Theorem iooretop 24702

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24697	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22902	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13466	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3955	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  ran crn 5655  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  (,)cioo 13360  topGenctg 17449  TopBasesctb 22881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12963  df-ioo 13364  df-topgen 17455  df-bases 22882

This theorem is referenced by:  icccld  24703  icopnfcld  24704  iocmnfcld  24705  zcld  24751  iccntr  24759  reconnlem1  24764  reconnlem2  24765  icoopnst  24885  iocopnst  24886  dvlip  25948  dvlipcn  25949  dvivthlem1  25963  dvne0  25966  lhop2  25970  lhop  25971  dvfsumle  25976  dvfsumleOLD  25977  dvfsumabs  25979  dvfsumlem2  25983  dvfsumlem2OLD  25984  ftc1  25999  dvloglem  26607  advlog  26613  advlogexp  26614  cxpcn3  26708  loglesqrt  26721  lgamgulmlem2  26990  log2sumbnd  27505  dya2iocbrsiga  34253  dya2icobrsiga  34254  poimir  37623  ftc1cnnc  37662  areacirclem1  37678  dvrelog3  42024  aks4d1p1p6  42032  redvmptabs  42350  rfcnpre1  44991  rfcnpre2  45003  ioontr  45488  iocopn  45497  icoopn  45502  islptre  45596  limciccioolb  45598  limcicciooub  45614  limcresiooub  45619  limcresioolb  45620  icccncfext  45864  itgsin0pilem1  45927  itgsbtaddcnst  45959  dirkercncflem2  46081  dirkercncflem3  46082  dirkercncflem4  46083  fourierdlem28  46112  fourierdlem32  46116  fourierdlem33  46117  fourierdlem48  46131  fourierdlem49  46132  fourierdlem56  46139  fourierdlem57  46140  fourierdlem59  46142  fourierdlem60  46143  fourierdlem61  46144  fourierdlem62  46145  fourierdlem68  46151  fourierdlem72  46155  fourierdlem73  46156  fouriersw  46208  iooborel  46328  iooii  48840  i0oii  48842  io1ii  48843