Theorem iooretop 24807

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24802	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22994	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13511	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 4005	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ran crn 5701  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  (,)cioo 13407  topGenctg 17497  TopBasesctb 22973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-ioo 13411  df-topgen 17503  df-bases 22974

This theorem is referenced by:  icccld  24808  icopnfcld  24809  iocmnfcld  24810  zcld  24854  iccntr  24862  reconnlem1  24867  reconnlem2  24868  icoopnst  24988  iocopnst  24989  dvlip  26052  dvlipcn  26053  dvivthlem1  26067  dvne0  26070  lhop2  26074  lhop  26075  dvfsumle  26080  dvfsumleOLD  26081  dvfsumabs  26083  dvfsumlem2  26087  dvfsumlem2OLD  26088  ftc1  26103  dvloglem  26708  advlog  26714  advlogexp  26715  cxpcn3  26809  loglesqrt  26822  lgamgulmlem2  27091  log2sumbnd  27606  dya2iocbrsiga  34240  dya2icobrsiga  34241  poimir  37613  ftc1cnnc  37652  areacirclem1  37668  dvrelog3  42022  aks4d1p1p6  42030  rfcnpre1  44919  rfcnpre2  44931  ioontr  45429  iocopn  45438  icoopn  45443  islptre  45540  limciccioolb  45542  limcicciooub  45558  limcresiooub  45563  limcresioolb  45564  icccncfext  45808  itgsin0pilem1  45871  itgsbtaddcnst  45903  dirkercncflem2  46025  dirkercncflem3  46026  dirkercncflem4  46027  fourierdlem28  46056  fourierdlem32  46060  fourierdlem33  46061  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem56  46083  fourierdlem57  46084  fourierdlem59  46086  fourierdlem60  46087  fourierdlem61  46088  fourierdlem62  46089  fourierdlem68  46095  fourierdlem72  46099  fourierdlem73  46100  fouriersw  46152  iooborel  46272  iooii  48597  i0oii  48599  io1ii  48600