Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvfpn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem signsvfpn 34274
Description: Adding a letter of the same sign as the highest coefficient does not change the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
signsv.w π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
signsvf.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
signsvf.0 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜0) β‰  0)
signsvf.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝐸 ++ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ©))
signsvf.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n 𝑁 = (β™―β€˜πΈ)
signsvf.b 𝐡 = (πΈβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))
Assertion
Ref Expression
signsvfpn ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΈ))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,π‘Š,𝑖,𝑛   𝑓,π‘Ž,𝑖,𝑗,𝑛,𝐴,𝑏   𝐸,π‘Ž,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑁,π‘Ž,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   𝐡(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,π‘Ž,𝑏)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   π‘Š(𝑗,π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem signsvfpn
StepHypRef Expression
1 signsvf.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 11272 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3 signsvf.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (πΈβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))
4 signsvf.e . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
54eldifad 3951 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ Word ℝ)
6 wrdf 14501 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ Word ℝ β†’ 𝐸:(0..^(β™―β€˜πΈ))βŸΆβ„)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸:(0..^(β™―β€˜πΈ))βŸΆβ„)
8 signsvf.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (β™―β€˜πΈ)
98oveq1i 7426 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 βˆ’ 1) = ((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1)
10 eldifsn 4786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 β‰  βˆ…))
114, 10sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 β‰  βˆ…))
12 lennncl 14516 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΈ) ∈ β„•)
13 fzo0end 13756 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜πΈ) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΈ)))
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜πΈ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΈ)))
159, 14eqeltrid 2829 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΈ)))
167, 15ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
1716recnd 11272 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
183, 17eqeltrid 2829 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
192, 18mulcomd 11265 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝐡) = (𝐡 Β· 𝐴))
2019breq2d 5155 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 < (𝐴 Β· 𝐡) ↔ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)))
213, 16eqeltrid 2829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
22 sgnmulsgp 34227 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (0 < (𝐴 Β· 𝐡) ↔ 0 < ((sgnβ€˜π΄) Β· (sgnβ€˜π΅))))
231, 21, 22syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 < (𝐴 Β· 𝐡) ↔ 0 < ((sgnβ€˜π΄) Β· (sgnβ€˜π΅))))
2420, 23bitr3d 280 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 < (𝐡 Β· 𝐴) ↔ 0 < ((sgnβ€˜π΄) Β· (sgnβ€˜π΅))))
2524biimpa 475 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 0 < ((sgnβ€˜π΄) Β· (sgnβ€˜π΅)))
264adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
2718adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
282adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
29 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 0 < (𝐡 Β· 𝐴))
3029gt0ne0d 11808 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ (𝐡 Β· 𝐴) β‰  0)
3127, 28, 30mulne0bad 11899 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 𝐡 β‰  0)
323, 31eqnetrrid 3006 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ (πΈβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β‰  0)
33 signsv.p . . . . . . . . . 10 ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
34 signsv.w . . . . . . . . . 10 π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
35 signsv.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
36 signsv.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
3733, 34, 35, 36, 8signsvtn0 34259 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΈβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β‰  0) β†’ ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = (sgnβ€˜(πΈβ€˜(𝑁 βˆ’ 1))))
383fveq2i 6895 . . . . . . . . 9 (sgnβ€˜π΅) = (sgnβ€˜(πΈβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
3937, 38eqtr4di 2783 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΈβ€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β‰  0) β†’ ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = (sgnβ€˜π΅))
4026, 32, 39syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = (sgnβ€˜π΅))
4140fveq2d 6896 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ (sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) = (sgnβ€˜(sgnβ€˜π΅)))
4221adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4342rexrd 11294 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
44 sgnsgn 34225 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ ℝ* β†’ (sgnβ€˜(sgnβ€˜π΅)) = (sgnβ€˜π΅))
4543, 44syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ (sgnβ€˜(sgnβ€˜π΅)) = (sgnβ€˜π΅))
4641, 45eqtrd 2765 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ (sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) = (sgnβ€˜π΅))
4746oveq2d 7432 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ ((sgnβ€˜π΄) Β· (sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) = ((sgnβ€˜π΄) Β· (sgnβ€˜π΅)))
4825, 47breqtrrd 5171 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 0 < ((sgnβ€˜π΄) Β· (sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))))
491adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
50 sgnclre 34216 . . . . . 6 (𝐡 ∈ ℝ β†’ (sgnβ€˜π΅) ∈ ℝ)
5142, 50syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ (sgnβ€˜π΅) ∈ ℝ)
5240, 51eqeltrd 2825 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
53 sgnmulsgp 34227 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ) β†’ (0 < (𝐴 Β· ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) ↔ 0 < ((sgnβ€˜π΄) Β· (sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))))))
5449, 52, 53syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ (0 < (𝐴 Β· ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))) ↔ 0 < ((sgnβ€˜π΄) Β· (sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))))))
5548, 54mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ 0 < (𝐴 Β· ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))))
56 signsvf.0 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜0) β‰  0)
57 signsvf.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝐸 ++ βŸ¨β€œπ΄β€βŸ©))
58 eqid 2725 . . 3 ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) = ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1))
5933, 34, 35, 36, 4, 56, 57, 1, 8, 58signsvtp 34272 . 2 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐴 Β· ((π‘‡β€˜πΈ)β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΈ))
6055, 59syldan 589 1 ((πœ‘ ∧ 0 < (𝐡 Β· 𝐴)) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) = (π‘‰β€˜πΈ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βˆ– cdif 3936  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624  {cpr 4626  {ctp 4628  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   Β· cmul 11143  β„*cxr 11277   < clt 11278   βˆ’ cmin 11474  -cneg 11475  β„•cn 12242  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659  β™―chash 14321  Word cword 14496   ++ cconcat 14552  βŸ¨β€œcs1 14577  sgncsgn 15065  Ξ£csu 15664  ndxcnx 17161  Basecbs 17179  +gcplusg 17232   Ξ£g cgsu 17421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-word 14497  df-lsw 14545  df-concat 14553  df-s1 14578  df-substr 14623  df-pfx 14653  df-sgn 15066  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mulg 19028  df-cntz 19272
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator