Theorem iooretop 24748

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24743	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22949	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13395	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3912	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  ran crn 5619  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  (,)cioo 13289  topGenctg 17391  TopBasesctb 22928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-ioo 13293  df-topgen 17397  df-bases 22929

This theorem is referenced by:  icccld  24749  icopnfcld  24750  iocmnfcld  24751  zcld  24797  iccntr  24805  reconnlem1  24810  reconnlem2  24811  icoopnst  24924  iocopnst  24925  dvlip  25978  dvlipcn  25979  dvivthlem1  25993  dvne0  25996  lhop2  26000  lhop  26001  dvfsumle  26006  dvfsumabs  26008  dvfsumlem2  26012  ftc1  26027  dvloglem  26630  advlog  26636  advlogexp  26637  cxpcn3  26730  loglesqrt  26743  lgamgulmlem2  27011  log2sumbnd  27525  dya2iocbrsiga  34459  dya2icobrsiga  34460  poimir  38020  ftc1cnnc  38059  areacirclem1  38075  dvrelog3  42550  aks4d1p1p6  42558  redvmptabs  42837  rfcnpre1  45467  rfcnpre2  45479  ioontr  45956  iocopn  45965  icoopn  45970  islptre  46064  limciccioolb  46066  limcicciooub  46080  limcresiooub  46085  limcresioolb  46086  icccncfext  46330  itgsin0pilem1  46393  itgsbtaddcnst  46425  dirkercncflem2  46547  dirkercncflem3  46548  dirkercncflem4  46549  fourierdlem28  46578  fourierdlem32  46582  fourierdlem33  46583  fourierdlem48  46597  fourierdlem49  46598  fourierdlem56  46605  fourierdlem57  46606  fourierdlem59  46608  fourierdlem60  46609  fourierdlem61  46610  fourierdlem62  46611  fourierdlem68  46617  fourierdlem72  46621  fourierdlem73  46622  fouriersw  46674  iooborel  46794  iooii  49408  i0oii  49410  io1ii  49411