Theorem evenwodadd 46876

Description: If an integer is multiplied by its sum with an odd number (thus changing its parity), the result is even. (Contributed by Ender Ting, 30-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evenwodadd.1	⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ ℤ)
evenwodadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑗 ∈ ℤ)
evenwodadd.3	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑗)

Assertion

Ref	Expression
evenwodadd	⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗)))

Proof of Theorem evenwodadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12645	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
3		evenwodadd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ ℤ)
4		evenwodadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑗 ∈ ℤ)
5	3, 4	zaddcld 12722	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
6		dvdsmultr1 16329	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
8		evenwodadd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑗)
9		4anpull2 1362	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗)) ↔ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖))
10		opoe 16396	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗)) → 2 ∥ (𝑖 + 𝑗))
11	9, 10	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∥ (𝑖 + 𝑗))
12	11	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗) → (¬ 2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 + 𝑗)))
13	3, 4, 8, 12	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 + 𝑗)))
14		dvdsmultr2 16331	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑖 + 𝑗) → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
15	2, 3, 5, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝑖 + 𝑗) → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
16	13, 15	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
17	7, 16	pm2.61d 179	1 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5141  (class class class)co 7429   + caddc 11154   · cmul 11156  2c2 12317  ℤcz 12609   ∥ cdvds 16286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-nn 12263  df-2 12325  df-n0 12523  df-z 12610  df-dvds 16287

This theorem is referenced by: (None)