Theorem iooretop 24651

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24646	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22851	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13354	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3932	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  ran crn 5620  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  (,)cioo 13248  topGenctg 17341  TopBasesctb 22830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-ioo 13252  df-topgen 17347  df-bases 22831

This theorem is referenced by:  icccld  24652  icopnfcld  24653  iocmnfcld  24654  zcld  24700  iccntr  24708  reconnlem1  24713  reconnlem2  24714  icoopnst  24834  iocopnst  24835  dvlip  25896  dvlipcn  25897  dvivthlem1  25911  dvne0  25914  lhop2  25918  lhop  25919  dvfsumle  25924  dvfsumleOLD  25925  dvfsumabs  25927  dvfsumlem2  25931  dvfsumlem2OLD  25932  ftc1  25947  dvloglem  26555  advlog  26561  advlogexp  26562  cxpcn3  26656  loglesqrt  26669  lgamgulmlem2  26938  log2sumbnd  27453  dya2iocbrsiga  34243  dya2icobrsiga  34244  poimir  37633  ftc1cnnc  37672  areacirclem1  37688  dvrelog3  42038  aks4d1p1p6  42046  redvmptabs  42333  rfcnpre1  44997  rfcnpre2  45009  ioontr  45492  iocopn  45501  icoopn  45506  islptre  45600  limciccioolb  45602  limcicciooub  45618  limcresiooub  45623  limcresioolb  45624  icccncfext  45868  itgsin0pilem1  45931  itgsbtaddcnst  45963  dirkercncflem2  46085  dirkercncflem3  46086  dirkercncflem4  46087  fourierdlem28  46116  fourierdlem32  46120  fourierdlem33  46121  fourierdlem48  46135  fourierdlem49  46136  fourierdlem56  46143  fourierdlem57  46144  fourierdlem59  46146  fourierdlem60  46147  fourierdlem61  46148  fourierdlem62  46149  fourierdlem68  46155  fourierdlem72  46159  fourierdlem73  46160  fouriersw  46212  iooborel  46332  iooii  48902  i0oii  48904  io1ii  48905