Theorem iooretop 24973

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24968	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 23173	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13494	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3935	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  (,)cioo 13388  topGenctg 17512  TopBasesctb 23152

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-q 12989  df-ioo 13392  df-topgen 17518  df-bases 23153

This theorem is used by:  icccld  24974  icopnfcld  24975  iocmnfcld  24976  zcld  25022  iccntr  25030  reconnlem1  25035  reconnlem2  25036  icoopnst  25149  iocopnst  25150  dvlip  26203  dvlipcn  26204  dvivthlem1  26218  dvne0  26221  lhop2  26225  lhop  26226  dvfsumle  26231  dvfsumabs  26233  dvfsumlem2  26237  ftc1  26252  dvloglem  26864  advlog  26870  advlogexp  26871  cxpcn3  26964  loglesqrt  26977  lgamgulmlem2  27245  log2sumbnd  27759  dya2iocbrsiga  34730  dya2icobrsiga  34731  poimir  38361  ftc1cnnc  38400  areacirclem1  38416  dvrelog3  42890  aks4d1p1p6  42898  redvmptabs  43179  rfcnpre1  45797  rfcnpre2  45809  ioontr  46285  iocopn  46294  icoopn  46299  islptre  46393  limciccioolb  46395  limcicciooub  46409  limcresiooub  46414  limcresioolb  46415  icccncfext  46659  itgsin0pilem1  46722  itgsbtaddcnst  46754  dirkercncflem2  46876  dirkercncflem3  46877  dirkercncflem4  46878  fourierdlem28  46907  fourierdlem32  46911  fourierdlem33  46912  fourierdlem48  46926  fourierdlem49  46927  fourierdlem56  46934  fourierdlem57  46935  fourierdlem59  46937  fourierdlem60  46938  fourierdlem61  46939  fourierdlem62  46940  fourierdlem68  46946  fourierdlem72  46950  fourierdlem73  46951  fouriersw  47003  iooborel  47123  iooii  49753  i0oii  49755  io1ii  49756