Theorem evenwodadd 47274

Description: If an integer is multiplied by its sum with an odd number (thus changing its parity), the result is even. (Contributed by Ender Ting, 30-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evenwodadd.1	⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ ℤ)
evenwodadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑗 ∈ ℤ)
evenwodadd.3	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑗)

Assertion

Ref	Expression
evenwodadd	⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗)))

Proof of Theorem evenwodadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12537	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
3		evenwodadd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ ℤ)
4		evenwodadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑗 ∈ ℤ)
5	3, 4	zaddcld 12614	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
6		dvdsmultr1 16237	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
8		evenwodadd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑗)
9		4anpull2 1363	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗)) ↔ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖))
10		opoe 16304	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗)) → 2 ∥ (𝑖 + 𝑗))
11	9, 10	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∥ (𝑖 + 𝑗))
12	11	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗) → (¬ 2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 + 𝑗)))
13	3, 4, 8, 12	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 + 𝑗)))
14		dvdsmultr2 16239	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑖 + 𝑗) → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
15	2, 3, 5, 14	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝑖 + 𝑗) → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
16	13, 15	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
17	7, 16	pm2.61d 179	1 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370   + caddc 11043   · cmul 11045  2c2 12214  ℤcz 12502   ∥ cdvds 16193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-z 12503  df-dvds 16194

This theorem is referenced by: (None)