Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salrestss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salrestss 46376
Description: A sigma-algebra restricted to one of its elements is a subset of the original sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
salrestss.1 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
salrestss.2 (𝜑𝐸𝑆)
Assertion
Ref Expression
salrestss (𝜑 → (𝑆t 𝐸) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem salrestss
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → 𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸))
2 salrestss.1 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
32adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → 𝑆 ∈ SAlg)
4 salrestss.2 . . . . . 6 (𝜑𝐸𝑆)
54adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → 𝐸𝑆)
6 elrest 17472 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐸)))
73, 5, 6syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → (𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐸)))
81, 7mpbid 232 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐸))
9 simprr 773 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐸))) → 𝑥 = (𝑦𝐸))
102adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
11 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
124adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐸𝑆)
1310, 11, 12salincld 46367 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑦𝐸) ∈ 𝑆)
1413adantrr 717 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐸))) → (𝑦𝐸) ∈ 𝑆)
159, 14eqeltrd 2841 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐸))) → 𝑥𝑆)
1615adantlr 715 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) ∧ (𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐸))) → 𝑥𝑆)
178, 16rexlimddv 3161 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → 𝑥𝑆)
1817ssd 45085 1 (𝜑 → (𝑆t 𝐸) ⊆ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  cin 3950  wss 3951  (class class class)co 7431  t crest 17465  SAlgcsalg 46323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-rest 17467  df-salg 46324
This theorem is referenced by:  smfdmmblpimne  46852  smfdivdmmbl2  46856  smfsupdmmbllem  46859  smfinfdmmbllem  46863
  Copyright terms: Public domain W3C validator