Theorem evlsvarsrng 22329

Description: The evaluation of the variable of polynomials over subring yields the same result as evaluated as variable of the polynomials over the ring itself. (Contributed by AV, 12-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvarsrng.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsvarsrng.o	⊢ 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
evlsvarsrng.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈)
evlsvarsrng.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsvarsrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlsvarsrng.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐴)
evlsvarsrng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvarsrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvarsrng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
evlsvarsrng	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑉‘𝑋)) = (𝑂‘(𝑉‘𝑋)))

Proof of Theorem evlsvarsrng

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsvarsrng.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2		evlsvarsrng.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈)
3		evlsvarsrng.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
4		evlsvarsrng.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		evlsvarsrng.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐴)
6		evlsvarsrng.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7		evlsvarsrng.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		evlsvarsrng.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	evlsvar 22317	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑉‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))
10		evlsvarsrng.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
11	10, 4	evlval 22322	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵))
13	12	fveq1d 6884	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑉‘𝑋)) = (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘(𝑉‘𝑋)))
14	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈))
15		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 mVar 𝑆) = (𝐼 mVar 𝑆)
16	15, 5, 7, 3	subrgmvr 22255	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mVar 𝑆) = (𝐼 mVar 𝑈))
17	4	ressid 17342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s 𝐵) = 𝑆)
18	6, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐵) = 𝑆)
19	18	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 ↾s 𝐵))
20	19	oveq2d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mVar 𝑆) = (𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵)))
21	14, 16, 20	3eqtr2d 2803	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵)))
22	21	fveq1d 6884	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) = ((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))‘𝑋))
23	22	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘(𝑉‘𝑋)) = (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))‘𝑋)))
24		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)
25		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵)) = (𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))
26		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
27		crngring 20390	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
28	4	subrgid 20741	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
29	6, 27, 28	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
30	24, 25, 26, 4, 5, 6, 29, 8	evlsvar 22317	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))
31	13, 23, 30	3eqtrrd 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)) = (𝑂‘(𝑉‘𝑋)))
32	9, 31	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑉‘𝑋)) = (𝑂‘(𝑉‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ↑_m cmap 8830  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  Ringcrg 20378  CRingccrg 20379  SubRingcsubrg 20737   mVar cmvr 22126   evalSub ces 22294   eval cevl 22295

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-prds 17538  df-pws 17540  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-srg 20332  df-ring 20380  df-cring 20381  df-rhm 20619  df-subrng 20714  df-subrg 20738  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lsp 21162  df-assa 22074  df-asp 22075  df-ascl 22076  df-psr 22130  df-mvr 22131  df-mpl 22132  df-evls 22296  df-evl 22297

This theorem is used by:  evlvar  22330  evls1var  22569