Theorem subg0 18857

Description: A subgroup of a group must have the same identity as the group. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subg0.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
subg0.i	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subg0	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 = (0g‘𝐻))

Proof of Theorem subg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subg0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	ressplusg 17097	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
4	3	oveqd 7354	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((0g‘𝐻)(+g‘𝐺)(0g‘𝐻)) = ((0g‘𝐻)(+g‘𝐻)(0g‘𝐻)))
5	1	subggrp 18854	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
8	6, 7	grpidcl 18703	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → (0g‘𝐻) ∈ (Base‘𝐻))
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐻) ∈ (Base‘𝐻))
10		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
11	6, 10, 7	grplid 18705	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐻) ∈ (Base‘𝐻)) → ((0g‘𝐻)(+g‘𝐻)(0g‘𝐻)) = (0g‘𝐻))
12	5, 9, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((0g‘𝐻)(+g‘𝐻)(0g‘𝐻)) = (0g‘𝐻))
13	4, 12	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((0g‘𝐻)(+g‘𝐺)(0g‘𝐻)) = (0g‘𝐻))
14		subgrcl 18856	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
15		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
16	15	subgss 18852	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
17	1	subgbas 18855	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
18	9, 17	eleqtrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐻) ∈ 𝑆)
19	16, 18	sseldd 3933	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐻) ∈ (Base‘𝐺))
20		subg0.i	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
21	15, 2, 20	grpid 18711	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐻) ∈ (Base‘𝐺)) → (((0g‘𝐻)(+g‘𝐺)(0g‘𝐻)) = (0g‘𝐻) ↔ 0 = (0g‘𝐻)))
22	14, 19, 21	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (((0g‘𝐻)(+g‘𝐺)(0g‘𝐻)) = (0g‘𝐻) ↔ 0 = (0g‘𝐻)))
23	13, 22	mpbid 231	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 = (0g‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009   ↾_s cress 17038  +_gcplusg 17059  0_gc0g 17247  Grpcgrp 18673  SubGrpcsubg 18845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-subg 18848

This theorem is referenced by:  subginv  18858  subg0cl  18859  subgmulg  18865  subgga  19002  gasubg  19004  sylow2blem2  19322  subgdmdprd  19732  pgpfaclem1  19779  subrg0  20136  subdrgint  20177  abvres  20205  gzrngunitlem  20769  frlm0  21067  frlmgsum  21085  mpl0  21318  subgnm  23895  cphsubrglem  24447  qrng0  26875  suborng  31814  selvval2lem4  40490  pwssplit4  41185