Theorem iooretop 24922

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24917	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 23123	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13473	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3934	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  (,)cioo 13367  topGenctg 17485  TopBasesctb 23102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-ioo 13371  df-topgen 17491  df-bases 23103

This theorem is referenced by:  icccld  24923  icopnfcld  24924  iocmnfcld  24925  zcld  24971  iccntr  24979  reconnlem1  24984  reconnlem2  24985  icoopnst  25098  iocopnst  25099  dvlip  26152  dvlipcn  26153  dvivthlem1  26167  dvne0  26170  lhop2  26174  lhop  26175  dvfsumle  26180  dvfsumabs  26182  dvfsumlem2  26186  ftc1  26201  dvloglem  26813  advlog  26819  advlogexp  26820  cxpcn3  26913  loglesqrt  26926  lgamgulmlem2  27194  log2sumbnd  27708  dya2iocbrsiga  34665  dya2icobrsiga  34666  poimir  38304  ftc1cnnc  38343  areacirclem1  38359  dvrelog3  42832  aks4d1p1p6  42840  redvmptabs  43121  rfcnpre1  45739  rfcnpre2  45751  ioontr  46227  iocopn  46236  icoopn  46241  islptre  46335  limciccioolb  46337  limcicciooub  46351  limcresiooub  46356  limcresioolb  46357  icccncfext  46601  itgsin0pilem1  46664  itgsbtaddcnst  46696  dirkercncflem2  46818  dirkercncflem3  46819  dirkercncflem4  46820  fourierdlem28  46849  fourierdlem32  46853  fourierdlem33  46854  fourierdlem48  46868  fourierdlem49  46869  fourierdlem56  46876  fourierdlem57  46877  fourierdlem59  46879  fourierdlem60  46880  fourierdlem61  46881  fourierdlem62  46882  fourierdlem68  46888  fourierdlem72  46892  fourierdlem73  46893  fouriersw  46945  iooborel  47065  iooii  49696  i0oii  49698  io1ii  49699