MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1scasrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1scasrng 21122
Description: The evaluation of a scalar of a subring yields the same result as evaluated as a scalar over the ring itself. (Contributed by AV, 13-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1scasrng.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1scasrng.o 𝑂 = (eval1𝑆)
evls1scasrng.w 𝑊 = (Poly1𝑈)
evls1scasrng.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evls1scasrng.p 𝑃 = (Poly1𝑆)
evls1scasrng.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1scasrng.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evls1scasrng.c 𝐶 = (algSc‘𝑃)
evls1scasrng.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evls1scasrng.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1scasrng.x (𝜑𝑋𝑅)
Assertion
Ref Expression
evls1scasrng (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (𝑂‘(𝐶𝑋)))

Proof of Theorem evls1scasrng
StepHypRef Expression
1 evls1scasrng.c . . . . . 6 𝐶 = (algSc‘𝑃)
2 evls1scasrng.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑆)
3 evls1scasrng.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
4 evls1scasrng.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝑆)
54ressid 16675 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ CRing → (𝑆s 𝐵) = 𝑆)
65eqcomd 2745 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 = (𝑆s 𝐵))
73, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 = (𝑆s 𝐵))
87fveq2d 6691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Poly1𝑆) = (Poly1‘(𝑆s 𝐵)))
92, 8syl5eq 2786 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 = (Poly1‘(𝑆s 𝐵)))
109fveq2d 6691 . . . . . 6 (𝜑 → (algSc‘𝑃) = (algSc‘(Poly1‘(𝑆s 𝐵))))
111, 10syl5eq 2786 . . . . 5 (𝜑𝐶 = (algSc‘(Poly1‘(𝑆s 𝐵))))
1211fveq1d 6689 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝑋) = ((algSc‘(Poly1‘(𝑆s 𝐵)))‘𝑋))
1312fveq2d 6691 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(𝐶𝑋)) = ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘((algSc‘(Poly1‘(𝑆s 𝐵)))‘𝑋)))
14 eqid 2739 . . . 4 (𝑆 evalSub1 𝐵) = (𝑆 evalSub1 𝐵)
15 eqid 2739 . . . 4 (Poly1‘(𝑆s 𝐵)) = (Poly1‘(𝑆s 𝐵))
16 eqid 2739 . . . 4 (𝑆s 𝐵) = (𝑆s 𝐵)
17 eqid 2739 . . . 4 (algSc‘(Poly1‘(𝑆s 𝐵))) = (algSc‘(Poly1‘(𝑆s 𝐵)))
18 crngring 19441 . . . . 5 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
194subrgid 19669 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
203, 18, 193syl 18 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
21 evls1scasrng.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
224subrgss 19668 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐵)
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅𝐵)
24 evls1scasrng.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑅)
2523, 24sseldd 3888 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
2614, 15, 16, 4, 17, 3, 20, 25evls1sca 21106 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘((algSc‘(Poly1‘(𝑆s 𝐵)))‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
2713, 26eqtrd 2774 . 2 (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(𝐶𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
28 evls1scasrng.o . . . . 5 𝑂 = (eval1𝑆)
2928, 4evl1fval1 21114 . . . 4 𝑂 = (𝑆 evalSub1 𝐵)
3029a1i 11 . . 3 (𝜑𝑂 = (𝑆 evalSub1 𝐵))
3130fveq1d 6689 . 2 (𝜑 → (𝑂‘(𝐶𝑋)) = ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(𝐶𝑋)))
32 evls1scasrng.q . . 3 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
33 evls1scasrng.w . . 3 𝑊 = (Poly1𝑈)
34 evls1scasrng.u . . 3 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
35 evls1scasrng.a . . 3 𝐴 = (algSc‘𝑊)
3632, 33, 34, 4, 35, 3, 21, 24evls1sca 21106 . 2 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
3727, 31, 363eqtr4rd 2785 1 (𝜑 → (𝑄‘(𝐴𝑋)) = (𝑂‘(𝐶𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114  wss 3853  {csn 4526   × cxp 5533  cfv 6350  (class class class)co 7183  Basecbs 16599  s cress 16600  Ringcrg 19429  CRingccrg 19430  SubRingcsubrg 19663  algSccascl 20681  Poly1cpl1 20965   evalSub1 ces1 21096  eval1ce1 21097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-ofr 7439  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-supp 7870  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-ixp 8521  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fsupp 8920  df-sup 8992  df-oi 9060  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-seq 13474  df-hash 13796  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-ip 16699  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-hom 16705  df-cco 16706  df-0g 16831  df-gsum 16832  df-prds 16837  df-pws 16839  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-acs 16976  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-mhm 18085  df-submnd 18086  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-sbg 18237  df-mulg 18356  df-subg 18407  df-ghm 18487  df-cntz 18578  df-cmn 19039  df-abl 19040  df-mgp 19372  df-ur 19384  df-srg 19388  df-ring 19431  df-cring 19432  df-rnghom 19602  df-subrg 19665  df-lmod 19768  df-lss 19836  df-lsp 19876  df-assa 20682  df-asp 20683  df-ascl 20684  df-psr 20735  df-mvr 20736  df-mpl 20737  df-opsr 20739  df-evls 20899  df-evl 20900  df-psr1 20968  df-ply1 20970  df-evls1 21098  df-evl1 21099
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator