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Theorem pige3ALT 26500
Description: Alternate proof of pige3 26499. This proof is based on the geometric observation that a hexagon of unit side length has perimeter 6, which is less than the unit-radius circumcircle, of perimeter 2π. We translate this to algebra by looking at the function e↑(i𝑥) as 𝑥 goes from 0 to π / 3; it moves at unit speed and travels distance 1, hence 1 ≤ π / 3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pige3ALT 3 ≤ π
Proof of Theorem pige3ALT
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3cn 12251 . . 3 3 ∈ ℂ
21mullidi 11139 . 2 (1 · 3) = 3
3 tru 1546 . . . . . 6 ⊤
4 0xr 11181 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
5 pirp 26441 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ+
6 3rp 12937 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ+
7 rpdivcl 12958 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (π / 3) ∈ ℝ+)
85, 6, 7mp2an 693 . . . . . . . . 9 (π / 3) ∈ ℝ+
9 rpxr 12941 . . . . . . . . 9 ((π / 3) ∈ ℝ+ → (π / 3) ∈ ℝ*)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 (π / 3) ∈ ℝ*
11 rpge0 12945 . . . . . . . . 9 ((π / 3) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (π / 3))
128, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 ≤ (π / 3)
13 lbicc2 13406 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (π / 3)) → 0 ∈ (0[,](π / 3)))
144, 10, 12, 13mp3an 1464 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,](π / 3))
15 ubicc2 13407 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (π / 3)) → (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))
164, 10, 12, 15mp3an 1464 . . . . . . 7 (π / 3) ∈ (0[,](π / 3))
1714, 16pm3.2i 470 . . . . . 6 (0 ∈ (0[,](π / 3)) ∧ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))
18 0re 11135 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
20 pire 26437 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
21 3re 12250 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
22 3ne0 12276 . . . . . . . . 9 3 ≠ 0
2320, 21, 22redivcli 11911 . . . . . . . 8 (π / 3) ∈ ℝ
2423a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (π / 3) ∈ ℝ)
25 efcn 26424 . . . . . . . . 9 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
27 iccssre 13371 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 3) ∈ ℝ) → (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ)
2818, 23, 27mp2an 693 . . . . . . . . . . 11 (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ
29 ax-resscn 11084 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
3028, 29sstri 3932 . . . . . . . . . 10 (0[,](π / 3)) ⊆ ℂ
31 resmpt 5994 . . . . . . . . . 10 ((0[,](π / 3)) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)))
3230, 31mp1i 13 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)))
33 ssidd 3946 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
34 ax-icn 11086 . . . . . . . . . . . . 13 i ∈ ℂ
35 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
36 mulcl 11111 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
3734, 35, 36sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
3837fmpttd 7059 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
39 cnelprrecn 11120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
41 ax-1cn 11085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
4340dvmptid 25933 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
4434a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → i ∈ ℂ)
4540, 35, 42, 43, 44dvmptcmul 25940 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
4634mulridi 11138 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i · 1) = i
4746mpteq2i 5182 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
4845, 47eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
4948dmeqd 5852 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
5034elexi 3453 . . . . . . . . . . . . 13 i ∈ V
51 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ ↦ i) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
5250, 51dmmpti 6634 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ i) = ℂ
5349, 52eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = ℂ)
54 dvcn 25897 . . . . . . . . . . 11 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)):ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) ∧ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5533, 38, 33, 53, 54syl31anc 1376 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
56 rescncf 24873 . . . . . . . . . 10 ((0[,](π / 3)) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ)))
5730, 55, 56mpsyl 68 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
5832, 57eqeltrrd 2838 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
5926, 58cncfmpt1f 24890 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
60 reelprrecn 11119 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
6160a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
62 recn 11117 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
63 efcl 16036 . . . . . . . . . . . 12 ((i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
6437, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
6562, 64sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
66 mulcl 11111 . . . . . . . . . . . 12 (((exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
6764, 34, 66sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
6862, 67sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
69 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7069cnfldtopon 24756 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
71 toponmax 22900 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
7270, 71mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
7329a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
74 dfss2 3908 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
7573, 74sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
7634a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
77 efcl 16036 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
7877adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
79 dvef 25956 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂ D exp) = exp
80 eff 16035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 exp:ℂ⟶ℂ
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
8281feqmptd 6900 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
8382oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))))
8479, 83, 823eqtr3a 2796 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
85 fveq2 6832 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (i · 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑥)))
8640, 40, 37, 76, 78, 78, 48, 84, 85, 85dvmptco 25948 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
8769, 61, 72, 75, 64, 67, 86dvmptres3 25932 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
8828a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ)
8969tgioo2 24777 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
90 iccntr 24796 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 3) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,](π / 3))) = (0(,)(π / 3)))
9118, 24, 90sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,](π / 3))) = (0(,)(π / 3)))
9261, 65, 68, 87, 88, 89, 69, 91dvmptres2 25938 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
9392dmeqd 5852 . . . . . . . 8 (⊤ → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = dom (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
94 ovex 7391 . . . . . . . . 9 ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ V
95 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)) = (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))
9694, 95dmmpti 6634 . . . . . . . 8 dom (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)) = (0(,)(π / 3))
9793, 96eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (⊤ → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (0(,)(π / 3)))
98 1re 11133 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
9998a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
10092fveq1d 6834 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))‘𝑦))
101 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (i · 𝑥) = (i · 𝑦))
102101fveq2d 6836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝑦)))
103102oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
104103, 95, 94fvmpt3i 6945 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0(,)(π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))‘𝑦) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
105100, 104sylan9eq 2792 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
106105fveq2d 6836 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) = (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)))
107 ioossre 13349 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,)(π / 3)) ⊆ ℝ
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (0(,)(π / 3)) ⊆ ℝ)
109108sselda 3922 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → 𝑦 ∈ ℝ)
110109recnd 11162 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → 𝑦 ∈ ℂ)
111 mulcl 11111 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
11234, 110, 111sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
113 efcl 16036 . . . . . . . . . . 11 ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
115 absmul 15245 . . . . . . . . . 10 (((exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)) = ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)))
116114, 34, 115sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)) = ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)))
117 absefi 16152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑦))) = 1)
118109, 117syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘(exp‘(i · 𝑦))) = 1)
119 absi 15237 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘i) = 1
120119a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘i) = 1)
121118, 120oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)) = (1 · 1))
12241mulridi 11138 . . . . . . . . . 10 (1 · 1) = 1
123121, 122eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)) = 1)
124106, 116, 1233eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) = 1)
125 1le1 11767 . . . . . . . 8 1 ≤ 1
126124, 125eqbrtrdi 5125 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) ≤ 1)
12719, 24, 59, 97, 99, 126dvlip 25970 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (0 ∈ (0[,](π / 3)) ∧ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))) → (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) ≤ (1 · (abs‘(0 − (π / 3)))))
1283, 17, 127mp2an 693 . . . . 5 (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) ≤ (1 · (abs‘(0 − (π / 3))))
129 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) = (i · 0))
130 it0e0 12389 . . . . . . . . . . . . 13 (i · 0) = 0
131129, 130eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) = 0)
132131fveq2d 6836 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘0))
133 ef0 16045 . . . . . . . . . . 11 (exp‘0) = 1
134132, 133eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (exp‘(i · 𝑥)) = 1)
135 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))
136 fvex 6845 . . . . . . . . . 10 (exp‘(i · 𝑥)) ∈ V
137134, 135, 136fvmpt3i 6945 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (0[,](π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) = 1)
13814, 137ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) = 1
139 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (π / 3) → (i · 𝑥) = (i · (π / 3)))
140139fveq2d 6836 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (π / 3) → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · (π / 3))))
141140, 135, 136fvmpt3i 6945 . . . . . . . . 9 ((π / 3) ∈ (0[,](π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)) = (exp‘(i · (π / 3))))
14216, 141ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)) = (exp‘(i · (π / 3)))
143138, 142oveq12i 7370 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3))) = (1 − (exp‘(i · (π / 3))))
14423recni 11148 . . . . . . . . . 10 (π / 3) ∈ ℂ
14534, 144mulcli 11141 . . . . . . . . 9 (i · (π / 3)) ∈ ℂ
146 efcl 16036 . . . . . . . . 9 ((i · (π / 3)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (π / 3))) ∈ ℂ)
147145, 146ax-mp 5 . . . . . . . 8 (exp‘(i · (π / 3))) ∈ ℂ
148 negicn 11383 . . . . . . . . . 10 -i ∈ ℂ
149148, 144mulcli 11141 . . . . . . . . 9 (-i · (π / 3)) ∈ ℂ
150 efcl 16036 . . . . . . . . 9 ((-i · (π / 3)) ∈ ℂ → (exp‘(-i · (π / 3))) ∈ ℂ)
151149, 150ax-mp 5 . . . . . . . 8 (exp‘(-i · (π / 3))) ∈ ℂ
152 cosval 16079 . . . . . . . . . . 11 ((π / 3) ∈ ℂ → (cos‘(π / 3)) = (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2))
153144, 152ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (cos‘(π / 3)) = (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2)
154 sincos3rdpi 26497 . . . . . . . . . . 11 ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))
155154simpri 485 . . . . . . . . . 10 (cos‘(π / 3)) = (1 / 2)
156153, 155eqtr3i 2762 . . . . . . . . 9 (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2) = (1 / 2)
157147, 151addcli 11140 . . . . . . . . . 10 ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) ∈ ℂ
158 2cn 12245 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
159 2ne0 12274 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
160157, 41, 158, 159div11i 11903 . . . . . . . . 9 ((((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2) = (1 / 2) ↔ ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) = 1)
161156, 160mpbi 230 . . . . . . . 8 ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) = 1
16241, 147, 151, 161subaddrii 11472 . . . . . . 7 (1 − (exp‘(i · (π / 3)))) = (exp‘(-i · (π / 3)))
163 mulneg12 11577 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ (π / 3) ∈ ℂ) → (-i · (π / 3)) = (i · -(π / 3)))
16434, 144, 163mp2an 693 . . . . . . . 8 (-i · (π / 3)) = (i · -(π / 3))
165164fveq2i 6835 . . . . . . 7 (exp‘(-i · (π / 3))) = (exp‘(i · -(π / 3)))
166143, 162, 1653eqtri 2764 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3))) = (exp‘(i · -(π / 3)))
167166fveq2i 6835 . . . . 5 (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) = (abs‘(exp‘(i · -(π / 3))))
168144absnegi 15352 . . . . . . . 8 (abs‘-(π / 3)) = (abs‘(π / 3))
169 df-neg 11369 . . . . . . . . 9 -(π / 3) = (0 − (π / 3))
170169fveq2i 6835 . . . . . . . 8 (abs‘-(π / 3)) = (abs‘(0 − (π / 3)))
171168, 170eqtr3i 2762 . . . . . . 7 (abs‘(π / 3)) = (abs‘(0 − (π / 3)))
172 rprege0 12947 . . . . . . . 8 ((π / 3) ∈ ℝ+ → ((π / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 3)))
173 absid 15247 . . . . . . . 8 (((π / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 3)) → (abs‘(π / 3)) = (π / 3))
1748, 172, 173mp2b 10 . . . . . . 7 (abs‘(π / 3)) = (π / 3)
175171, 174eqtr3i 2762 . . . . . 6 (abs‘(0 − (π / 3))) = (π / 3)
176175oveq2i 7369 . . . . 5 (1 · (abs‘(0 − (π / 3)))) = (1 · (π / 3))
177128, 167, 1763brtr3i 5115 . . . 4 (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) ≤ (1 · (π / 3))
17823renegcli 11444 . . . . 5 -(π / 3) ∈ ℝ
179 absefi 16152 . . . . 5 (-(π / 3) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) = 1)
180178, 179ax-mp 5 . . . 4 (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) = 1
181144mullidi 11139 . . . 4 (1 · (π / 3)) = (π / 3)
182177, 180, 1813brtr3i 5115 . . 3 1 ≤ (π / 3)
183 3pos 12275 . . . . 5 0 < 3
18421, 183pm3.2i 470 . . . 4 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
185 lemuldiv 12025 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((1 · 3) ≤ π ↔ 1 ≤ (π / 3)))
18698, 20, 184, 185mp3an 1464 . . 3 ((1 · 3) ≤ π ↔ 1 ≤ (π / 3))
187182, 186mpbir 231 . 2 (1 · 3) ≤ π
1882, 187eqbrtrri 5109 1 3 ≤ π
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {cpr 4570   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5622  ran crn 5623   ↾ cres 5624  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028  ici 11029   + caddc 11030   · cmul 11032  ℝ*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366  -cneg 11367   / cdiv 11796  2c2 12225  3c3 12226  ℝ+crp 12931  (,)cioo 13287  [,]cicc 13290  √csqrt 15184  abscabs 15185  expce 16015  sincsin 16017  cosccos 16018  πcpi 16020  TopOpenctopn 17373  topGenctg 17389  ℂfldccnfld 21342  TopOnctopon 22884  intcnt 22991  –cn→ccncf 24852   D cdv 25839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-ioc 13292  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-seq 13953  df-exp 14013  df-fac 14225  df-bc 14254  df-hash 14282  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-ef 16021  df-sin 16023  df-cos 16024  df-pi 16026  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-mulg 19033  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-psmet 21334  df-xmet 21335  df-met 21336  df-bl 21337  df-mopn 21338  df-fbas 21339  df-fg 21340  df-cnfld 21343  df-top 22868  df-topon 22885  df-topsp 22907  df-bases 22920  df-cld 22993  df-ntr 22994  df-cls 22995  df-nei 23072  df-lp 23110  df-perf 23111  df-cn 23201  df-cnp 23202  df-haus 23289  df-cmp 23361  df-tx 23536  df-hmeo 23729  df-fil 23820  df-fm 23912  df-flim 23913  df-flf 23914  df-xms 24294  df-ms 24295  df-tms 24296  df-cncf 24854  df-limc 25842  df-dv 25843
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