MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmbf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmbf 24556
Description: A continuous function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnmbf ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem cnmbf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncff 23790 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2 mblss 24428 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3 cnex 10810 . . . 4 ℂ ∈ V
4 reex 10820 . . . 4 ℝ ∈ V
5 elpm2r 8526 . . . 4 (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
63, 4, 5mpanl12 702 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
71, 2, 6syl2anr 600 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
8 simpll 767 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)
9 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
10 recncf 23799 . . . . . . . . 9 ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
1110a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
129, 11cncfco 23804 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ (𝐴cn→ℝ))
132ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
14 ax-resscn 10786 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
1513, 14sstrdi 3913 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
16 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
17 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴)
1816tgioo2 23700 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
1916, 17, 18cncfcn 23807 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐴cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
2015, 14, 19sylancl 589 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝐴cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
21 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
2216, 21rerest 23701 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
2313, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
2423oveq1d 7228 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) = (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
2520, 24eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝐴cn→ℝ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
2612, 25eleqtrd 2840 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
27 retopbas 23658 . . . . . . . 8 ran (,) ∈ TopBases
28 bastg 21863 . . . . . . . 8 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
30 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝑥 ∈ ran (,))
3129, 30sseldi 3899 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)))
32 cnima 22162 . . . . . 6 (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
3326, 31, 32syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
34 eqid 2737 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
3534subopnmbl 24501 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
368, 33, 35syl2anc 587 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
37 imcncf 23800 . . . . . . . . 9 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
399, 38cncfco 23804 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ (𝐴cn→ℝ))
4039, 25eleqtrd 2840 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
41 cnima 22162 . . . . . 6 (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
4240, 31, 41syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
4334subopnmbl 24501 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
448, 42, 43syl2anc 587 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
4536, 44jca 515 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
4645ralrimiva 3105 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
47 ismbf1 24521 . 2 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
487, 46, 47sylanbrc 586 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  Vcvv 3408  wss 3866  ccnv 5550  dom cdm 5551  ran crn 5552  cima 5554  ccom 5555  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  pm cpm 8509  cc 10727  cr 10728  (,)cioo 12935  cre 14660  cim 14661  t crest 16925  TopOpenctopn 16926  topGenctg 16942  fldccnfld 20363  TopBasesctb 21842   Cn ccn 22121  cnccncf 23773  volcvol 24360  MblFncmbf 24511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-acn 9558  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-struct 16700  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-rest 16927  df-topn 16928  df-topgen 16948  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-cmp 22284  df-xms 23218  df-ms 23219  df-cncf 23775  df-ovol 24361  df-vol 24362  df-mbf 24516
This theorem is referenced by:  cniccibl  24738  cnicciblnc  24740  ftc2re  32290  ftc1cnnclem  35585  ftc2nc  35596  3factsumint1  39763  cnioobibld  40748  cnbdibl  43178  fourierdlem16  43339  fourierdlem21  43344  fourierdlem22  43345  fourierdlem83  43405
  Copyright terms: Public domain W3C validator