Theorem n0cutlt 28678

Description: A non-negative surreal integer is the simplest number greater than all previous non-negative surreal integers. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0cutlt	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({𝑥 ∈ ℕ0s ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem n0cutlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0on 28655	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)
2		oncutlt 28583	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 = ({𝑥 ∈ Ons ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({𝑥 ∈ Ons ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))
4		onltn0s 28677	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Ons ∧ 𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0s)
5	4	3expib 1140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Ons → ((𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0s))
6	5	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴) → (𝑥 ∈ Ons → 𝑥 ∈ ℕ0s))
7		n0on 28655	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0s → 𝑥 ∈ Ons)
8	6, 7	impbid1 228	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴) → (𝑥 ∈ Ons ↔ 𝑥 ∈ ℕ0s))
9	8	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (𝑥 <s 𝐴 → (𝑥 ∈ Ons ↔ 𝑥 ∈ ℕ0s)))
10	9	pm5.32rd 589	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ((𝑥 ∈ Ons ∧ 𝑥 <s 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴)))
11	10	rabbidva2 3414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → {𝑥 ∈ Ons ∣ 𝑥 <s 𝐴} = {𝑥 ∈ ℕ0s ∣ 𝑥 <s 𝐴})
12	11	oveq1d 7423	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ({𝑥 ∈ Ons ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅) = ({𝑥 ∈ ℕ0s ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))
13	3, 12	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({𝑥 ∈ ℕ0s ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  (class class class)co 7408   <s clts 27931   |s ccuts 28078  On_scons 28570  ℕ_0scn0s 28631

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-nadd 8653  df-en 8952  df-dom 8953  df-fin 8955  df-no 27933  df-lts 27934  df-bday 27935  df-les 28035  df-slts 28077  df-cuts 28079  df-0s 28126  df-1s 28127  df-made 28146  df-old 28147  df-new 28148  df-left 28149  df-right 28150  df-norec 28257  df-norec2 28268  df-adds 28279  df-negs 28340  df-subs 28341  df-ons 28571  df-n0s 28633

This theorem is used by: (None)