Theorem iooretop 24680

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24675	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22881	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13351	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3926	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ran crn 5615  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  (,)cioo 13245  topGenctg 17341  TopBasesctb 22860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-ioo 13249  df-topgen 17347  df-bases 22861

This theorem is referenced by:  icccld  24681  icopnfcld  24682  iocmnfcld  24683  zcld  24729  iccntr  24737  reconnlem1  24742  reconnlem2  24743  icoopnst  24863  iocopnst  24864  dvlip  25925  dvlipcn  25926  dvivthlem1  25940  dvne0  25943  lhop2  25947  lhop  25948  dvfsumle  25953  dvfsumleOLD  25954  dvfsumabs  25956  dvfsumlem2  25960  dvfsumlem2OLD  25961  ftc1  25976  dvloglem  26584  advlog  26590  advlogexp  26591  cxpcn3  26685  loglesqrt  26698  lgamgulmlem2  26967  log2sumbnd  27482  dya2iocbrsiga  34288  dya2icobrsiga  34289  poimir  37701  ftc1cnnc  37740  areacirclem1  37756  dvrelog3  42106  aks4d1p1p6  42114  redvmptabs  42401  rfcnpre1  45064  rfcnpre2  45076  ioontr  45559  iocopn  45568  icoopn  45573  islptre  45667  limciccioolb  45669  limcicciooub  45683  limcresiooub  45688  limcresioolb  45689  icccncfext  45933  itgsin0pilem1  45996  itgsbtaddcnst  46028  dirkercncflem2  46150  dirkercncflem3  46151  dirkercncflem4  46152  fourierdlem28  46181  fourierdlem32  46185  fourierdlem33  46186  fourierdlem48  46200  fourierdlem49  46201  fourierdlem56  46208  fourierdlem57  46209  fourierdlem59  46211  fourierdlem60  46212  fourierdlem61  46213  fourierdlem62  46214  fourierdlem68  46220  fourierdlem72  46224  fourierdlem73  46225  fouriersw  46277  iooborel  46397  iooii  48957  i0oii  48959  io1ii  48960