Theorem iooretop 23371

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 23366	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 21571	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 12829	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3912	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ran crn 5520  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  (,)cioo 12726  topGenctg 16703  TopBasesctb 21550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-ioo 12730  df-topgen 16709  df-bases 21551

This theorem is referenced by:  icccld  23372  icopnfcld  23373  iocmnfcld  23374  zcld  23418  iccntr  23426  reconnlem1  23431  reconnlem2  23432  icoopnst  23544  iocopnst  23545  dvlip  24596  dvlipcn  24597  dvivthlem1  24611  dvne0  24614  lhop2  24618  lhop  24619  dvfsumle  24624  dvfsumabs  24626  dvfsumlem2  24630  ftc1  24645  dvloglem  25239  advlog  25245  advlogexp  25246  cxpcn3  25337  loglesqrt  25347  lgamgulmlem2  25615  log2sumbnd  26128  dya2iocbrsiga  31643  dya2icobrsiga  31644  poimir  35090  ftc1cnnc  35129  areacirclem1  35145  rfcnpre1  41648  rfcnpre2  41660  ioontr  42148  iocopn  42157  icoopn  42162  islptre  42261  limciccioolb  42263  limcicciooub  42279  limcresiooub  42284  limcresioolb  42285  icccncfext  42529  itgsin0pilem1  42592  itgsbtaddcnst  42624  dirkercncflem2  42746  dirkercncflem3  42747  dirkercncflem4  42748  fourierdlem28  42777  fourierdlem32  42781  fourierdlem33  42782  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem56  42804  fourierdlem57  42805  fourierdlem59  42807  fourierdlem60  42808  fourierdlem61  42809  fourierdlem62  42810  fourierdlem68  42816  fourierdlem72  42820  fourierdlem73  42821  fouriersw  42873  iooborel  42991