Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvfpn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem signsvfpn 34126
Description: Adding a letter of the same sign as the highest coefficient does not change the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
signsv.w π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
signsvf.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
signsvf.0 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜0) β‰  0)
signsvf.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝐸 ++ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ©))
signsvf.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n 𝑁 = (β™―β€˜πΈ)
signsvf.b 𝐡 = (πΈβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))
Assertion
Ref Expression
signsvfpn ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΈ))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,π‘Š,𝑖,𝑛   𝑓,π‘Ž,𝑖,𝑗,𝑛,𝐴,𝑏   𝐸,π‘Ž,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑁,π‘Ž,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   𝐡(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,π‘Ž,𝑏)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   π‘Š(𝑗,π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem signsvfpn
StepHypRef Expression
1 signsvf.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 11246 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3 signsvf.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (πΈβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))
4 signsvf.e . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
54eldifad 3955 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ Word ℝ)
6 wrdf 14475 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ Word ℝ β†’ 𝐸:(0..^(β™―β€˜πΈ))βŸΆβ„)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸:(0..^(β™―β€˜πΈ))βŸΆβ„)
8 signsvf.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (β™―β€˜πΈ)
98oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 βˆ’ 1) = ((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)
10 eldifsn 4785 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 β‰  βˆ…))
114, 10sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 β‰  βˆ…))
12 lennncl 14490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΈ) ∈ β„•)
13 fzo0end 13730 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜πΈ) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΈ)))
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΈ)))
159, 14eqeltrid 2831 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΈ)))
167, 15ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
1716recnd 11246 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
183, 17eqeltrid 2831 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
192, 18mulcomd 11239 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝐡) = (𝐡 Β· 𝐴))
2019breq2d 5153 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 < (𝐴 Β· 𝐡) ↔ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)))
213, 16eqeltrid 2831 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
22 sgnmulsgp 34079 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (0 < (𝐴 Β· 𝐡) ↔ 0 < ((sgnβ€˜π΄) Β· (sgnβ€˜π΅))))
231, 21, 22syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 < (𝐴 Β· 𝐡) ↔ 0 < ((sgnβ€˜π΄) Β· (sgnβ€˜π΅))))
2420, 23bitr3d 281 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 < (𝐡 Β· 𝐴) ↔ 0 < ((sgnβ€˜π΄) Β· (sgnβ€˜π΅))))
2524biimpa 476 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 0 < ((sgnβ€˜π΄) Β· (sgnβ€˜π΅)))
264adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
2718adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
282adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
29 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 0 < (𝐡 Β· 𝐴))
3029gt0ne0d 11782 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ (𝐡 Β· 𝐴) β‰  0)
3127, 28, 30mulne0bad 11873 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 𝐡 β‰  0)
323, 31eqnetrrid 3010 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ (πΈβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β‰  0)
33 signsv.p . . . . . . . . . 10 ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
34 signsv.w . . . . . . . . . 10 π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
35 signsv.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
36 signsv.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
3733, 34, 35, 36, 8signsvtn0 34111 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΈβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β‰  0) β†’ ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = (sgnβ€˜(πΈβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))))
383fveq2i 6888 . . . . . . . . 9 (sgnβ€˜π΅) = (sgnβ€˜(πΈβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
3937, 38eqtr4di 2784 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΈβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β‰  0) β†’ ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = (sgnβ€˜π΅))
4026, 32, 39syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = (sgnβ€˜π΅))
4140fveq2d 6889 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ (sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) = (sgnβ€˜(sgnβ€˜π΅)))
4221adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4342rexrd 11268 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
44 sgnsgn 34077 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ ℝ* β†’ (sgnβ€˜(sgnβ€˜π΅)) = (sgnβ€˜π΅))
4543, 44syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ (sgnβ€˜(sgnβ€˜π΅)) = (sgnβ€˜π΅))
4641, 45eqtrd 2766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ (sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) = (sgnβ€˜π΅))
4746oveq2d 7421 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ ((sgnβ€˜π΄) Β· (sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) = ((sgnβ€˜π΄) Β· (sgnβ€˜π΅)))
4825, 47breqtrrd 5169 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 0 < ((sgnβ€˜π΄) Β· (sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))))
491adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
50 sgnclre 34068 . . . . . 6 (𝐡 ∈ ℝ β†’ (sgnβ€˜π΅) ∈ ℝ)
5142, 50syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ (sgnβ€˜π΅) ∈ ℝ)
5240, 51eqeltrd 2827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
53 sgnmulsgp 34079 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ) β†’ (0 < (𝐴 Β· ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) ↔ 0 < ((sgnβ€˜π΄) Β· (sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))))))
5449, 52, 53syl2anc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ (0 < (𝐴 Β· ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) ↔ 0 < ((sgnβ€˜π΄) Β· (sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))))))
5548, 54mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 0 < (𝐴 Β· ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))))
56 signsvf.0 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜0) β‰  0)
57 signsvf.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝐸 ++ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ©))
58 eqid 2726 . . 3 ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))
5933, 34, 35, 36, 4, 56, 57, 1, 8, 58signsvtp 34124 . 2 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐴 Β· ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΈ))
6055, 59syldan 590 1 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΈ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βˆ– cdif 3940  βˆ…c0 4317  ifcif 4523  {csn 4623  {cpr 4625  {ctp 4627  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  β„•cn 12216  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  β™―chash 14295  Word cword 14470   ++ cconcat 14526  βŸ¨β€œcs1 14551  sgncsgn 15039  Ξ£csu 15638  ndxcnx 17135  Basecbs 17153  +gcplusg 17206   Ξ£g cgsu 17395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-sgn 15040  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mulg 18996  df-cntz 19233
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator