Theorem salrestss 47203

Description: A sigma-algebra restricted to one of its elements is a subset of the original sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
salrestss.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
salrestss.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
salrestss	⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐸) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem salrestss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸))
2		salrestss.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → 𝑆 ∈ SAlg)
4		salrestss.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → 𝐸 ∈ 𝑆)
6		elrest 17534	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸)))
7	3, 5, 6	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → (𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸)))
8	1, 7	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → ∃𝑦 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))
9		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))) → 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))
10	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
11		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
12	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐸 ∈ 𝑆)
13	10, 11, 12	salincld 47194	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∩ 𝐸) ∈ 𝑆)
14	13	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))) → (𝑦 ∩ 𝐸) ∈ 𝑆)
15	9, 14	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
16	15	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐸))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17	8, 16	rexlimddv 3169	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ↾t 𝐸)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
18	17	ssd 45928	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐸) ⊆ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  (class class class)co 7415   ↾_t crest 17527  SAlgcsalg 47150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-inf2 9624

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-rest 17529  df-salg 47151

This theorem is used by:  smfdmmblpimne  47679  smfdivdmmbl2  47683  smfsupdmmbllem  47686  smfinfdmmbllem  47690