Theorem n0cutlt 28336

Description: A non-negative surreal integer is the simplest number greater than all previous non-negative surreal integers. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0cutlt	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({𝑥 ∈ ℕ0s ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem n0cutlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0ons 28314	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)
2		onscutlt 28243	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 = ({𝑥 ∈ Ons ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({𝑥 ∈ Ons ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))
4		onltn0s 28335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Ons ∧ 𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0s)
5	4	3expib 1123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Ons → ((𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0s))
6	5	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴) → (𝑥 ∈ Ons → 𝑥 ∈ ℕ0s))
7		n0ons 28314	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0s → 𝑥 ∈ Ons)
8	6, 7	impbid1 225	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴) → (𝑥 ∈ Ons ↔ 𝑥 ∈ ℕ0s))
9	8	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (𝑥 <s 𝐴 → (𝑥 ∈ Ons ↔ 𝑥 ∈ ℕ0s)))
10	9	pm5.32rd 578	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ((𝑥 ∈ Ons ∧ 𝑥 <s 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴)))
11	10	rabbidva2 3400	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → {𝑥 ∈ Ons ∣ 𝑥 <s 𝐴} = {𝑥 ∈ ℕ0s ∣ 𝑥 <s 𝐴})
12	11	oveq1d 7373	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ({𝑥 ∈ Ons ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅) = ({𝑥 ∈ ℕ0s ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))
13	3, 12	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({𝑥 ∈ ℕ0s ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3398  ∅c0 4284   class class class wbr 5097  (class class class)co 7358   <s cslt 27610   |s cscut 27757  On_scons 28230  ℕ_0scnn0s 28291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-ac2 10375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-nadd 8594  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-fin 8889  df-card 9853  df-acn 9856  df-ac 10028  df-no 27612  df-slt 27613  df-bday 27614  df-sle 27715  df-sslt 27756  df-scut 27758  df-0s 27803  df-1s 27804  df-made 27823  df-old 27824  df-new 27825  df-left 27826  df-right 27827  df-norec 27918  df-norec2 27929  df-adds 27940  df-negs 28001  df-subs 28002  df-ons 28231  df-n0s 28293

This theorem is referenced by: (None)