Theorem signsvfpn 32464

Description: Adding a letter of the same sign as the highest coefficient does not change the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0	⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvf.b	⊢ 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))

Assertion

Ref	Expression
signsvfpn	⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑛,𝐴,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvfpn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsvf.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		signsvf.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))
4		signsvf.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
5	4	eldifad 3895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word ℝ)
6		wrdf 14150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
8		signsvf.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
9	8	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
10		eldifsn 4717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
11	4, 10	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
12		lennncl 14165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
13		fzo0end 13407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
15	9, 14	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
16	7, 15	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
17	16	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
18	3, 17	eqeltrid 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
19	2, 18	mulcomd 10927	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
20	19	breq2d 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < (𝐵 · 𝐴)))
21	3, 16	eqeltrid 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
22		sgnmulsgp 32417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
23	1, 21, 22	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
24	20, 23	bitr3d 280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐵 · 𝐴) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
25	24	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
26	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
27	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
28	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
29		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 0 < (𝐵 · 𝐴))
30	29	gt0ne0d 11469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (𝐵 · 𝐴) ≠ 0)
31	27, 28, 30	mulne0bad 11560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐵 ≠ 0)
32	3, 31	eqnetrrid 3018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
33		signsv.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
34		signsv.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
35		signsv.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
36		signsv.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
37	33, 34, 35, 36, 8	signsvtn0 32449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1))))
38	3	fveq2i 6759	. . . . . . . . 9 ⊢ (sgn‘𝐵) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1)))
39	37, 38	eqtr4di 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
40	26, 32, 39	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
41	40	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘(sgn‘𝐵)))
42	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
43	42	rexrd 10956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44		sgnsgn 32415	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
45	43, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
46	41, 45	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘𝐵))
47	46	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
48	25, 47	breqtrrd 5098	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))))
49	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
50		sgnclre 32406	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
51	42, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
52	40, 51	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
53		sgnmulsgp 32417	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))))))
54	49, 52, 53	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (0 < (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))))))
55	48, 54	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 0 < (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))))
56		signsvf.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
57		signsvf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
58		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))
59	33, 34, 35, 36, 4, 56, 57, 1, 8, 58	signsvtp 32462	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))
60	55, 59	syldan 590	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880  ∅c0 4253  ifcif 4456  {csn 4558  {cpr 4560  {ctp 4562  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   − cmin 11135  -cneg 11136  ℕcn 11903  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145   ++ cconcat 14201  ⟨“cs1 14228  sgncsgn 14725  Σcsu 15325  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888   Σ_g cgsu 17068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-word 14146  df-lsw 14194  df-concat 14202  df-s1 14229  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-sgn 14726  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mulg 18616  df-cntz 18838

This theorem is referenced by: (None)