Theorem subginv 19166

Description: The inverse of an element in a subgroup is the same as the inverse in the larger group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
subg0.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
subginv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
subginv.j	⊢ 𝐽 = (invg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
subginv	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑋) = (𝐽‘𝑋))

Proof of Theorem subginv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subg0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 19162	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
3	1	subgbas 19163	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
4	3	eleq2d 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)))
5	4	biimpa 480	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
7		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
9		subginv.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (invg‘𝐻)
10	6, 7, 8, 9	grprinv 19023	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑋(+g‘𝐻)(𝐽‘𝑋)) = (0g‘𝐻))
11	2, 5, 10	syl2an2r 695	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋(+g‘𝐻)(𝐽‘𝑋)) = (0g‘𝐻))
12		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13	1, 12	ressplusg 17311	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
14	13	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
15	14	oveqd 7408	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋(+g‘𝐺)(𝐽‘𝑋)) = (𝑋(+g‘𝐻)(𝐽‘𝑋)))
16		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	1, 16	subg0 19165	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
18	17	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
19	11, 15, 18	3eqtr4d 2806	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋(+g‘𝐺)(𝐽‘𝑋)) = (0g‘𝐺))
20		subgrcl 19164	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
21	20	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
22		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
23	22	subgss 19160	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
24	23	sselda 3934	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
25	6, 9	grpinvcl 19020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻))
26	25	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → (𝑋 ∈ (Base‘𝐻) → (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻)))
27	2, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐻) → (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻)))
28	3	eleq2d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝐽‘𝑋) ∈ 𝑆 ↔ (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻)))
29	27, 4, 28	3imtr4d 296	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐽‘𝑋) ∈ 𝑆))
30	29	imp 410	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐽‘𝑋) ∈ 𝑆)
31	23	sselda 3934	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐽‘𝑋) ∈ 𝑆) → (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺))
32	30, 31	syldan 600	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺))
33		subginv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
34	22, 12, 16, 33	grpinvid1 19024	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐽‘𝑋) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐼‘𝑋) = (𝐽‘𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐽‘𝑋)) = (0g‘𝐺)))
35	21, 24, 32, 34	syl3anc 1389	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘𝑋) = (𝐽‘𝑋) ↔ (𝑋(+g‘𝐺)(𝐽‘𝑋)) = (0g‘𝐺)))
36	19, 35	mpbird 259	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑋) = (𝐽‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Basecbs 17236   ↾_s cress 17257  +_gcplusg 17277  0_gc0g 17459  Grpcgrp 18966  inv_gcminusg 18967  SubGrpcsubg 19153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-0g 17461  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-subg 19156

This theorem is referenced by:  subginvcl  19168  subgsub  19171  subgmulg  19173  zringlpirlem1  21502  prmirred  21514  psgninv  21622  mplneg  22049  subgtgp  24153  clmneg  25131  qrngneg  27675