Theorem squeezedltsq 47345

Description: If a real value is squeezed between two others, its square is less than square of at least one of them. Deduction form. (Contributed by Ender Ting, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
squeezedltsq.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
squeezedltsq.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
squeezedltsq.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
squeezedltsq.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
squeezedltsq.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
squeezedltsq	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))

Proof of Theorem squeezedltsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		squeezedltsq.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 11573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐵 ∈ ℝ)
4		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ≤ 0)
5	1	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		le0neg1 11654	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐵))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (𝐵 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐵))
8	4, 7	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐵)
9	3, 8	jca 517	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐵))
10		squeezedltsq.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	renegcld 11573	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)
12	11	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
13		squeezedltsq.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
14	10, 1	jca 517	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
15		ltneg 11646	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
17	13, 16	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐵 < -𝐴)
18	17	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐵 < -𝐴)
19	9, 12, 18	3jca 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐵) ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 < -𝐴))
20		lt2msq1 12035	. . . . 5 ⊢ (((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐵) ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 < -𝐴) → (-𝐵 · -𝐵) < (-𝐴 · -𝐴))
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (-𝐵 · -𝐵) < (-𝐴 · -𝐴))
22		recn 11124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
23		mul2neg 11585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐵 · -𝐵) = (𝐵 · 𝐵))
24	22, 22, 23	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-𝐵 · -𝐵) = (𝐵 · 𝐵))
25	1, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 · -𝐵) = (𝐵 · 𝐵))
26		recn 11124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
27		mul2neg 11585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
28	26, 26, 27	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
29	10, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
30	25, 29	breq12d 5087	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 · -𝐵) < (-𝐴 · -𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
31	30	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → ((-𝐵 · -𝐵) < (-𝐴 · -𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
32	21, 31	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))
33	32	orcd 880	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))
34	1	anim1i 622	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
35		squeezedltsq.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
36	35	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
37		squeezedltsq.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
38	37	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐵 < 𝐶)
39	34, 36, 38	3jca 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐶))
40		lt2msq1 12035	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
41	39, 40	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
42	41	olcd 881	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))
43		0re 11142	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
44	43	jctr 530	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
45		letric 11242	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐵))
46	1, 44, 45	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐵))
47	33, 42, 46	mpjaodan 967	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∨ wo 854   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5074  (class class class)co 7359  ℂcc 11032  ℝcr 11033  0cc0 11034   · cmul 11039   < clt 11175   ≤ cle 11176  -cneg 11374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376

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