Theorem iooretop 24726

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24721	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22913	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13463	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3973	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3944  ran crn 5679  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  (,)cioo 13359  topGenctg 17422  TopBasesctb 22892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-ioo 13363  df-topgen 17428  df-bases 22893

This theorem is referenced by:  icccld  24727  icopnfcld  24728  iocmnfcld  24729  zcld  24773  iccntr  24781  reconnlem1  24786  reconnlem2  24787  icoopnst  24907  iocopnst  24908  dvlip  25970  dvlipcn  25971  dvivthlem1  25985  dvne0  25988  lhop2  25992  lhop  25993  dvfsumle  25998  dvfsumleOLD  25999  dvfsumabs  26001  dvfsumlem2  26005  dvfsumlem2OLD  26006  ftc1  26021  dvloglem  26627  advlog  26633  advlogexp  26634  cxpcn3  26728  loglesqrt  26738  lgamgulmlem2  27007  log2sumbnd  27522  dya2iocbrsiga  34026  dya2icobrsiga  34027  poimir  37257  ftc1cnnc  37296  areacirclem1  37312  dvrelog3  41668  aks4d1p1p6  41676  rfcnpre1  44523  rfcnpre2  44535  ioontr  45034  iocopn  45043  icoopn  45048  islptre  45145  limciccioolb  45147  limcicciooub  45163  limcresiooub  45168  limcresioolb  45169  icccncfext  45413  itgsin0pilem1  45476  itgsbtaddcnst  45508  dirkercncflem2  45630  dirkercncflem3  45631  dirkercncflem4  45632  fourierdlem28  45661  fourierdlem32  45665  fourierdlem33  45666  fourierdlem48  45680  fourierdlem49  45681  fourierdlem56  45688  fourierdlem57  45689  fourierdlem59  45691  fourierdlem60  45692  fourierdlem61  45693  fourierdlem62  45694  fourierdlem68  45700  fourierdlem72  45704  fourierdlem73  45705  fouriersw  45757  iooborel  45877  iooii  48122  i0oii  48124  io1ii  48125