Theorem iooretop 24991

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 24986	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 23191	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 13504	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3928	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  (,)cioo 13398  topGenctg 17522  TopBasesctb 23170

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-q 12998  df-ioo 13402  df-topgen 17528  df-bases 23171

This theorem is used by:  icccld  24992  icopnfcld  24993  iocmnfcld  24994  zcld  25040  iccntr  25048  reconnlem1  25053  reconnlem2  25054  icoopnst  25167  iocopnst  25168  dvlip  26220  dvlipcn  26221  dvivthlem1  26235  dvne0  26238  lhop2  26242  lhop  26243  dvfsumle  26248  dvfsumabs  26250  dvfsumlem2  26254  ftc1  26269  dvloglem  26885  advlog  26891  advlogexp  26892  cxpcn3  26985  loglesqrt  26998  lgamgulmlem2  27266  log2sumbnd  27780  dya2iocbrsiga  34786  dya2icobrsiga  34787  poimir  38402  ftc1cnnc  38441  areacirclem1  38457  dvrelog3  42931  aks4d1p1p6  42939  redvmptabs  43235  rfcnpre1  45853  rfcnpre2  45865  ioontr  46341  iocopn  46350  icoopn  46355  islptre  46449  limciccioolb  46451  limcicciooub  46465  limcresiooub  46470  limcresioolb  46471  icccncfext  46715  itgsin0pilem1  46778  itgsbtaddcnst  46810  dirkercncflem2  46932  dirkercncflem3  46933  dirkercncflem4  46934  fourierdlem28  46963  fourierdlem32  46967  fourierdlem33  46968  fourierdlem48  46982  fourierdlem49  46983  fourierdlem56  46990  fourierdlem57  46991  fourierdlem59  46993  fourierdlem60  46994  fourierdlem61  46995  fourierdlem62  46996  fourierdlem68  47002  fourierdlem72  47006  fourierdlem73  47007  fouriersw  47059  iooborel  47179  iooii  49844  i0oii  49846  io1ii  49847