Theorem saliincl 45744

Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
saliincl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
saliincl.kct	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
saliincl.kn0	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ∅)
saliincl.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
saliincl	⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem saliincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1909	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2899	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
3		nfcv 2899	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐾
4		saliincl.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
5		saliincl.kct	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
6		saliincl.kn0	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ∅)
7		saliincl.e	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	saliinclf 45743	1 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∅c0 4326  ∩ ciin 5001   class class class wbr 5152  ωcom 7876   ≼ cdom 8968  SAlgcsalg 45725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-card 9970  df-acn 9973  df-salg 45726

This theorem is referenced by:  iocborel  45773  hoimbllem  46047  iccvonmbllem  46095  salpreimagtge  46142  salpreimaltle  46143  smflimlem1  46188  smfsuplem1  46228