Theorem cnmbf 25787

Description: A continuous function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnmbf	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem cnmbf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncff 25021	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		mblss 25659	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		cnex 11181	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
4		reex 11191	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
5		elpm2r 8842	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6	3, 4, 5	mpanl12 714	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
7	1, 2, 6	syl2anr 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
8		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)
9		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
10		recncf 25030	. . . . . . . . 9 ⊢ ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
12	9, 11	cncfco 25035	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℝ))
13	2	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
14		ax-resscn 11157	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
15	13, 14	sstrdi 3955	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
16		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
17		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴)
18		tgioo4 24931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
19	16, 17, 18	cncfcn 25038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
20	15, 14, 19	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝐴–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
21		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
22	16, 21	rerest 24930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
23	13, 22	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
24	23	oveq1d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) = (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
25	20, 24	eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝐴–cn→ℝ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
26	12, 25	eleqtrd 2871	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
27		retopbas 24886	. . . . . . . 8 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
28		bastg 23092	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
30		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝑥 ∈ ran (,))
31	29, 30	sselid 3941	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)))
32		cnima 23391	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
33	26, 31, 32	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
34		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
35	34	subopnmbl 25732	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
36	8, 33, 35	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
37		imcncf 25031	. . . . . . . . 9 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
39	9, 38	cncfco 25035	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℝ))
40	39, 25	eleqtrd 2871	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
41		cnima 23391	. . . . . 6 ⊢ (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
42	40, 31, 41	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
43	34	subopnmbl 25732	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
44	8, 42, 43	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
45	36, 44	jca 520	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
46	45	ralrimiva 3163	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
47		ismbf1 25752	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
48	7, 46, 47	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3461   ⊆ wss 3911  ^◡ccnv 5661  dom cdm 5662  ran crn 5663   “ cima 5665   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ↑_pm cpm 8825  ℂcc 11098  ℝcr 11099  (,)cioo 13372  ℜcre 15148  ℑcim 15149   ↾_t crest 17473  TopOpenctopn 17474  topGenctg 17490  ℂ_fldccnfld 21491  TopBasesctb 23071   Cn ccn 23350  –cn→ccncf 25004  volcvol 25591  MblFncmbf 25742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-dju 9887  df-card 9925  df-acn 9928  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-rest 17475  df-topn 17476  df-topgen 17496  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-cmp 23513  df-xms 24446  df-ms 24447  df-cncf 25006  df-ovol 25592  df-vol 25593  df-mbf 25747

This theorem is referenced by:  cniccibl  25969  cnicciblnc  25971  ftc2re  34930  ftc1cnnclem  38265  ftc2nc  38276  3factsumint1  42713  cnioobibld  43868  cnbdibl  46603  fourierdlem16  46764  fourierdlem21  46769  fourierdlem22  46770  fourierdlem83  46830