Theorem evenwodadd 46984

Description: If an integer is multiplied by its sum with an odd number (thus changing its parity), the result is even. (Contributed by Ender Ting, 30-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evenwodadd.1	⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ ℤ)
evenwodadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑗 ∈ ℤ)
evenwodadd.3	⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑗)

Assertion

Ref	Expression
evenwodadd	⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗)))

Proof of Theorem evenwodadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12504	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
3		evenwodadd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ ℤ)
4		evenwodadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑗 ∈ ℤ)
5	3, 4	zaddcld 12581	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ)
6		dvdsmultr1 16207	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
7	2, 3, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
8		evenwodadd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑗)
9		4anpull2 1362	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗)) ↔ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖))
10		opoe 16274	. . . . . 6 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗)) → 2 ∥ (𝑖 + 𝑗))
11	9, 10	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∥ (𝑖 + 𝑗))
12	11	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑗) → (¬ 2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 + 𝑗)))
13	3, 4, 8, 12	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 + 𝑗)))
14		dvdsmultr2 16209	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑖 + 𝑗) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑖 + 𝑗) → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
15	2, 3, 5, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ (𝑖 + 𝑗) → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
16	13, 15	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑖 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗))))
17	7, 16	pm2.61d 179	1 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ (𝑖 · (𝑖 + 𝑗)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346   + caddc 11009   · cmul 11011  2c2 12180  ℤcz 12468   ∥ cdvds 16163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-dvds 16164

This theorem is referenced by: (None)