Theorem evenwodadd 46879

Description: If an integer is multiplied by its sum with an odd number (thus changing its parity), the result is even. (Contributed by Ender Ting, 30-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evenwodadd.1	⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ ℤ)
evenwodadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑗 ∈ ℤ)
evenwodadd.3	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑗)

Assertion

Ref	Expression
evenwodadd	⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗)))

Proof of Theorem evenwodadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12571	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
3		evenwodadd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ ℤ)
4		evenwodadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑗 ∈ ℤ)
5	3, 4	zaddcld 12648	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
6		dvdsmultr1 16272	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
8		evenwodadd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑗)
9		4anpull2 1362	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗)) ↔ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖))
10		opoe 16339	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗)) → 2 ∥ (𝑖 + 𝑗))
11	9, 10	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∥ (𝑖 + 𝑗))
12	11	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗) → (¬ 2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 + 𝑗)))
13	3, 4, 8, 12	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 + 𝑗)))
14		dvdsmultr2 16274	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑖 + 𝑗) → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
15	2, 3, 5, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝑖 + 𝑗) → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
16	13, 15	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
17	7, 16	pm2.61d 179	1 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109  (class class class)co 7389   + caddc 11077   · cmul 11079  2c2 12242  ℤcz 12535   ∥ cdvds 16228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-n0 12449  df-z 12536  df-dvds 16229

This theorem is referenced by: (None)