Theorem iooretop 24890

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24885	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 23091	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13477	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3942	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ran crn 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  (,)cioo 13371  topGenctg 17489  TopBasesctb 23070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-ioo 13375  df-topgen 17495  df-bases 23071

This theorem is referenced by:  icccld  24891  icopnfcld  24892  iocmnfcld  24893  zcld  24939  iccntr  24947  reconnlem1  24952  reconnlem2  24953  icoopnst  25066  iocopnst  25067  dvlip  26120  dvlipcn  26121  dvivthlem1  26135  dvne0  26138  lhop2  26142  lhop  26143  dvfsumle  26148  dvfsumabs  26150  dvfsumlem2  26154  ftc1  26169  dvloglem  26778  advlog  26784  advlogexp  26785  cxpcn3  26878  loglesqrt  26891  lgamgulmlem2  27159  log2sumbnd  27673  dya2iocbrsiga  34609  dya2icobrsiga  34610  poimir  38191  ftc1cnnc  38230  areacirclem1  38246  dvrelog3  42721  aks4d1p1p6  42729  redvmptabs  43010  rfcnpre1  45630  rfcnpre2  45642  ioontr  46118  iocopn  46127  icoopn  46132  islptre  46226  limciccioolb  46228  limcicciooub  46242  limcresiooub  46247  limcresioolb  46248  icccncfext  46492  itgsin0pilem1  46555  itgsbtaddcnst  46587  dirkercncflem2  46709  dirkercncflem3  46710  dirkercncflem4  46711  fourierdlem28  46740  fourierdlem32  46744  fourierdlem33  46745  fourierdlem48  46759  fourierdlem49  46760  fourierdlem56  46767  fourierdlem57  46768  fourierdlem59  46770  fourierdlem60  46771  fourierdlem61  46772  fourierdlem62  46773  fourierdlem68  46779  fourierdlem72  46783  fourierdlem73  46784  fouriersw  46836  iooborel  46956  iooii  49580  i0oii  49582  io1ii  49583