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Theorem signsvfn 33891
Description: Number of changes in a word compared to a shorter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
signsv.w π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signsvfn (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (π‘‰β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = ((π‘‰β€˜πΉ) + if((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 𝐾) < 0, 1, 0)))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝐾,𝑖,𝑛   𝑓,π‘Š,𝑖,𝑛   𝑖,π‘Ž,𝑗,𝑛,𝐹,𝑏   𝐾,π‘Ž,𝑏,𝑗,𝑓   𝑇,π‘Ž   𝑓,𝑏,𝑇,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   π‘Š(𝑗,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem signsvfn
StepHypRef Expression
1 eldifi 4125 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) β†’ 𝐹 ∈ Word ℝ)
2 s1cl 14556 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℝ β†’ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ© ∈ Word ℝ)
3 ccatcl 14528 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ© ∈ Word ℝ) β†’ (𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) ∈ Word ℝ)
41, 2, 3syl2an 594 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) ∈ Word ℝ)
5 signsv.p . . . . . 6 ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
6 signsv.w . . . . . 6 π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
7 signsv.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
8 signsv.v . . . . . 6 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
95, 6, 7, 8signsvvfval 33887 . . . . 5 ((𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) ∈ Word ℝ β†’ (π‘‰β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
104, 9syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (π‘‰β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
11 ccatlen 14529 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ© ∈ Word ℝ) β†’ (β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)))
121, 2, 11syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)))
13 s1len 14560 . . . . . . . 8 (β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) = 1
1413oveq2i 7422 . . . . . . 7 ((β™―β€˜πΉ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + 1)
1512, 14eqtrdi 2786 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + 1))
1615oveq2d 7427 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (1..^(β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))) = (1..^((β™―β€˜πΉ) + 1)))
1716sumeq1d 15651 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) = Σ𝑗 ∈ (1..^((β™―β€˜πΉ) + 1))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
18 eldifsn 4789 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 β‰  βˆ…))
19 lennncl 14488 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
2018, 19sylbi 216 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
21 nnuz 12869 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2220, 21eleqtrdi 2841 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2322adantr 479 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
24 1cnd 11213 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 1 ∈ β„‚)
25 0cnd 11211 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 0 ∈ β„‚)
2624, 25ifclda 4562 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) ∈ β„‚)
27 fveq2 6890 . . . . . . 7 (𝑗 = (β™―β€˜πΉ) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) = ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)))
28 fvoveq1 7434 . . . . . . 7 (𝑗 = (β™―β€˜πΉ) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) = ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
2927, 28neeq12d 3000 . . . . . 6 (𝑗 = (β™―β€˜πΉ) β†’ (((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) ↔ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))))
3029ifbid 4550 . . . . 5 (𝑗 = (β™―β€˜πΉ) β†’ if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) = if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)), 1, 0))
3123, 26, 30fzosump1 15702 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ Σ𝑗 ∈ (1..^((β™―β€˜πΉ) + 1))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) = (Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) + if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)), 1, 0)))
3210, 17, 313eqtrd 2774 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (π‘‰β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = (Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) + if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)), 1, 0)))
3332adantlr 711 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (π‘‰β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = (Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) + if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)), 1, 0)))
34 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
3534eldifad 3959 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ Word ℝ)
3635adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ Word ℝ)
37 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
38 fzo0ss1 13666 . . . . . . . . . . 11 (1..^(β™―β€˜πΉ)) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ))
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (1..^(β™―β€˜πΉ)) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ)))
4039sselda 3981 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑗 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
415, 6, 7, 8signstfvp 33880 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—))
4236, 37, 40, 41syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—))
43 elfzoel2 13635 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€)
4443adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€)
45 1nn0 12492 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„•0
46 eluzmn 12833 . . . . . . . . . . . 12 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
4744, 45, 46sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
48 fzoss2 13664 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) β†’ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ)))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ)))
50 elfzo1elm1fzo0 13737 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
5150adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
5249, 51sseldd 3982 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
535, 6, 7, 8signstfvp 33880 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)))
5436, 37, 52, 53syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)))
5542, 54neeq12d 3000 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) ↔ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
5655ifbid 4550 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) = if(((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
5756sumeq2dv 15653 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) = Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
585, 6, 7, 8signsvvfval 33887 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (π‘‰β€˜πΉ) = Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
5935, 58syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) = Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
6057, 59eqtr4d 2773 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) = (π‘‰β€˜πΉ))
6160adantlr 711 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) = (π‘‰β€˜πΉ))
625, 6, 7, 8signstfvn 33878 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) = (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ⨣ (sgnβ€˜πΎ)))
6362adantlr 711 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) = (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ⨣ (sgnβ€˜πΎ)))
6435adantlr 711 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ Word ℝ)
65 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
66 fzo0end 13728 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
6720, 66syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
6867ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
695, 6, 7, 8signstfvp 33880 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
7064, 65, 68, 69syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
7163, 70neeq12d 3000 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ↔ (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ⨣ (sgnβ€˜πΎ)) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))))
725, 6, 7, 8signstfvcl 33882 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ∈ {-1, 1})
7368, 72syldan 589 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ∈ {-1, 1})
74 rexr 11264 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℝ β†’ 𝐾 ∈ ℝ*)
75 sgncl 33835 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℝ* β†’ (sgnβ€˜πΎ) ∈ {-1, 0, 1})
7674, 75syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (sgnβ€˜πΎ) ∈ {-1, 0, 1})
7776adantl 480 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (sgnβ€˜πΎ) ∈ {-1, 0, 1})
785, 6signswch 33870 . . . . . 6 ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ∈ {-1, 1} ∧ (sgnβ€˜πΎ) ∈ {-1, 0, 1}) β†’ ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ⨣ (sgnβ€˜πΎ)) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ↔ (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· (sgnβ€˜πΎ)) < 0))
7973, 77, 78syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ⨣ (sgnβ€˜πΎ)) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ↔ (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· (sgnβ€˜πΎ)) < 0))
8065rexrd 11268 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ 𝐾 ∈ ℝ*)
81 sgnsgn 33845 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ* β†’ (sgnβ€˜(sgnβ€˜πΎ)) = (sgnβ€˜πΎ))
8280, 81syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (sgnβ€˜(sgnβ€˜πΎ)) = (sgnβ€˜πΎ))
8382oveq2d 7427 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) Β· (sgnβ€˜(sgnβ€˜πΎ))) = ((sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) Β· (sgnβ€˜πΎ)))
8483breq1d 5157 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (((sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) Β· (sgnβ€˜(sgnβ€˜πΎ))) < 0 ↔ ((sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) Β· (sgnβ€˜πΎ)) < 0))
85 neg1rr 12331 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
86 1re 11218 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
87 prssi 4823 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ {-1, 1} βŠ† ℝ)
8885, 86, 87mp2an 688 . . . . . . . 8 {-1, 1} βŠ† ℝ
8988, 73sselid 3979 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
90 sgnclre 33836 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (sgnβ€˜πΎ) ∈ ℝ)
9190adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (sgnβ€˜πΎ) ∈ ℝ)
92 sgnmulsgn 33846 . . . . . . 7 ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ∈ ℝ ∧ (sgnβ€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· (sgnβ€˜πΎ)) < 0 ↔ ((sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) Β· (sgnβ€˜(sgnβ€˜πΎ))) < 0))
9389, 91, 92syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· (sgnβ€˜πΎ)) < 0 ↔ ((sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) Β· (sgnβ€˜(sgnβ€˜πΎ))) < 0))
94 sgnmulsgn 33846 . . . . . . 7 ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 𝐾) < 0 ↔ ((sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) Β· (sgnβ€˜πΎ)) < 0))
9589, 94sylancom 586 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 𝐾) < 0 ↔ ((sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) Β· (sgnβ€˜πΎ)) < 0))
9684, 93, 953bitr4d 310 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· (sgnβ€˜πΎ)) < 0 ↔ (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 𝐾) < 0))
9771, 79, 963bitrd 304 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ↔ (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 𝐾) < 0))
9897ifbid 4550 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)), 1, 0) = if((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 𝐾) < 0, 1, 0))
9961, 98oveq12d 7429 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) + if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)), 1, 0)) = ((π‘‰β€˜πΉ) + if((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 𝐾) < 0, 1, 0)))
10033, 99eqtrd 2770 1 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (π‘‰β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = ((π‘‰β€˜πΉ) + if((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 𝐾) < 0, 1, 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627  {cpr 4629  {ctp 4631  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  ..^cfzo 13631  β™―chash 14294  Word cword 14468   ++ cconcat 14524  βŸ¨β€œcs1 14549  sgncsgn 15037  Ξ£csu 15636  ndxcnx 17130  Basecbs 17148  +gcplusg 17201   Ξ£g cgsu 17390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-sgn 15038  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mulg 18987  df-cntz 19222
This theorem is referenced by:  signsvtp  33892  signsvtn  33893  signlem0  33896
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