Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  saliincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem saliincl 42897
Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
saliincl.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
saliincl.kct (𝜑𝐾 ≼ ω)
saliincl.kn0 (𝜑𝐾 ≠ ∅)
saliincl.e ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸𝑆)
Assertion
Ref Expression
saliincl (𝜑 𝑘𝐾 𝐸𝑆)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem saliincl
StepHypRef Expression
1 saliincl.e . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸𝑆)
2 elssuni 4854 . . . . . . . 8 (𝐸𝑆𝐸 𝑆)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸 𝑆)
4 df-ss 3936 . . . . . . 7 (𝐸 𝑆 ↔ (𝐸 𝑆) = 𝐸)
53, 4sylib 221 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝐸 𝑆) = 𝐸)
65eqcomd 2830 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸 = (𝐸 𝑆))
7 incom 4163 . . . . . 6 (𝐸 𝑆) = ( 𝑆𝐸)
87a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝐸 𝑆) = ( 𝑆𝐸))
9 dfin4 4229 . . . . . 6 ( 𝑆𝐸) = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸))
109a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐾) → ( 𝑆𝐸) = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)))
116, 8, 103eqtrd 2863 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸 = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)))
1211iineq2dv 4930 . . 3 (𝜑 𝑘𝐾 𝐸 = 𝑘𝐾 ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)))
13 saliincl.kn0 . . . 4 (𝜑𝐾 ≠ ∅)
14 iindif2 4985 . . . 4 (𝐾 ≠ ∅ → 𝑘𝐾 ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)) = ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)))
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑 𝑘𝐾 ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)) = ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)))
1612, 15eqtrd 2859 . 2 (𝜑 𝑘𝐾 𝐸 = ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)))
17 saliincl.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
18 saliincl.kct . . . 4 (𝜑𝐾 ≼ ω)
1917adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝑆 ∈ SAlg)
20 saldifcl 42891 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
2119, 1, 20syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐾) → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
2217, 18, 21saliuncl 42894 . . 3 (𝜑 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
23 saldifcl 42891 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆) → ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)) ∈ 𝑆)
2417, 22, 23syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)) ∈ 𝑆)
2516, 24eqeltrd 2916 1 (𝜑 𝑘𝐾 𝐸𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  cdif 3916  cin 3918  wss 3919  c0 4276   cuni 4824   ciun 4905   ciin 4906   class class class wbr 5052  ωcom 7574  cdom 8503  SAlgcsalg 42880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-card 9365  df-acn 9368  df-salg 42881
This theorem is referenced by:  iocborel  42926  hoimbllem  43199  iccvonmbllem  43247  salpreimagtge  43289  salpreimaltle  43290  smflimlem1  43334  smfsuplem1  43372
  Copyright terms: Public domain W3C validator