Theorem evenwodadd 47714

Description: If an integer is multiplied by its sum with an odd number (thus changing its parity), the result is even. (Contributed by Ender Ting, 30-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evenwodadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
evenwodadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
evenwodadd.3	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
evenwodadd	⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝐼 · (𝐼 + 𝐽)))

Proof of Theorem evenwodadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12651	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		evenwodadd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
3		evenwodadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
4	2, 3	zaddcld 12730	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 𝐽) ∈ ℤ)
5		dvdsmultr1 16388	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 𝐽) ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐼 → 2 ∥ (𝐼 · (𝐼 + 𝐽))))
6	1, 2, 4, 5	mp3an2i 1495	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝐼 → 2 ∥ (𝐼 · (𝐼 + 𝐽))))
7		evenwodadd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝐽)
8		4anpull2 1382	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐼) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐽)) ↔ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝐼))
9		opoe 16455	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐼) ∧ (𝐽 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐽)) → 2 ∥ (𝐼 + 𝐽))
10	8, 9	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝐼) → 2 ∥ (𝐼 + 𝐽))
11	10	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐽) → (¬ 2 ∥ 𝐼 → 2 ∥ (𝐼 + 𝐽)))
12	2, 3, 7, 11	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝐼 → 2 ∥ (𝐼 + 𝐽)))
13		dvdsmultr2 16390	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 𝐽) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐼 + 𝐽) → 2 ∥ (𝐼 · (𝐼 + 𝐽))))
14	1, 2, 4, 13	mp3an2i 1495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝐼 + 𝐽) → 2 ∥ (𝐼 · (𝐼 + 𝐽))))
15	12, 14	syld 48	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝐼 → 2 ∥ (𝐼 · (𝐼 + 𝐽))))
16	6, 15	pm2.61d 181	1 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝐼 · (𝐼 + 𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416   + caddc 11128   · cmul 11130  2c2 12320  ℤcz 12616   ∥ cdvds 16344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-n0 12530  df-z 12617  df-dvds 16345

This theorem is used by: (None)