Theorem signsvfpn 35207

Description: Adding a letter of the same sign as the highest coefficient does not change the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0	⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvf.b	⊢ 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))

Assertion

Ref	Expression
signsvfpn	⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑛,𝐴,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝐵(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   ⨣ (𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗, 𝑎, 𝑏)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑗, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem signsvfpn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsvf.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		signsvf.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))
4		signsvf.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
5	4	eldifad 3911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word ℝ)
6		wrdf 14656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
8		signsvf.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
9	8	oveq1i 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
10		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
11	4, 10	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
12		lennncl 14672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
13		fzo0end 13886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
14	11, 12, 13	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
15	9, 14	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
16	7, 15	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
17	16	recnd 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
18	3, 17	eqeltrid 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
19	2, 18	mulcomd 11323	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
20	19	breq2d 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < (𝐵 · 𝐴)))
21	3, 16	eqeltrid 2865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
22		sgnmulsgp 33416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
23	1, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
24	20, 23	bitr3d 284	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < (𝐵 · 𝐴) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵))))
25	24	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
26	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
27	18	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
28	2	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
29		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 0 < (𝐵 · 𝐴))
30	29	gt0ne0d 11873	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (𝐵 · 𝐴) ≠ 0)
31	27, 28, 30	mulne0bad 11964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐵 ≠ 0)
32	3, 31	eqnetrrid 3031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
33		signsv.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
34		signsv.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
35		signsv.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
36		signsv.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
37	33, 34, 35, 36, 8	signsvtn0 35192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1))))
38	3	fveq2i 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (sgn‘𝐵) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1)))
39	37, 38	eqtr4di 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
40	26, 32, 39	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
41	40	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘(sgn‘𝐵)))
42	21	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
43	42	rexrd 11352	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44		sgnsgn 33415	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
45	43, 44	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
46	41, 45	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘𝐵))
47	46	oveq2d 7434	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
48	25, 47	breqtrrd 5133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))))
49	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
50		sgnclre 15248	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
51	42, 50	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
52	40, 51	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
53		sgnmulsgp 33416	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))))))
54	49, 52, 53	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (0 < (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) ↔ 0 < ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))))))
55	48, 54	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → 0 < (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))))
56		signsvf.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
57		signsvf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
58		eqid 2761	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))
59	33, 34, 35, 36, 4, 56, 57, 1, 8, 58	signsvtp 35205	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))
60	55, 59	syldan 603	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (𝐵 · 𝐴)) → (𝑉‘𝐹) = (𝑉‘𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3896  ∅c0 4279  ifcif 4482  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ∈ cmpo 7420  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   · cmul 11198  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   − cmin 11534  -cneg 11535  ℕcn 12328  ...cfz 13632  ..^cfzo 13781  ♯chash 14467  Word cword 14651   ++ cconcat 14708  ⟨“cs1 14735  sgncsgn 15232  Σcsu 15846  ndxcnx 17364  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421   Σ_g cgsu 17604

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-word 14652  df-lsw 14701  df-concat 14709  df-s1 14736  df-substr 14782  df-pfx 14814  df-sgn 15233  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-sum 15847  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mulg 19271  df-cntz 19524

This theorem is used by: (None)