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Theorem pige3ALT 26484
Description: Alternate proof of pige3 26483. This proof is based on the geometric observation that a hexagon of unit side length has perimeter 6, which is less than the unit-radius circumcircle, of perimeter 2π. We translate this to algebra by looking at the function e↑(i𝑥) as 𝑥 goes from 0 to π / 3; it moves at unit speed and travels distance 1, hence 1 ≤ π / 3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pige3ALT 3 ≤ π
Proof of Theorem pige3ALT
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3cn 12262 . . 3 3 ∈ ℂ
21mullidi 11150 . 2 (1 · 3) = 3
3 tru 1546 . . . . . 6 ⊤
4 0xr 11192 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
5 pirp 26425 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ+
6 3rp 12948 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ+
7 rpdivcl 12969 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (π / 3) ∈ ℝ+)
85, 6, 7mp2an 693 . . . . . . . . 9 (π / 3) ∈ ℝ+
9 rpxr 12952 . . . . . . . . 9 ((π / 3) ∈ ℝ+ → (π / 3) ∈ ℝ*)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 (π / 3) ∈ ℝ*
11 rpge0 12956 . . . . . . . . 9 ((π / 3) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (π / 3))
128, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 ≤ (π / 3)
13 lbicc2 13417 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (π / 3)) → 0 ∈ (0[,](π / 3)))
144, 10, 12, 13mp3an 1464 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,](π / 3))
15 ubicc2 13418 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (π / 3)) → (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))
164, 10, 12, 15mp3an 1464 . . . . . . 7 (π / 3) ∈ (0[,](π / 3))
1714, 16pm3.2i 470 . . . . . 6 (0 ∈ (0[,](π / 3)) ∧ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))
18 0re 11146 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
20 pire 26421 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
21 3re 12261 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
22 3ne0 12287 . . . . . . . . 9 3 ≠ 0
2320, 21, 22redivcli 11922 . . . . . . . 8 (π / 3) ∈ ℝ
2423a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (π / 3) ∈ ℝ)
25 efcn 26408 . . . . . . . . 9 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
27 iccssre 13382 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 3) ∈ ℝ) → (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ)
2818, 23, 27mp2an 693 . . . . . . . . . . 11 (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ
29 ax-resscn 11095 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
3028, 29sstri 3931 . . . . . . . . . 10 (0[,](π / 3)) ⊆ ℂ
31 resmpt 6002 . . . . . . . . . 10 ((0[,](π / 3)) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)))
3230, 31mp1i 13 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)))
33 ssidd 3945 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
34 ax-icn 11097 . . . . . . . . . . . . 13 i ∈ ℂ
35 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
36 mulcl 11122 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
3734, 35, 36sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
3837fmpttd 7067 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
39 cnelprrecn 11131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
41 ax-1cn 11096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
4340dvmptid 25924 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
4434a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → i ∈ ℂ)
4540, 35, 42, 43, 44dvmptcmul 25931 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
4634mulridi 11149 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i · 1) = i
4746mpteq2i 5181 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
4845, 47eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
4948dmeqd 5860 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
5034elexi 3452 . . . . . . . . . . . . 13 i ∈ V
51 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ ↦ i) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
5250, 51dmmpti 6642 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ i) = ℂ
5349, 52eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = ℂ)
54 dvcn 25888 . . . . . . . . . . 11 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)):ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) ∧ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5533, 38, 33, 53, 54syl31anc 1376 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
56 rescncf 24864 . . . . . . . . . 10 ((0[,](π / 3)) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ)))
5730, 55, 56mpsyl 68 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
5832, 57eqeltrrd 2837 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
5926, 58cncfmpt1f 24881 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
60 reelprrecn 11130 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
6160a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
62 recn 11128 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
63 efcl 16047 . . . . . . . . . . . 12 ((i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
6437, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
6562, 64sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
66 mulcl 11122 . . . . . . . . . . . 12 (((exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
6764, 34, 66sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
6862, 67sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
69 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7069cnfldtopon 24747 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
71 toponmax 22891 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
7270, 71mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
7329a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
74 dfss2 3907 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
7573, 74sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
7634a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
77 efcl 16047 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
7877adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
79 dvef 25947 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂ D exp) = exp
80 eff 16046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 exp:ℂ⟶ℂ
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
8281feqmptd 6908 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
8382oveq2d 7383 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))))
8479, 83, 823eqtr3a 2795 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
85 fveq2 6840 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (i · 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑥)))
8640, 40, 37, 76, 78, 78, 48, 84, 85, 85dvmptco 25939 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
8769, 61, 72, 75, 64, 67, 86dvmptres3 25923 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
8828a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ)
8969tgioo2 24768 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
90 iccntr 24787 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 3) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,](π / 3))) = (0(,)(π / 3)))
9118, 24, 90sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,](π / 3))) = (0(,)(π / 3)))
9261, 65, 68, 87, 88, 89, 69, 91dvmptres2 25929 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
9392dmeqd 5860 . . . . . . . 8 (⊤ → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = dom (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
94 ovex 7400 . . . . . . . . 9 ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ V
95 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)) = (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))
9694, 95dmmpti 6642 . . . . . . . 8 dom (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)) = (0(,)(π / 3))
9793, 96eqtrdi 2787 . . . . . . 7 (⊤ → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (0(,)(π / 3)))
98 1re 11144 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
9998a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
10092fveq1d 6842 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))‘𝑦))
101 oveq2 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (i · 𝑥) = (i · 𝑦))
102101fveq2d 6844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝑦)))
103102oveq1d 7382 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
104103, 95, 94fvmpt3i 6953 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0(,)(π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))‘𝑦) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
105100, 104sylan9eq 2791 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
106105fveq2d 6844 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) = (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)))
107 ioossre 13360 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,)(π / 3)) ⊆ ℝ
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (0(,)(π / 3)) ⊆ ℝ)
109108sselda 3921 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → 𝑦 ∈ ℝ)
110109recnd 11173 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → 𝑦 ∈ ℂ)
111 mulcl 11122 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
11234, 110, 111sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
113 efcl 16047 . . . . . . . . . . 11 ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
115 absmul 15256 . . . . . . . . . 10 (((exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)) = ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)))
116114, 34, 115sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)) = ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)))
117 absefi 16163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑦))) = 1)
118109, 117syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘(exp‘(i · 𝑦))) = 1)
119 absi 15248 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘i) = 1
120119a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘i) = 1)
121118, 120oveq12d 7385 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)) = (1 · 1))
12241mulridi 11149 . . . . . . . . . 10 (1 · 1) = 1
123121, 122eqtrdi 2787 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)) = 1)
124106, 116, 1233eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) = 1)
125 1le1 11778 . . . . . . . 8 1 ≤ 1
126124, 125eqbrtrdi 5124 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) ≤ 1)
12719, 24, 59, 97, 99, 126dvlip 25960 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (0 ∈ (0[,](π / 3)) ∧ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))) → (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) ≤ (1 · (abs‘(0 − (π / 3)))))
1283, 17, 127mp2an 693 . . . . 5 (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) ≤ (1 · (abs‘(0 − (π / 3))))
129 oveq2 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) = (i · 0))
130 it0e0 12400 . . . . . . . . . . . . 13 (i · 0) = 0
131129, 130eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) = 0)
132131fveq2d 6844 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘0))
133 ef0 16056 . . . . . . . . . . 11 (exp‘0) = 1
134132, 133eqtrdi 2787 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (exp‘(i · 𝑥)) = 1)
135 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))
136 fvex 6853 . . . . . . . . . 10 (exp‘(i · 𝑥)) ∈ V
137134, 135, 136fvmpt3i 6953 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (0[,](π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) = 1)
13814, 137ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) = 1
139 oveq2 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (π / 3) → (i · 𝑥) = (i · (π / 3)))
140139fveq2d 6844 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (π / 3) → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · (π / 3))))
141140, 135, 136fvmpt3i 6953 . . . . . . . . 9 ((π / 3) ∈ (0[,](π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)) = (exp‘(i · (π / 3))))
14216, 141ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)) = (exp‘(i · (π / 3)))
143138, 142oveq12i 7379 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3))) = (1 − (exp‘(i · (π / 3))))
14423recni 11159 . . . . . . . . . 10 (π / 3) ∈ ℂ
14534, 144mulcli 11152 . . . . . . . . 9 (i · (π / 3)) ∈ ℂ
146 efcl 16047 . . . . . . . . 9 ((i · (π / 3)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (π / 3))) ∈ ℂ)
147145, 146ax-mp 5 . . . . . . . 8 (exp‘(i · (π / 3))) ∈ ℂ
148 negicn 11394 . . . . . . . . . 10 -i ∈ ℂ
149148, 144mulcli 11152 . . . . . . . . 9 (-i · (π / 3)) ∈ ℂ
150 efcl 16047 . . . . . . . . 9 ((-i · (π / 3)) ∈ ℂ → (exp‘(-i · (π / 3))) ∈ ℂ)
151149, 150ax-mp 5 . . . . . . . 8 (exp‘(-i · (π / 3))) ∈ ℂ
152 cosval 16090 . . . . . . . . . . 11 ((π / 3) ∈ ℂ → (cos‘(π / 3)) = (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2))
153144, 152ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (cos‘(π / 3)) = (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2)
154 sincos3rdpi 26481 . . . . . . . . . . 11 ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))
155154simpri 485 . . . . . . . . . 10 (cos‘(π / 3)) = (1 / 2)
156153, 155eqtr3i 2761 . . . . . . . . 9 (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2) = (1 / 2)
157147, 151addcli 11151 . . . . . . . . . 10 ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) ∈ ℂ
158 2cn 12256 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
159 2ne0 12285 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
160157, 41, 158, 159div11i 11914 . . . . . . . . 9 ((((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2) = (1 / 2) ↔ ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) = 1)
161156, 160mpbi 230 . . . . . . . 8 ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) = 1
16241, 147, 151, 161subaddrii 11483 . . . . . . 7 (1 − (exp‘(i · (π / 3)))) = (exp‘(-i · (π / 3)))
163 mulneg12 11588 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ (π / 3) ∈ ℂ) → (-i · (π / 3)) = (i · -(π / 3)))
16434, 144, 163mp2an 693 . . . . . . . 8 (-i · (π / 3)) = (i · -(π / 3))
165164fveq2i 6843 . . . . . . 7 (exp‘(-i · (π / 3))) = (exp‘(i · -(π / 3)))
166143, 162, 1653eqtri 2763 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3))) = (exp‘(i · -(π / 3)))
167166fveq2i 6843 . . . . 5 (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) = (abs‘(exp‘(i · -(π / 3))))
168144absnegi 15363 . . . . . . . 8 (abs‘-(π / 3)) = (abs‘(π / 3))
169 df-neg 11380 . . . . . . . . 9 -(π / 3) = (0 − (π / 3))
170169fveq2i 6843 . . . . . . . 8 (abs‘-(π / 3)) = (abs‘(0 − (π / 3)))
171168, 170eqtr3i 2761 . . . . . . 7 (abs‘(π / 3)) = (abs‘(0 − (π / 3)))
172 rprege0 12958 . . . . . . . 8 ((π / 3) ∈ ℝ+ → ((π / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 3)))
173 absid 15258 . . . . . . . 8 (((π / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 3)) → (abs‘(π / 3)) = (π / 3))
1748, 172, 173mp2b 10 . . . . . . 7 (abs‘(π / 3)) = (π / 3)
175171, 174eqtr3i 2761 . . . . . 6 (abs‘(0 − (π / 3))) = (π / 3)
176175oveq2i 7378 . . . . 5 (1 · (abs‘(0 − (π / 3)))) = (1 · (π / 3))
177128, 167, 1763brtr3i 5114 . . . 4 (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) ≤ (1 · (π / 3))
17823renegcli 11455 . . . . 5 -(π / 3) ∈ ℝ
179 absefi 16163 . . . . 5 (-(π / 3) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) = 1)
180178, 179ax-mp 5 . . . 4 (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) = 1
181144mullidi 11150 . . . 4 (1 · (π / 3)) = (π / 3)
182177, 180, 1813brtr3i 5114 . . 3 1 ≤ (π / 3)
183 3pos 12286 . . . . 5 0 < 3
18421, 183pm3.2i 470 . . . 4 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
185 lemuldiv 12036 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((1 · 3) ≤ π ↔ 1 ≤ (π / 3)))
18698, 20, 184, 185mp3an 1464 . . 3 ((1 · 3) ≤ π ↔ 1 ≤ (π / 3))
187182, 186mpbir 231 . 2 (1 · 3) ≤ π
1882, 187eqbrtrri 5108 1 3 ≤ π
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  {cpr 4569   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631  ran crn 5632   ↾ cres 5633  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043  ℝ*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  2c2 12236  3c3 12237  ℝ+crp 12942  (,)cioo 13298  [,]cicc 13301  √csqrt 15195  abscabs 15196  expce 16026  sincsin 16028  cosccos 16029  πcpi 16031  TopOpenctopn 17384  topGenctg 17400  ℂfldccnfld 21352  TopOnctopon 22875  intcnt 22982  –cn→ccncf 24843   D cdv 25830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-cmp 23352  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834
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