Theorem zringcyg 21628

Description: The integers are a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringcyg	⊢ ℤring ∈ CycGrp

Proof of Theorem zringcyg

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 21612	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.g‘ℤring) = (.g‘ℤring)
3		zsubrg 21579	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
4		subrgsubg 20685	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
6		df-zring 21606	. . . . 5 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
7	6	subggrp 19199	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℤring ∈ Grp)
8	5, 7	mp1i 14	. . 3 ⊢ (⊤ → ℤring ∈ Grp)
9		1zzd 12629	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10		ax-1cn 11162	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		cnfldmulg 21563	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
12	10, 11	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
13		1z 12628	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
15	14, 6, 2	subgmulg 19211	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
16	5, 13, 15	mp3an13 1481	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
17		zcn 12600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
18	17	mulridd 11230	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
19	12, 16, 18	3eqtr3rd 2807	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 = (𝑥(.g‘ℤring)1))
20		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧(.g‘ℤring)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
21	20	rspceeqv 3604	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑥(.g‘ℤring)1)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
22	19, 21	mpdan 699	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
23	22	adantl 486	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
24	1, 2, 8, 9, 23	iscygd 19961	. 2 ⊢ (⊤ → ℤring ∈ CycGrp)
25	24	mptru 1577	1 ⊢ ℤring ∈ CycGrp

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  1c1 11105   · cmul 11109  ℤcz 12595  Grpcgrp 19004  ._gcmg 19137  SubGrpcsubg 19190  CycGrpccyg 19951  SubRingcsubrg 20677  ℂ_fldccnfld 21531  ℤ_ringczring 21605

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-addf 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-seq 14043  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-0g 17498  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-mulg 19138  df-subg 19193  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-cyg 19952  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-subrng 20654  df-subrg 20678  df-cnfld 21532  df-zring 21606

This theorem is used by: (None)