MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  selberglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem selberglem2 27395
Description: Lemma for selberg 27397. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
selberglem1.t 𝑇 = ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) / 𝑛)
Assertion
Ref Expression
selberglem2 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable group:   π‘š,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯,π‘š,𝑛)

Proof of Theorem selberglem2
StepHypRef Expression
1 reex 11197 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
2 rpssre 12978 . . . . . . 7 ℝ+ βŠ† ℝ
31, 2ssexi 5312 . . . . . 6 ℝ+ ∈ V
43a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ ℝ+ ∈ V)
5 fzfid 13935 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
6 elfznn 13527 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
76adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
8 mucl 26989 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
109zred 12663 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
1110recnd 11239 . . . . . . 7 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
12 fzfid 13935 . . . . . . . . . . 11 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ Fin)
13 elfznn 13527 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) β†’ π‘š ∈ β„•)
1413adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
1514nnrpd 13011 . . . . . . . . . . . . 13 ((((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
1615relogcld 26473 . . . . . . . . . . . 12 ((((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (logβ€˜π‘š) ∈ ℝ)
1716resqcld 14087 . . . . . . . . . . 11 ((((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ ((logβ€˜π‘š)↑2) ∈ ℝ)
1812, 17fsumrecl 15677 . . . . . . . . . 10 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) ∈ ℝ)
19 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
2018, 19rerpdivcld 13044 . . . . . . . . 9 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) ∈ ℝ)
2120recnd 11239 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) ∈ β„‚)
22 selberglem1.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) / 𝑛)
23 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
246nnrpd 13011 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
25 rpdivcl 12996 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
2623, 24, 25syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
2726relogcld 26473 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
2827resqcld 14087 . . . . . . . . . . . 12 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) ∈ ℝ)
29 2re 12283 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
30 remulcl 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ ℝ)
3129, 27, 30sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ ℝ)
32 resubcl 11521 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ ℝ) β†’ (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ ℝ)
3329, 31, 32sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ ℝ)
3428, 33readdcld 11240 . . . . . . . . . . 11 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ ℝ)
3534, 7nndivred 12263 . . . . . . . . . 10 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) / 𝑛) ∈ ℝ)
3622, 35eqeltrid 2829 . . . . . . . . 9 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
3736recnd 11239 . . . . . . . 8 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
3821, 37subcld 11568 . . . . . . 7 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
3911, 38mulcld 11231 . . . . . 6 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
405, 39fsumcl 15676 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
4111, 37mulcld 11231 . . . . . . 7 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) ∈ β„‚)
425, 41fsumcl 15676 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) ∈ β„‚)
43 2cn 12284 . . . . . . 7 2 ∈ β„‚
44 relogcl 26426 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4544adantl 481 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4645recnd 11239 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
47 mulcl 11190 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
4843, 46, 47sylancr 586 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
4942, 48subcld 11568 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
50 eqidd 2725 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))))
51 eqidd 2725 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))))
524, 40, 49, 50, 51offval2 7683 . . . 4 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) + (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))))
5340, 42, 48addsubassd 11588 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) + (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))))
54 rpcnne0 12989 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
5554adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
5655simpld 494 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
5710adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
5857, 17remulcld 11241 . . . . . . . . . . 11 ((((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) ∈ ℝ)
5912, 58fsumrecl 15677 . . . . . . . . . 10 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) ∈ ℝ)
6059recnd 11239 . . . . . . . . 9 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) ∈ β„‚)
6155simprd 495 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ β‰  0)
625, 56, 60, 61fsumdivc 15729 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯))
6317recnd 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ ((logβ€˜π‘š)↑2) ∈ β„‚)
6412, 63fsumcl 15676 . . . . . . . . . . 11 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) ∈ β„‚)
6555adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
66 divass 11887 . . . . . . . . . . 11 (((ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) = ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯)))
6711, 64, 65, 66syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) = ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯)))
6812, 11, 63fsummulc2 15727 . . . . . . . . . . 11 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)))
6968oveq1d 7416 . . . . . . . . . 10 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯))
7021, 37npcand 11572 . . . . . . . . . . . 12 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇) + 𝑇) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯))
7170oveq2d 7417 . . . . . . . . . . 11 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯)))
7211, 38, 37adddid 11235 . . . . . . . . . . 11 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) + ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇)))
7371, 72eqtr3d 2766 . . . . . . . . . 10 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯)) = (((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) + ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇)))
7467, 69, 733eqtr3d 2772 . . . . . . . . 9 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) = (((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) + ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇)))
7574sumeq2dv 15646 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) + ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇)))
765, 39, 41fsumadd 15683 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) + ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇)))
7762, 75, 763eqtrrd 2769 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯))
7877oveq1d 7416 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))
7953, 78eqtr3d 2766 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) + (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))
8079mpteq2dva 5238 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) + (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))))
8152, 80eqtrd 2764 . . 3 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))))
82 1red 11212 . . . . 5 (⊀ β†’ 1 ∈ ℝ)
835, 28fsumrecl 15677 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) ∈ ℝ)
8483, 23rerpdivcld 13044 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) ∈ ℝ)
8584recnd 11239 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) ∈ β„‚)
86 2cnd 12287 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ β„‚)
87 2nn0 12486 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•0
88 logexprlim 27074 . . . . . . . 8 (2 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯)) β‡π‘Ÿ (!β€˜2))
8987, 88mp1i 13 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯)) β‡π‘Ÿ (!β€˜2))
90 2cnd 12287 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ 2 ∈ β„‚)
91 rlimconst 15485 . . . . . . . 8 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) β‡π‘Ÿ 2)
922, 90, 91sylancr 586 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) β‡π‘Ÿ 2)
9385, 86, 89, 92rlimadd 15584 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) + 2)) β‡π‘Ÿ ((!β€˜2) + 2))
94 rlimo1 15558 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) + 2)) β‡π‘Ÿ ((!β€˜2) + 2) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) + 2)) ∈ 𝑂(1))
9593, 94syl 17 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) + 2)) ∈ 𝑂(1))
96 readdcl 11189 . . . . . 6 (((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) + 2) ∈ ℝ)
9784, 29, 96sylancl 585 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) + 2) ∈ ℝ)
9840abscld 15380 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ∈ ℝ)
9997recnd 11239 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) + 2) ∈ β„‚)
10099abscld 15380 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) + 2)) ∈ ℝ)
10139abscld 15380 . . . . . . . . 9 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ∈ ℝ)
1025, 101fsumrecl 15677 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ∈ ℝ)
1035, 39fsumabs 15744 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))))
104 readdcl 11189 . . . . . . . . . . . 12 ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) β†’ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2) ∈ ℝ)
10528, 29, 104sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2) ∈ ℝ)
106105, 19rerpdivcld 13044 . . . . . . . . . 10 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2) / π‘₯) ∈ ℝ)
1075, 106fsumrecl 15677 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2) / π‘₯) ∈ ℝ)
10838abscld 15380 . . . . . . . . . . 11 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) ∈ ℝ)
10911, 38absmuld 15398 . . . . . . . . . . . 12 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) = ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) Β· (absβ€˜((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))))
11011abscld 15380 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
111 1red 11212 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ ℝ)
11238absge0d 15388 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)))
113 mule1 26996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ≀ 1)
1147, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ≀ 1)
115110, 111, 108, 112, 114lemul1ad 12150 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) Β· (absβ€˜((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ≀ (1 Β· (absβ€˜((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))))
116108recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
117116mullidd 11229 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 Β· (absβ€˜((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) = (absβ€˜((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)))
118115, 117breqtrd 5164 . . . . . . . . . . . 12 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) Β· (absβ€˜((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ≀ (absβ€˜((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)))
119109, 118eqbrtrd 5160 . . . . . . . . . . 11 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ≀ (absβ€˜((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)))
12065simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
121120, 38absmuld 15398 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) = ((absβ€˜π‘₯) Β· (absβ€˜((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))))
122120, 21, 37subdid 11667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) = ((π‘₯ Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯)) βˆ’ (π‘₯ Β· 𝑇)))
12365simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ β‰  0)
12464, 120, 123divcan2d 11989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2))
12534recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ β„‚)
1267nnrpd 13011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
127 rpcnne0 12989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0))
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0))
129 divass 11887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ ((π‘₯ Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))) / 𝑛) = (π‘₯ Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) / 𝑛)))
13022oveq2i 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ Β· 𝑇) = (π‘₯ Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) / 𝑛))
131129, 130eqtr4di 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ ((π‘₯ Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))) / 𝑛) = (π‘₯ Β· 𝑇))
132 div23 11888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ ((π‘₯ Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))) / 𝑛) = ((π‘₯ / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))))
133131, 132eqtr3d 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑇) = ((π‘₯ / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))))
134120, 125, 128, 133syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ Β· 𝑇) = ((π‘₯ / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))))
135124, 134oveq12d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯ Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯)) βˆ’ (π‘₯ Β· 𝑇)) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) βˆ’ ((π‘₯ / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))))))
136122, 135eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) βˆ’ ((π‘₯ / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))))))
137136fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) = (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) βˆ’ ((π‘₯ / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))))))
138 rprege0 12986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
139 absid 15240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
14019, 138, 1393syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
141140oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜π‘₯) Β· (absβ€˜((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) = (π‘₯ Β· (absβ€˜((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))))
142121, 137, 1413eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) βˆ’ ((π‘₯ / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))))) = (π‘₯ Β· (absβ€˜((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))))
1437nncnd 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
144143mullidd 11229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 Β· 𝑛) = 𝑛)
145 rpre 12979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
146145adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
147 fznnfl 13824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)))
149148simplbda 499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ≀ π‘₯)
150144, 149eqbrtrd 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 Β· 𝑛) ≀ π‘₯)
15119rpred 13013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
152111, 151, 126lemuldivd 13062 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((1 Β· 𝑛) ≀ π‘₯ ↔ 1 ≀ (π‘₯ / 𝑛)))
153150, 152mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ≀ (π‘₯ / 𝑛))
154 log2sumbnd 27393 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ (π‘₯ / 𝑛)) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) βˆ’ ((π‘₯ / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))))) ≀ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2))
15526, 153, 154syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) βˆ’ ((π‘₯ / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (2 βˆ’ (2 Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))))) ≀ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2))
156142, 155eqbrtrrd 5162 . . . . . . . . . . . 12 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ≀ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2))
157108, 105, 19lemuldiv2d 13063 . . . . . . . . . . . 12 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯ Β· (absβ€˜((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ≀ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2) ↔ (absβ€˜((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) ≀ ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2) / π‘₯)))
158156, 157mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇)) ≀ ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2) / π‘₯))
159101, 108, 106, 119, 158letrd 11368 . . . . . . . . . 10 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ≀ ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2) / π‘₯))
1605, 101, 106, 159fsumle 15742 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2) / π‘₯))
1615, 105fsumrecl 15677 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2) ∈ ℝ)
162 remulcl 11191 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ Β· 2) ∈ ℝ)
163146, 29, 162sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ Β· 2) ∈ ℝ)
16483, 163readdcld 11240 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (π‘₯ Β· 2)) ∈ ℝ)
16528recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) ∈ β„‚)
166 2cnd 12287 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 2 ∈ β„‚)
1675, 165, 166fsumadd 15683 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))2))
168 fsumconst 15733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))2 = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· 2))
1695, 43, 168sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))2 = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· 2))
170138adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
171 flge0nn0 13782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
172 hashfz1 14303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) = (βŒŠβ€˜π‘₯))
173170, 171, 1723syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) = (βŒŠβ€˜π‘₯))
174173oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· 2) = ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 2))
175169, 174eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))2 = ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 2))
176175oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))2) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 2)))
177167, 176eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 2)))
178 reflcl 13758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
179146, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
18029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ ℝ)
181179, 180remulcld 11241 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 2) ∈ ℝ)
182 flle 13761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ π‘₯)
183146, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ π‘₯)
184 2pos 12312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
18529, 184pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
187 lemul1 12063 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ π‘₯ ↔ ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 2) ≀ (π‘₯ Β· 2)))
188179, 146, 186, 187syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ π‘₯ ↔ ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 2) ≀ (π‘₯ Β· 2)))
189183, 188mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 2) ≀ (π‘₯ Β· 2))
190181, 163, 83, 189leadd2dd 11826 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· 2)) ≀ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (π‘₯ Β· 2)))
191177, 190eqbrtrd 5160 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2) ≀ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (π‘₯ Β· 2)))
192161, 164, 23, 191lediv1dd 13071 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2) / π‘₯) ≀ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (π‘₯ Β· 2)) / π‘₯))
193105recnd 11239 . . . . . . . . . . 11 (((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2) ∈ β„‚)
1945, 56, 193, 61fsumdivc 15729 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2) / π‘₯) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2) / π‘₯))
19583recnd 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) ∈ β„‚)
19656, 86mulcld 11231 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ Β· 2) ∈ β„‚)
197 divdir 11894 . . . . . . . . . . . 12 ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ Β· 2) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (π‘₯ Β· 2)) / π‘₯) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) + ((π‘₯ Β· 2) / π‘₯)))
198195, 196, 55, 197syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (π‘₯ Β· 2)) / π‘₯) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) + ((π‘₯ Β· 2) / π‘₯)))
19986, 56, 61divcan3d 11992 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ Β· 2) / π‘₯) = 2)
200199oveq2d 7417 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) + ((π‘₯ Β· 2) / π‘₯)) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) + 2))
201198, 200eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + (π‘₯ Β· 2)) / π‘₯) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) + 2))
202192, 194, 2013brtr3d 5169 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) + 2) / π‘₯) ≀ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) + 2))
203102, 107, 97, 160, 202letrd 11368 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ≀ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) + 2))
20498, 102, 97, 103, 203letrd 11368 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ≀ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) + 2))
20597leabsd 15358 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) + 2) ≀ (absβ€˜((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) + 2)))
20698, 97, 100, 204, 205letrd 11368 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ≀ (absβ€˜((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) + 2)))
207206adantrr 714 . . . . 5 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ≀ (absβ€˜((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / π‘₯) + 2)))
20882, 95, 97, 40, 207o1le 15596 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ∈ 𝑂(1))
20922selberglem1 27394 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1)
210 o1add 15555 . . . 4 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ∈ 𝑂(1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))) ∈ 𝑂(1))
211208, 209, 210sylancl 585 . . 3 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜π‘š)↑2) / π‘₯) βˆ’ 𝑇))) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· 𝑇) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))) ∈ 𝑂(1))
21281, 211eqeltrrd 2826 . 2 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1))
213212mptru 1540 1 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜π‘š)↑2)) / π‘₯) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  Vcvv 3466   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∘f cof 7661  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   < clt 11245   ≀ cle 11246   βˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868  β„•cn 12209  2c2 12264  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  β„+crp 12971  ...cfz 13481  βŒŠcfl 13752  β†‘cexp 14024  !cfa 14230  β™―chash 14287  abscabs 15178   β‡π‘Ÿ crli 15426  π‘‚(1)co1 15427  Ξ£csu 15629  logclog 26405  ΞΌcmu 26943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-disj 5104  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-o1 15431  df-lo1 15432  df-sum 15630  df-ef 16008  df-e 16009  df-sin 16010  df-cos 16011  df-tan 16012  df-pi 16013  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-pc 16769  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-cmp 23213  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-limc 25717  df-dv 25718  df-ulm 26230  df-log 26407  df-cxp 26408  df-atan 26715  df-em 26841  df-mu 26949
This theorem is referenced by:  selberglem3  27396  selberg  27397
  Copyright terms: Public domain W3C validator