Theorem pige3ALT 26582

Description: Alternate proof of pige3 26581. This proof is based on the geometric observation that a hexagon of unit side length has perimeter 6, which is less than the unit-radius circumcircle, of perimeter 2π. We translate this to algebra by looking at the function e↑(i𝑥) as 𝑥 goes from 0 to π / 3; it moves at unit speed and travels distance 1, hence 1 ≤ π / 3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pige3ALT	⊢ 3 ≤ π

Proof of Theorem pige3ALT

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12299	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℂ
2	1	mullidi 11187	. 2 ⊢ (1 · 3) = 3
3		tru 1564	. . . . . 6 ⊢ ⊤
4		0xr 11229	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5		pirp 26523	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ+
6		3rp 12999	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ+
7		rpdivcl 13020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (π / 3) ∈ ℝ+)
8	5, 6, 7	mp2an 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 3) ∈ ℝ+
9		rpxr 13003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 3) ∈ ℝ+ → (π / 3) ∈ ℝ*)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 3) ∈ ℝ*
11		rpge0 13007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 3) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (π / 3))
12	8, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (π / 3)
13		lbicc2 13468	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (π / 3)) → 0 ∈ (0[,](π / 3)))
14	4, 10, 12, 13	mp3an 1482	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,](π / 3))
15		ubicc2 13469	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (π / 3)) → (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))
16	4, 10, 12, 15	mp3an 1482	. . . . . . 7 ⊢ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3))
17	14, 16	pm3.2i 474	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0[,](π / 3)) ∧ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))
18		0re 11183	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
20		pire 26516	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
21		3re 12298	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
22		3ne0 12327	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 0
23	20, 21, 22	redivcli 11958	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 3) ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (π / 3) ∈ ℝ)
25		efcn 26503	. . . . . . . . 9 ⊢ exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
27		iccssre 13433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 3) ∈ ℝ) → (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ)
28	18, 23, 27	mp2an 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ
29		ax-resscn 11130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
30	28, 29	sstri 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,](π / 3)) ⊆ ℂ
31		resmpt 6026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0[,](π / 3)) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)))
32	30, 31	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)))
33		ssidd 3959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
34		ax-icn 11132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ∈ ℂ
35		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
36		mulcl 11157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
37	34, 35, 36	sylancr 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
38	37	fmpttd 7096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
39		cnelprrecn 11166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
41		ax-1cn 11131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
43	40	dvmptid 26016	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
44	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
45	40, 35, 42, 43, 44	dvmptcmul 26023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
46	34	mulridi 11186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i · 1) = i
47	46	mpteq2i 5196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
48	45, 47	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
49	48	dmeqd 5881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
50	34	elexi 3476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ∈ V
51		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ i) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
52	50, 51	dmmpti 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ i) = ℂ
53	49, 52	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = ℂ)
54		dvcn 25980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)):ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) ∧ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
55	33, 38, 33, 53, 54	syl31anc 1392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
56		rescncf 24956	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0[,](π / 3)) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ)))
57	30, 55, 56	mpsyl 68	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
58	32, 57	eqeltrrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
59	26, 58	cncfmpt1f 24973	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
60		reelprrecn 11165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
62		recn 11163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
63		efcl 16112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
64	37, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
65	62, 64	sylan2 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
66		mulcl 11157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
67	64, 34, 66	sylancl 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
68	62, 67	sylan2 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
69		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
70	69	cnfldtopon 24839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
71		toponmax 22983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
72	70, 71	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
73	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
74		dfss2 3922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
75	73, 74	sylib 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
76	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
77		efcl 16112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
78	77	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
79		dvef 26039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℂ D exp) = exp
80		eff 16111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
82	81	feqmptd 6935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
83	82	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))))
84	79, 83, 82	3eqtr3a 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
85		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (i · 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑥)))
86	40, 40, 37, 76, 78, 78, 48, 84, 85, 85	dvmptco 26031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
87	69, 61, 72, 75, 64, 67, 86	dvmptres3 26015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
88	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ)
89	69	tgioo2 24860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
90		iccntr 24879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 3) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,](π / 3))) = (0(,)(π / 3)))
91	18, 24, 90	sylancr 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,](π / 3))) = (0(,)(π / 3)))
92	61, 65, 68, 87, 88, 89, 69, 91	dvmptres2 26021	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
93	92	dmeqd 5881	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = dom (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
94		ovex 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ V
95		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)) = (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))
96	94, 95	dmmpti 6665	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)) = (0(,)(π / 3))
97	93, 96	eqtrdi 2813	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (0(,)(π / 3)))
98		1re 11181	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
99	98	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
100	92	fveq1d 6869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))‘𝑦))
101		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (i · 𝑥) = (i · 𝑦))
102	101	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝑦)))
103	102	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
104	103, 95, 94	fvmpt3i 6981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)(π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))‘𝑦) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
105	100, 104	sylan9eq 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
106	105	fveq2d 6871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) = (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)))
107		ioossre 13411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(,)(π / 3)) ⊆ ℝ
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (0(,)(π / 3)) ⊆ ℝ)
109	108	sselda 3936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → 𝑦 ∈ ℝ)
110	109	recnd 11210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → 𝑦 ∈ ℂ)
111		mulcl 11157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
112	34, 110, 111	sylancr 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
113		efcl 16112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
115		absmul 15321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)) = ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)))
116	114, 34, 115	sylancl 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)) = ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)))
117		absefi 16228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑦))) = 1)
118	109, 117	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘(exp‘(i · 𝑦))) = 1)
119		absi 15313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘i) = 1
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘i) = 1)
121	118, 120	oveq12d 7414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)) = (1 · 1))
122	41	mulridi 11186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 1) = 1
123	121, 122	eqtrdi 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)) = 1)
124	106, 116, 123	3eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) = 1)
125		1le1 11815	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 1
126	124, 125	eqbrtrdi 5139	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) ≤ 1)
127	19, 24, 59, 97, 99, 126	dvlip 26052	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (0 ∈ (0[,](π / 3)) ∧ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))) → (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) ≤ (1 · (abs‘(0 − (π / 3)))))
128	3, 17, 127	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) ≤ (1 · (abs‘(0 − (π / 3))))
129		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) = (i · 0))
130		it0e0 12444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · 0) = 0
131	129, 130	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) = 0)
132	131	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘0))
133		ef0 16121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘0) = 1
134	132, 133	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘(i · 𝑥)) = 1)
135		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))
136		fvex 6880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (exp‘(i · 𝑥)) ∈ V
137	134, 135, 136	fvmpt3i 6981	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (0[,](π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) = 1)
138	14, 137	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) = 1
139		oveq2 7404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (π / 3) → (i · 𝑥) = (i · (π / 3)))
140	139	fveq2d 6871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (π / 3) → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · (π / 3))))
141	140, 135, 136	fvmpt3i 6981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 3) ∈ (0[,](π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)) = (exp‘(i · (π / 3))))
142	16, 141	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)) = (exp‘(i · (π / 3)))
143	138, 142	oveq12i 7408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3))) = (1 − (exp‘(i · (π / 3))))
144	23	recni 11196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 3) ∈ ℂ
145	34, 144	mulcli 11189	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · (π / 3)) ∈ ℂ
146		efcl 16112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · (π / 3)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (π / 3))) ∈ ℂ)
147	145, 146	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (exp‘(i · (π / 3))) ∈ ℂ
148		negicn 11431	. . . . . . . . . 10 ⊢ -i ∈ ℂ
149	148, 144	mulcli 11189	. . . . . . . . 9 ⊢ (-i · (π / 3)) ∈ ℂ
150		efcl 16112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i · (π / 3)) ∈ ℂ → (exp‘(-i · (π / 3))) ∈ ℂ)
151	149, 150	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (exp‘(-i · (π / 3))) ∈ ℂ
152		cosval 16155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 3) ∈ ℂ → (cos‘(π / 3)) = (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2))
153	144, 152	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 3)) = (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2)
154		sincos3rdpi 26579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))
155	154	simpri 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2)
156	153, 155	eqtr3i 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2) = (1 / 2)
157	147, 151	addcli 11188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) ∈ ℂ
158		2cn 12293	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
159		2ne0 12324	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
160	157, 41, 158, 159	div11i 11950	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2) = (1 / 2) ↔ ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) = 1)
161	156, 160	mpbi 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) = 1
162	41, 147, 151, 161	subaddrii 11520	. . . . . . 7 ⊢ (1 − (exp‘(i · (π / 3)))) = (exp‘(-i · (π / 3)))
163		mulneg12 11625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (π / 3) ∈ ℂ) → (-i · (π / 3)) = (i · -(π / 3)))
164	34, 144, 163	mp2an 702	. . . . . . . 8 ⊢ (-i · (π / 3)) = (i · -(π / 3))
165	164	fveq2i 6870	. . . . . . 7 ⊢ (exp‘(-i · (π / 3))) = (exp‘(i · -(π / 3)))
166	143, 162, 165	3eqtri 2789	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3))) = (exp‘(i · -(π / 3)))
167	166	fveq2i 6870	. . . . 5 ⊢ (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) = (abs‘(exp‘(i · -(π / 3))))
168	144	absnegi 15428	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-(π / 3)) = (abs‘(π / 3))
169		df-neg 11417	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 3) = (0 − (π / 3))
170	169	fveq2i 6870	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-(π / 3)) = (abs‘(0 − (π / 3)))
171	168, 170	eqtr3i 2787	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(π / 3)) = (abs‘(0 − (π / 3)))
172		rprege0 13009	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 3) ∈ ℝ+ → ((π / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 3)))
173		absid 15323	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 3)) → (abs‘(π / 3)) = (π / 3))
174	8, 172, 173	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(π / 3)) = (π / 3)
175	171, 174	eqtr3i 2787	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(0 − (π / 3))) = (π / 3)
176	175	oveq2i 7407	. . . . 5 ⊢ (1 · (abs‘(0 − (π / 3)))) = (1 · (π / 3))
177	128, 167, 176	3brtr3i 5129	. . . 4 ⊢ (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) ≤ (1 · (π / 3))
178	23	renegcli 11492	. . . . 5 ⊢ -(π / 3) ∈ ℝ
179		absefi 16228	. . . . 5 ⊢ (-(π / 3) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) = 1)
180	178, 179	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) = 1
181	144	mullidi 11187	. . . 4 ⊢ (1 · (π / 3)) = (π / 3)
182	177, 180, 181	3brtr3i 5129	. . 3 ⊢ 1 ≤ (π / 3)
183		3pos 12326	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
184	21, 183	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
185		lemuldiv 12072	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((1 · 3) ≤ π ↔ 1 ≤ (π / 3)))
186	98, 20, 184, 185	mp3an 1482	. . 3 ⊢ ((1 · 3) ≤ π ↔ 1 ≤ (π / 3))
187	182, 186	mpbir 233	. 2 ⊢ (1 · 3) ≤ π
188	2, 187	eqbrtrri 5123	1 ⊢ 3 ≤ π

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560  ⊤wtru 1561   ∈ wcel 2142   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  {cpr 4584   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5647  ran crn 5648   ↾ cres 5649  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074  ici 11075   + caddc 11076   · cmul 11078  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   ≤ cle 11217   − cmin 11414  -cneg 11415   / cdiv 11844  2c2 12272  3c3 12273  ℝ⁺crp 12993  (,)cioo 13349  [,]cicc 13352  √csqrt 15260  abscabs 15261  expce 16091  sincsin 16093  cosccos 16094  πcpi 16096  TopOpenctopn 17450  topGenctg 17466  ℂ_fldccnfld 21421  TopOnctopon 22967  intcnt 23074  –cn→ccncf 24935   D cdv 25922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100  df-pi 16102  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21413  df-xmet 21414  df-met 21415  df-bl 21416  df-mopn 21417  df-fbas 21418  df-fg 21419  df-cnfld 21422  df-top 22951  df-topon 22968  df-topsp 22990  df-bases 23003  df-cld 23076  df-ntr 23077  df-cls 23078  df-nei 23155  df-lp 23193  df-perf 23194  df-cn 23284  df-cnp 23285  df-haus 23372  df-cmp 23444  df-tx 23619  df-hmeo 23812  df-fil 23903  df-fm 23995  df-flim 23996  df-flf 23997  df-xms 24377  df-ms 24378  df-tms 24379  df-cncf 24937  df-limc 25925  df-dv 25926

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