Theorem squeezedltsq 47644

Description: If a real value is squeezed between two others, its square is less than square of at least one of them. Deduction form. (Contributed by Ender Ting, 31-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
squeezedltsq.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
squeezedltsq.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
squeezedltsq.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
squeezedltsq.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
squeezedltsq.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
squeezedltsq	⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))

Proof of Theorem squeezedltsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		squeezedltsq.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 11659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐵 ∈ ℝ)
4		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ≤ 0)
5	1	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		le0neg1 11740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐵))
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (𝐵 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐵))
8	4, 7	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐵)
9	3, 8	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐵))
10		squeezedltsq.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	renegcld 11659	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)
12	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
13		squeezedltsq.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
14	10, 1	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
15		ltneg 11732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
17	13, 16	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐵 < -𝐴)
18	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → -𝐵 < -𝐴)
19	9, 12, 18	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐵) ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 < -𝐴))
20		lt2msq1 12117	. . . . 5 ⊢ (((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐵) ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 < -𝐴) → (-𝐵 · -𝐵) < (-𝐴 · -𝐴))
21	19, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (-𝐵 · -𝐵) < (-𝐴 · -𝐴))
22		recn 11208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
23		mul2neg 11671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐵 · -𝐵) = (𝐵 · 𝐵))
24	22, 22, 23	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-𝐵 · -𝐵) = (𝐵 · 𝐵))
25	1, 24	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 · -𝐵) = (𝐵 · 𝐵))
26		recn 11208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
27		mul2neg 11671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
28	26, 26, 27	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
29	10, 28	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
30	25, 29	breq12d 5127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 · -𝐵) < (-𝐴 · -𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → ((-𝐵 · -𝐵) < (-𝐴 · -𝐴) ↔ (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
32	21, 31	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))
33	32	orcd 887	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))
34	1	anim1i 627	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
35		squeezedltsq.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
36	35	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
37		squeezedltsq.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
38	37	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐵 < 𝐶)
39	34, 36, 38	3jca 1146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐶))
40		lt2msq1 12117	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
41	39, 40	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
42	41	olcd 888	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))
43		0re 11228	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
44	43	jctr 534	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
45		letric 11328	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐵))
46	1, 44, 45	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 0 ∨ 0 ≤ 𝐵))
47	33, 42, 46	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ∨ (𝐵 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118   · cmul 11123   < clt 11261   ≤ cle 11262  -cneg 11460

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462

This theorem is used by: (None)