Theorem iooretop 24653

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24648	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 22853	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13412	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3943	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ran crn 5639  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  (,)cioo 13306  topGenctg 17400  TopBasesctb 22832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-ioo 13310  df-topgen 17406  df-bases 22833

This theorem is referenced by:  icccld  24654  icopnfcld  24655  iocmnfcld  24656  zcld  24702  iccntr  24710  reconnlem1  24715  reconnlem2  24716  icoopnst  24836  iocopnst  24837  dvlip  25898  dvlipcn  25899  dvivthlem1  25913  dvne0  25916  lhop2  25920  lhop  25921  dvfsumle  25926  dvfsumleOLD  25927  dvfsumabs  25929  dvfsumlem2  25933  dvfsumlem2OLD  25934  ftc1  25949  dvloglem  26557  advlog  26563  advlogexp  26564  cxpcn3  26658  loglesqrt  26671  lgamgulmlem2  26940  log2sumbnd  27455  dya2iocbrsiga  34266  dya2icobrsiga  34267  poimir  37647  ftc1cnnc  37686  areacirclem1  37702  dvrelog3  42053  aks4d1p1p6  42061  redvmptabs  42348  rfcnpre1  45013  rfcnpre2  45025  ioontr  45509  iocopn  45518  icoopn  45523  islptre  45617  limciccioolb  45619  limcicciooub  45635  limcresiooub  45640  limcresioolb  45641  icccncfext  45885  itgsin0pilem1  45948  itgsbtaddcnst  45980  dirkercncflem2  46102  dirkercncflem3  46103  dirkercncflem4  46104  fourierdlem28  46133  fourierdlem32  46137  fourierdlem33  46138  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem56  46160  fourierdlem57  46161  fourierdlem59  46163  fourierdlem60  46164  fourierdlem61  46165  fourierdlem62  46166  fourierdlem68  46172  fourierdlem72  46176  fourierdlem73  46177  fouriersw  46229  iooborel  46349  iooii  48906  i0oii  48908  io1ii  48909