Theorem evls1scasrng 22359

Description: The evaluation of a scalar of a subring yields the same result as evaluated as a scalar over the ring itself. (Contributed by AV, 13-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1scasrng.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1scasrng.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑆)
evls1scasrng.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1scasrng.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1scasrng.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑆)
evls1scasrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1scasrng.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evls1scasrng.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑃)
evls1scasrng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1scasrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1scasrng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evls1scasrng	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑂‘(𝐶‘𝑋)))

Proof of Theorem evls1scasrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1scasrng.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑃)
2		evls1scasrng.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑆)
3		evls1scasrng.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
4		evls1scasrng.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5	4	ressid 17290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s 𝐵) = 𝑆)
6	5	eqcomd 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 = (𝑆 ↾s 𝐵))
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 ↾s 𝐵))
8	7	fveq2d 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
9	2, 8	eqtrid 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
10	9	fveq2d 6911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑃) = (algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵))))
11	1, 10	eqtrid 2787	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵))))
12	11	fveq1d 6909	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑋) = ((algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))‘𝑋))
13	12	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(𝐶‘𝑋)) = ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘((algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))‘𝑋)))
14		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑆 evalSub1 𝐵) = (𝑆 evalSub1 𝐵)
15		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)) = (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵))
16		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
17		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵))) = (algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
18		crngring 20263	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
19	4	subrgid 20590	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
20	3, 18, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
21		evls1scasrng.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
22	4	subrgss 20589	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐵)
24		evls1scasrng.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
25	23, 24	sseldd 3996	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
26	14, 15, 16, 4, 17, 3, 20, 25	evls1sca 22343	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘((algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
27	13, 26	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(𝐶‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
28		evls1scasrng.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑆)
29	28, 4	evl1fval1 22351	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑆 evalSub1 𝐵)
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑆 evalSub1 𝐵))
31	30	fveq1d 6909	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐶‘𝑋)) = ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(𝐶‘𝑋)))
32		evls1scasrng.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
33		evls1scasrng.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
34		evls1scasrng.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
35		evls1scasrng.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
36	32, 33, 34, 4, 35, 3, 21, 24	evls1sca 22343	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
37	27, 31, 36	3eqtr4rd 2786	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑂‘(𝐶‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  {csn 4631   × cxp 5687  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  SubRingcsubrg 20586  algSccascl 21890  Poly₁cpl1 22194   evalSub₁ ces1 22333  eval₁ce1 22334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-ply1 22199  df-evls1 22335  df-evl1 22336

This theorem is referenced by: (None)