Theorem evlsvarsrng 22446

Description: The evaluation of the variable of polynomials over subring yields the same result as evaluated as variable of the polynomials over the ring itself. (Contributed by AV, 12-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsvarsrng.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsvarsrng.o	⊢ 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
evlsvarsrng.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈)
evlsvarsrng.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsvarsrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlsvarsrng.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐴)
evlsvarsrng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsvarsrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsvarsrng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
evlsvarsrng	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑉‘𝑋)) = (𝑂‘(𝑉‘𝑋)))

Proof of Theorem evlsvarsrng

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsvarsrng.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2		evlsvarsrng.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈)
3		evlsvarsrng.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
4		evlsvarsrng.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		evlsvarsrng.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐴)
6		evlsvarsrng.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
7		evlsvarsrng.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
8		evlsvarsrng.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	evlsvar 22434	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑉‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))
10		evlsvarsrng.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝐼 eval 𝑆)
11	10, 4	evlval 22439	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵))
13	12	fveq1d 6910	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑉‘𝑋)) = (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘(𝑉‘𝑋)))
14	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑈))
15		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 mVar 𝑆) = (𝐼 mVar 𝑆)
16	15, 5, 7, 3	subrgmvr 22372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mVar 𝑆) = (𝐼 mVar 𝑈))
17	4	ressid 17451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s 𝐵) = 𝑆)
18	6, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾s 𝐵) = 𝑆)
19	18	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 ↾s 𝐵))
20	19	oveq2d 7459	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mVar 𝑆) = (𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵)))
21	14, 16, 20	3eqtr2d 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵)))
22	21	fveq1d 6910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) = ((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))‘𝑋))
23	22	fveq2d 6912	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘(𝑉‘𝑋)) = (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))‘𝑋)))
24		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)
25		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵)) = (𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))
26		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
27		crngring 20502	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
28	4	subrgid 20855	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
29	6, 27, 28	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
30	24, 25, 26, 4, 5, 6, 29, 8	evlsvar 22434	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘((𝐼 mVar (𝑆 ↾s 𝐵))‘𝑋)) = (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)))
31	13, 23, 30	3eqtrrd 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ↦ (𝑔‘𝑋)) = (𝑂‘(𝑉‘𝑋)))
32	9, 31	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑉‘𝑋)) = (𝑂‘(𝑉‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ↑_m cmap 8875  Basecbs 17416   ↾_s cress 17437  Ringcrg 20489  CRingccrg 20490  SubRingcsubrg 20851   mVar cmvr 22243   evalSub ces 22411   eval cevl 22412

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-ofr 7718  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-sup 9461  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-hash 14502  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-prds 17647  df-pws 17649  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-mulg 19307  df-subg 19362  df-ghm 19457  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-srg 20443  df-ring 20491  df-cring 20492  df-rhm 20732  df-subrng 20828  df-subrg 20852  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-assa 22191  df-asp 22192  df-ascl 22193  df-psr 22247  df-mvr 22248  df-mpl 22249  df-evls 22413  df-evl 22414

This theorem is used by:  evlvar  22447  evls1var  22686