Theorem saliincl 46248

Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
saliincl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
saliincl.kct	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
saliincl.kn0	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ∅)
saliincl.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
saliincl	⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem saliincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1913	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2908	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
3		nfcv 2908	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐾
4		saliincl.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
5		saliincl.kct	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
6		saliincl.kn0	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ∅)
7		saliincl.e	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	saliinclf 46247	1 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∅c0 4352  ∩ ciin 5016   class class class wbr 5166  ωcom 7903   ≼ cdom 9001  SAlgcsalg 46229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-card 10008  df-acn 10011  df-salg 46230

This theorem is referenced by:  iocborel  46277  hoimbllem  46551  iccvonmbllem  46599  salpreimagtge  46646  salpreimaltle  46647  smflimlem1  46692  smfsuplem1  46732