MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsgngrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmsgngrp 21533
Description: The group of signs under multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmsgngrp.u 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
Assertion
Ref Expression
cnmsgngrp 𝑈 ∈ Grp

Proof of Theorem cnmsgngrp
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
21cnmsgnsubg 21531 . 2 {1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
3 cnmsgngrp.u . . . 4 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
4 cnex 11226 . . . . . 6 ℂ ∈ V
54difexi 5331 . . . . 5 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
6 ax-1cn 11203 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7 ax-1ne0 11214 . . . . . . 7 1 ≠ 0
8 eldifsn 4792 . . . . . . 7 (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
96, 7, 8mpbir2an 709 . . . . . 6 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
10 neg1cn 12364 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
11 neg1ne0 12366 . . . . . . 7 -1 ≠ 0
12 eldifsn 4792 . . . . . . 7 (-1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0))
1310, 11, 12mpbir2an 709 . . . . . 6 -1 ∈ (ℂ ∖ {0})
14 prssi 4826 . . . . . 6 ((1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})) → {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))
159, 13, 14mp2an 690 . . . . 5 {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})
16 ressabs 17238 . . . . 5 (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
175, 15, 16mp2an 690 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
183, 17eqtr4i 2756 . . 3 𝑈 = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1})
1918subggrp 19097 . 2 ({1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → 𝑈 ∈ Grp)
202, 19ax-mp 5 1 𝑈 ∈ Grp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  Vcvv 3461  cdif 3941  wss 3944  {csn 4630  {cpr 4632  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11143  0cc0 11145  1c1 11146  -cneg 11482  s cress 17217  Grpcgrp 18903  SubGrpcsubg 19088  mulGrpcmgp 20091  fldccnfld 21301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-addf 11224  ax-mulf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-ress 17218  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-starv 17256  df-tset 17260  df-ple 17261  df-ds 17263  df-unif 17264  df-0g 17431  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-subg 19091  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20092  df-rng 20110  df-ur 20139  df-ring 20192  df-cring 20193  df-oppr 20290  df-dvdsr 20313  df-unit 20314  df-invr 20344  df-dvr 20357  df-drng 20643  df-cnfld 21302
This theorem is referenced by:  psgnghm  21534  evpmsubg  32965
  Copyright terms: Public domain W3C validator