Theorem satef 35889

Description: The simplified satisfaction predicate as function over wff codes over an empty model. (Contributed by AV, 30-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
satef	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ 𝑈)) → 𝑆:ω⟶𝑀)

Proof of Theorem satef

Step	Hyp	Ref	Expression
1		satefv 35887	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑀 Sat∈ 𝑈) = (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈))
2	1	eleq2d 2849	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ 𝑈) ↔ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)))
3		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → 𝑀 ∈ 𝑉)
4		incom 4163	. . . . . . . . 9 ⊢ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) = ((𝑀 × 𝑀) ∩ E )
5		sqxpexg 7755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (𝑀 × 𝑀) ∈ V)
6	5	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑀 × 𝑀) ∈ V)
7		inex1g 5289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 × 𝑀) ∈ V → ((𝑀 × 𝑀) ∩ E ) ∈ V)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → ((𝑀 × 𝑀) ∩ E ) ∈ V)
9	4, 8	eqeltrid 2867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V)
10	3, 9	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V))
11	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V))
12		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → 𝑈 ∈ (Fmla‘ω))
13	12	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → 𝑈 ∈ (Fmla‘ω))
14		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈))
15	11, 13, 14	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)))
16	15	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈))))
17	2, 16	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ 𝑈) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈))))
18	17	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ 𝑈)) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)))
19		satfvel 35885	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑈)) → 𝑆:ω⟶𝑀)
20	18, 19	syl 18	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (𝑀 Sat∈ 𝑈)) → 𝑆:ω⟶𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∩ cin 3905   E cep 5562   × cxp 5661  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ωcom 7863   Sat csat 35809  Fmlacfmla 35810   Sat_∈ csate 35811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-ac2 10448

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-ac 10101  df-goel 35813  df-gona 35814  df-goal 35815  df-sat 35816  df-sate 35817  df-fmla 35818

This theorem is referenced by:  sate0fv0  35890