Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  satef Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem satef 34705
Description: The simplified satisfaction predicate as function over wff codes over an empty model. (Contributed by AV, 30-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
satef ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) ∧ 𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑆:Ο‰βŸΆπ‘€)
Proof of Theorem satef
StepHypRef Expression
1 satefv 34703 . . . . 5 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰)) β†’ (𝑀 Sat∈ π‘ˆ) = (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ))
21eleq2d 2817 . . . 4 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰)) β†’ (𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ π‘ˆ) ↔ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ)))
3 simpl 481 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
4 incom 4200 . . . . . . . . 9 ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)) = ((𝑀 Γ— 𝑀) ∩ E )
5 sqxpexg 7744 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Γ— 𝑀) ∈ V)
65adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰)) β†’ (𝑀 Γ— 𝑀) ∈ V)
7 inex1g 5318 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 Γ— 𝑀) ∈ V β†’ ((𝑀 Γ— 𝑀) ∩ E ) ∈ V)
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰)) β†’ ((𝑀 Γ— 𝑀) ∩ E ) ∈ V)
94, 8eqeltrid 2835 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰)) β†’ ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)) ∈ V)
103, 9jca 510 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰)) β†’ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)) ∈ V))
1110adantr 479 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)) ∈ V))
12 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰)) β†’ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰))
1312adantr 479 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰))
14 simpr 483 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ))
1511, 13, 143jca 1126 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)) ∈ V) ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ)))
1615ex 411 . . . 4 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰)) β†’ (𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)) ∈ V) ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ))))
172, 16sylbid 239 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰)) β†’ (𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)) ∈ V) ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ))))
18173impia 1115 . 2 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) ∧ 𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)) ∈ V) ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ)))
19 satfvel 34701 . 2 (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)) ∈ V) ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 Γ— 𝑀)))β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑆:Ο‰βŸΆπ‘€)
2018, 19syl 17 1 ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) ∧ 𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑆:Ο‰βŸΆπ‘€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   E cep 5578   Γ— cxp 5673  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   Sat csat 34625  Fmlacfmla 34626   Sat∈ csate 34627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-ac 10113  df-goel 34629  df-gona 34630  df-goal 34631  df-sat 34632  df-sate 34633  df-fmla 34634
This theorem is referenced by:  sate0fv0  34706
  Copyright terms: Public domain W3C validator