Theorem cnmsgngrp 21798

Description: The group of signs under multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmsgngrp.u	⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})

Assertion

Ref	Expression
cnmsgngrp	⊢ 𝑈 ∈ Grp

Proof of Theorem cnmsgngrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
2	1	cnmsgnsubg 21796	. 2 ⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
3		cnmsgngrp.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
4		cnex 11209	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
5	4	difexi 5299	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
6		ax-1cn 11186	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		ax-1ne0 11197	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
8		eldifsn 4751	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
9	6, 7, 8	mpbir2an 724	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
10		neg1cn 12231	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
11		neg1ne0 12233	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 0
12		eldifsn 4751	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0))
13	10, 11, 12	mpbir2an 724	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})
14		prssi 4785	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})) → {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))
15	9, 13, 14	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})
16		ressabs 17346	. . . . 5 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
17	5, 15, 16	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
18	3, 17	eqtr4i 2788	. . 3 ⊢ 𝑈 = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1})
19	18	subggrp 19258	. 2 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → 𝑈 ∈ Grp)
20	2, 19	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑈 ∈ Grp

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4587  {cpr 4589  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128  1c1 11129  -cneg 11470   ↾_s cress 17328  Grpcgrp 19063  SubGrpcsubg 19249  mulGrpcmgp 20279  ℂ_fldccnfld 21591

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-addf 11207  ax-mulf 11208

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-subg 19252  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-cring 20381  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-dvr 20548  df-drng 20898  df-cnfld 21592

This theorem is used by:  psgnghm  21799  evpmsubg  33595