Theorem n0cutlt 28563

Description: A non-negative surreal integer is the simplest number greater than all previous non-negative surreal integers. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0cutlt	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({𝑥 ∈ ℕ0s ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem n0cutlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0on 28540	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)
2		oncutlt 28468	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 = ({𝑥 ∈ Ons ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({𝑥 ∈ Ons ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))
4		onltn0s 28562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Ons ∧ 𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0s)
5	4	3expib 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Ons → ((𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0s))
6	5	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴) → (𝑥 ∈ Ons → 𝑥 ∈ ℕ0s))
7		n0on 28540	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0s → 𝑥 ∈ Ons)
8	6, 7	impbid1 228	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴) → (𝑥 ∈ Ons ↔ 𝑥 ∈ ℕ0s))
9	8	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (𝑥 <s 𝐴 → (𝑥 ∈ Ons ↔ 𝑥 ∈ ℕ0s)))
10	9	pm5.32rd 588	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ((𝑥 ∈ Ons ∧ 𝑥 <s 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴)))
11	10	rabbidva2 3417	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → {𝑥 ∈ Ons ∣ 𝑥 <s 𝐴} = {𝑥 ∈ ℕ0s ∣ 𝑥 <s 𝐴})
12	11	oveq1d 7427	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ({𝑥 ∈ Ons ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅) = ({𝑥 ∈ ℕ0s ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))
13	3, 12	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({𝑥 ∈ ℕ0s ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  {crab 3415  ∅c0 4285   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412   <s clts 27816   |s ccuts 27963  On_scons 28455  ℕ_0scn0s 28516

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-ac2 10453

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-ot 4597  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-nadd 8650  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945  df-card 9932  df-acn 9935  df-ac 10107  df-no 27818  df-lts 27819  df-bday 27820  df-les 27920  df-slts 27962  df-cuts 27964  df-0s 28011  df-1s 28012  df-made 28031  df-old 28032  df-new 28033  df-left 28034  df-right 28035  df-norec 28142  df-norec2 28153  df-adds 28164  df-negs 28225  df-subs 28226  df-ons 28456  df-n0s 28518

This theorem is used by: (None)