Theorem salrestss 45077

Description: A sigma-algebra restricted to one of its elements is a subset of the original sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
salrestss.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
salrestss.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
salrestss	⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐸) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem salrestss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸))
2		salrestss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3	2	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → 𝑆 ∈ SAlg)
4		salrestss.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
5	4	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → 𝐸 ∈ 𝑆)
6		elrest 17373	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸)))
7	3, 5, 6	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → (𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸)))
8	1, 7	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))
9		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))) → 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))
10	2	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
11		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
12	4	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐸 ∈ 𝑆)
13	10, 11, 12	salincld 45068	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∩ 𝐸) ∈ 𝑆)
14	13	adantrr 716	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))) → (𝑦 ∩ 𝐸) ∈ 𝑆)
15	9, 14	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
16	15	adantlr 714	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17	8, 16	rexlimddv 3162	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
18	17	ssd 43769	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐸) ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  (class class class)co 7409   ↾_t crest 17366  SAlgcsalg 45024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-rest 17368  df-salg 45025

This theorem is referenced by:  smfdmmblpimne  45553  smfdivdmmbl2  45557  smfsupdmmbllem  45560  smfinfdmmbllem  45564