Theorem salrestss 44755

Description: A sigma-algebra restricted to one of its elements is a subset of the original sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
salrestss.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
salrestss.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
salrestss	⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐸) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem salrestss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸))
2		salrestss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → 𝑆 ∈ SAlg)
4		salrestss.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → 𝐸 ∈ 𝑆)
6		elrest 17338	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸)))
7	3, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → (𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸)))
8	1, 7	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))
9		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))) → 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))
10	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
11		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
12	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐸 ∈ 𝑆)
13	10, 11, 12	salincld 44746	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∩ 𝐸) ∈ 𝑆)
14	13	adantrr 715	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))) → (𝑦 ∩ 𝐸) ∈ 𝑆)
15	9, 14	eqeltrd 2832	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
16	15	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17	8, 16	rexlimddv 3160	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
18	17	ssd 43445	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐸) ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3069   ∩ cin 3927   ⊆ wss 3928  (class class class)co 7377   ↾_t crest 17331  SAlgcsalg 44702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-rest 17333  df-salg 44703

This theorem is referenced by:  smfdmmblpimne  45231  smfdivdmmbl2  45235  smfsupdmmbllem  45238  smfinfdmmbllem  45242