MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resghm2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resghm2b 18664
Description: Restriction of the codomain of a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resghm2.u 𝑈 = (𝑇s 𝑋)
Assertion
Ref Expression
resghm2b ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈)))

Proof of Theorem resghm2b
StepHypRef Expression
1 ghmgrp1 18648 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
21a1i 11 . 2 ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp))
3 ghmgrp1 18648 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) → 𝑆 ∈ Grp)
43a1i 11 . 2 ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) → 𝑆 ∈ Grp))
5 subgsubm 18589 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) → 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇))
6 resghm2.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑇s 𝑋)
76resmhm2b 18273 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) ∧ ran 𝐹𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈)))
85, 7sylan 583 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈)))
98adantl 485 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹𝑋)) → (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈)))
10 subgrcl 18572 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) → 𝑇 ∈ Grp)
1110adantr 484 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹𝑋) → 𝑇 ∈ Grp)
12 ghmmhmb 18657 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → (𝑆 GrpHom 𝑇) = (𝑆 MndHom 𝑇))
1311, 12sylan2 596 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹𝑋)) → (𝑆 GrpHom 𝑇) = (𝑆 MndHom 𝑇))
1413eleq2d 2824 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹𝑋)) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇)))
156subggrp 18570 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) → 𝑈 ∈ Grp)
1615adantr 484 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹𝑋) → 𝑈 ∈ Grp)
17 ghmmhmb 18657 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp) → (𝑆 GrpHom 𝑈) = (𝑆 MndHom 𝑈))
1816, 17sylan2 596 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹𝑋)) → (𝑆 GrpHom 𝑈) = (𝑆 MndHom 𝑈))
1918eleq2d 2824 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹𝑋)) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈)))
209, 14, 193bitr4d 314 . . 3 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹𝑋)) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈)))
2120expcom 417 . 2 ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹𝑋) → (𝑆 ∈ Grp → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))))
222, 4, 21pm5.21ndd 384 1 ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  wss 3880  ran crn 5566  cfv 6397  (class class class)co 7231  s cress 16808   MndHom cmhm 18240  SubMndcsubmnd 18241  Grpcgrp 18389  SubGrpcsubg 18561   GrpHom cghm 18643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5272  ax-pr 5336  ax-un 7541  ax-cnex 10809  ax-resscn 10810  ax-1cn 10811  ax-icn 10812  ax-addcl 10813  ax-addrcl 10814  ax-mulcl 10815  ax-mulrcl 10816  ax-mulcom 10817  ax-addass 10818  ax-mulass 10819  ax-distr 10820  ax-i2m1 10821  ax-1ne0 10822  ax-1rid 10823  ax-rnegex 10824  ax-rrecex 10825  ax-cnre 10826  ax-pre-lttri 10827  ax-pre-lttrn 10828  ax-pre-ltadd 10829  ax-pre-mulgt0 10830
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3422  df-sbc 3709  df-csb 3826  df-dif 3883  df-un 3885  df-in 3887  df-ss 3897  df-pss 3899  df-nul 4252  df-if 4454  df-pw 4529  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4834  df-iun 4920  df-br 5068  df-opab 5130  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5469  df-eprel 5474  df-po 5482  df-so 5483  df-fr 5523  df-we 5525  df-xp 5571  df-rel 5572  df-cnv 5573  df-co 5574  df-dm 5575  df-rn 5576  df-res 5577  df-ima 5578  df-pred 6175  df-ord 6233  df-on 6234  df-lim 6235  df-suc 6236  df-iota 6355  df-fun 6399  df-fn 6400  df-f 6401  df-f1 6402  df-fo 6403  df-f1o 6404  df-fv 6405  df-riota 7188  df-ov 7234  df-oprab 7235  df-mpo 7236  df-om 7663  df-wrecs 8067  df-recs 8128  df-rdg 8166  df-er 8411  df-map 8530  df-en 8647  df-dom 8648  df-sdom 8649  df-pnf 10893  df-mnf 10894  df-xr 10895  df-ltxr 10896  df-le 10897  df-sub 11088  df-neg 11089  df-nn 11855  df-2 11917  df-sets 16741  df-slot 16759  df-ndx 16769  df-base 16785  df-ress 16809  df-plusg 16839  df-0g 16970  df-mgm 18138  df-sgrp 18187  df-mnd 18198  df-mhm 18242  df-submnd 18243  df-grp 18392  df-minusg 18393  df-subg 18564  df-ghm 18644
This theorem is referenced by:  ghmghmrn  18665  cayley  18830  pj1ghm2  19118  dpjghm2  19475  reslmhm2b  20115  m2cpmghm  21665
  Copyright terms: Public domain W3C validator