Theorem resghm2b 19457

Description: Restriction of the codomain of a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
resghm2.u	⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
resghm2b	⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈)))

Proof of Theorem resghm2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmgrp1 19441	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp))
3		ghmgrp1 19441	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) → 𝑆 ∈ Grp)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) → 𝑆 ∈ Grp))
5		subgsubm 19368	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) → 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇))
6		resghm2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑇 ↾s 𝑋)
7	6	resmhm2b 19027	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈)))
8	5, 7	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈)))
9	8	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋)) → (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈)))
10		subgrcl 19350	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) → 𝑇 ∈ Grp)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) → 𝑇 ∈ Grp)
12		ghmmhmb 19450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → (𝑆 GrpHom 𝑇) = (𝑆 MndHom 𝑇))
13	11, 12	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋)) → (𝑆 GrpHom 𝑇) = (𝑆 MndHom 𝑇))
14	13	eleq2d 2846	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋)) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇)))
15	6	subggrp 19348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) → 𝑈 ∈ Grp)
16	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) → 𝑈 ∈ Grp)
17		ghmmhmb 19450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ Grp) → (𝑆 GrpHom 𝑈) = (𝑆 MndHom 𝑈))
18	16, 17	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋)) → (𝑆 GrpHom 𝑈) = (𝑆 MndHom 𝑈))
19	18	eleq2d 2846	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋)) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈)))
20	9, 14, 19	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋)) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈)))
21	20	expcom 419	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ∈ Grp → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))))
22	2, 4, 21	pm5.21ndd 382	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  ran crn 5652  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↾_s cress 17417   MndHom cmhm 18985  SubMndcsubmnd 18986  Grpcgrp 19153  SubGrpcsubg 19339   GrpHom cghm 19436

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-subg 19342  df-ghm 19437

This theorem is used by:  ghmghmrn  19458  cayley  19637  pj1ghm2  19927  dpjghm2  20289  resrhm2b  20863  reslmhm2b  21338  m2cpmghm  23071