Theorem evls1scasrng 22332

Description: The evaluation of a scalar of a subring yields the same result as evaluated as a scalar over the ring itself. (Contributed by AV, 13-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1scasrng.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1scasrng.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑆)
evls1scasrng.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1scasrng.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1scasrng.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑆)
evls1scasrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1scasrng.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evls1scasrng.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑃)
evls1scasrng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1scasrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1scasrng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evls1scasrng	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑂‘(𝐶‘𝑋)))

Proof of Theorem evls1scasrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1scasrng.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑃)
2		evls1scasrng.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑆)
3		evls1scasrng.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
4		evls1scasrng.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5	4	ressid 17212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s 𝐵) = 𝑆)
6	5	eqcomd 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 = (𝑆 ↾s 𝐵))
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 ↾s 𝐵))
8	7	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
9	2, 8	eqtrid 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
10	9	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑃) = (algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵))))
11	1, 10	eqtrid 2787	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵))))
12	11	fveq1d 6836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑋) = ((algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))‘𝑋))
13	12	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(𝐶‘𝑋)) = ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘((algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))‘𝑋)))
14		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑆 evalSub1 𝐵) = (𝑆 evalSub1 𝐵)
15		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)) = (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵))
16		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
17		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵))) = (algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
18		crngring 20224	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
19	4	subrgid 20552	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
20	3, 18, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
21		evls1scasrng.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
22	4	subrgss 20551	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐵)
24		evls1scasrng.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
25	23, 24	sseldd 3923	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
26	14, 15, 16, 4, 17, 3, 20, 25	evls1sca 22316	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘((algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
27	13, 26	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(𝐶‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
28		evls1scasrng.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑆)
29	28, 4	evl1fval1 22324	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑆 evalSub1 𝐵)
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑆 evalSub1 𝐵))
31	30	fveq1d 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐶‘𝑋)) = ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(𝐶‘𝑋)))
32		evls1scasrng.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
33		evls1scasrng.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
34		evls1scasrng.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
35		evls1scasrng.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
36	32, 33, 34, 4, 35, 3, 21, 24	evls1sca 22316	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
37	27, 31, 36	3eqtr4rd 2786	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑂‘(𝐶‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890  {csn 4562   × cxp 5623  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  Ringcrg 20212  CRingccrg 20213  SubRingcsubrg 20548  algSccascl 21834  Poly₁cpl1 22169   evalSub₁ ces1 22306  eval₁ce1 22307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-srg 20166  df-ring 20214  df-cring 20215  df-rhm 20450  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-assa 21835  df-asp 21836  df-ascl 21837  df-psr 21891  df-mvr 21892  df-mpl 21893  df-opsr 21895  df-evls 22057  df-evl 22058  df-psr1 22172  df-ply1 22174  df-evls1 22308  df-evl1 22309

This theorem is referenced by: (None)