Theorem iooretop 24801

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24796	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22988	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13487	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3991	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3962  ran crn 5689  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  (,)cioo 13383  topGenctg 17483  TopBasesctb 22967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-ioo 13387  df-topgen 17489  df-bases 22968

This theorem is referenced by:  icccld  24802  icopnfcld  24803  iocmnfcld  24804  zcld  24848  iccntr  24856  reconnlem1  24861  reconnlem2  24862  icoopnst  24982  iocopnst  24983  dvlip  26046  dvlipcn  26047  dvivthlem1  26061  dvne0  26064  lhop2  26068  lhop  26069  dvfsumle  26074  dvfsumleOLD  26075  dvfsumabs  26077  dvfsumlem2  26081  dvfsumlem2OLD  26082  ftc1  26097  dvloglem  26704  advlog  26710  advlogexp  26711  cxpcn3  26805  loglesqrt  26818  lgamgulmlem2  27087  log2sumbnd  27602  dya2iocbrsiga  34256  dya2icobrsiga  34257  poimir  37639  ftc1cnnc  37678  areacirclem1  37694  dvrelog3  42046  aks4d1p1p6  42054  redvmptabs  42368  rfcnpre1  44956  rfcnpre2  44968  ioontr  45463  iocopn  45472  icoopn  45477  islptre  45574  limciccioolb  45576  limcicciooub  45592  limcresiooub  45597  limcresioolb  45598  icccncfext  45842  itgsin0pilem1  45905  itgsbtaddcnst  45937  dirkercncflem2  46059  dirkercncflem3  46060  dirkercncflem4  46061  fourierdlem28  46090  fourierdlem32  46094  fourierdlem33  46095  fourierdlem48  46109  fourierdlem49  46110  fourierdlem56  46117  fourierdlem57  46118  fourierdlem59  46120  fourierdlem60  46121  fourierdlem61  46122  fourierdlem62  46123  fourierdlem68  46129  fourierdlem72  46133  fourierdlem73  46134  fouriersw  46186  iooborel  46306  iooii  48713  i0oii  48715  io1ii  48716