Theorem lambert0 46855

Description: A value of Lambert W (product logarithm) function at zero. (Contributed by Ender Ting, 13-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lambert0.1	⊢ 𝑅 = ◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
lambert0	⊢ 0𝑅0

Proof of Theorem lambert0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11222	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
2		eqcom 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 ↔ 0 = 𝑥)
3	2	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → 0 = 𝑥)
4		0cnd 11221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → 0 ∈ ℂ)
5	3, 4	eqeltrrd 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
7		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
8		ef0 16096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (exp‘0) = 1
9		ax-1cn 11180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	8, 9	eqeltri 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (exp‘0) ∈ ℂ
11	10	mul02i 11417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 · (exp‘0)) = 0
12	3	fveq2d 6877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘0) = (exp‘𝑥))
13	3, 12	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (0 · (exp‘0)) = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
14	11, 13	eqtr3id 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → 0 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 0 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
16	7, 15	eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
17	6, 16	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))))
18		tbtru 1547	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ⊤))
19	17, 18	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ⊤))
20		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}
21	1, 1, 19, 20	braba 5510	. . . . 5 ⊢ (0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0 ↔ ⊤)
22		tbtru 1547	. . . . 5 ⊢ (0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0 ↔ (0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0 ↔ ⊤))
23	21, 22	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0
24		df-mpt 5200	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥))) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}
25	24	breqi 5123	. . . 4 ⊢ (0(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0 ↔ 0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0)
26	23, 25	mpbir 231	. . 3 ⊢ 0(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0
27	1, 1	brcnv 5860	. . 3 ⊢ (0◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0 ↔ 0(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0)
28	26, 27	mpbir 231	. 2 ⊢ 0◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0
29		lambert0.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = ◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))
30	29	breqi 5123	. 2 ⊢ (0𝑅0 ↔ 0◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0)
31	28, 30	mpbir 231	1 ⊢ 0𝑅0

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5117  {copab 5179   ↦ cmpt 5199  ^◡ccnv 5651  ‘cfv 6528  (class class class)co 7400  ℂcc 11120  0cc0 11122  1c1 11123   · cmul 11127  expce 16066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-inf2 9648  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199  ax-pre-sup 11200

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-int 4921  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-er 8714  df-pm 8838  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-sup 9449  df-inf 9450  df-oi 9517  df-card 9946  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11888  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-n0 12495  df-z 12582  df-uz 12846  df-rp 13002  df-ico 13360  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13799  df-seq 14010  df-exp 14070  df-fac 14282  df-hash 14339  df-shft 15075  df-cj 15107  df-re 15108  df-im 15109  df-sqrt 15243  df-abs 15244  df-limsup 15476  df-clim 15493  df-rlim 15494  df-sum 15692  df-ef 16072

This theorem is referenced by: (None)