Theorem iooretop 23077

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 23072	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 21278	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 12655	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3855	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2050   ⊆ wss 3829  ran crn 5408  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  (,)cioo 12554  topGenctg 16567  TopBasesctb 21257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-q 12163  df-ioo 12558  df-topgen 16573  df-bases 21258

This theorem is referenced by:  icccld  23078  icopnfcld  23079  iocmnfcld  23080  zcld  23124  iccntr  23132  reconnlem1  23137  reconnlem2  23138  icoopnst  23246  iocopnst  23247  dvlip  24293  dvlipcn  24294  dvivthlem1  24308  dvne0  24311  lhop2  24315  lhop  24316  dvfsumle  24321  dvfsumabs  24323  dvfsumlem2  24327  ftc1  24342  dvloglem  24932  advlog  24938  advlogexp  24939  cxpcn3  25030  loglesqrt  25040  lgamgulmlem2  25309  log2sumbnd  25822  dya2iocbrsiga  31184  dya2icobrsiga  31185  poimir  34372  ftc1cnnc  34413  areacirclem1  34429  rfcnpre1  40701  rfcnpre2  40713  ioontr  41224  iocopn  41233  icoopn  41238  islptre  41337  limciccioolb  41339  limcicciooub  41355  limcresiooub  41360  limcresioolb  41361  icccncfext  41606  itgsin0pilem1  41671  itgsbtaddcnst  41703  dirkercncflem2  41826  dirkercncflem3  41827  dirkercncflem4  41828  fourierdlem28  41857  fourierdlem32  41861  fourierdlem33  41862  fourierdlem48  41876  fourierdlem49  41877  fourierdlem56  41884  fourierdlem57  41885  fourierdlem59  41887  fourierdlem60  41888  fourierdlem61  41889  fourierdlem62  41890  fourierdlem68  41896  fourierdlem72  41900  fourierdlem73  41901  fouriersw  41953  iooborel  42071