Theorem iooretop 24274

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24269	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22461	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13425	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3979	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3948  ran crn 5677  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  (,)cioo 13321  topGenctg 17380  TopBasesctb 22440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-ioo 13325  df-topgen 17386  df-bases 22441

This theorem is referenced by:  icccld  24275  icopnfcld  24276  iocmnfcld  24277  zcld  24321  iccntr  24329  reconnlem1  24334  reconnlem2  24335  icoopnst  24447  iocopnst  24448  dvlip  25502  dvlipcn  25503  dvivthlem1  25517  dvne0  25520  lhop2  25524  lhop  25525  dvfsumle  25530  dvfsumabs  25532  dvfsumlem2  25536  ftc1  25551  dvloglem  26148  advlog  26154  advlogexp  26155  cxpcn3  26246  loglesqrt  26256  lgamgulmlem2  26524  log2sumbnd  27037  dya2iocbrsiga  33263  dya2icobrsiga  33264  gg-dvfsumle  35171  gg-dvfsumlem2  35172  poimir  36510  ftc1cnnc  36549  areacirclem1  36565  dvrelog3  40919  aks4d1p1p6  40927  rfcnpre1  43689  rfcnpre2  43701  ioontr  44211  iocopn  44220  icoopn  44225  islptre  44322  limciccioolb  44324  limcicciooub  44340  limcresiooub  44345  limcresioolb  44346  icccncfext  44590  itgsin0pilem1  44653  itgsbtaddcnst  44685  dirkercncflem2  44807  dirkercncflem3  44808  dirkercncflem4  44809  fourierdlem28  44838  fourierdlem32  44842  fourierdlem33  44843  fourierdlem48  44857  fourierdlem49  44858  fourierdlem56  44865  fourierdlem57  44866  fourierdlem59  44868  fourierdlem60  44869  fourierdlem61  44870  fourierdlem62  44871  fourierdlem68  44877  fourierdlem72  44881  fourierdlem73  44882  fouriersw  44934  iooborel  45054  iooii  47504  i0oii  47506  io1ii  47507