Theorem iooretop 24659

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24654	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22859	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13418	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3945	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3916  ran crn 5641  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  (,)cioo 13312  topGenctg 17406  TopBasesctb 22838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-q 12914  df-ioo 13316  df-topgen 17412  df-bases 22839

This theorem is referenced by:  icccld  24660  icopnfcld  24661  iocmnfcld  24662  zcld  24708  iccntr  24716  reconnlem1  24721  reconnlem2  24722  icoopnst  24842  iocopnst  24843  dvlip  25904  dvlipcn  25905  dvivthlem1  25919  dvne0  25922  lhop2  25926  lhop  25927  dvfsumle  25932  dvfsumleOLD  25933  dvfsumabs  25935  dvfsumlem2  25939  dvfsumlem2OLD  25940  ftc1  25955  dvloglem  26563  advlog  26569  advlogexp  26570  cxpcn3  26664  loglesqrt  26677  lgamgulmlem2  26946  log2sumbnd  27461  dya2iocbrsiga  34272  dya2icobrsiga  34273  poimir  37642  ftc1cnnc  37681  areacirclem1  37697  dvrelog3  42048  aks4d1p1p6  42056  redvmptabs  42343  rfcnpre1  45006  rfcnpre2  45018  ioontr  45502  iocopn  45511  icoopn  45516  islptre  45610  limciccioolb  45612  limcicciooub  45628  limcresiooub  45633  limcresioolb  45634  icccncfext  45878  itgsin0pilem1  45941  itgsbtaddcnst  45973  dirkercncflem2  46095  dirkercncflem3  46096  dirkercncflem4  46097  fourierdlem28  46126  fourierdlem32  46130  fourierdlem33  46131  fourierdlem48  46145  fourierdlem49  46146  fourierdlem56  46153  fourierdlem57  46154  fourierdlem59  46156  fourierdlem60  46157  fourierdlem61  46158  fourierdlem62  46159  fourierdlem68  46165  fourierdlem72  46169  fourierdlem73  46170  fouriersw  46222  iooborel  46342  iooii  48896  i0oii  48898  io1ii  48899