Theorem cnmbf 25888

Description: A continuous function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnmbf	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem cnmbf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncff 25122	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		mblss 25760	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		cnex 11208	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
4		reex 11218	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
5		elpm2r 8847	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
6	3, 4, 5	mpanl12 715	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
7	1, 2, 6	syl2anr 609	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
8		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)
9		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
10		recncf 25131	. . . . . . . . 9 ⊢ ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
12	9, 11	cncfco 25136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℝ))
13	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
14		ax-resscn 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
15	13, 14	sstrdi 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
16		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
17		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴)
18		tgioo4 25032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
19	16, 17, 18	cncfcn 25139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
20	15, 14, 19	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝐴–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
21		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
22	16, 21	rerest 25031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
23	13, 22	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
24	23	oveq1d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) = (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
25	20, 24	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (𝐴–cn→ℝ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
26	12, 25	eleqtrd 2864	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
27		retopbas 24987	. . . . . . . 8 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
28		bastg 23192	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
30		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝑥 ∈ ran (,))
31	29, 30	sselid 3932	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)))
32		cnima 23491	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
33	26, 31, 32	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
34		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
35	34	subopnmbl 25833	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
36	8, 33, 35	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
37		imcncf 25132	. . . . . . . . 9 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
39	9, 38	cncfco 25136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℝ))
40	39, 25	eleqtrd 2864	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))))
41		cnima 23491	. . . . . 6 ⊢ (((ℑ ∘ 𝐹) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
42	40, 31, 41	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
43	34	subopnmbl 25833	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
44	8, 42, 43	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
45	36, 44	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
46	45	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
47		ismbf1 25853	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
48	7, 46, 47	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → 𝐹 ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659  ran crn 5660   “ cima 5662   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_pm cpm 8830  ℂcc 11125  ℝcr 11126  (,)cioo 13400  ℜcre 15186  ℑcim 15187   ↾_t crest 17509  TopOpenctopn 17510  topGenctg 17526  ℂ_fldccnfld 21586  TopBasesctb 23171   Cn ccn 23450  –cn→ccncf 25105  volcvol 25692  MblFncmbf 25843

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-struct 17243  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-rest 17511  df-topn 17512  df-topgen 17532  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-cmp 23613  df-xms 24547  df-ms 24548  df-cncf 25107  df-ovol 25693  df-vol 25694  df-mbf 25848

This theorem is used by:  cniccibl  26070  cnicciblnc  26072  ftc2re  35093  ftc1cnnclem  38427  ftc2nc  38438  3factsumint1  42874  cnioobibld  44042  cnbdibl  46777  fourierdlem16  46938  fourierdlem21  46943  fourierdlem22  46944  fourierdlem83  47004