Theorem iooretop 24592

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24587	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22779	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13424	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3971	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3940  ran crn 5667  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  (,)cioo 13320  topGenctg 17379  TopBasesctb 22758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-ioo 13324  df-topgen 17385  df-bases 22759

This theorem is referenced by:  icccld  24593  icopnfcld  24594  iocmnfcld  24595  zcld  24639  iccntr  24647  reconnlem1  24652  reconnlem2  24653  icoopnst  24773  iocopnst  24774  dvlip  25836  dvlipcn  25837  dvivthlem1  25851  dvne0  25854  lhop2  25858  lhop  25859  dvfsumle  25864  dvfsumleOLD  25865  dvfsumabs  25867  dvfsumlem2  25871  dvfsumlem2OLD  25872  ftc1  25887  dvloglem  26486  advlog  26492  advlogexp  26493  cxpcn3  26587  loglesqrt  26597  lgamgulmlem2  26866  log2sumbnd  27381  dya2iocbrsiga  33729  dya2icobrsiga  33730  poimir  36977  ftc1cnnc  37016  areacirclem1  37032  dvrelog3  41389  aks4d1p1p6  41397  rfcnpre1  44158  rfcnpre2  44170  ioontr  44675  iocopn  44684  icoopn  44689  islptre  44786  limciccioolb  44788  limcicciooub  44804  limcresiooub  44809  limcresioolb  44810  icccncfext  45054  itgsin0pilem1  45117  itgsbtaddcnst  45149  dirkercncflem2  45271  dirkercncflem3  45272  dirkercncflem4  45273  fourierdlem28  45302  fourierdlem32  45306  fourierdlem33  45307  fourierdlem48  45321  fourierdlem49  45322  fourierdlem56  45329  fourierdlem57  45330  fourierdlem59  45332  fourierdlem60  45333  fourierdlem61  45334  fourierdlem62  45335  fourierdlem68  45341  fourierdlem72  45345  fourierdlem73  45346  fouriersw  45398  iooborel  45518  iooii  47704  i0oii  47706  io1ii  47707