Theorem iooretop 24721

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24716	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22922	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13379	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3932	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ran crn 5633  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  (,)cioo 13273  topGenctg 17369  TopBasesctb 22901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-ioo 13277  df-topgen 17375  df-bases 22902

This theorem is referenced by:  icccld  24722  icopnfcld  24723  iocmnfcld  24724  zcld  24770  iccntr  24778  reconnlem1  24783  reconnlem2  24784  icoopnst  24904  iocopnst  24905  dvlip  25966  dvlipcn  25967  dvivthlem1  25981  dvne0  25984  lhop2  25988  lhop  25989  dvfsumle  25994  dvfsumleOLD  25995  dvfsumabs  25997  dvfsumlem2  26001  dvfsumlem2OLD  26002  ftc1  26017  dvloglem  26625  advlog  26631  advlogexp  26632  cxpcn3  26726  loglesqrt  26739  lgamgulmlem2  27008  log2sumbnd  27523  dya2iocbrsiga  34453  dya2icobrsiga  34454  poimir  37904  ftc1cnnc  37943  areacirclem1  37959  dvrelog3  42435  aks4d1p1p6  42443  redvmptabs  42730  rfcnpre1  45379  rfcnpre2  45391  ioontr  45871  iocopn  45880  icoopn  45885  islptre  45979  limciccioolb  45981  limcicciooub  45995  limcresiooub  46000  limcresioolb  46001  icccncfext  46245  itgsin0pilem1  46308  itgsbtaddcnst  46340  dirkercncflem2  46462  dirkercncflem3  46463  dirkercncflem4  46464  fourierdlem28  46493  fourierdlem32  46497  fourierdlem33  46498  fourierdlem48  46512  fourierdlem49  46513  fourierdlem56  46520  fourierdlem57  46521  fourierdlem59  46523  fourierdlem60  46524  fourierdlem61  46525  fourierdlem62  46526  fourierdlem68  46532  fourierdlem72  46536  fourierdlem73  46537  fouriersw  46589  iooborel  46709  iooii  49277  i0oii  49279  io1ii  49280