝐵)
26		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)) = (1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))
27		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)
28		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵))) = (algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)))
29		1on 8490	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1o ∈ On)
31		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
32	5	subrgid 20531	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
33	2, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
34		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
35	25, 26, 27, 5, 28, 30, 31, 33, 34	evlssca 22045	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘((algSc‘(1o mPoly (𝑅 ↾s 𝐵)))‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}))
36	24, 35	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1o eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}))
37	36	coeq1d 5841	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((1o eval 𝑅)‘(𝐴‘𝑋)) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
38		df1o2 8485	. . . . . . 7 ⊢ 1o = {∅}
39	5	fvexi 6889	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
40		0ex 5277	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
41		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))
42	38, 39, 40, 41	mapsnf1o3 8907	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑m 1o)
43		f1of 6817	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵–1-1-onto→(𝐵 ↑m 1o) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑m 1o))
44	42, 43	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑m 1o))
45	41	fmpt 7099	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})):𝐵⟶(𝐵 ↑m 1o))
46	44, 45	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 (1o × {𝑦}) ∈ (𝐵 ↑m 1o))
47		eqidd 2736	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))
48		fconstmpt 5716	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ 𝑋)
49	48	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 1o) ↦ 𝑋))
50		eqidd 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1o × {𝑦}) → 𝑋 = 𝑋)
51	46, 47, 49, 50	fmptcof 7119	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋))
52		fconstmpt 5716	. . 3 ⊢ (𝐵 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑋)
53	51, 52	eqtr4di 2788	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝐵 ↑m 1o) × {𝑋}) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (𝐵 × {𝑋}))
54	16, 37, 53	3eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∅c0 4308  {csn 4601   ↦ cmpt 5201   × cxp 5652   ∘ ccom 5658  Oncon0 6352  ⟶wf 6526  –1-1-onto→wf1o 6529  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  1_oc1o 8471   ↑_m cmap 8838  Basecbs 17226   ↾_s cress 17249  Ringcrg 20191  CRingccrg 20192  SubRingcsubrg 20527  algSccascl 21810   mPoly cmpl 21864   eval cevl 22029  Poly₁cpl1 22110  eval₁ce1 22250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-sup 9452  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-hash 14347  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-prds 17459  df-pws 17461  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-mhm 18759  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-mulg 19049  df-subg 19104  df-ghm 19194  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-ur 20140  df-srg 20145  df-ring 20193  df-cring 20194  df-rhm 20430  df-subrng 20504  df-subrg 20528  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-assa 21811  df-asp 21812  df-ascl 21813  df-psr 21867  df-mvr 21868  df-mpl 21869  df-opsr 21871  df-evls 22030  df-evl 22031  df-psr1 22113  df-ply1 22115  df-evl1 22252

This theorem is referenced by:  evl1scad  22271  pf1const  22282  pf1ind  22291  evl1scvarpw  22299  ply1rem  26121  fta1g  26125  fta1blem  26126  plypf1  26167