Theorem cnmsgngrp 21689

Description: The group of signs under multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmsgngrp.u	⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})

Assertion

Ref	Expression
cnmsgngrp	⊢ 𝑈 ∈ Grp

Proof of Theorem cnmsgngrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
2	1	cnmsgnsubg 21687	. 2 ⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
3		cnmsgngrp.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
4		cnex 11169	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
5	4	difexi 5291	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
6		ax-1cn 11146	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		ax-1ne0 11157	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
8		eldifsn 4749	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
9	6, 7, 8	mpbir2an 723	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
10		neg1cn 12194	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
11		neg1ne0 12196	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 0
12		eldifsn 4749	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0))
13	10, 11, 12	mpbir2an 723	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})
14		prssi 4782	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})) → {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))
15	9, 13, 14	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})
16		ressabs 17298	. . . . 5 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
17	5, 15, 16	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
18	3, 17	eqtr4i 2791	. . 3 ⊢ 𝑈 = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1})
19	18	subggrp 19186	. 2 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → 𝑈 ∈ Grp)
20	2, 19	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑈 ∈ Grp

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  {csn 4585  {cpr 4587  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088  1c1 11089  -cneg 11430   ↾_s cress 17280  Grpcgrp 18990  SubGrpcsubg 19177  mulGrpcmgp 20207  ℂ_fldccnfld 21482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-addf 11167  ax-mulf 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-subg 19180  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-cring 20309  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-dvr 20474  df-drng 20806  df-cnfld 21483

This theorem is referenced by:  psgnghm  21690  evpmsubg  33380