Theorem iooretop 25139

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 25134	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 23339	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13622	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3910	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ran crn 5659  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  (,)cioo 13516  topGenctg 17658  TopBasesctb 23318

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-ioo 13520  df-topgen 17664  df-bases 23319

This theorem is used by:  icccld  25140  icopnfcld  25141  iocmnfcld  25142  zcld  25188  iccntr  25196  reconnlem1  25201  reconnlem2  25202  icoopnst  25315  iocopnst  25316  dvlip  26368  dvlipcn  26369  dvivthlem1  26383  dvne0  26386  lhop2  26390  lhop  26391  dvfsumle  26396  dvfsumabs  26398  dvfsumlem2  26402  ftc1  26417  dvloglem  27033  advlog  27039  advlogexp  27040  cxpcn3  27133  loglesqrt  27146  lgamgulmlem2  27414  log2sumbnd  27928  dya2iocbrsiga  35018  dya2icobrsiga  35019  poimir  38839  ftc1cnnc  38878  areacirclem1  38894  dvrelog3  43381  aks4d1p1p6  43389  redvmptabs  43677  rfcnpre1  46310  rfcnpre2  46322  ioontr  46796  iocopn  46805  icoopn  46810  islptre  46904  limciccioolb  46906  limcicciooub  46920  limcresiooub  46925  limcresioolb  46926  icccncfext  47170  itgsin0pilem1  47233  itgsbtaddcnst  47265  dirkercncflem2  47387  dirkercncflem3  47388  dirkercncflem4  47389  fourierdlem28  47418  fourierdlem32  47422  fourierdlem33  47423  fourierdlem48  47437  fourierdlem49  47438  fourierdlem56  47445  fourierdlem57  47446  fourierdlem59  47448  fourierdlem60  47449  fourierdlem61  47450  fourierdlem62  47451  fourierdlem68  47457  fourierdlem72  47461  fourierdlem73  47462  fouriersw  47514  iooborel  47634  iooii  50363  i0oii  50365  io1ii  50366