Theorem seqn0sfn 28240

Description: The surreal sequence builder is a function over ℕ_0s when started from zero. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
seqn0sfn	⊢ (𝜑 → seqs 0s ( + , 𝐹) Fn ℕ0s)

Proof of Theorem seqn0sfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0sno 27779	. . 3 ⊢ 0s ∈ No
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
3		df-n0s 28207	. . 3 ⊢ ℕ0s = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 0s ) “ ω)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℕ0s = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 0s ) “ ω))
5	2, 4	seqsfn 28202	1 ⊢ (𝜑 → seqs 0s ( + , 𝐹) Fn ℕ0s)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5235   “ cima 5685   Fn wfn 6548  (class class class)co 7426  ωcom 7876  reccrdg 8436   No csur 27593   0_s c0s 27775   1_s c1s 27776   +_s cadds 27896  seq_scseqs 28176  ℕ_0scnn0s 28205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-nadd 8693  df-no 27596  df-slt 27597  df-bday 27598  df-sle 27698  df-sslt 27734  df-scut 27736  df-0s 27777  df-1s 27778  df-made 27794  df-old 27795  df-left 27797  df-right 27798  df-norec2 27886  df-adds 27897  df-seqs 28177  df-n0s 28207

This theorem is referenced by: (None)