Theorem sltmulneg1d 28084

Description: Multiplication of both sides of surreal less-than by a negative number. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltmulneg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltmulneg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltmulneg.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltmulneg.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 0s )

Assertion

Ref	Expression
sltmulneg1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem sltmulneg1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltmulneg.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		sltmulneg.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3	1, 2	mulnegs2d 28069	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ( -us ‘𝐶)) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐶)))
4		sltmulneg.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5	4, 2	mulnegs2d 28069	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s ( -us ‘𝐶)) = ( -us ‘(𝐵 ·s 𝐶)))
6	3, 5	breq12d 5105	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s ( -us ‘𝐶)) <s (𝐵 ·s ( -us ‘𝐶)) ↔ ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐶)) <s ( -us ‘(𝐵 ·s 𝐶))))
7	2	negscld 27948	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐶) ∈ No )
8		negs0s 27937	. . . 4 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s
9		sltmulneg.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 0s )
10		0sno 27740	. . . . . . 7 ⊢ 0s ∈ No
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
12	2, 11	sltnegd 27958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 <s 0s ↔ ( -us ‘ 0s ) <s ( -us ‘𝐶)))
13	9, 12	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘ 0s ) <s ( -us ‘𝐶))
14	8, 13	eqbrtrrid 5128	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s <s ( -us ‘𝐶))
15	1, 4, 7, 14	sltmul1d 28081	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 ·s ( -us ‘𝐶)) <s (𝐵 ·s ( -us ‘𝐶))))
16	4, 2	mulscld 28043	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No )
17	1, 2	mulscld 28043	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
18	16, 17	sltnegd 27958	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶) ↔ ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐶)) <s ( -us ‘(𝐵 ·s 𝐶))))
19	6, 15, 18	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   No csur 27549   <s cslt 27550   0_s c0s 27736   -u_s cnegs 27930   ·_s cmuls 28014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-1o 8388  df-2o 8389  df-nadd 8584  df-no 27552  df-slt 27553  df-bday 27554  df-sle 27655  df-sslt 27692  df-scut 27694  df-0s 27738  df-made 27757  df-old 27758  df-left 27760  df-right 27761  df-norec 27850  df-norec2 27861  df-adds 27872  df-negs 27932  df-subs 27933  df-muls 28015

This theorem is referenced by:  sltmulneg2d  28085