Theorem iooretop 24709

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24704	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22910	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13367	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3930	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  (,)cioo 13261  topGenctg 17357  TopBasesctb 22889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-ioo 13265  df-topgen 17363  df-bases 22890

This theorem is referenced by:  icccld  24710  icopnfcld  24711  iocmnfcld  24712  zcld  24758  iccntr  24766  reconnlem1  24771  reconnlem2  24772  icoopnst  24892  iocopnst  24893  dvlip  25954  dvlipcn  25955  dvivthlem1  25969  dvne0  25972  lhop2  25976  lhop  25977  dvfsumle  25982  dvfsumleOLD  25983  dvfsumabs  25985  dvfsumlem2  25989  dvfsumlem2OLD  25990  ftc1  26005  dvloglem  26613  advlog  26619  advlogexp  26620  cxpcn3  26714  loglesqrt  26727  lgamgulmlem2  26996  log2sumbnd  27511  dya2iocbrsiga  34432  dya2icobrsiga  34433  poimir  37854  ftc1cnnc  37893  areacirclem1  37909  dvrelog3  42319  aks4d1p1p6  42327  redvmptabs  42615  rfcnpre1  45264  rfcnpre2  45276  ioontr  45757  iocopn  45766  icoopn  45771  islptre  45865  limciccioolb  45867  limcicciooub  45881  limcresiooub  45886  limcresioolb  45887  icccncfext  46131  itgsin0pilem1  46194  itgsbtaddcnst  46226  dirkercncflem2  46348  dirkercncflem3  46349  dirkercncflem4  46350  fourierdlem28  46379  fourierdlem32  46383  fourierdlem33  46384  fourierdlem48  46398  fourierdlem49  46399  fourierdlem56  46406  fourierdlem57  46407  fourierdlem59  46409  fourierdlem60  46410  fourierdlem61  46411  fourierdlem62  46412  fourierdlem68  46418  fourierdlem72  46422  fourierdlem73  46423  fouriersw  46475  iooborel  46595  iooii  49163  i0oii  49165  io1ii  49166