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Theorem signsvfn 33892
Description: Number of changes in a word compared to a shorter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
signsv.w π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signsvfn (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (π‘‰β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = ((π‘‰β€˜πΉ) + if((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 𝐾) < 0, 1, 0)))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝐾,𝑖,𝑛   𝑓,π‘Š,𝑖,𝑛   𝑖,π‘Ž,𝑗,𝑛,𝐹,𝑏   𝐾,π‘Ž,𝑏,𝑗,𝑓   𝑇,π‘Ž   𝑓,𝑏,𝑇,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž,𝑏)   π‘Š(𝑗,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem signsvfn
StepHypRef Expression
1 eldifi 4126 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) β†’ 𝐹 ∈ Word ℝ)
2 s1cl 14557 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℝ β†’ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ© ∈ Word ℝ)
3 ccatcl 14529 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ© ∈ Word ℝ) β†’ (𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) ∈ Word ℝ)
41, 2, 3syl2an 595 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) ∈ Word ℝ)
5 signsv.p . . . . . 6 ⨣ = (π‘Ž ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, π‘Ž, 𝑏))
6 signsv.w . . . . . 6 π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ⨣ ⟩}
7 signsv.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘“)) ↦ (π‘Š Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgnβ€˜(π‘“β€˜π‘–))))))
8 signsv.v . . . . . 6 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))if(((π‘‡β€˜π‘“)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜π‘“)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
95, 6, 7, 8signsvvfval 33888 . . . . 5 ((𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) ∈ Word ℝ β†’ (π‘‰β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
104, 9syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (π‘‰β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
11 ccatlen 14530 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ© ∈ Word ℝ) β†’ (β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)))
121, 2, 11syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)))
13 s1len 14561 . . . . . . . 8 (β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©) = 1
1413oveq2i 7423 . . . . . . 7 ((β™―β€˜πΉ) + (β™―β€˜βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + 1)
1512, 14eqtrdi 2787 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = ((β™―β€˜πΉ) + 1))
1615oveq2d 7428 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (1..^(β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))) = (1..^((β™―β€˜πΉ) + 1)))
1716sumeq1d 15652 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) = Σ𝑗 ∈ (1..^((β™―β€˜πΉ) + 1))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
18 eldifsn 4790 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 β‰  βˆ…))
19 lennncl 14489 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
2018, 19sylbi 216 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
21 nnuz 12870 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2220, 21eleqtrdi 2842 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
2322adantr 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
24 1cnd 11214 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 1 ∈ β„‚)
25 0cnd 11212 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1))) β†’ 0 ∈ β„‚)
2624, 25ifclda 4563 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜πΉ))) β†’ if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) ∈ β„‚)
27 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑗 = (β™―β€˜πΉ) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) = ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)))
28 fvoveq1 7435 . . . . . . 7 (𝑗 = (β™―β€˜πΉ) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) = ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
2927, 28neeq12d 3001 . . . . . 6 (𝑗 = (β™―β€˜πΉ) β†’ (((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) ↔ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))))
3029ifbid 4551 . . . . 5 (𝑗 = (β™―β€˜πΉ) β†’ if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) = if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)), 1, 0))
3123, 26, 30fzosump1 15703 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ Σ𝑗 ∈ (1..^((β™―β€˜πΉ) + 1))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) = (Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) + if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)), 1, 0)))
3210, 17, 313eqtrd 2775 . . 3 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (π‘‰β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = (Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) + if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)), 1, 0)))
3332adantlr 712 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (π‘‰β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = (Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) + if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)), 1, 0)))
34 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}))
3534eldifad 3960 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ Word ℝ)
3635adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ Word ℝ)
37 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
38 fzo0ss1 13667 . . . . . . . . . . 11 (1..^(β™―β€˜πΉ)) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ))
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (1..^(β™―β€˜πΉ)) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ)))
4039sselda 3982 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑗 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
415, 6, 7, 8signstfvp 33881 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—))
4236, 37, 40, 41syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—))
43 elfzoel2 13636 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€)
4443adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€)
45 1nn0 12493 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„•0
46 eluzmn 12834 . . . . . . . . . . . 12 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
4744, 45, 46sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
48 fzoss2 13665 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) β†’ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ)))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ)))
50 elfzo1elm1fzo0 13738 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
5150adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
5249, 51sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
535, 6, 7, 8signstfvp 33881 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)))
5436, 37, 52, 53syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)))
5542, 54neeq12d 3001 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)) ↔ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1))))
5655ifbid 4551 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) = if(((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
5756sumeq2dv 15654 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) = Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
585, 6, 7, 8signsvvfval 33888 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ β†’ (π‘‰β€˜πΉ) = Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
5935, 58syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (π‘‰β€˜πΉ) = Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜πΉ)β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0))
6057, 59eqtr4d 2774 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) = (π‘‰β€˜πΉ))
6160adantlr 712 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) = (π‘‰β€˜πΉ))
625, 6, 7, 8signstfvn 33879 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) = (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ⨣ (sgnβ€˜πΎ)))
6362adantlr 712 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) = (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ⨣ (sgnβ€˜πΎ)))
6435adantlr 712 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ Word ℝ)
65 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
66 fzo0end 13729 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
6720, 66syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
6867ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
695, 6, 7, 8signstfvp 33881 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
7064, 65, 68, 69syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) = ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)))
7163, 70neeq12d 3001 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ↔ (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ⨣ (sgnβ€˜πΎ)) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))))
725, 6, 7, 8signstfvcl 33883 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ∈ {-1, 1})
7368, 72syldan 590 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ∈ {-1, 1})
74 rexr 11265 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℝ β†’ 𝐾 ∈ ℝ*)
75 sgncl 33836 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℝ* β†’ (sgnβ€˜πΎ) ∈ {-1, 0, 1})
7674, 75syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (sgnβ€˜πΎ) ∈ {-1, 0, 1})
7776adantl 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (sgnβ€˜πΎ) ∈ {-1, 0, 1})
785, 6signswch 33871 . . . . . 6 ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ∈ {-1, 1} ∧ (sgnβ€˜πΎ) ∈ {-1, 0, 1}) β†’ ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ⨣ (sgnβ€˜πΎ)) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ↔ (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· (sgnβ€˜πΎ)) < 0))
7973, 77, 78syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ⨣ (sgnβ€˜πΎ)) β‰  ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ↔ (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· (sgnβ€˜πΎ)) < 0))
8065rexrd 11269 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ 𝐾 ∈ ℝ*)
81 sgnsgn 33846 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ* β†’ (sgnβ€˜(sgnβ€˜πΎ)) = (sgnβ€˜πΎ))
8280, 81syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (sgnβ€˜(sgnβ€˜πΎ)) = (sgnβ€˜πΎ))
8382oveq2d 7428 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) Β· (sgnβ€˜(sgnβ€˜πΎ))) = ((sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) Β· (sgnβ€˜πΎ)))
8483breq1d 5158 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (((sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) Β· (sgnβ€˜(sgnβ€˜πΎ))) < 0 ↔ ((sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) Β· (sgnβ€˜πΎ)) < 0))
85 neg1rr 12332 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
86 1re 11219 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
87 prssi 4824 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ {-1, 1} βŠ† ℝ)
8885, 86, 87mp2an 689 . . . . . . . 8 {-1, 1} βŠ† ℝ
8988, 73sselid 3980 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
90 sgnclre 33837 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℝ β†’ (sgnβ€˜πΎ) ∈ ℝ)
9190adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (sgnβ€˜πΎ) ∈ ℝ)
92 sgnmulsgn 33847 . . . . . . 7 ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ∈ ℝ ∧ (sgnβ€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· (sgnβ€˜πΎ)) < 0 ↔ ((sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) Β· (sgnβ€˜(sgnβ€˜πΎ))) < 0))
9389, 91, 92syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· (sgnβ€˜πΎ)) < 0 ↔ ((sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) Β· (sgnβ€˜(sgnβ€˜πΎ))) < 0))
94 sgnmulsgn 33847 . . . . . . 7 ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 𝐾) < 0 ↔ ((sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) Β· (sgnβ€˜πΎ)) < 0))
9589, 94sylancom 587 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 𝐾) < 0 ↔ ((sgnβ€˜((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1))) Β· (sgnβ€˜πΎ)) < 0))
9684, 93, 953bitr4d 311 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· (sgnβ€˜πΎ)) < 0 ↔ (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 𝐾) < 0))
9771, 79, 963bitrd 305 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) ↔ (((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 𝐾) < 0))
9897ifbid 4551 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)), 1, 0) = if((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 𝐾) < 0, 1, 0))
9961, 98oveq12d 7430 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (Σ𝑗 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜π‘—) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(𝑗 βˆ’ 1)), 1, 0) + if(((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜(β™―β€˜πΉ)) β‰  ((π‘‡β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©))β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)), 1, 0)) = ((π‘‰β€˜πΉ) + if((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 𝐾) < 0, 1, 0)))
10033, 99eqtrd 2771 1 (((𝐹 ∈ (Word ℝ βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) β‰  0) ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (π‘‰β€˜(𝐹 ++ βŸ¨β€œπΎβ€βŸ©)) = ((π‘‰β€˜πΉ) + if((((π‘‡β€˜πΉ)β€˜((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 1)) Β· 𝐾) < 0, 1, 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628  {cpr 4630  {ctp 4632  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119  β„*cxr 11252   < clt 11253   βˆ’ cmin 11449  -cneg 11450  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632  β™―chash 14295  Word cword 14469   ++ cconcat 14525  βŸ¨β€œcs1 14550  sgncsgn 15038  Ξ£csu 15637  ndxcnx 17131  Basecbs 17149  +gcplusg 17202   Ξ£g cgsu 17391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14470  df-lsw 14518  df-concat 14526  df-s1 14551  df-substr 14596  df-pfx 14626  df-sgn 15039  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mulg 18988  df-cntz 19223
This theorem is referenced by:  signsvtp  33893  signsvtn  33894  signlem0  33897
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