Theorem iooretop 24786

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24781	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22973	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13491	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3980	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  (,)cioo 13387  topGenctg 17482  TopBasesctb 22952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-ioo 13391  df-topgen 17488  df-bases 22953

This theorem is referenced by:  icccld  24787  icopnfcld  24788  iocmnfcld  24789  zcld  24835  iccntr  24843  reconnlem1  24848  reconnlem2  24849  icoopnst  24969  iocopnst  24970  dvlip  26032  dvlipcn  26033  dvivthlem1  26047  dvne0  26050  lhop2  26054  lhop  26055  dvfsumle  26060  dvfsumleOLD  26061  dvfsumabs  26063  dvfsumlem2  26067  dvfsumlem2OLD  26068  ftc1  26083  dvloglem  26690  advlog  26696  advlogexp  26697  cxpcn3  26791  loglesqrt  26804  lgamgulmlem2  27073  log2sumbnd  27588  dya2iocbrsiga  34277  dya2icobrsiga  34278  poimir  37660  ftc1cnnc  37699  areacirclem1  37715  dvrelog3  42066  aks4d1p1p6  42074  redvmptabs  42390  rfcnpre1  45024  rfcnpre2  45036  ioontr  45524  iocopn  45533  icoopn  45538  islptre  45634  limciccioolb  45636  limcicciooub  45652  limcresiooub  45657  limcresioolb  45658  icccncfext  45902  itgsin0pilem1  45965  itgsbtaddcnst  45997  dirkercncflem2  46119  dirkercncflem3  46120  dirkercncflem4  46121  fourierdlem28  46150  fourierdlem32  46154  fourierdlem33  46155  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem56  46177  fourierdlem57  46178  fourierdlem59  46180  fourierdlem60  46181  fourierdlem61  46182  fourierdlem62  46183  fourierdlem68  46189  fourierdlem72  46193  fourierdlem73  46194  fouriersw  46246  iooborel  46366  iooii  48815  i0oii  48817  io1ii  48818