Theorem iooretop 24730

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24725	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22931	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13404	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3918	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ran crn 5632  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  (,)cioo 13298  topGenctg 17400  TopBasesctb 22910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-ioo 13302  df-topgen 17406  df-bases 22911

This theorem is referenced by:  icccld  24731  icopnfcld  24732  iocmnfcld  24733  zcld  24779  iccntr  24787  reconnlem1  24792  reconnlem2  24793  icoopnst  24906  iocopnst  24907  dvlip  25960  dvlipcn  25961  dvivthlem1  25975  dvne0  25978  lhop2  25982  lhop  25983  dvfsumle  25988  dvfsumabs  25990  dvfsumlem2  25994  ftc1  26009  dvloglem  26612  advlog  26618  advlogexp  26619  cxpcn3  26712  loglesqrt  26725  lgamgulmlem2  26993  log2sumbnd  27507  dya2iocbrsiga  34419  dya2icobrsiga  34420  poimir  37974  ftc1cnnc  38013  areacirclem1  38029  dvrelog3  42504  aks4d1p1p6  42512  redvmptabs  42792  rfcnpre1  45450  rfcnpre2  45462  ioontr  45941  iocopn  45950  icoopn  45955  islptre  46049  limciccioolb  46051  limcicciooub  46065  limcresiooub  46070  limcresioolb  46071  icccncfext  46315  itgsin0pilem1  46378  itgsbtaddcnst  46410  dirkercncflem2  46532  dirkercncflem3  46533  dirkercncflem4  46534  fourierdlem28  46563  fourierdlem32  46567  fourierdlem33  46568  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem56  46590  fourierdlem57  46591  fourierdlem59  46593  fourierdlem60  46594  fourierdlem61  46595  fourierdlem62  46596  fourierdlem68  46602  fourierdlem72  46606  fourierdlem73  46607  fouriersw  46659  iooborel  46779  iooii  49393  i0oii  49395  io1ii  49396