MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmoniclbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harmoniclbnd 27066
Description: A bound on the harmonic series, as compared to the natural logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
harmoniclbnd (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚))
Distinct variable group:   𝐴,𝑚

Proof of Theorem harmoniclbnd
StepHypRef Expression
1 relogcl 26631 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
2 rprege0 13047 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
3 flge0nn0 13856 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
5 nn0p1nn 12562 . . . . 5 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℕ)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℕ)
76nnrpd 13072 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ+)
8 relogcl 26631 . . 3 (((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ+ → (log‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ)
10 fzfid 14010 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
11 elfznn 13589 . . . . 5 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
1211adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
1312nnrecred 12314 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
1410, 13fsumrecl 15766 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
15 rpre 13040 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
16 fllep1 13837 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
1715, 16syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
18 id 22 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+)
1918, 7logled 26683 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ (log‘𝐴) ≤ (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
2017, 19mpbid 232 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ≤ (log‘((⌊‘𝐴) + 1)))
21 harmonicbnd3 27065 . . . . 5 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ (0[,]γ))
224, 21syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ (0[,]γ))
23 0re 11260 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
24 emre 27063 . . . . . 6 γ ∈ ℝ
2523, 24elicc2i 13449 . . . . 5 ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ (0[,]γ) ↔ ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∧ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ≤ γ))
2625simp2bi 1145 . . . 4 ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ (0[,]γ) → 0 ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
2722, 26syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
2814, 9subge0d 11850 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (0 ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ↔ (log‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚)))
2927, 28mpbid 232 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚))
301, 9, 14, 20, 29letrd 11415 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2105   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  0cn0 12523  +crp 13031  [,]cicc 13386  ...cfz 13543  cfl 13826  Σcsu 15718  logclog 26610  γcem 27049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-e 16100  df-sin 16101  df-cos 16102  df-tan 16103  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-ulm 26434  df-log 26612  df-atan 26924  df-em 27050
This theorem is referenced by:  fsumharmonic  27069  logfaclbnd  27280  dchrisum0fno1  27569  vmalogdivsum2  27596  pntrsumo1  27623  pntrlog2bndlem6  27641
  Copyright terms: Public domain W3C validator