Theorem n0cutlt 28359

Description: A non-negative surreal integer is the simplest number greater than all previous non-negative surreal integers. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0cutlt	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({𝑥 ∈ ℕ0s ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem n0cutlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0on 28336	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)
2		oncutlt 28264	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 = ({𝑥 ∈ Ons ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({𝑥 ∈ Ons ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))
4		onltn0s 28358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Ons ∧ 𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0s)
5	4	3expib 1123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Ons → ((𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0s))
6	5	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴) → (𝑥 ∈ Ons → 𝑥 ∈ ℕ0s))
7		n0on 28336	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0s → 𝑥 ∈ Ons)
8	6, 7	impbid1 225	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴) → (𝑥 ∈ Ons ↔ 𝑥 ∈ ℕ0s))
9	8	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (𝑥 <s 𝐴 → (𝑥 ∈ Ons ↔ 𝑥 ∈ ℕ0s)))
10	9	pm5.32rd 578	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ((𝑥 ∈ Ons ∧ 𝑥 <s 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴)))
11	10	rabbidva2 3402	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → {𝑥 ∈ Ons ∣ 𝑥 <s 𝐴} = {𝑥 ∈ ℕ0s ∣ 𝑥 <s 𝐴})
12	11	oveq1d 7375	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ({𝑥 ∈ Ons ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅) = ({𝑥 ∈ ℕ0s ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))
13	3, 12	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({𝑥 ∈ ℕ0s ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3400  ∅c0 4286   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360   <s clts 27612   |s ccuts 27759  On_scons 28251  ℕ_0scn0s 28312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-ac2 10377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-nadd 8596  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-fin 8891  df-card 9855  df-acn 9858  df-ac 10030  df-no 27614  df-lts 27615  df-bday 27616  df-les 27717  df-slts 27758  df-cuts 27760  df-0s 27807  df-1s 27808  df-made 27827  df-old 27828  df-new 27829  df-left 27830  df-right 27831  df-norec 27938  df-norec2 27949  df-adds 27960  df-negs 28021  df-subs 28022  df-ons 28252  df-n0s 28314

This theorem is referenced by: (None)