Theorem pige3ALT 26857

Description: Alternate proof of pige3 26856. This proof is based on the geometric observation that a hexagon of unit side length has perimeter 6, which is less than the unit-radius circumcircle, of perimeter 2π. We translate this to algebra by looking at the function e↑(i𝑥) as 𝑥 goes from 0 to π / 3; it moves at unit speed and travels distance 1, hence 1 ≤ π / 3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pige3ALT	⊢ 3 ≤ π

Proof of Theorem pige3ALT

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 12431	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℂ
2	1	mullidi 11321	. 2 ⊢ (1 · 3) = 3
3		tru 1573	. . . . . 6 ⊢ ⊤
4		0xr 11363	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5		pirp 26799	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ+
6		3rp 13133	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ+
7		rpdivcl 13154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (π / 3) ∈ ℝ+)
8	5, 6, 7	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 3) ∈ ℝ+
9		rpxr 13137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 3) ∈ ℝ+ → (π / 3) ∈ ℝ*)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 3) ∈ ℝ*
11		rpge0 13141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 3) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (π / 3))
12	8, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (π / 3)
13		lbicc2 13602	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (π / 3)) → 0 ∈ (0[,](π / 3)))
14	4, 10, 12, 13	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,](π / 3))
15		ubicc2 13603	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (π / 3)) → (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))
16	4, 10, 12, 15	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3))
17	14, 16	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0[,](π / 3)) ∧ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))
18		0re 11317	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
20		pire 26792	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
21		3re 12430	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
22		3ne0 12459	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 0
23	20, 21, 22	redivcli 12091	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 3) ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (π / 3) ∈ ℝ)
25		efcn 26779	. . . . . . . . 9 ⊢ exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
27		iccssre 13567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 3) ∈ ℝ) → (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ)
28	18, 23, 27	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ
29		ax-resscn 11264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
30	28, 29	sstri 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,](π / 3)) ⊆ ℂ
31		resmpt 6031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0[,](π / 3)) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)))
32	30, 31	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)))
33		ssidd 3932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
34		ax-icn 11266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ∈ ℂ
35		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
36		mulcl 11291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
37	34, 35, 36	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
38	37	fmpttd 7120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
39		cnelprrecn 11300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
41		ax-1cn 11265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
43	40	dvmptid 26286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
44	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
45	40, 35, 42, 43, 44	dvmptcmul 26293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
46	34	mulridi 11320	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i · 1) = i
47	46	mpteq2i 5200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
48	45, 47	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
49	48	dmeqd 5888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
50	34	elexi 3472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ∈ V
51		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ i) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
52	50, 51	dmmpti 6688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ i) = ℂ
53	49, 52	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = ℂ)
54		dvcn 26250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)):ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) ∧ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
55	33, 38, 33, 53, 54	syl31anc 1400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
56		rescncf 25227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0[,](π / 3)) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ)))
57	30, 55, 56	mpsyl 69	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
58	32, 57	eqeltrrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
59	26, 58	cncfmpt1f 25244	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
60		reelprrecn 11299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
62		recn 11297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
63		efcl 16257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
64	37, 63	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
65	62, 64	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
66		mulcl 11291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
67	64, 34, 66	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
68	62, 67	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
69		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
70	69	cnfldtopon 25110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
71		toponmax 23253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
72	70, 71	mp1i 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
73	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
74		dfss2 4093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
75	73, 74	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
76	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
77		efcl 16257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
78	77	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
79		dvef 26309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℂ D exp) = exp
80		eff 16256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
82	81	feqmptd 6958	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
83	82	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))))
84	79, 83, 82	3eqtr3a 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
85		fveq2 6890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (i · 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑥)))
86	40, 40, 37, 76, 78, 78, 48, 84, 85, 85	dvmptco 26301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
87	69, 61, 72, 75, 64, 67, 86	dvmptres3 26285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
88	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ)
89	69	tgioo2 25131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
90		iccntr 25150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 3) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,](π / 3))) = (0(,)(π / 3)))
91	18, 24, 90	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,](π / 3))) = (0(,)(π / 3)))
92	61, 65, 68, 87, 88, 89, 69, 91	dvmptres2 26291	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
93	92	dmeqd 5888	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = dom (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
94		ovex 7457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ V
95		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)) = (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))
96	94, 95	dmmpti 6688	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)) = (0(,)(π / 3))
97	93, 96	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (0(,)(π / 3)))
98		1re 11315	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
99	98	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
100	92	fveq1d 6892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))‘𝑦))
101		oveq2 7432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (i · 𝑥) = (i · 𝑦))
102	101	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝑦)))
103	102	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
104	103, 95, 94	fvmpt3i 7004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)(π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))‘𝑦) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
105	100, 104	sylan9eq 2815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
106	105	fveq2d 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) = (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)))
107		ioossre 13545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0(,)(π / 3)) ⊆ ℝ
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (0(,)(π / 3)) ⊆ ℝ)
109	108	sselda 3909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → 𝑦 ∈ ℝ)
110	109	recnd 11344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → 𝑦 ∈ ℂ)
111		mulcl 11291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
112	34, 110, 111	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
113		efcl 16257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
114	112, 113	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
115		absmul 15470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)) = ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)))
116	114, 34, 115	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)) = ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)))
117		absefi 16373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑦))) = 1)
118	109, 117	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘(exp‘(i · 𝑦))) = 1)
119		absi 15462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘i) = 1
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘i) = 1)
121	118, 120	oveq12d 7442	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)) = (1 · 1))
122	41	mulridi 11320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 1) = 1
123	121, 122	eqtrdi 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)) = 1)
124	106, 116, 123	3eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) = 1)
125		1le1 11951	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 1
126	124, 125	eqbrtrdi 5143	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) ≤ 1)
127	19, 24, 59, 97, 99, 126	dvlip 26322	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (0 ∈ (0[,](π / 3)) ∧ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))) → (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) ≤ (1 · (abs‘(0 − (π / 3)))))
128	3, 17, 127	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) ≤ (1 · (abs‘(0 − (π / 3))))
129		oveq2 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) = (i · 0))
130		it0e0 12576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · 0) = 0
131	129, 130	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) = 0)
132	131	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘0))
133		ef0 16266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘0) = 1
134	132, 133	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘(i · 𝑥)) = 1)
135		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))
136		fvex 6903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (exp‘(i · 𝑥)) ∈ V
137	134, 135, 136	fvmpt3i 7004	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (0[,](π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) = 1)
138	14, 137	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) = 1
139		oveq2 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (π / 3) → (i · 𝑥) = (i · (π / 3)))
140	139	fveq2d 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (π / 3) → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · (π / 3))))
141	140, 135, 136	fvmpt3i 7004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 3) ∈ (0[,](π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)) = (exp‘(i · (π / 3))))
142	16, 141	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)) = (exp‘(i · (π / 3)))
143	138, 142	oveq12i 7436	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3))) = (1 − (exp‘(i · (π / 3))))
144	23	recni 11330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 3) ∈ ℂ
145	34, 144	mulcli 11323	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · (π / 3)) ∈ ℂ
146		efcl 16257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · (π / 3)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (π / 3))) ∈ ℂ)
147	145, 146	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (exp‘(i · (π / 3))) ∈ ℂ
148		negicn 11565	. . . . . . . . . 10 ⊢ -i ∈ ℂ
149	148, 144	mulcli 11323	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -i · (π / 3)) ∈ ℂ
150		efcl 16257	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -i · (π / 3)) ∈ ℂ → (exp‘( -i · (π / 3))) ∈ ℂ)
151	149, 150	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (exp‘( -i · (π / 3))) ∈ ℂ
152		cosval 16300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 3) ∈ ℂ → (cos‘(π / 3)) = (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘( -i · (π / 3)))) / 2))
153	144, 152	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 3)) = (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘( -i · (π / 3)))) / 2)
154		sincos3rdpi 26854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))
155	154	simpri 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2)
156	153, 155	eqtr3i 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘( -i · (π / 3)))) / 2) = (1 / 2)
157	147, 151	addcli 11322	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘( -i · (π / 3)))) ∈ ℂ
158		2cn 12425	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
159		2ne0 12456	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
160	157, 41, 158, 159	div11i 12083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘( -i · (π / 3)))) / 2) = (1 / 2) ↔ ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘( -i · (π / 3)))) = 1)
161	156, 160	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘( -i · (π / 3)))) = 1
162	41, 147, 151, 161	subaddrii 11654	. . . . . . 7 ⊢ (1 − (exp‘(i · (π / 3)))) = (exp‘( -i · (π / 3)))
163		mulneg12 11761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (π / 3) ∈ ℂ) → ( -i · (π / 3)) = (i · -(π / 3)))
164	34, 144, 163	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ ( -i · (π / 3)) = (i · -(π / 3))
165	164	fveq2i 6893	. . . . . . 7 ⊢ (exp‘( -i · (π / 3))) = (exp‘(i · -(π / 3)))
166	143, 162, 165	3eqtri 2787	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3))) = (exp‘(i · -(π / 3)))
167	166	fveq2i 6893	. . . . 5 ⊢ (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) = (abs‘(exp‘(i · -(π / 3))))
168	144	absnegi 15577	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘ -(π / 3)) = (abs‘(π / 3))
169		df-neg 11551	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 3) = (0 − (π / 3))
170	169	fveq2i 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘ -(π / 3)) = (abs‘(0 − (π / 3)))
171	168, 170	eqtr3i 2785	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(π / 3)) = (abs‘(0 − (π / 3)))
172		rprege0 13143	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 3) ∈ ℝ+ → ((π / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 3)))
173		absid 15472	. . . . . . . 8 ⊢ (((π / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 3)) → (abs‘(π / 3)) = (π / 3))
174	8, 172, 173	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(π / 3)) = (π / 3)
175	171, 174	eqtr3i 2785	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(0 − (π / 3))) = (π / 3)
176	175	oveq2i 7435	. . . . 5 ⊢ (1 · (abs‘(0 − (π / 3)))) = (1 · (π / 3))
177	128, 167, 176	3brtr3i 5133	. . . 4 ⊢ (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) ≤ (1 · (π / 3))
178	23	renegcli 11626	. . . . 5 ⊢ -(π / 3) ∈ ℝ
179		absefi 16373	. . . . 5 ⊢ ( -(π / 3) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) = 1)
180	178, 179	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) = 1
181	144	mullidi 11321	. . . 4 ⊢ (1 · (π / 3)) = (π / 3)
182	177, 180, 181	3brtr3i 5133	. . 3 ⊢ 1 ≤ (π / 3)
183		3pos 12458	. . . . 5 ⊢ 0 < 3
184	21, 183	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
185		lemuldiv 12204	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((1 · 3) ≤ π ↔ 1 ≤ (π / 3)))
186	98, 20, 184, 185	mp3an 1490	. . 3 ⊢ ((1 · 3) ≤ π ↔ 1 ≤ (π / 3))
187	182, 186	mpbir 234	. 2 ⊢ (1 · 3) ≤ π
188	2, 187	eqbrtrri 5127	1 ⊢ 3 ≤ π

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088  {cpr 4586   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208  ici 11209   + caddc 11210   · cmul 11212  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350   ≤ cle 11351   − cmin 11548   -cneg 11549   / cdiv 11980  2c2 12404  3c3 12405  ℝ⁺crp 13127  (,)cioo 13483  [,]cicc 13486  √csqrt 15409  abscabs 15410  expce 16236  sincsin 16238  cosccos 16239  πcpi 16241  TopOpenctopn 17601  topGenctg 17617  ℂ_fldccnfld 21687  TopOnctopon 23237  intcnt 23344  –cn→ccncf 25206   D cdv 26192

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-ef 16242  df-sin 16244  df-cos 16245  df-pi 16247  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-cmp 23714  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-cncf 25208  df-limc 26195  df-dv 26196

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