Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salrestss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salrestss 45156
Description: A sigma-algebra restricted to one of its elements is a subset of the original sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
salrestss.1 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
salrestss.2 (𝜑𝐸𝑆)
Assertion
Ref Expression
salrestss (𝜑 → (𝑆t 𝐸) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem salrestss
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → 𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸))
2 salrestss.1 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
32adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → 𝑆 ∈ SAlg)
4 salrestss.2 . . . . . 6 (𝜑𝐸𝑆)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → 𝐸𝑆)
6 elrest 17375 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐸)))
73, 5, 6syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → (𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸) ↔ ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐸)))
81, 7mpbid 231 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → ∃𝑦𝑆 𝑥 = (𝑦𝐸))
9 simprr 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐸))) → 𝑥 = (𝑦𝐸))
102adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
11 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
124adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐸𝑆)
1310, 11, 12salincld 45147 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑦𝐸) ∈ 𝑆)
1413adantrr 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐸))) → (𝑦𝐸) ∈ 𝑆)
159, 14eqeltrd 2833 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐸))) → 𝑥𝑆)
1615adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) ∧ (𝑦𝑆𝑥 = (𝑦𝐸))) → 𝑥𝑆)
178, 16rexlimddv 3161 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆t 𝐸)) → 𝑥𝑆)
1817ssd 43851 1 (𝜑 → (𝑆t 𝐸) ⊆ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3070  cin 3947  wss 3948  (class class class)co 7411  t crest 17368  SAlgcsalg 45103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-rest 17370  df-salg 45104
This theorem is referenced by:  smfdmmblpimne  45632  smfdivdmmbl2  45636  smfsupdmmbllem  45639  smfinfdmmbllem  45643
  Copyright terms: Public domain W3C validator