Theorem satef 33366

Description: The simplified satisfaction predicate as function over wff codes over an empty model. (Contributed by AV, 30-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
satef	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ 𝑈)) → 𝑆:ω⟶𝑀)

Proof of Theorem satef

Step	Hyp	Ref	Expression
1		satefv 33364	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑀 Sat∈ 𝑈) = (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈))
2	1	eleq2d 2826	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ 𝑈) ↔ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)))
3		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → 𝑀 ∈ 𝑉)
4		incom 4140	. . . . . . . . 9 ⊢ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) = ((𝑀 × 𝑀) ∩ E )
5		sqxpexg 7597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (𝑀 × 𝑀) ∈ V)
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑀 × 𝑀) ∈ V)
7		inex1g 5247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 × 𝑀) ∈ V → ((𝑀 × 𝑀) ∩ E ) ∈ V)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → ((𝑀 × 𝑀) ∩ E ) ∈ V)
9	4, 8	eqeltrid 2845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V)
10	3, 9	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V))
11	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V))
12		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → 𝑈 ∈ (Fmla‘ω))
13	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → 𝑈 ∈ (Fmla‘ω))
14		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈))
15	11, 13, 14	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)))
16	15	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈))))
17	2, 16	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ 𝑈) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈))))
18	17	3impia 1116	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ 𝑈)) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)))
19		satfvel 33362	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → 𝑆:ω⟶𝑀)
20	18, 19	syl 17	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ 𝑈)) → 𝑆:ω⟶𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2110  Vcvv 3431   ∩ cin 3891   E cep 5494   × cxp 5587  ⟶wf 6427  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  ωcom 7701   Sat csat 33286  Fmlacfmla 33287   Sat_∈ csate 33288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9369  ax-ac2 10212

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-1o 8282  df-2o 8283  df-er 8473  df-map 8592  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-fin 8712  df-card 9690  df-ac 9865  df-goel 33290  df-gona 33291  df-goal 33292  df-sat 33293  df-sate 33294  df-fmla 33295

This theorem is referenced by:  sate0fv0  33367