Theorem iooretop 24660

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24655	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22860	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13419	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3946	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ran crn 5642  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  (,)cioo 13313  topGenctg 17407  TopBasesctb 22839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-ioo 13317  df-topgen 17413  df-bases 22840

This theorem is referenced by:  icccld  24661  icopnfcld  24662  iocmnfcld  24663  zcld  24709  iccntr  24717  reconnlem1  24722  reconnlem2  24723  icoopnst  24843  iocopnst  24844  dvlip  25905  dvlipcn  25906  dvivthlem1  25920  dvne0  25923  lhop2  25927  lhop  25928  dvfsumle  25933  dvfsumleOLD  25934  dvfsumabs  25936  dvfsumlem2  25940  dvfsumlem2OLD  25941  ftc1  25956  dvloglem  26564  advlog  26570  advlogexp  26571  cxpcn3  26665  loglesqrt  26678  lgamgulmlem2  26947  log2sumbnd  27462  dya2iocbrsiga  34273  dya2icobrsiga  34274  poimir  37654  ftc1cnnc  37693  areacirclem1  37709  dvrelog3  42060  aks4d1p1p6  42068  redvmptabs  42355  rfcnpre1  45020  rfcnpre2  45032  ioontr  45516  iocopn  45525  icoopn  45530  islptre  45624  limciccioolb  45626  limcicciooub  45642  limcresiooub  45647  limcresioolb  45648  icccncfext  45892  itgsin0pilem1  45955  itgsbtaddcnst  45987  dirkercncflem2  46109  dirkercncflem3  46110  dirkercncflem4  46111  fourierdlem28  46140  fourierdlem32  46144  fourierdlem33  46145  fourierdlem48  46159  fourierdlem49  46160  fourierdlem56  46167  fourierdlem57  46168  fourierdlem59  46170  fourierdlem60  46171  fourierdlem61  46172  fourierdlem62  46173  fourierdlem68  46179  fourierdlem72  46183  fourierdlem73  46184  fouriersw  46236  iooborel  46356  iooii  48910  i0oii  48912  io1ii  48913