MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resghm2b Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem resghm2b 19195
Description: Restriction of the codomain of a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resghm2.u π‘ˆ = (𝑇 β†Ύs 𝑋)
Assertion
Ref Expression
resghm2b ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ)))
Proof of Theorem resghm2b
StepHypRef Expression
1 ghmgrp1 19179 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ Grp)
21a1i 11 . 2 ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ Grp))
3 ghmgrp1 19179 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ) β†’ 𝑆 ∈ Grp)
43a1i 11 . 2 ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ) β†’ 𝑆 ∈ Grp))
5 subgsubm 19110 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) β†’ 𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡))
6 resghm2.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (𝑇 β†Ύs 𝑋)
76resmhm2b 18781 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (SubMndβ€˜π‘‡) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ)))
85, 7sylan 578 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ)))
98adantl 480 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ)))
10 subgrcl 19093 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) β†’ 𝑇 ∈ Grp)
1110adantr 479 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑇 ∈ Grp)
12 ghmmhmb 19188 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) β†’ (𝑆 GrpHom 𝑇) = (𝑆 MndHom 𝑇))
1311, 12sylan2 591 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋)) β†’ (𝑆 GrpHom 𝑇) = (𝑆 MndHom 𝑇))
1413eleq2d 2815 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇)))
156subggrp 19091 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) β†’ π‘ˆ ∈ Grp)
1615adantr 479 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ π‘ˆ ∈ Grp)
17 ghmmhmb 19188 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Grp ∧ π‘ˆ ∈ Grp) β†’ (𝑆 GrpHom π‘ˆ) = (𝑆 MndHom π‘ˆ))
1816, 17sylan2 591 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋)) β†’ (𝑆 GrpHom π‘ˆ) = (𝑆 MndHom π‘ˆ))
1918eleq2d 2815 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom π‘ˆ)))
209, 14, 193bitr4d 310 . . 3 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ)))
2120expcom 412 . 2 ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑆 ∈ Grp β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ))))
222, 4, 21pm5.21ndd 378 1 ((𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜π‘‡) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949  ran crn 5683  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   β†Ύs cress 17216   MndHom cmhm 18745  SubMndcsubmnd 18746  Grpcgrp 18897  SubGrpcsubg 19082   GrpHom cghm 19174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-ghm 19175
This theorem is referenced by:  ghmghmrn  19196  cayley  19376  pj1ghm2  19666  dpjghm2  20028  resrhm2b  20548  reslmhm2b  20946  m2cpmghm  22666
  Copyright terms: Public domain W3C validator