Theorem satef 36268

Description: The simplified satisfaction predicate as function over wff codes over an empty model. (Contributed by AV, 30-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
satef	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ 𝑈)) → 𝑆:ω⟶𝑀)

Proof of Theorem satef

Step	Hyp	Ref	Expression
1		satefv 36266	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑀 Sat∈ 𝑈) = (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈))
2	1	eleq2d 2846	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ 𝑈) ↔ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)))
3		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → 𝑀 ∈ 𝑉)
4		incom 4106	. . . . . . . . 9 ⊢ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) = ((𝑀 × 𝑀) ∩ E )
5		sqxpexg 7770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (𝑀 × 𝑀) ∈ V)
6	5	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑀 × 𝑀) ∈ V)
7		inex1g 5278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 × 𝑀) ∈ V → ((𝑀 × 𝑀) ∩ E ) ∈ V)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → ((𝑀 × 𝑀) ∩ E ) ∈ V)
9	4, 8	eqeltrid 2864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V)
10	3, 9	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V))
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V))
12		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → 𝑈 ∈ (Fmla‘ω))
13	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → 𝑈 ∈ (Fmla‘ω))
14		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈))
15	11, 13, 14	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)))
16	15	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈))))
17	2, 16	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ 𝑈) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈))))
18	17	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ 𝑈)) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)))
19		satfvel 36264	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → 𝑆:ω⟶𝑀)
20	18, 19	syl 18	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ 𝑈)) → 𝑆:ω⟶𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∩ cin 4089   E cep 5549   × cxp 5648  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ωcom 7878   Sat csat 36188  Fmlacfmla 36189   Sat_∈ csate 36190

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-ac2 10545

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-card 10024  df-ac 10199  df-goel 36192  df-gona 36193  df-goal 36194  df-sat 36195  df-sate 36196  df-fmla 36197

This theorem is used by:  sate0fv0  36269