Theorem evls1scasrng 22257

Description: The evaluation of a scalar of a subring yields the same result as evaluated as a scalar over the ring itself. (Contributed by AV, 13-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1scasrng.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1scasrng.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑆)
evls1scasrng.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1scasrng.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1scasrng.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑆)
evls1scasrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1scasrng.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evls1scasrng.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑃)
evls1scasrng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1scasrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1scasrng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evls1scasrng	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑂‘(𝐶‘𝑋)))

Proof of Theorem evls1scasrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1scasrng.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑃)
2		evls1scasrng.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑆)
3		evls1scasrng.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
4		evls1scasrng.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5	4	ressid 17159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → (𝑆 ↾s 𝐵) = 𝑆)
6	5	eqcomd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 = (𝑆 ↾s 𝐵))
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 ↾s 𝐵))
8	7	fveq2d 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑆) = (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
9	2, 8	eqtrid 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
10	9	fveq2d 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑃) = (algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵))))
11	1, 10	eqtrid 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵))))
12	11	fveq1d 6832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑋) = ((algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))‘𝑋))
13	12	fveq2d 6834	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(𝐶‘𝑋)) = ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘((algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))‘𝑋)))
14		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑆 evalSub1 𝐵) = (𝑆 evalSub1 𝐵)
15		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)) = (Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵))
16		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
17		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵))) = (algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
18		crngring 20167	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
19	4	subrgid 20492	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
20	3, 18, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
21		evls1scasrng.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
22	4	subrgss 20491	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐵)
24		evls1scasrng.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
25	23, 24	sseldd 3931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
26	14, 15, 16, 4, 17, 3, 20, 25	evls1sca 22241	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘((algSc‘(Poly1‘(𝑆 ↾s 𝐵)))‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
27	13, 26	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(𝐶‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
28		evls1scasrng.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑆)
29	28, 4	evl1fval1 22249	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑆 evalSub1 𝐵)
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑆 evalSub1 𝐵))
31	30	fveq1d 6832	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐶‘𝑋)) = ((𝑆 evalSub1 𝐵)‘(𝐶‘𝑋)))
32		evls1scasrng.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
33		evls1scasrng.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
34		evls1scasrng.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
35		evls1scasrng.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
36	32, 33, 34, 4, 35, 3, 21, 24	evls1sca 22241	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝐵 × {𝑋}))
37	27, 31, 36	3eqtr4rd 2779	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = (𝑂‘(𝐶‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  {csn 4577   × cxp 5619  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  Basecbs 17124   ↾_s cress 17145  Ringcrg 20155  CRingccrg 20156  SubRingcsubrg 20488  algSccascl 21793  Poly₁cpl1 22092   evalSub₁ ces1 22231  eval₁ce1 22232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-supp 8099  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-ixp 8830  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-fsupp 9255  df-sup 9335  df-oi 9405  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-seq 13913  df-hash 14242  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-hom 17189  df-cco 17190  df-0g 17349  df-gsum 17350  df-prds 17355  df-pws 17357  df-mre 17492  df-mrc 17493  df-acs 17495  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-mhm 18695  df-submnd 18696  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-mulg 18985  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19233  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-srg 20109  df-ring 20157  df-cring 20158  df-rhm 20394  df-subrng 20465  df-subrg 20489  df-lmod 20799  df-lss 20869  df-lsp 20909  df-assa 21794  df-asp 21795  df-ascl 21796  df-psr 21850  df-mvr 21851  df-mpl 21852  df-opsr 21854  df-evls 22012  df-evl 22013  df-psr1 22095  df-ply1 22097  df-evls1 22233  df-evl1 22234

This theorem is referenced by: (None)