Theorem lambert0 47701

Description: A value of Lambert W (product logarithm) function at zero. (Contributed by Ender Ting, 13-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lambert0.1	⊢ 𝑅 = ◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
lambert0	⊢ 0𝑅0

Proof of Theorem lambert0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11219	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
2		eqcom 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 ↔ 0 = 𝑥)
3	2	biimpi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → 0 = 𝑥)
4		0cnd 11218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → 0 ∈ ℂ)
5	3, 4	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℂ)
6	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
7		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
8		ef0 16171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (exp‘0) = 1
9		ax-1cn 11177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	8, 9	eqeltri 2861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (exp‘0) ∈ ℂ
11	10	mul02i 11418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 · (exp‘0)) = 0
12	3	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘0) = (exp‘𝑥))
13	3, 12	oveq12d 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (0 · (exp‘0)) = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
14	11, 13	eqtr3id 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → 0 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
15	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 0 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
16	7, 15	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
17	6, 16	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))))
18		tbtru 1578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ⊤))
19	17, 18	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ⊤))
20		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}
21	1, 1, 19, 20	braba 5523	. . . . 5 ⊢ (0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0 ↔ ⊤)
22		tbtru 1578	. . . . 5 ⊢ (0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0 ↔ (0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0 ↔ ⊤))
23	21, 22	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0
24		df-mpt 5195	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥))) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}
25	24	breqi 5117	. . . 4 ⊢ (0(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0 ↔ 0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0)
26	23, 25	mpbir 234	. . 3 ⊢ 0(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0
27	1, 1	brcnv 5870	. . 3 ⊢ (0◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0 ↔ 0(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0)
28	26, 27	mpbir 234	. 2 ⊢ 0◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0
29		lambert0.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = ◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))
30	29	breqi 5117	. 2 ⊢ (0𝑅0 ↔ 0◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0)
31	28, 30	mpbir 234	1 ⊢ 0𝑅0

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  {copab 5175   ↦ cmpt 5194  ^◡ccnv 5662  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11117  0cc0 11119  1c1 11120   · cmul 11124  expce 16141

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-rp 13037  df-ico 13398  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-fl 13847  df-seq 14060  df-exp 14120  df-fac 14332  df-hash 14389  df-shft 15132  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-limsup 15550  df-clim 15567  df-rlim 15568  df-sum 15766  df-ef 16147

This theorem is used by: (None)