Theorem signsvfpn 33286

Description: Adding a letter of the same sign as the highest coefficient does not change the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0	⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvf.b	⊢ 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))

Assertion

Ref	Expression
signsvfpn	⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑛,𝐴,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvfpn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsvf.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		signsvf.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))
4		signsvf.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
5	4	eldifad 3925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word ℝ)
6		wrdf 14419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
8		signsvf.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
9	8	oveq1i 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
10		eldifsn 4752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
11	4, 10	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
12		lennncl 14434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
13		fzo0end 13674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
15	9, 14	eqeltrid 2836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
16	7, 15	ffvelcdmd 7041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
18	3, 17	eqeltrid 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
19	2, 18	mulcomd 11185	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
20	19	breq2d 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < (𝐵 · 𝐴)))
21	3, 16	eqeltrid 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
22		sgnmulsgp 33239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
23	1, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
24	20, 23	bitr3d 280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐵 · 𝐴) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
25	24	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
26	4	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
27	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
28	2	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
29		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 0 < (𝐵 · 𝐴))
30	29	gt0ne0d 11728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (𝐵 · 𝐴) ≠ 0)
31	27, 28, 30	mulne0bad 11819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐵 ≠ 0)
32	3, 31	eqnetrrid 3015	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
33		signsv.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
34		signsv.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
35		signsv.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
36		signsv.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
37	33, 34, 35, 36, 8	signsvtn0 33271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1))))
38	3	fveq2i 6850	. . . . . . . . 9 ⊢ (sgn‘𝐵) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1)))
39	37, 38	eqtr4di 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
40	26, 32, 39	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
41	40	fveq2d 6851	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘(sgn‘𝐵)))
42	21	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
43	42	rexrd 11214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44		sgnsgn 33237	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
45	43, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
46	41, 45	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘𝐵))
47	46	oveq2d 7378	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
48	25, 47	breqtrrd 5138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))))
49	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
50		sgnclre 33228	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
51	42, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
52	40, 51	eqeltrd 2832	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
53		sgnmulsgp 33239	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))))))
54	49, 52, 53	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (0 < (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))))))
55	48, 54	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 0 < (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))))
56		signsvf.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
57		signsvf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
58		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))
59	33, 34, 35, 36, 4, 56, 57, 1, 8, 58	signsvtp 33284	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))
60	55, 59	syldan 591	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3910  ∅c0 4287  ifcif 4491  {csn 4591  {cpr 4593  {ctp 4595  ⟨cop 4597   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  ℂcc 11058  ℝcr 11059  0cc0 11060  1c1 11061   · cmul 11065  ℝ^*cxr 11197   < clt 11198   − cmin 11394  -cneg 11395  ℕcn 12162  ...cfz 13434  ..^cfzo 13577  ♯chash 14240  Word cword 14414   ++ cconcat 14470  ⟨“cs1 14495  sgncsgn 14983  Σcsu 15582  ndxcnx 17076  Basecbs 17094  +_gcplusg 17147   Σ_g cgsu 17336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9387  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12423  df-xnn0 12495  df-z 12509  df-uz 12773  df-rp 12925  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-word 14415  df-lsw 14463  df-concat 14471  df-s1 14496  df-substr 14541  df-pfx 14571  df-sgn 14984  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-clim 15382  df-sum 15583  df-struct 17030  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-plusg 17160  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-mulg 18887  df-cntz 19111

This theorem is referenced by: (None)