Theorem cnmbf 25708

Description: A continuous function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnmbf	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem cnmbf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncff 24933	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		mblss 25580	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		cnex 11234	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
4		reex 11244	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
5		elpm2r 8884	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6	3, 4, 5	mpanl12 702	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
7	1, 2, 6	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
8		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)
9		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
10		recncf 24942	. . . . . . . . 9 ⊢ ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
12	9, 11	cncfco 24947	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℝ))
13	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
14		ax-resscn 11210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
15	13, 14	sstrdi 4008	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
16		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
17		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴)
18	16	tgioo2 24839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
19	16, 17, 18	cncfcn 24950	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
20	15, 14, 19	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝐴–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
21		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
22	16, 21	rerest 24840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
23	13, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
24	23	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) = (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
25	20, 24	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝐴–cn→ℝ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
26	12, 25	eleqtrd 2841	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
27		retopbas 24797	. . . . . . . 8 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
28		bastg 22989	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
30		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝑥 ∈ ran (,))
31	29, 30	sselid 3993	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)))
32		cnima 23289	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
33	26, 31, 32	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
34		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
35	34	subopnmbl 25653	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
36	8, 33, 35	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
37		imcncf 24943	. . . . . . . . 9 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
39	9, 38	cncfco 24947	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℝ))
40	39, 25	eleqtrd 2841	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
41		cnima 23289	. . . . . 6 ⊢ (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
42	40, 31, 41	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
43	34	subopnmbl 25653	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
44	8, 42, 43	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
45	36, 44	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
46	45	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
47		ismbf1 25673	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
48	7, 46, 47	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ^◡ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690   “ cima 5692   ∘ ccom 5693  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_pm cpm 8866  ℂcc 11151  ℝcr 11152  (,)cioo 13384  ℜcre 15133  ℑcim 15134   ↾_t crest 17467  TopOpenctopn 17468  topGenctg 17484  ℂ_fldccnfld 21382  TopBasesctb 22968   Cn ccn 23248  –cn→ccncf 24916  volcvol 25512  MblFncmbf 25663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-cmp 23411  df-xms 24346  df-ms 24347  df-cncf 24918  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668

This theorem is referenced by:  cniccibl  25891  cnicciblnc  25893  ftc2re  34592  ftc1cnnclem  37678  ftc2nc  37689  3factsumint1  42003  cnioobibld  43203  cnbdibl  45918  fourierdlem16  46079  fourierdlem21  46084  fourierdlem22  46085  fourierdlem83  46145