Theorem saliincl 42967

Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
saliincl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
saliincl.kct	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
saliincl.kn0	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ∅)
saliincl.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
saliincl	⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem saliincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saliincl.e	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)
2		elssuni 4830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑆 → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ⊆ ∪ 𝑆)
4		df-ss 3898	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐸)
5	3, 4	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = 𝐸)
6	5	eqcomd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 = (𝐸 ∩ ∪ 𝑆))
7		incom 4128	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = (∪ 𝑆 ∩ 𝐸)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (𝐸 ∩ ∪ 𝑆) = (∪ 𝑆 ∩ 𝐸))
9		dfin4 4194	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑆 ∩ 𝐸) = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸))
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (∪ 𝑆 ∩ 𝐸) = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
11	6, 8, 10	3eqtrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 = (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
12	11	iineq2dv 4906	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
13		saliincl.kn0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ∅)
14		iindif2 4962	. . . 4 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)) = (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)) = (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
16	12, 15	eqtrd 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)))
17		saliincl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
18		saliincl.kct	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
19	17	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝑆 ∈ SAlg)
20		saldifcl 42961	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
21	19, 1, 20	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
22	17, 18, 21	saliuncl 42964	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆)
23		saldifcl 42961	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸) ∈ 𝑆) → (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)) ∈ 𝑆)
24	17, 22, 23	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑆 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 (∪ 𝑆 ∖ 𝐸)) ∈ 𝑆)
25	16, 24	eqeltrd 2890	1 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ∖ cdif 3878   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ∪ cuni 4800  ∪ ciun 4881  ∩ ciin 4882   class class class wbr 5030  ωcom 7560   ≼ cdom 8490  SAlgcsalg 42950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-card 9352  df-acn 9355  df-salg 42951

This theorem is referenced by:  iocborel  42996  hoimbllem  43269  iccvonmbllem  43317  salpreimagtge  43359  salpreimaltle  43360  smflimlem1  43404  smfsuplem1  43442