Theorem squeezedltsq 46849

Description: If a real value is squeezed between two others, its square is less than square of at least one of them. Deduction form. (Contributed by Ender Ting, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
squeezedltsq.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
squeezedltsq.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
squeezedltsq.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
squeezedltsq.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
squeezedltsq.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
squeezedltsq	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))

Proof of Theorem squeezedltsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		squeezedltsq.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 11673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐵 ∈ ℝ)
4		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ≤ 0)
5	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		le0neg1 11754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐵))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (𝐵 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐵))
8	4, 7	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐵)
9	3, 8	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐵))
10		squeezedltsq.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	renegcld 11673	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
13		squeezedltsq.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
14	10, 1	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
15		ltneg 11746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
17	13, 16	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐵 < -𝐴)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐵 < -𝐴)
19	9, 12, 18	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐵) ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 < -𝐴))
20		lt2msq1 12135	. . . . 5 ⊢ (((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐵) ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 < -𝐴) → (-𝐵 · -𝐵) < (-𝐴 · -𝐴))
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (-𝐵 · -𝐵) < (-𝐴 · -𝐴))
22		recn 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
23		mul2neg 11685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐵 · -𝐵) = (𝐵 · 𝐵))
24	22, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-𝐵 · -𝐵) = (𝐵 · 𝐵))
25	1, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 · -𝐵) = (𝐵 · 𝐵))
26		recn 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
27		mul2neg 11685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
28	26, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
29	10, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
30	25, 29	breq12d 5138	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 · -𝐵) < (-𝐴 · -𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → ((-𝐵 · -𝐵) < (-𝐴 · -𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
32	21, 31	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))
33	32	orcd 873	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))
34	1	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
35		squeezedltsq.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
37		squeezedltsq.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐵 < 𝐶)
39	34, 36, 38	3jca 1128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐶))
40		lt2msq1 12135	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
41	39, 40	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
42	41	olcd 874	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))
43		0re 11246	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
44	43	jctr 524	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
45		letric 11344	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐵))
46	1, 44, 45	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐵))
47	33, 42, 46	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5125  (class class class)co 7414  ℂcc 11136  ℝcr 11137  0cc0 11138   · cmul 11143   < clt 11278   ≤ cle 11279  -cneg 11476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-id 5560  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478

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