Theorem zringcyg 21459

Description: The integers are a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringcyg	⊢ ℤring ∈ CycGrp

Proof of Theorem zringcyg

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 21443	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.g‘ℤring) = (.g‘ℤring)
3		zsubrg 21410	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
4		subrgsubg 20545	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
6		df-zring 21437	. . . . 5 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
7	6	subggrp 19096	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℤring ∈ Grp)
8	5, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → ℤring ∈ Grp)
9		1zzd 12549	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10		ax-1cn 11087	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		cnfldmulg 21393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
12	10, 11	mpan2 692	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
13		1z 12548	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
15	14, 6, 2	subgmulg 19107	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
16	5, 13, 15	mp3an13 1455	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
17		zcn 12520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
18	17	mulridd 11153	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
19	12, 16, 18	3eqtr3rd 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 = (𝑥(.g‘ℤring)1))
20		oveq1 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧(.g‘ℤring)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
21	20	rspceeqv 3588	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑥(.g‘ℤring)1)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
22	19, 21	mpdan 688	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
23	22	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
24	1, 2, 8, 9, 23	iscygd 19853	. 2 ⊢ (⊤ → ℤring ∈ CycGrp)
25	24	mptru 1549	1 ⊢ ℤring ∈ CycGrp

Syntax hints:   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  1c1 11030   · cmul 11034  ℤcz 12515  Grpcgrp 18900  ._gcmg 19034  SubGrpcsubg 19087  CycGrpccyg 19843  SubRingcsubrg 20537  ℂ_fldccnfld 21344  ℤ_ringczring 21436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-seq 13955  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-cyg 19844  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-cnfld 21345  df-zring 21437

This theorem is referenced by: (None)