Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salrestss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salrestss 44722
Description: A sigma-algebra restricted to one of its elements is a subset of the original sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
salrestss.1 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
salrestss.2 (𝜑𝐸𝑆)
Assertion
Ref Expression
salrestss (𝜑 → (𝑆t 𝐸) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem salrestss
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → 𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸))
2 salrestss.1 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
32adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → 𝑆 ∈ SAlg)
4 salrestss.2 . . . . . 6 (𝜑𝐸𝑆)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → 𝐸𝑆)
6 elrest 17323 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐸)))
73, 5, 6syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → (𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐸)))
81, 7mpbid 231 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐸))
9 simprr 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐸))) → 𝑥 = (𝑦𝐸))
102adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
11 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
124adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐸𝑆)
1310, 11, 12salincld 44713 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑦𝐸) ∈ 𝑆)
1413adantrr 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐸))) → (𝑦𝐸) ∈ 𝑆)
159, 14eqeltrd 2832 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐸))) → 𝑥𝑆)
1615adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) ∧ (𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐸))) → 𝑥𝑆)
178, 16rexlimddv 3154 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → 𝑥𝑆)
1817ssd 43412 1 (𝜑 → (𝑆t 𝐸) ⊆ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3069  cin 3912  wss 3913  (class class class)co 7362  t crest 17316  SAlgcsalg 44669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-rest 17318  df-salg 44670
This theorem is referenced by:  smfdmmblpimne  45198  smfdivdmmbl2  45202  smfsupdmmbllem  45205  smfinfdmmbllem  45209
  Copyright terms: Public domain W3C validator