Theorem pige3ALT 26497

Description: Alternate proof of pige3 26496. This proof is based on the geometric observation that a hexagon of unit side length has perimeter 6, which is less than the unit-radius circumcircle, of perimeter 2π. We translate this to algebra by looking at the function e↑(i𝑥) as 𝑥 goes from 0 to π / 3; it moves at unit speed and travels distance 1, hence 1 ≤ π / 3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pige3ALT	⊢ 3 ≤ π

Proof of Theorem pige3ALT

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12238	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℂ
2	1	mullidi 11149	. 2 ⊢ (1 · 3) = 3
3		tru 1546	. . . . . 6 ⊢ ⊤
4		0xr 11191	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5		pirp 26438	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ+
6		3rp 12923	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ+
7		rpdivcl 12944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (π / 3) ∈ ℝ+)
8	5, 6, 7	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 3) ∈ ℝ+
9		rpxr 12927	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 3) ∈ ℝ+ → (π / 3) ∈ ℝ*)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 3) ∈ ℝ*
11		rpge0 12931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 3) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (π / 3))
12	8, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (π / 3)
13		lbicc2 13392	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (π / 3)) → 0 ∈ (0[,](π / 3)))
14	4, 10, 12, 13	mp3an 1464	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,](π / 3))
15		ubicc2 13393	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (π / 3)) → (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))
16	4, 10, 12, 15	mp3an 1464	. . . . . . 7 ⊢ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3))
17	14, 16	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0[,](π / 3)) ∧ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))
18		0re 11146	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
20		pire 26434	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
21		3re 12237	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
22		3ne0 12263	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 0
23	20, 21, 22	redivcli 11920	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 3) ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (π / 3) ∈ ℝ)
25		efcn 26421	. . . . . . . . 9 ⊢ exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
27		iccssre 13357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 3) ∈ ℝ) → (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ)
28	18, 23, 27	mp2an 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ
29		ax-resscn 11095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
30	28, 29	sstri 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,](π / 3)) ⊆ ℂ
31		resmpt 6004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0[,](π / 3)) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)))
32	30, 31	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)))
33		ssidd 3959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
34		ax-icn 11097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ∈ ℂ
35		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
36		mulcl 11122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
37	34, 35, 36	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
38	37	fmpttd 7069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
39		cnelprrecn 11131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
41		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
43	40	dvmptid 25929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
44	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
45	40, 35, 42, 43, 44	dvmptcmul 25936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
46	34	mulridi 11148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i · 1) = i
47	46	mpteq2i 5196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
48	45, 47	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
49	48	dmeqd 5862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
50	34	elexi 3465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ∈ V
51		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ i) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
52	50, 51	dmmpti 6644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ i) = ℂ
53	49, 52	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = ℂ)
54		dvcn 25891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)):ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) ∧ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
55	33, 38, 33, 53, 54	syl31anc 1376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
56		rescncf 24858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0[,](π / 3)) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ)))
57	30, 55, 56	mpsyl 68	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
58	32, 57	eqeltrrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
59	26, 58	cncfmpt1f 24875	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
60		reelprrecn 11130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
62		recn 11128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
63		efcl 16017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
64	37, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
65	62, 64	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
66		mulcl 11122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
67	64, 34, 66	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
68	62, 67	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
69		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
70	69	cnfldtopon 24738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
71		toponmax 22882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
72	70, 71	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
73	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
74		dfss2 3921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
75	73, 74	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
76	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
77		efcl 16017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
79		dvef 25952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℂ D exp) = exp
80		eff 16016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
82	81	feqmptd 6910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
83	82	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))))
84	79, 83, 82	3eqtr3a 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
85		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (i · 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑥)))
86	40, 40, 37, 76, 78, 78, 48, 84, 85, 85	dvmptco 25944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
87	69, 61, 72, 75, 64, 67, 86	dvmptres3 25928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
88	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ)
89	69	tgioo2 24759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
90		iccntr 24778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 3) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,](π / 3))) = (0(,)(π / 3)))
91	18, 24, 90	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,](π / 3))) = (0(,)(π / 3)))
92	61, 65, 68, 87, 88, 89, 69, 91	dvmptres2 25934	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
93	92	dmeqd 5862	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = dom (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
94		ovex 7401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ V
95		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)) = (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))
96	94, 95	dmmpti 6644	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)) = (0(,)(π / 3))
97	93, 96	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (0(,)(π / 3)))
98		1re 11144	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
99	98	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
100	92	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))‘𝑦))
101		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (i · 𝑥) = (i · 𝑦))
102	101	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝑦)))
103	102	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
104	103, 95, 94	fvmpt3i 6955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)(π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))‘𝑦) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
105	100, 104	sylan9eq 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
106	105	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) = (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)))
107		ioossre 13335	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(,)(π / 3)) ⊆ ℝ
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (0(,)(π / 3)) ⊆ ℝ)
109	108	sselda 3935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → 𝑦 ∈ ℝ)
110	109	recnd 11172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → 𝑦 ∈ ℂ)
111		mulcl 11122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
112	34, 110, 111	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
113		efcl 16017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
115		absmul 15229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)) = ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)))
116	114, 34, 115	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)) = ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)))
117		absefi 16133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑦))) = 1)
118	109, 117	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘(exp‘(i · 𝑦))) = 1)
119		absi 15221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘i) = 1
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘i) = 1)
121	118, 120	oveq12d 7386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)) = (1 · 1))
122	41	mulridi 11148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 1) = 1
123	121, 122	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)) = 1)
124	106, 116, 123	3eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) = 1)
125		1le1 11777	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 1
126	124, 125	eqbrtrdi 5139	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) ≤ 1)
127	19, 24, 59, 97, 99, 126	dvlip 25966	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (0 ∈ (0[,](π / 3)) ∧ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))) → (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) ≤ (1 · (abs‘(0 − (π / 3)))))
128	3, 17, 127	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) ≤ (1 · (abs‘(0 − (π / 3))))
129		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) = (i · 0))
130		it0e0 12376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · 0) = 0
131	129, 130	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) = 0)
132	131	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘0))
133		ef0 16026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘0) = 1
134	132, 133	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘(i · 𝑥)) = 1)
135		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))
136		fvex 6855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (exp‘(i · 𝑥)) ∈ V
137	134, 135, 136	fvmpt3i 6955	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (0[,](π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) = 1)
138	14, 137	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) = 1
139		oveq2 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (π / 3) → (i · 𝑥) = (i · (π / 3)))
140	139	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (π / 3) → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · (π / 3))))
141	140, 135, 136	fvmpt3i 6955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 3) ∈ (0[,](π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)) = (exp‘(i · (π / 3))))
142	16, 141	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)) = (exp‘(i · (π / 3)))
143	138, 142	oveq12i 7380	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3))) = (1 − (exp‘(i · (π / 3))))
144	23	recni 11158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 3) ∈ ℂ
145	34, 144	mulcli 11151	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · (π / 3)) ∈ ℂ
146		efcl 16017	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · (π / 3)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (π / 3))) ∈ ℂ)
147	145, 146	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (exp‘(i · (π / 3))) ∈ ℂ
148		negicn 11393	. . . . . . . . . 10 ⊢ -i ∈ ℂ
149	148, 144	mulcli 11151	. . . . . . . . 9 ⊢ (-i · (π / 3)) ∈ ℂ
150		efcl 16017	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i · (π / 3)) ∈ ℂ → (exp‘(-i · (π / 3))) ∈ ℂ)
151	149, 150	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (exp‘(-i · (π / 3))) ∈ ℂ
152		cosval 16060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 3) ∈ ℂ → (cos‘(π / 3)) = (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2))
153	144, 152	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 3)) = (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2)
154		sincos3rdpi 26494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))
155	154	simpri 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2)
156	153, 155	eqtr3i 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2) = (1 / 2)
157	147, 151	addcli 11150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) ∈ ℂ
158		2cn 12232	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
159		2ne0 12261	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
160	157, 41, 158, 159	div11i 11912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2) = (1 / 2) ↔ ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) = 1)
161	156, 160	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) = 1
162	41, 147, 151, 161	subaddrii 11482	. . . . . . 7 ⊢ (1 − (exp‘(i · (π / 3)))) = (exp‘(-i · (π / 3)))
163		mulneg12 11587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (π / 3) ∈ ℂ) → (-i · (π / 3)) = (i · -(π / 3)))
164	34, 144, 163	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ (-i · (π / 3)) = (i · -(π / 3))
165	164	fveq2i 6845	. . . . . . 7 ⊢ (exp‘(-i · (π / 3))) = (exp‘(i · -(π / 3)))
166	143, 162, 165	3eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3))) = (exp‘(i · -(π / 3)))
167	166	fveq2i 6845	. . . . 5 ⊢ (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) = (abs‘(exp‘(i · -(π / 3))))
168	144	absnegi 15336	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-(π / 3)) = (abs‘(π / 3))
169		df-neg 11379	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 3) = (0 − (π / 3))
170	169	fveq2i 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-(π / 3)) = (abs‘(0 − (π / 3)))
171	168, 170	eqtr3i 2762	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(π / 3)) = (abs‘(0 − (π / 3)))
172		rprege0 12933	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 3) ∈ ℝ+ → ((π / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 3)))
173		absid 15231	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 3)) → (abs‘(π / 3)) = (π / 3))
174	8, 172, 173	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(π / 3)) = (π / 3)
175	171, 174	eqtr3i 2762	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(0 − (π / 3))) = (π / 3)
176	175	oveq2i 7379	. . . . 5 ⊢ (1 · (abs‘(0 − (π / 3)))) = (1 · (π / 3))
177	128, 167, 176	3brtr3i 5129	. . . 4 ⊢ (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) ≤ (1 · (π / 3))
178	23	renegcli 11454	. . . . 5 ⊢ -(π / 3) ∈ ℝ
179		absefi 16133	. . . . 5 ⊢ (-(π / 3) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) = 1)
180	178, 179	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) = 1
181	144	mullidi 11149	. . . 4 ⊢ (1 · (π / 3)) = (π / 3)
182	177, 180, 181	3brtr3i 5129	. . 3 ⊢ 1 ≤ (π / 3)
183		3pos 12262	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
184	21, 183	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
185		lemuldiv 12034	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((1 · 3) ≤ π ↔ 1 ≤ (π / 3)))
186	98, 20, 184, 185	mp3an 1464	. . 3 ⊢ ((1 · 3) ≤ π ↔ 1 ≤ (π / 3))
187	182, 186	mpbir 231	. 2 ⊢ (1 · 3) ≤ π
188	2, 187	eqbrtrri 5123	1 ⊢ 3 ≤ π

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  {cpr 4584   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5632  ran crn 5633   ↾ cres 5634  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  -cneg 11377   / cdiv 11806  2c2 12212  3c3 12213  ℝ⁺crp 12917  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  √csqrt 15168  abscabs 15169  expce 15996  sincsin 15998  cosccos 15999  πcpi 16001  TopOpenctopn 17353  topGenctg 17369  ℂ_fldccnfld 21321  TopOnctopon 22866  intcnt 22973  –cn→ccncf 24837   D cdv 25832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-cmp 23343  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836

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