Theorem iooretop 23835

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 23830	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22024	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13112	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3914	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  (,)cioo 13008  topGenctg 17065  TopBasesctb 22003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-ioo 13012  df-topgen 17071  df-bases 22004

This theorem is referenced by:  icccld  23836  icopnfcld  23837  iocmnfcld  23838  zcld  23882  iccntr  23890  reconnlem1  23895  reconnlem2  23896  icoopnst  24008  iocopnst  24009  dvlip  25062  dvlipcn  25063  dvivthlem1  25077  dvne0  25080  lhop2  25084  lhop  25085  dvfsumle  25090  dvfsumabs  25092  dvfsumlem2  25096  ftc1  25111  dvloglem  25708  advlog  25714  advlogexp  25715  cxpcn3  25806  loglesqrt  25816  lgamgulmlem2  26084  log2sumbnd  26597  dya2iocbrsiga  32142  dya2icobrsiga  32143  poimir  35737  ftc1cnnc  35776  areacirclem1  35792  dvrelog3  40001  aks4d1p1p6  40009  rfcnpre1  42451  rfcnpre2  42463  ioontr  42939  iocopn  42948  icoopn  42953  islptre  43050  limciccioolb  43052  limcicciooub  43068  limcresiooub  43073  limcresioolb  43074  icccncfext  43318  itgsin0pilem1  43381  itgsbtaddcnst  43413  dirkercncflem2  43535  dirkercncflem3  43536  dirkercncflem4  43537  fourierdlem28  43566  fourierdlem32  43570  fourierdlem33  43571  fourierdlem48  43585  fourierdlem49  43586  fourierdlem56  43593  fourierdlem57  43594  fourierdlem59  43596  fourierdlem60  43597  fourierdlem61  43598  fourierdlem62  43599  fourierdlem68  43605  fourierdlem72  43609  fourierdlem73  43610  fouriersw  43662  iooborel  43780  iooii  46099  i0oii  46101  io1ii  46102