Theorem cnmbf 25594

Description: A continuous function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnmbf	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem cnmbf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncff 24820	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		mblss 25466	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		cnex 11127	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
4		reex 11137	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
5		elpm2r 8795	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6	3, 4, 5	mpanl12 702	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
7	1, 2, 6	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
8		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)
9		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
10		recncf 24829	. . . . . . . . 9 ⊢ ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
12	9, 11	cncfco 24834	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℝ))
13	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
14		ax-resscn 11103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
15	13, 14	sstrdi 3956	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
16		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
17		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴)
18		tgioo4 24727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
19	16, 17, 18	cncfcn 24837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
20	15, 14, 19	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝐴–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
21		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
22	16, 21	rerest 24726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
23	13, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
24	23	oveq1d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) = (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
25	20, 24	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝐴–cn→ℝ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
26	12, 25	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
27		retopbas 24682	. . . . . . . 8 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
28		bastg 22887	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
30		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝑥 ∈ ran (,))
31	29, 30	sselid 3941	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)))
32		cnima 23186	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
33	26, 31, 32	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
34		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
35	34	subopnmbl 25539	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
36	8, 33, 35	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
37		imcncf 24830	. . . . . . . . 9 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
39	9, 38	cncfco 24834	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℝ))
40	39, 25	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
41		cnima 23186	. . . . . 6 ⊢ (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
42	40, 31, 41	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
43	34	subopnmbl 25539	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
44	8, 42, 43	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
45	36, 44	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
46	45	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
47		ismbf1 25559	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
48	7, 46, 47	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632   “ cima 5634   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_pm cpm 8777  ℂcc 11044  ℝcr 11045  (,)cioo 13284  ℜcre 15040  ℑcim 15041   ↾_t crest 17360  TopOpenctopn 17361  topGenctg 17377  ℂ_fldccnfld 21297  TopBasesctb 22866   Cn ccn 23145  –cn→ccncf 24803  volcvol 25398  MblFncmbf 25549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9572  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9832  df-card 9870  df-acn 9873  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-4 12229  df-5 12230  df-6 12231  df-7 12232  df-8 12233  df-9 12234  df-n0 12421  df-z 12508  df-dec 12628  df-uz 12772  df-q 12886  df-rp 12930  df-xneg 13050  df-xadd 13051  df-xmul 13052  df-ioo 13288  df-ico 13290  df-icc 13291  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-fl 13732  df-seq 13945  df-exp 14005  df-hash 14274  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15630  df-struct 17094  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17362  df-topn 17363  df-topgen 17383  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-cnfld 21298  df-top 22815  df-topon 22832  df-topsp 22854  df-bases 22867  df-cn 23148  df-cnp 23149  df-cmp 23308  df-xms 24242  df-ms 24243  df-cncf 24805  df-ovol 25399  df-vol 25400  df-mbf 25554

This theorem is referenced by:  cniccibl  25776  cnicciblnc  25778  ftc2re  34583  ftc1cnnclem  37679  ftc2nc  37690  3factsumint1  42003  cnioobibld  43197  cnbdibl  45954  fourierdlem16  46115  fourierdlem21  46120  fourierdlem22  46121  fourierdlem83  46181