Theorem sgnclre 34543

Description: Closure of the signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnclre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem sgnclre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1rr 12382	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℝ
2		0re 11264	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 11262	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		tpssi 4837	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → {-1, 0, 1} ⊆ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1462	. 2 ⊢ {-1, 0, 1} ⊆ ℝ
6		rexr 11308	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7		sgncl 34542	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘𝐴) ∈ {-1, 0, 1})
9	5, 8	sselid 3980	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950  {ctp 4629  ‘cfv 6560  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157  ℝ^*cxr 11295  -cneg 11494  sgncsgn 15126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-sub 11495  df-neg 11496  df-sgn 15127

This theorem is referenced by:  sgnmul  34546  sgnmulrp2  34547  signstf0  34584  signstfvneq0  34588  signsvfn  34598  signsvfpn  34601  signsvfnn  34602