Theorem lambert0 47758

Description: A value of Lambert W (product logarithm) function at zero. (Contributed by Ender Ting, 13-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lambert0.1	⊢ 𝑅 = ◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
lambert0	⊢ 0𝑅0

Proof of Theorem lambert0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11227	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
2		eqcom 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 ↔ 0 = 𝑥)
3	2	biimpi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → 0 = 𝑥)
4		0cnd 11226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → 0 ∈ ℂ)
5	3, 4	eqeltrrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℂ)
6	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
7		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
8		ef0 16180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (exp‘0) = 1
9		ax-1cn 11185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	8, 9	eqeltri 2856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (exp‘0) ∈ ℂ
11	10	mul02i 11426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 · (exp‘0)) = 0
12	3	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘0) = (exp‘𝑥))
13	3, 12	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (0 · (exp‘0)) = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
14	11, 13	eqtr3id 2809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → 0 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
15	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 0 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
16	7, 15	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
17	6, 16	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))))
18		tbtru 1578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ⊤))
19	17, 18	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ⊤))
20		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}
21	1, 1, 19, 20	braba 5515	. . . . 5 ⊢ (0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0 ↔ ⊤)
22		tbtru 1578	. . . . 5 ⊢ (0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0 ↔ (0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0 ↔ ⊤))
23	21, 22	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0
24		df-mpt 5187	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥))) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}
25	24	breqi 5109	. . . 4 ⊢ (0(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0 ↔ 0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0)
26	23, 25	mpbir 234	. . 3 ⊢ 0(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0
27	1, 1	brcnv 5862	. . 3 ⊢ (0◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0 ↔ 0(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0)
28	26, 27	mpbir 234	. 2 ⊢ 0◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0
29		lambert0.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = ◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))
30	29	breqi 5109	. 2 ⊢ (0𝑅0 ↔ 0◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0)
31	28, 30	mpbir 234	1 ⊢ 0𝑅0

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  {copab 5167   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5654  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132  expce 16150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-ico 13407  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-seq 14069  df-exp 14129  df-fac 14341  df-hash 14398  df-shft 15143  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-limsup 15561  df-clim 15578  df-rlim 15579  df-sum 15777  df-ef 16156

This theorem is used by: (None)