Theorem pige3ALT 26498

Description: Alternate proof of pige3 26497. This proof is based on the geometric observation that a hexagon of unit side length has perimeter 6, which is less than the unit-radius circumcircle, of perimeter 2π. We translate this to algebra by looking at the function e↑(i𝑥) as 𝑥 goes from 0 to π / 3; it moves at unit speed and travels distance 1, hence 1 ≤ π / 3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pige3ALT	⊢ 3 ≤ π

Proof of Theorem pige3ALT

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12329	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℂ
2	1	mullidi 11248	. 2 ⊢ (1 · 3) = 3
3		tru 1543	. . . . . 6 ⊢ ⊤
4		0xr 11290	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5		pirp 26439	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ+
6		3rp 13022	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ+
7		rpdivcl 13042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (π / 3) ∈ ℝ+)
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 3) ∈ ℝ+
9		rpxr 13026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 3) ∈ ℝ+ → (π / 3) ∈ ℝ*)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 3) ∈ ℝ*
11		rpge0 13030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 3) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (π / 3))
12	8, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (π / 3)
13		lbicc2 13486	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (π / 3)) → 0 ∈ (0[,](π / 3)))
14	4, 10, 12, 13	mp3an 1462	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,](π / 3))
15		ubicc2 13487	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (π / 3)) → (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))
16	4, 10, 12, 15	mp3an 1462	. . . . . . 7 ⊢ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3))
17	14, 16	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0[,](π / 3)) ∧ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))
18		0re 11245	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
20		pire 26436	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
21		3re 12328	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
22		3ne0 12354	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 0
23	20, 21, 22	redivcli 12016	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 3) ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (π / 3) ∈ ℝ)
25		efcn 26423	. . . . . . . . 9 ⊢ exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
27		iccssre 13451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 3) ∈ ℝ) → (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ)
28	18, 23, 27	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ
29		ax-resscn 11194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
30	28, 29	sstri 3973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,](π / 3)) ⊆ ℂ
31		resmpt 6035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0[,](π / 3)) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)))
32	30, 31	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)))
33		ssidd 3987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
34		ax-icn 11196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ∈ ℂ
35		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
36		mulcl 11221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
37	34, 35, 36	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
38	37	fmpttd 7115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
39		cnelprrecn 11230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
41		ax-1cn 11195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
43	40	dvmptid 25931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
44	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
45	40, 35, 42, 43, 44	dvmptcmul 25938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
46	34	mulridi 11247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i · 1) = i
47	46	mpteq2i 5227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
48	45, 47	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
49	48	dmeqd 5896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
50	34	elexi 3486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ∈ V
51		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ i) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
52	50, 51	dmmpti 6692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ i) = ℂ
53	49, 52	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = ℂ)
54		dvcn 25893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)):ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) ∧ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
55	33, 38, 33, 53, 54	syl31anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
56		rescncf 24859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0[,](π / 3)) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ)))
57	30, 55, 56	mpsyl 68	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
58	32, 57	eqeltrrd 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
59	26, 58	cncfmpt1f 24876	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
60		reelprrecn 11229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
62		recn 11227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
63		efcl 16100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
64	37, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
65	62, 64	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
66		mulcl 11221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
67	64, 34, 66	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
68	62, 67	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
69		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
70	69	cnfldtopon 24739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
71		toponmax 22880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
72	70, 71	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
73	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
74		dfss2 3949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
75	73, 74	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
76	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
77		efcl 16100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
79		dvef 25954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℂ D exp) = exp
80		eff 16099	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
82	81	feqmptd 6957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
83	82	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))))
84	79, 83, 82	3eqtr3a 2793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
85		fveq2 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (i · 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑥)))
86	40, 40, 37, 76, 78, 78, 48, 84, 85, 85	dvmptco 25946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
87	69, 61, 72, 75, 64, 67, 86	dvmptres3 25930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
88	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ)
89	69	tgioo2 24760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
90		iccntr 24779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 3) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,](π / 3))) = (0(,)(π / 3)))
91	18, 24, 90	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,](π / 3))) = (0(,)(π / 3)))
92	61, 65, 68, 87, 88, 89, 69, 91	dvmptres2 25936	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
93	92	dmeqd 5896	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = dom (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
94		ovex 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ V
95		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)) = (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))
96	94, 95	dmmpti 6692	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)) = (0(,)(π / 3))
97	93, 96	eqtrdi 2785	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (0(,)(π / 3)))
98		1re 11243	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
99	98	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
100	92	fveq1d 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))‘𝑦))
101		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (i · 𝑥) = (i · 𝑦))
102	101	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝑦)))
103	102	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
104	103, 95, 94	fvmpt3i 7001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)(π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))‘𝑦) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
105	100, 104	sylan9eq 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
106	105	fveq2d 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) = (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)))
107		ioossre 13430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(,)(π / 3)) ⊆ ℝ
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (0(,)(π / 3)) ⊆ ℝ)
109	108	sselda 3963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → 𝑦 ∈ ℝ)
110	109	recnd 11271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → 𝑦 ∈ ℂ)
111		mulcl 11221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
112	34, 110, 111	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
113		efcl 16100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
115		absmul 15315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)) = ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)))
116	114, 34, 115	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)) = ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)))
117		absefi 16214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑦))) = 1)
118	109, 117	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘(exp‘(i · 𝑦))) = 1)
119		absi 15307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘i) = 1
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘i) = 1)
121	118, 120	oveq12d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)) = (1 · 1))
122	41	mulridi 11247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 1) = 1
123	121, 122	eqtrdi 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)) = 1)
124	106, 116, 123	3eqtrd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) = 1)
125		1le1 11873	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 1
126	124, 125	eqbrtrdi 5162	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) ≤ 1)
127	19, 24, 59, 97, 99, 126	dvlip 25968	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (0 ∈ (0[,](π / 3)) ∧ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))) → (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) ≤ (1 · (abs‘(0 − (π / 3)))))
128	3, 17, 127	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) ≤ (1 · (abs‘(0 − (π / 3))))
129		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) = (i · 0))
130		it0e0 12472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · 0) = 0
131	129, 130	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) = 0)
132	131	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘0))
133		ef0 16109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘0) = 1
134	132, 133	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘(i · 𝑥)) = 1)
135		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))
136		fvex 6899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (exp‘(i · 𝑥)) ∈ V
137	134, 135, 136	fvmpt3i 7001	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (0[,](π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) = 1)
138	14, 137	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) = 1
139		oveq2 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (π / 3) → (i · 𝑥) = (i · (π / 3)))
140	139	fveq2d 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (π / 3) → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · (π / 3))))
141	140, 135, 136	fvmpt3i 7001	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 3) ∈ (0[,](π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)) = (exp‘(i · (π / 3))))
142	16, 141	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)) = (exp‘(i · (π / 3)))
143	138, 142	oveq12i 7425	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3))) = (1 − (exp‘(i · (π / 3))))
144	23	recni 11257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 3) ∈ ℂ
145	34, 144	mulcli 11250	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · (π / 3)) ∈ ℂ
146		efcl 16100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · (π / 3)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (π / 3))) ∈ ℂ)
147	145, 146	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (exp‘(i · (π / 3))) ∈ ℂ
148		negicn 11491	. . . . . . . . . 10 ⊢ -i ∈ ℂ
149	148, 144	mulcli 11250	. . . . . . . . 9 ⊢ (-i · (π / 3)) ∈ ℂ
150		efcl 16100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i · (π / 3)) ∈ ℂ → (exp‘(-i · (π / 3))) ∈ ℂ)
151	149, 150	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (exp‘(-i · (π / 3))) ∈ ℂ
152		cosval 16141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 3) ∈ ℂ → (cos‘(π / 3)) = (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2))
153	144, 152	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 3)) = (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2)
154		sincos3rdpi 26495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))
155	154	simpri 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2)
156	153, 155	eqtr3i 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2) = (1 / 2)
157	147, 151	addcli 11249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) ∈ ℂ
158		2cn 12323	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
159		2ne0 12352	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
160	157, 41, 158, 159	div11i 12008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2) = (1 / 2) ↔ ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) = 1)
161	156, 160	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) = 1
162	41, 147, 151, 161	subaddrii 11580	. . . . . . 7 ⊢ (1 − (exp‘(i · (π / 3)))) = (exp‘(-i · (π / 3)))
163		mulneg12 11683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (π / 3) ∈ ℂ) → (-i · (π / 3)) = (i · -(π / 3)))
164	34, 144, 163	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (-i · (π / 3)) = (i · -(π / 3))
165	164	fveq2i 6889	. . . . . . 7 ⊢ (exp‘(-i · (π / 3))) = (exp‘(i · -(π / 3)))
166	143, 162, 165	3eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3))) = (exp‘(i · -(π / 3)))
167	166	fveq2i 6889	. . . . 5 ⊢ (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) = (abs‘(exp‘(i · -(π / 3))))
168	144	absnegi 15421	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-(π / 3)) = (abs‘(π / 3))
169		df-neg 11477	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 3) = (0 − (π / 3))
170	169	fveq2i 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-(π / 3)) = (abs‘(0 − (π / 3)))
171	168, 170	eqtr3i 2759	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(π / 3)) = (abs‘(0 − (π / 3)))
172		rprege0 13032	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 3) ∈ ℝ+ → ((π / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 3)))
173		absid 15317	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 3)) → (abs‘(π / 3)) = (π / 3))
174	8, 172, 173	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(π / 3)) = (π / 3)
175	171, 174	eqtr3i 2759	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(0 − (π / 3))) = (π / 3)
176	175	oveq2i 7424	. . . . 5 ⊢ (1 · (abs‘(0 − (π / 3)))) = (1 · (π / 3))
177	128, 167, 176	3brtr3i 5152	. . . 4 ⊢ (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) ≤ (1 · (π / 3))
178	23	renegcli 11552	. . . . 5 ⊢ -(π / 3) ∈ ℝ
179		absefi 16214	. . . . 5 ⊢ (-(π / 3) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) = 1)
180	178, 179	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) = 1
181	144	mullidi 11248	. . . 4 ⊢ (1 · (π / 3)) = (π / 3)
182	177, 180, 181	3brtr3i 5152	. . 3 ⊢ 1 ≤ (π / 3)
183		3pos 12353	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
184	21, 183	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
185		lemuldiv 12130	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((1 · 3) ≤ π ↔ 1 ≤ (π / 3)))
186	98, 20, 184, 185	mp3an 1462	. . 3 ⊢ ((1 · 3) ≤ π ↔ 1 ≤ (π / 3))
187	182, 186	mpbir 231	. 2 ⊢ (1 · 3) ≤ π
188	2, 187	eqbrtrri 5146	1 ⊢ 3 ≤ π

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  {cpr 4608   class class class wbr 5123   ↦ cmpt 5205  dom cdm 5665  ran crn 5666   ↾ cres 5667  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  ℝcr 11136  0cc0 11137  1c1 11138  ici 11139   + caddc 11140   · cmul 11142  ℝ^*cxr 11276   < clt 11277   ≤ cle 11278   − cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11902  2c2 12303  3c3 12304  ℝ⁺crp 13016  (,)cioo 13369  [,]cicc 13372  √csqrt 15254  abscabs 15255  expce 16079  sincsin 16081  cosccos 16082  πcpi 16084  TopOpenctopn 17437  topGenctg 17453  ℂ_fldccnfld 21326  TopOnctopon 22864  intcnt 22971  –cn→ccncf 24838   D cdv 25834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215  ax-addf 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9532  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13373  df-ioc 13374  df-ico 13375  df-icc 13376  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14295  df-bc 14324  df-hash 14352  df-shft 15088  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-limsup 15489  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-ef 16085  df-sin 16087  df-cos 16088  df-pi 16090  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-starv 17288  df-sca 17289  df-vsca 17290  df-ip 17291  df-tset 17292  df-ple 17293  df-ds 17295  df-unif 17296  df-hom 17297  df-cco 17298  df-rest 17438  df-topn 17439  df-0g 17457  df-gsum 17458  df-topgen 17459  df-pt 17460  df-prds 17463  df-xrs 17518  df-qtop 17523  df-imas 17524  df-xps 17526  df-mre 17600  df-mrc 17601  df-acs 17603  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-submnd 18766  df-mulg 19055  df-cntz 19304  df-cmn 19768  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-fbas 21323  df-fg 21324  df-cnfld 21327  df-top 22848  df-topon 22865  df-topsp 22887  df-bases 22900  df-cld 22973  df-ntr 22974  df-cls 22975  df-nei 23052  df-lp 23090  df-perf 23091  df-cn 23181  df-cnp 23182  df-haus 23269  df-cmp 23341  df-tx 23516  df-hmeo 23709  df-fil 23800  df-fm 23892  df-flim 23893  df-flf 23894  df-xms 24275  df-ms 24276  df-tms 24277  df-cncf 24840  df-limc 25837  df-dv 25838

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