Theorem iooretop 24743

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24738	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22944	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13398	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3919	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ran crn 5626  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  (,)cioo 13292  topGenctg 17394  TopBasesctb 22923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-q 12893  df-ioo 13296  df-topgen 17400  df-bases 22924

This theorem is referenced by:  icccld  24744  icopnfcld  24745  iocmnfcld  24746  zcld  24792  iccntr  24800  reconnlem1  24805  reconnlem2  24806  icoopnst  24919  iocopnst  24920  dvlip  25973  dvlipcn  25974  dvivthlem1  25988  dvne0  25991  lhop2  25995  lhop  25996  dvfsumle  26001  dvfsumabs  26003  dvfsumlem2  26007  ftc1  26022  dvloglem  26628  advlog  26634  advlogexp  26635  cxpcn3  26728  loglesqrt  26741  lgamgulmlem2  27010  log2sumbnd  27524  dya2iocbrsiga  34438  dya2icobrsiga  34439  poimir  37991  ftc1cnnc  38030  areacirclem1  38046  dvrelog3  42521  aks4d1p1p6  42529  redvmptabs  42809  rfcnpre1  45471  rfcnpre2  45483  ioontr  45962  iocopn  45971  icoopn  45976  islptre  46070  limciccioolb  46072  limcicciooub  46086  limcresiooub  46091  limcresioolb  46092  icccncfext  46336  itgsin0pilem1  46399  itgsbtaddcnst  46431  dirkercncflem2  46553  dirkercncflem3  46554  dirkercncflem4  46555  fourierdlem28  46584  fourierdlem32  46588  fourierdlem33  46589  fourierdlem48  46603  fourierdlem49  46604  fourierdlem56  46611  fourierdlem57  46612  fourierdlem59  46614  fourierdlem60  46615  fourierdlem61  46616  fourierdlem62  46617  fourierdlem68  46623  fourierdlem72  46627  fourierdlem73  46628  fouriersw  46680  iooborel  46800  iooii  49408  i0oii  49410  io1ii  49411