Theorem squeezedltsq 48005

Description: If a real value is squeezed between two others, its square is less than square of at least one of them. Deduction form. (Contributed by Ender Ting, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
squeezedltsq.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
squeezedltsq.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
squeezedltsq.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
squeezedltsq.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
squeezedltsq.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
squeezedltsq	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))

Proof of Theorem squeezedltsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		squeezedltsq.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 11746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐵 ∈ ℝ)
4		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ≤ 0)
5	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	le0neg1d 11890	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (𝐵 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐵))
7	4, 6	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐵)
8		squeezedltsq.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	renegcld 11746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
11		squeezedltsq.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
12	8, 1	ltnegd 11897	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
13	11, 12	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐵 < -𝐴)
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐵 < -𝐴)
15		lt2msq1 12204	. . . 4 ⊢ ((( -𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐵) ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 < -𝐴) → ( -𝐵 · -𝐵) < ( -𝐴 · -𝐴))
16	3, 7, 10, 14, 15	syl211anc 1403	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → ( -𝐵 · -𝐵) < ( -𝐴 · -𝐴))
17		recn 11293	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17, 17	mul2negd 11774	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ( -𝐵 · -𝐵) = (𝐵 · 𝐵))
19	1, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( -𝐵 · -𝐵) = (𝐵 · 𝐵))
20		recn 11293	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20, 20	mul2negd 11774	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ( -𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
22	8, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( -𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
23	19, 22	breq12d 5115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( -𝐵 · -𝐵) < ( -𝐴 · -𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
24	23	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (( -𝐵 · -𝐵) < ( -𝐴 · -𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
25	16, 24	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))
26	1	anim1i 627	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
27		squeezedltsq.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
28	27	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
29		squeezedltsq.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
30	29	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐵 < 𝐶)
31		lt2msq1 12204	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
32	26, 28, 30, 31	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
33		0re 11313	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
34		letric 11413	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐵))
35	1, 33, 34	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐵))
36	25, 32, 35	orim12da 980	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203   · cmul 11208   < clt 11346   ≤ cle 11347   -cneg 11545

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547

This theorem is used by: (None)