Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salrestss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salrestss 46317
Description: A sigma-algebra restricted to one of its elements is a subset of the original sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
salrestss.1 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
salrestss.2 (𝜑𝐸𝑆)
Assertion
Ref Expression
salrestss (𝜑 → (𝑆t 𝐸) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem salrestss
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → 𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸))
2 salrestss.1 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
32adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → 𝑆 ∈ SAlg)
4 salrestss.2 . . . . . 6 (𝜑𝐸𝑆)
54adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → 𝐸𝑆)
6 elrest 17474 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐸)))
73, 5, 6syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → (𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐸)))
81, 7mpbid 232 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐸))
9 simprr 773 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐸))) → 𝑥 = (𝑦𝐸))
102adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
11 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
124adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐸𝑆)
1310, 11, 12salincld 46308 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑦𝐸) ∈ 𝑆)
1413adantrr 717 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐸))) → (𝑦𝐸) ∈ 𝑆)
159, 14eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐸))) → 𝑥𝑆)
1615adantlr 715 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) ∧ (𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐸))) → 𝑥𝑆)
178, 16rexlimddv 3159 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → 𝑥𝑆)
1817ssd 45020 1 (𝜑 → (𝑆t 𝐸) ⊆ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  cin 3962  wss 3963  (class class class)co 7431  t crest 17467  SAlgcsalg 46264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-rest 17469  df-salg 46265
This theorem is referenced by:  smfdmmblpimne  46793  smfdivdmmbl2  46797  smfsupdmmbllem  46800  smfinfdmmbllem  46804
  Copyright terms: Public domain W3C validator