Theorem satef 35651

Description: The simplified satisfaction predicate as function over wff codes over an empty model. (Contributed by AV, 30-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
satef	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ 𝑈)) → 𝑆:ω⟶𝑀)

Proof of Theorem satef

Step	Hyp	Ref	Expression
1		satefv 35649	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑀 Sat∈ 𝑈) = (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈))
2	1	eleq2d 2826	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ 𝑈) ↔ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)))
3		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → 𝑀 ∈ 𝑉)
4		incom 4145	. . . . . . . . 9 ⊢ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) = ((𝑀 × 𝑀) ∩ E )
5		sqxpexg 7705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (𝑀 × 𝑀) ∈ V)
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑀 × 𝑀) ∈ V)
7		inex1g 5254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 × 𝑀) ∈ V → ((𝑀 × 𝑀) ∩ E ) ∈ V)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → ((𝑀 × 𝑀) ∩ E ) ∈ V)
9	4, 8	eqeltrid 2844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V)
10	3, 9	jca 516	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V))
11	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V))
12		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → 𝑈 ∈ (Fmla‘ω))
13	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → 𝑈 ∈ (Fmla‘ω))
14		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈))
15	11, 13, 14	3jca 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)))
16	15	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈))))
17	2, 16	sylbid 241	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ 𝑈) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈))))
18	17	3impia 1123	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ 𝑈)) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)))
19		satfvel 35647	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → 𝑆:ω⟶𝑀)
20	18, 19	syl 17	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ 𝑈)) → 𝑆:ω⟶𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ∩ cin 3889   E cep 5524   × cxp 5623  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ωcom 7813   Sat csat 35571  Fmlacfmla 35572   Sat_∈ csate 35573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-ac2 10383

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-ac 10036  df-goel 35575  df-gona 35576  df-goal 35577  df-sat 35578  df-sate 35579  df-fmla 35580

This theorem is referenced by:  sate0fv0  35652