Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsgngrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmsgngrp 20271
 Description: The group of signs under multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmsgngrp.u 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
Assertion
Ref Expression
cnmsgngrp 𝑈 ∈ Grp

Proof of Theorem cnmsgngrp
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
21cnmsgnsubg 20269 . 2 {1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
3 cnmsgngrp.u . . . 4 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
4 cnex 10611 . . . . . 6 ℂ ∈ V
54difexi 5199 . . . . 5 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
6 ax-1cn 10588 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7 ax-1ne0 10599 . . . . . . 7 1 ≠ 0
8 eldifsn 4683 . . . . . . 7 (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
96, 7, 8mpbir2an 710 . . . . . 6 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
10 neg1cn 11743 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
11 neg1ne0 11745 . . . . . . 7 -1 ≠ 0
12 eldifsn 4683 . . . . . . 7 (-1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0))
1310, 11, 12mpbir2an 710 . . . . . 6 -1 ∈ (ℂ ∖ {0})
14 prssi 4717 . . . . . 6 ((1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})) → {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))
159, 13, 14mp2an 691 . . . . 5 {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})
16 ressabs 16558 . . . . 5 (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
175, 15, 16mp2an 691 . . . 4 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
183, 17eqtr4i 2827 . . 3 𝑈 = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1})
1918subggrp 18277 . 2 ({1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → 𝑈 ∈ Grp)
202, 19ax-mp 5 1 𝑈 ∈ Grp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  Vcvv 3444   ∖ cdif 3881   ⊆ wss 3884  {csn 4528  {cpr 4530  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  0cc0 10530  1c1 10531  -cneg 10864   ↾s cress 16479  Grpcgrp 18098  SubGrpcsubg 18268  mulGrpcmgp 19235  ℂfldccnfld 20094 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-subg 18271  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-drng 19500  df-cnfld 20095 This theorem is referenced by:  psgnghm  20272  evpmsubg  30842
 Copyright terms: Public domain W3C validator