Theorem squeezedltsq 48117

Description: If a real value is squeezed between two others, its square is less than square of at least one of them. Deduction form. (Contributed by Ender Ting, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
squeezedltsq.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
squeezedltsq.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
squeezedltsq.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
squeezedltsq.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
squeezedltsq.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
squeezedltsq	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))

Proof of Theorem squeezedltsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		squeezedltsq.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 11770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐵 ∈ ℝ)
4		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ≤ 0)
5	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	le0neg1d 11914	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (𝐵 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐵))
7	4, 6	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐵)
8		squeezedltsq.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	renegcld 11770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
11		squeezedltsq.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
12	8, 1	ltnegd 11921	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
13	11, 12	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐵 < -𝐴)
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐵 < -𝐴)
15		lt2msq1 12228	. . . 4 ⊢ ((( -𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐵) ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 < -𝐴) → ( -𝐵 · -𝐵) < ( -𝐴 · -𝐴))
16	3, 7, 10, 14, 15	syl211anc 1404	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → ( -𝐵 · -𝐵) < ( -𝐴 · -𝐴))
17		recn 11317	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17, 17	mul2negd 11798	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ( -𝐵 · -𝐵) = (𝐵 · 𝐵))
19	1, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( -𝐵 · -𝐵) = (𝐵 · 𝐵))
20		recn 11317	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20, 20	mul2negd 11798	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ( -𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
22	8, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( -𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
23	19, 22	breq12d 5119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( -𝐵 · -𝐵) < ( -𝐴 · -𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
24	23	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (( -𝐵 · -𝐵) < ( -𝐴 · -𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
25	16, 24	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))
26	1	anim1i 627	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
27		squeezedltsq.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
28	27	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
29		squeezedltsq.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
30	29	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐵 < 𝐶)
31		lt2msq1 12228	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
32	26, 28, 30, 31	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
33		0re 11337	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
34		letric 11437	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐵))
35	1, 33, 34	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐵))
36	25, 32, 35	orim12da 980	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  0cc0 11227   · cmul 11232   < clt 11370   ≤ cle 11371   -cneg 11569

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571

This theorem is used by: (None)