Theorem iooretop 24707

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24702	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22908	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13365	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3928	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899  ran crn 5623  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  (,)cioo 13259  topGenctg 17355  TopBasesctb 22887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-ioo 13263  df-topgen 17361  df-bases 22888

This theorem is referenced by:  icccld  24708  icopnfcld  24709  iocmnfcld  24710  zcld  24756  iccntr  24764  reconnlem1  24769  reconnlem2  24770  icoopnst  24890  iocopnst  24891  dvlip  25952  dvlipcn  25953  dvivthlem1  25967  dvne0  25970  lhop2  25974  lhop  25975  dvfsumle  25980  dvfsumleOLD  25981  dvfsumabs  25983  dvfsumlem2  25987  dvfsumlem2OLD  25988  ftc1  26003  dvloglem  26611  advlog  26617  advlogexp  26618  cxpcn3  26712  loglesqrt  26725  lgamgulmlem2  26994  log2sumbnd  27509  dya2iocbrsiga  34381  dya2icobrsiga  34382  poimir  37793  ftc1cnnc  37832  areacirclem1  37848  dvrelog3  42258  aks4d1p1p6  42266  redvmptabs  42557  rfcnpre1  45206  rfcnpre2  45218  ioontr  45699  iocopn  45708  icoopn  45713  islptre  45807  limciccioolb  45809  limcicciooub  45823  limcresiooub  45828  limcresioolb  45829  icccncfext  46073  itgsin0pilem1  46136  itgsbtaddcnst  46168  dirkercncflem2  46290  dirkercncflem3  46291  dirkercncflem4  46292  fourierdlem28  46321  fourierdlem32  46325  fourierdlem33  46326  fourierdlem48  46340  fourierdlem49  46341  fourierdlem56  46348  fourierdlem57  46349  fourierdlem59  46351  fourierdlem60  46352  fourierdlem61  46353  fourierdlem62  46354  fourierdlem68  46360  fourierdlem72  46364  fourierdlem73  46365  fouriersw  46417  iooborel  46537  iooii  49105  i0oii  49107  io1ii  49108