Theorem lambert0 47358

Description: A value of Lambert W (product logarithm) function at zero. (Contributed by Ender Ting, 13-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lambert0.1	⊢ 𝑅 = ◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
lambert0	⊢ 0𝑅0

Proof of Theorem lambert0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11130	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
2		eqcom 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 ↔ 0 = 𝑥)
3	2	biimpi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → 0 = 𝑥)
4		0cnd 11129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → 0 ∈ ℂ)
5	3, 4	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℂ)
6	5	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
7		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
8		ef0 16048	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (exp‘0) = 1
9		ax-1cn 11088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	8, 9	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (exp‘0) ∈ ℂ
11	10	mul02i 11327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 · (exp‘0)) = 0
12	3	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘0) = (exp‘𝑥))
13	3, 12	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (0 · (exp‘0)) = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
14	11, 13	eqtr3id 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → 0 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
15	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 0 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
16	7, 15	eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
17	6, 16	jca 516	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))))
18		tbtru 1555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ⊤))
19	17, 18	sylib 219	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ⊤))
20		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}
21	1, 1, 19, 20	braba 5480	. . . . 5 ⊢ (0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0 ↔ ⊤)
22		tbtru 1555	. . . . 5 ⊢ (0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0 ↔ (0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0 ↔ ⊤))
23	21, 22	mpbir 232	. . . 4 ⊢ 0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0
24		df-mpt 5155	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥))) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}
25	24	breqi 5079	. . . 4 ⊢ (0(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0 ↔ 0{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}0)
26	23, 25	mpbir 232	. . 3 ⊢ 0(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0
27	1, 1	brcnv 5825	. . 3 ⊢ (0◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0 ↔ 0(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0)
28	26, 27	mpbir 232	. 2 ⊢ 0◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0
29		lambert0.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = ◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))
30	29	breqi 5079	. 2 ⊢ (0𝑅0 ↔ 0◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))0)
31	28, 30	mpbir 232	1 ⊢ 0𝑅0

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547  ⊤wtru 1548   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5073  {copab 5135   ↦ cmpt 5154  ^◡ccnv 5618  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  0cc0 11030  1c1 11031   · cmul 11035  expce 16018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-rp 12935  df-ico 13296  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-fl 13743  df-seq 13956  df-exp 14016  df-fac 14228  df-hash 14285  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15425  df-clim 15442  df-rlim 15443  df-sum 15641  df-ef 16024

This theorem is referenced by: (None)