Theorem iooretop 25077

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 25072	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 23277	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13575	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3928	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ran crn 5652  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  (,)cioo 13469  topGenctg 17601  TopBasesctb 23256

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-q 13069  df-ioo 13473  df-topgen 17607  df-bases 23257

This theorem is used by:  icccld  25078  icopnfcld  25079  iocmnfcld  25080  zcld  25126  iccntr  25134  reconnlem1  25139  reconnlem2  25140  icoopnst  25253  iocopnst  25254  dvlip  26306  dvlipcn  26307  dvivthlem1  26321  dvne0  26324  lhop2  26328  lhop  26329  dvfsumle  26334  dvfsumabs  26336  dvfsumlem2  26340  ftc1  26355  dvloglem  26969  advlog  26975  advlogexp  26976  cxpcn3  27069  loglesqrt  27082  lgamgulmlem2  27350  log2sumbnd  27864  dya2iocbrsiga  34900  dya2icobrsiga  34901  poimir  38551  ftc1cnnc  38590  areacirclem1  38606  dvrelog3  43095  aks4d1p1p6  43103  redvmptabs  43391  rfcnpre1  46005  rfcnpre2  46017  ioontr  46492  iocopn  46501  icoopn  46506  islptre  46600  limciccioolb  46602  limcicciooub  46616  limcresiooub  46621  limcresioolb  46622  icccncfext  46866  itgsin0pilem1  46929  itgsbtaddcnst  46961  dirkercncflem2  47083  dirkercncflem3  47084  dirkercncflem4  47085  fourierdlem28  47114  fourierdlem32  47118  fourierdlem33  47119  fourierdlem48  47133  fourierdlem49  47134  fourierdlem56  47141  fourierdlem57  47142  fourierdlem59  47144  fourierdlem60  47145  fourierdlem61  47146  fourierdlem62  47147  fourierdlem68  47153  fourierdlem72  47157  fourierdlem73  47158  fouriersw  47210  iooborel  47330  iooii  49995  i0oii  49997  io1ii  49998