Theorem iooretop 24629

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24624	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22829	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13388	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3940	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ran crn 5632  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  (,)cioo 13282  topGenctg 17376  TopBasesctb 22808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-ioo 13286  df-topgen 17382  df-bases 22809

This theorem is referenced by:  icccld  24630  icopnfcld  24631  iocmnfcld  24632  zcld  24678  iccntr  24686  reconnlem1  24691  reconnlem2  24692  icoopnst  24812  iocopnst  24813  dvlip  25874  dvlipcn  25875  dvivthlem1  25889  dvne0  25892  lhop2  25896  lhop  25897  dvfsumle  25902  dvfsumleOLD  25903  dvfsumabs  25905  dvfsumlem2  25909  dvfsumlem2OLD  25910  ftc1  25925  dvloglem  26533  advlog  26539  advlogexp  26540  cxpcn3  26634  loglesqrt  26647  lgamgulmlem2  26916  log2sumbnd  27431  dya2iocbrsiga  34239  dya2icobrsiga  34240  poimir  37620  ftc1cnnc  37659  areacirclem1  37675  dvrelog3  42026  aks4d1p1p6  42034  redvmptabs  42321  rfcnpre1  44986  rfcnpre2  44998  ioontr  45482  iocopn  45491  icoopn  45496  islptre  45590  limciccioolb  45592  limcicciooub  45608  limcresiooub  45613  limcresioolb  45614  icccncfext  45858  itgsin0pilem1  45921  itgsbtaddcnst  45953  dirkercncflem2  46075  dirkercncflem3  46076  dirkercncflem4  46077  fourierdlem28  46106  fourierdlem32  46110  fourierdlem33  46111  fourierdlem48  46125  fourierdlem49  46126  fourierdlem56  46133  fourierdlem57  46134  fourierdlem59  46136  fourierdlem60  46137  fourierdlem61  46138  fourierdlem62  46139  fourierdlem68  46145  fourierdlem72  46149  fourierdlem73  46150  fouriersw  46202  iooborel  46322  iooii  48879  i0oii  48881  io1ii  48882