Theorem iooretop 25093

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 25088	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 23293	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13589	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3906	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  ran crn 5652  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  (,)cioo 13483  topGenctg 17617  TopBasesctb 23272

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-q 13083  df-ioo 13487  df-topgen 17623  df-bases 23273

This theorem is used by:  icccld  25094  icopnfcld  25095  iocmnfcld  25096  zcld  25142  iccntr  25150  reconnlem1  25155  reconnlem2  25156  icoopnst  25269  iocopnst  25270  dvlip  26322  dvlipcn  26323  dvivthlem1  26337  dvne0  26340  lhop2  26344  lhop  26345  dvfsumle  26350  dvfsumabs  26352  dvfsumlem2  26356  ftc1  26371  dvloglem  26985  advlog  26991  advlogexp  26992  cxpcn3  27085  loglesqrt  27098  lgamgulmlem2  27366  log2sumbnd  27880  dya2iocbrsiga  34957  dya2icobrsiga  34958  poimir  38680  ftc1cnnc  38719  areacirclem1  38735  dvrelog3  43224  aks4d1p1p6  43232  redvmptabs  43520  rfcnpre1  46144  rfcnpre2  46156  ioontr  46631  iocopn  46640  icoopn  46645  islptre  46739  limciccioolb  46741  limcicciooub  46755  limcresiooub  46760  limcresioolb  46761  icccncfext  47005  itgsin0pilem1  47068  itgsbtaddcnst  47100  dirkercncflem2  47222  dirkercncflem3  47223  dirkercncflem4  47224  fourierdlem28  47253  fourierdlem32  47257  fourierdlem33  47258  fourierdlem48  47272  fourierdlem49  47273  fourierdlem56  47280  fourierdlem57  47281  fourierdlem59  47283  fourierdlem60  47284  fourierdlem61  47285  fourierdlem62  47286  fourierdlem68  47292  fourierdlem72  47296  fourierdlem73  47297  fouriersw  47349  iooborel  47469  iooii  50140  i0oii  50142  io1ii  50143