Theorem evenwodadd 46879

Description: If an integer is multiplied by its sum with an odd number (thus changing its parity), the result is even. (Contributed by Ender Ting, 30-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evenwodadd.1	⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ ℤ)
evenwodadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑗 ∈ ℤ)
evenwodadd.3	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑗)

Assertion

Ref	Expression
evenwodadd	⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗)))

Proof of Theorem evenwodadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12507	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
3		evenwodadd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ ℤ)
4		evenwodadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑗 ∈ ℤ)
5	3, 4	zaddcld 12584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
6		dvdsmultr1 16207	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
8		evenwodadd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑗)
9		4anpull2 1362	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗)) ↔ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖))
10		opoe 16274	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗)) → 2 ∥ (𝑖 + 𝑗))
11	9, 10	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∥ (𝑖 + 𝑗))
12	11	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗) → (¬ 2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 + 𝑗)))
13	3, 4, 8, 12	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 + 𝑗)))
14		dvdsmultr2 16209	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑖 + 𝑗) → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
15	2, 3, 5, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝑖 + 𝑗) → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
16	13, 15	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
17	7, 16	pm2.61d 179	1 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349   + caddc 11012   · cmul 11014  2c2 12183  ℤcz 12471   ∥ cdvds 16163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-dvds 16164

This theorem is referenced by: (None)