Theorem lambert0 48079

Description: A value of Lambert W (product logarithm) function at zero. (Contributed by Ender Ting, 13-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lambert0.1	⊢ 𝑅 = ◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
lambert0	⊢ 0𝑅0

Proof of Theorem lambert0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11313	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
2		eqcom 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 ↔ 0 = 𝑥)
3	2	biimpi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → 0 = 𝑥)
4		0cnd 11312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → 0 ∈ ℂ)
5	3, 4	eqeltrrd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℂ)
6	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
7		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
8		ef0 16272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (exp‘0) = 1
9		ax-1cn 11271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	8, 9	eqeltri 2860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (exp‘0) ∈ ℂ
11	10	mul02i 11512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 · (exp‘0)) = 0
12	3	fveq2d 6900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘0) = (exp‘𝑥))
13	3, 12	oveq12d 7448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (0 · (exp‘0)) = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
14	11, 13	eqtr3id 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → 0 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
15	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 0 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
16	7, 15	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
17	6, 16	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))))
18		tbtru 1577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ⊤))
19	17, 18	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ⊤))
20		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}
21	1, 1, 19, 20	braba 5515	. . . . 5 ⊢ (0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0 ↔ ⊤)
22		tbtru 1577	. . . . 5 ⊢ (0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0 ↔ (0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0 ↔ ⊤))
23	21, 22	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0
24		df-mpt 5190	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥))) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}
25	24	breqi 5112	. . . 4 ⊢ (0(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0 ↔ 0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0)
26	23, 25	mpbir 234	. . 3 ⊢ 0(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0
27	1, 1	brcnv 5865	. . 3 ⊢ (0◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0 ↔ 0(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0)
28	26, 27	mpbir 234	. 2 ⊢ 0◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0
29		lambert0.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = ◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))
30	29	breqi 5112	. 2 ⊢ (0𝑅0 ↔ 0◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0)
31	28, 30	mpbir 234	1 ⊢ 0𝑅0

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5106  {copab 5170   ↦ cmpt 5189  ^◡ccnv 5654  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℂcc 11211  0cc0 11213  1c1 11214   · cmul 11218  expce 16242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-inf 9448  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-rp 13134  df-ico 13495  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-fl 13945  df-seq 14158  df-exp 14218  df-fac 14431  df-hash 14488  df-shft 15235  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-limsup 15653  df-clim 15670  df-rlim 15671  df-sum 15869  df-ef 16248

This theorem is used by: (None)