Theorem evenwodadd 47827

Description: If an integer is multiplied by its sum with an odd number (thus changing its parity), the result is even. (Contributed by Ender Ting, 30-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evenwodadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
evenwodadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
evenwodadd.3	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
evenwodadd	⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝐼 · (𝐼 + 𝐽)))

Proof of Theorem evenwodadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12683	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		evenwodadd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
3		evenwodadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
4	2, 3	zaddcld 12762	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 𝐽) ∈ ℤ)
5		dvdsmultr1 16419	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 𝐽) ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐼 → 2 ∥ (𝐼 · (𝐼 + 𝐽))))
6	1, 2, 4, 5	mp3an2i 1495	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐼 → 2 ∥ (𝐼 · (𝐼 + 𝐽))))
7		evenwodadd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐽)
8		4anpull2 1382	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐼) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐽)) ↔ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝐼))
9		opoe 16486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐼) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐽)) → 2 ∥ (𝐼 + 𝐽))
10	8, 9	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝐼) → 2 ∥ (𝐼 + 𝐽))
11	10	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐽) → (¬ 2 ∥ 𝐼 → 2 ∥ (𝐼 + 𝐽)))
12	2, 3, 7, 11	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝐼 → 2 ∥ (𝐼 + 𝐽)))
13		dvdsmultr2 16421	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 𝐽) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐼 + 𝐽) → 2 ∥ (𝐼 · (𝐼 + 𝐽))))
14	1, 2, 4, 13	mp3an2i 1495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝐼 + 𝐽) → 2 ∥ (𝐼 · (𝐼 + 𝐽))))
15	12, 14	syld 48	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝐼 → 2 ∥ (𝐼 · (𝐼 + 𝐽))))
16	6, 15	pm2.61d 181	1 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝐼 · (𝐼 + 𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7409   + caddc 11160   · cmul 11162  2c2 12352  ℤcz 12648   ∥ cdvds 16375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-n0 12562  df-z 12649  df-dvds 16376

This theorem is used by: (None)