Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  satef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem satef 35157
Description: The simplified satisfaction predicate as function over wff codes over an empty model. (Contributed by AV, 30-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
satef ((𝑀𝑉𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (𝑀 Sat 𝑈)) → 𝑆:ω⟶𝑀)

Proof of Theorem satef
StepHypRef Expression
1 satefv 35155 . . . . 5 ((𝑀𝑉𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑀 Sat 𝑈) = (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈))
21eleq2d 2811 . . . 4 ((𝑀𝑉𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑆 ∈ (𝑀 Sat 𝑈) ↔ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)))
3 simpl 481 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑉𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → 𝑀𝑉)
4 incom 4199 . . . . . . . . 9 ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) = ((𝑀 × 𝑀) ∩ E )
5 sqxpexg 7758 . . . . . . . . . . 11 (𝑀𝑉 → (𝑀 × 𝑀) ∈ V)
65adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑉𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑀 × 𝑀) ∈ V)
7 inex1g 5320 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 × 𝑀) ∈ V → ((𝑀 × 𝑀) ∩ E ) ∈ V)
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑉𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → ((𝑀 × 𝑀) ∩ E ) ∈ V)
94, 8eqeltrid 2829 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑉𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V)
103, 9jca 510 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑀𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V))
1110adantr 479 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → (𝑀𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V))
12 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → 𝑈 ∈ (Fmla‘ω))
1312adantr 479 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → 𝑈 ∈ (Fmla‘ω))
14 simpr 483 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈))
1511, 13, 143jca 1125 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → ((𝑀𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)))
1615ex 411 . . . 4 ((𝑀𝑉𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈) → ((𝑀𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈))))
172, 16sylbid 239 . . 3 ((𝑀𝑉𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑆 ∈ (𝑀 Sat 𝑈) → ((𝑀𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈))))
18173impia 1114 . 2 ((𝑀𝑉𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (𝑀 Sat 𝑈)) → ((𝑀𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)))
19 satfvel 35153 . 2 (((𝑀𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → 𝑆:ω⟶𝑀)
2018, 19syl 17 1 ((𝑀𝑉𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (𝑀 Sat 𝑈)) → 𝑆:ω⟶𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084  wcel 2098  Vcvv 3461  cin 3943   E cep 5581   × cxp 5676  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  ωcom 7871   Sat csat 35077  Fmlacfmla 35078   Sat csate 35079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-ac2 10488
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-ac 10141  df-goel 35081  df-gona 35082  df-goal 35083  df-sat 35084  df-sate 35085  df-fmla 35086
This theorem is referenced by:  sate0fv0  35158
  Copyright terms: Public domain W3C validator