Theorem salrestss 46626

Description: A sigma-algebra restricted to one of its elements is a subset of the original sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
salrestss.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
salrestss.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
salrestss	⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐸) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem salrestss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸))
2		salrestss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → 𝑆 ∈ SAlg)
4		salrestss.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → 𝐸 ∈ 𝑆)
6		elrest 17349	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸)))
7	3, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → (𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸)))
8	1, 7	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))
9		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))) → 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))
10	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
11		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
12	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐸 ∈ 𝑆)
13	10, 11, 12	salincld 46617	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∩ 𝐸) ∈ 𝑆)
14	13	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))) → (𝑦 ∩ 𝐸) ∈ 𝑆)
15	9, 14	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
16	15	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17	8, 16	rexlimddv 3143	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
18	17	ssd 45346	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐸) ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  (class class class)co 7358   ↾_t crest 17342  SAlgcsalg 46573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9552

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-rest 17344  df-salg 46574

This theorem is referenced by:  smfdmmblpimne  47102  smfdivdmmbl2  47106  smfsupdmmbllem  47109  smfinfdmmbllem  47113