Theorem squeezedltsq 47318

Description: If a real value is squeezed between two others, its square is less than square of at least one of them. Deduction form. (Contributed by Ender Ting, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
squeezedltsq.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
squeezedltsq.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
squeezedltsq.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
squeezedltsq.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
squeezedltsq.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
squeezedltsq	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))

Proof of Theorem squeezedltsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		squeezedltsq.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 11577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐵 ∈ ℝ)
4		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ≤ 0)
5	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		le0neg1 11658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐵))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (𝐵 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐵))
8	4, 7	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐵)
9	3, 8	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐵))
10		squeezedltsq.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	renegcld 11577	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
13		squeezedltsq.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
14	10, 1	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
15		ltneg 11650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
17	13, 16	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐵 < -𝐴)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐵 < -𝐴)
19	9, 12, 18	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐵) ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 < -𝐴))
20		lt2msq1 12040	. . . . 5 ⊢ (((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐵) ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 < -𝐴) → (-𝐵 · -𝐵) < (-𝐴 · -𝐴))
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (-𝐵 · -𝐵) < (-𝐴 · -𝐴))
22		recn 11128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
23		mul2neg 11589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐵 · -𝐵) = (𝐵 · 𝐵))
24	22, 22, 23	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-𝐵 · -𝐵) = (𝐵 · 𝐵))
25	1, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 · -𝐵) = (𝐵 · 𝐵))
26		recn 11128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
27		mul2neg 11589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
28	26, 26, 27	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
29	10, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
30	25, 29	breq12d 5098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 · -𝐵) < (-𝐴 · -𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → ((-𝐵 · -𝐵) < (-𝐴 · -𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
32	21, 31	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))
33	32	orcd 874	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))
34	1	anim1i 616	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
35		squeezedltsq.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
37		squeezedltsq.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐵 < 𝐶)
39	34, 36, 38	3jca 1129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐶))
40		lt2msq1 12040	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
41	39, 40	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
42	41	olcd 875	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))
43		0re 11146	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
44	43	jctr 524	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
45		letric 11246	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐵))
46	1, 44, 45	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐵))
47	33, 42, 46	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180  -cneg 11378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380

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