MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmbf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnmbf 25176
Description: A continuous function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnmbf ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
Proof of Theorem cnmbf
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncff 24409 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
2 mblss 25048 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
3 cnex 11191 . . . 4 β„‚ ∈ V
4 reex 11201 . . . 4 ℝ ∈ V
5 elpm2r 8839 . . . 4 (((β„‚ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
63, 4, 5mpanl12 701 . . 3 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
71, 2, 6syl2anr 598 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
8 simpll 766 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
9 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
10 recncf 24418 . . . . . . . . 9 β„œ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
1110a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ β„œ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
129, 11cncfco 24423 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (β„œ ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℝ))
132ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
14 ax-resscn 11167 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† β„‚
1513, 14sstrdi 3995 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
16 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
17 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴)
1816tgioo2 24319 . . . . . . . . . 10 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
1916, 17, 18cncfcn 24426 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝐴–cn→ℝ) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
2015, 14, 19sylancl 587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (𝐴–cn→ℝ) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
21 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
2216, 21rerest 24320 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴))
2313, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴))
2423oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐴) Cn (topGenβ€˜ran (,))) = (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
2520, 24eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (𝐴–cn→ℝ) = (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
2612, 25eleqtrd 2836 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (β„œ ∘ 𝐹) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
27 retopbas 24277 . . . . . . . 8 ran (,) ∈ TopBases
28 bastg 22469 . . . . . . . 8 (ran (,) ∈ TopBases β†’ ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))
30 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ π‘₯ ∈ ran (,))
3129, 30sselid 3981 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
32 cnima 22769 . . . . . 6 (((β„œ ∘ 𝐹) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) Cn (topGenβ€˜ran (,))) ∧ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴))
3326, 31, 32syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴))
34 eqid 2733 . . . . . 6 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴)
3534subopnmbl 25121 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴)) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
368, 33, 35syl2anc 585 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
37 imcncf 24419 . . . . . . . . 9 β„‘ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
3837a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ β„‘ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
399, 38cncfco 24423 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℝ))
4039, 25eleqtrd 2836 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
41 cnima 22769 . . . . . 6 (((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴) Cn (topGenβ€˜ran (,))) ∧ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴))
4240, 31, 41syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴))
4334subopnmbl 25121 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt 𝐴)) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
448, 42, 43syl2anc 585 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
4536, 44jca 513 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
4645ralrimiva 3147 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
47 ismbf1 25141 . 2 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
487, 46, 47sylanbrc 584 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108  β„cr 11109  (,)cioo 13324  β„œcre 15044  β„‘cim 15045   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  TopBasesctb 22448   Cn ccn 22728  β€“cnβ†’ccncf 24392  volcvol 24980  MblFncmbf 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-cmp 22891  df-xms 23826  df-ms 23827  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136
This theorem is referenced by:  cniccibl  25358  cnicciblnc  25360  ftc2re  33610  ftc1cnnclem  36559  ftc2nc  36570  3factsumint1  40886  cnioobibld  41963  cnbdibl  44678  fourierdlem16  44839  fourierdlem21  44844  fourierdlem22  44845  fourierdlem83  44905
  Copyright terms: Public domain W3C validator