Theorem iooretop 23374

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 23369	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 21574	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 12840	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3964	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936  ran crn 5556  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  (,)cioo 12739  topGenctg 16711  TopBasesctb 21553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-q 12350  df-ioo 12743  df-topgen 16717  df-bases 21554

This theorem is referenced by:  icccld  23375  icopnfcld  23376  iocmnfcld  23377  zcld  23421  iccntr  23429  reconnlem1  23434  reconnlem2  23435  icoopnst  23543  iocopnst  23544  dvlip  24590  dvlipcn  24591  dvivthlem1  24605  dvne0  24608  lhop2  24612  lhop  24613  dvfsumle  24618  dvfsumabs  24620  dvfsumlem2  24624  ftc1  24639  dvloglem  25231  advlog  25237  advlogexp  25238  cxpcn3  25329  loglesqrt  25339  lgamgulmlem2  25607  log2sumbnd  26120  dya2iocbrsiga  31533  dya2icobrsiga  31534  poimir  34940  ftc1cnnc  34981  areacirclem1  34997  rfcnpre1  41296  rfcnpre2  41308  ioontr  41807  iocopn  41816  icoopn  41821  islptre  41920  limciccioolb  41922  limcicciooub  41938  limcresiooub  41943  limcresioolb  41944  icccncfext  42190  itgsin0pilem1  42255  itgsbtaddcnst  42287  dirkercncflem2  42409  dirkercncflem3  42410  dirkercncflem4  42411  fourierdlem28  42440  fourierdlem32  42444  fourierdlem33  42445  fourierdlem48  42459  fourierdlem49  42460  fourierdlem56  42467  fourierdlem57  42468  fourierdlem59  42470  fourierdlem60  42471  fourierdlem61  42472  fourierdlem62  42473  fourierdlem68  42479  fourierdlem72  42483  fourierdlem73  42484  fouriersw  42536  iooborel  42654