Theorem sltmulneg1d 28119

Description: Multiplication of both sides of surreal less-than by a negative number. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltmulneg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltmulneg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltmulneg.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltmulneg.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 0s )

Assertion

Ref	Expression
sltmulneg1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem sltmulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltmulneg.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		sltmulneg.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3	1, 2	mulnegs2d 28104	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ( -us ‘𝐶)) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐶)))
4		sltmulneg.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5	4, 2	mulnegs2d 28104	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s ( -us ‘𝐶)) = ( -us ‘(𝐵 ·s 𝐶)))
6	3, 5	breq12d 5132	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s ( -us ‘𝐶)) <s (𝐵 ·s ( -us ‘𝐶)) ↔ ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐶)) <s ( -us ‘(𝐵 ·s 𝐶))))
7	2	negscld 27986	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐶) ∈ No )
8		negs0s 27975	. . . 4 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s
9		sltmulneg.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 0s )
10		0sno 27788	. . . . . . 7 ⊢ 0s ∈ No
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
12	2, 11	sltnegd 27996	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 <s 0s ↔ ( -us ‘ 0s ) <s ( -us ‘𝐶)))
13	9, 12	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘ 0s ) <s ( -us ‘𝐶))
14	8, 13	eqbrtrrid 5155	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s <s ( -us ‘𝐶))
15	1, 4, 7, 14	sltmul1d 28116	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 ·s ( -us ‘𝐶)) <s (𝐵 ·s ( -us ‘𝐶))))
16	4, 2	mulscld 28078	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No )
17	1, 2	mulscld 28078	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
18	16, 17	sltnegd 27996	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶) ↔ ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐶)) <s ( -us ‘(𝐵 ·s 𝐶))))
19	6, 15, 18	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   No csur 27601   <s cslt 27602   0_s c0s 27784   -u_s cnegs 27968   ·_s cmuls 28049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-1o 8478  df-2o 8479  df-nadd 8676  df-no 27604  df-slt 27605  df-bday 27606  df-sle 27707  df-sslt 27743  df-scut 27745  df-0s 27786  df-made 27803  df-old 27804  df-left 27806  df-right 27807  df-norec 27888  df-norec2 27899  df-adds 27910  df-negs 27970  df-subs 27971  df-muls 28050

This theorem is referenced by:  sltmulneg2d  28120