Theorem subginv 19151

Description: The inverse of an element in a subgroup is the same as the inverse in the larger group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
subg0.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
subginv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
subginv.j	⊢ 𝐽 = (invg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
subginv	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑋) = (𝐽‘𝑋))

Proof of Theorem subginv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subg0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 19147	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
3	1	subgbas 19148	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
4	3	eleq2d 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)))
5	4	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
9		subginv.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (invg‘𝐻)
10	6, 7, 8, 9	grprinv 19008	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑋(+g‘𝐻)(𝐽‘𝑋)) = (0g‘𝐻))
11	2, 5, 10	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋(+g‘𝐻)(𝐽‘𝑋)) = (0g‘𝐻))
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13	1, 12	ressplusg 17334	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
15	14	oveqd 7448	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋(+g‘𝐺)(𝐽‘𝑋)) = (𝑋(+g‘𝐻)(𝐽‘𝑋)))
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	1, 16	subg0 19150	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
19	11, 15, 18	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋(+g‘𝐺)(𝐽‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
20		subgrcl 19149	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
22		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
23	22	subgss 19145	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
24	23	sselda 3983	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
25	6, 9	grpinvcl 19005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻))
26	25	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → (𝑋 ∈ (Base‘𝐻) → (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻)))
27	2, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐻) → (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻)))
28	3	eleq2d 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝐽‘𝑋) ∈ 𝑆 ↔ (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻)))
29	27, 4, 28	3imtr4d 294	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐽‘𝑋) ∈ 𝑆))
30	29	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐽‘𝑋) ∈ 𝑆)
31	23	sselda 3983	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐽‘𝑋) ∈ 𝑆) → (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺))
32	30, 31	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺))
33		subginv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
34	22, 12, 16, 33	grpinvid1 19009	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐼‘𝑋) = (𝐽‘𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐽‘𝑋)) = (0g‘𝐺)))
35	21, 24, 32, 34	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘𝑋) = (𝐽‘𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐽‘𝑋)) = (0g‘𝐺)))
36	19, 35	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑋) = (𝐽‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17484  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141

This theorem is referenced by:  subginvcl  19153  subgsub  19156  subgmulg  19158  zringlpirlem1  21473  prmirred  21485  psgninv  21600  mplneg  22030  subgtgp  24113  clmneg  25114  qrngneg  27667