Theorem n0cutlt 28745

Description: A non-negative surreal integer is the simplest number greater than all previous non-negative surreal integers. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0cutlt	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({𝑥 ∈ ℕ0s ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem n0cutlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0on 28722	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)
2		oncutlt 28650	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 = ({𝑥 ∈ Ons ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({𝑥 ∈ Ons ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))
4		onltn0s 28744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ Ons ∧ 𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0s)
5	4	3expib 1140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Ons → ((𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ0s))
6	5	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴) → (𝑥 ∈ Ons → 𝑥 ∈ ℕ0s))
7		n0on 28722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0s → 𝑥 ∈ Ons)
8	6, 7	impbid1 228	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴) → (𝑥 ∈ Ons ↔ 𝑥 ∈ ℕ0s))
9	8	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (𝑥 <s 𝐴 → (𝑥 ∈ Ons ↔ 𝑥 ∈ ℕ0s)))
10	9	pm5.32rd 589	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ((𝑥 ∈ Ons ∧ 𝑥 <s 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0s ∧ 𝑥 <s 𝐴)))
11	10	rabbidva2 3414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → {𝑥 ∈ Ons ∣ 𝑥 <s 𝐴} = {𝑥 ∈ ℕ0s ∣ 𝑥 <s 𝐴})
12	11	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ({𝑥 ∈ Ons ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅) = ({𝑥 ∈ ℕ0s ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))
13	3, 12	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({𝑥 ∈ ℕ0s ∣ 𝑥 <s 𝐴} |s ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420   <s clts 27998   |s ccuts 28145  On_scons 28637  ℕ_0scn0s 28698

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-nadd 8675  df-en 8974  df-dom 8975  df-fin 8977  df-no 28000  df-lts 28001  df-bday 28002  df-les 28102  df-slts 28144  df-cuts 28146  df-0s 28193  df-1s 28194  df-made 28213  df-old 28214  df-new 28215  df-left 28216  df-right 28217  df-norec 28324  df-norec2 28335  df-adds 28346  df-negs 28407  df-subs 28408  df-ons 28638  df-n0s 28700

This theorem is used by: (None)