Theorem squeezedltsq 47738

Description: If a real value is squeezed between two others, its square is less than square of at least one of them. Deduction form. (Contributed by Ender Ting, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
squeezedltsq.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
squeezedltsq.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
squeezedltsq.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
squeezedltsq.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
squeezedltsq.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
squeezedltsq	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))

Proof of Theorem squeezedltsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		squeezedltsq.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 11669	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐵 ∈ ℝ)
4		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ≤ 0)
5	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	le0neg1d 11813	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (𝐵 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐵))
7	4, 6	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐵)
8		squeezedltsq.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	renegcld 11669	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
11		squeezedltsq.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
12	8, 1	ltnegd 11820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
13	11, 12	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐵 < -𝐴)
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐵 < -𝐴)
15		lt2msq1 12127	. . . 4 ⊢ (((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐵) ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 < -𝐴) → (-𝐵 · -𝐵) < (-𝐴 · -𝐴))
16	3, 7, 10, 14, 15	syl211anc 1403	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (-𝐵 · -𝐵) < (-𝐴 · -𝐴))
17		recn 11218	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17, 17	mul2negd 11697	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-𝐵 · -𝐵) = (𝐵 · 𝐵))
19	1, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 · -𝐵) = (𝐵 · 𝐵))
20		recn 11218	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20, 20	mul2negd 11697	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
22	8, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
23	19, 22	breq12d 5120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 · -𝐵) < (-𝐴 · -𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
24	23	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → ((-𝐵 · -𝐵) < (-𝐴 · -𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
25	16, 24	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))
26	1	anim1i 627	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
27		squeezedltsq.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
28	27	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
29		squeezedltsq.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
30	29	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐵 < 𝐶)
31		lt2msq1 12127	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
32	26, 28, 30, 31	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
33		0re 11238	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
34		letric 11338	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐵))
35	1, 33, 34	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐵))
36	25, 32, 35	orim12da 980	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128   · cmul 11133   < clt 11271   ≤ cle 11272  -cneg 11470

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472

This theorem is used by: (None)