Theorem zringcyg 21428

Description: The integers are a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringcyg	⊢ ℤring ∈ CycGrp

Proof of Theorem zringcyg

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 21412	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (.g‘ℤring) = (.g‘ℤring)
3		zsubrg 21386	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
4		subrgsubg 20535	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
6		df-zring 21406	. . . . 5 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
7	6	subggrp 19110	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℤring ∈ Grp)
8	5, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → ℤring ∈ Grp)
9		1zzd 12621	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10		ax-1cn 11185	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		cnfldmulg 21364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
12	10, 11	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
13		1z 12620	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
15	14, 6, 2	subgmulg 19121	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
16	5, 13, 15	mp3an13 1454	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
17		zcn 12591	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
18	17	mulridd 11250	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
19	12, 16, 18	3eqtr3rd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 = (𝑥(.g‘ℤring)1))
20		oveq1 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧(.g‘ℤring)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
21	20	rspceeqv 3624	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑥(.g‘ℤring)1)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
22	19, 21	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
23	22	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
24	1, 2, 8, 9, 23	iscygd 19866	. 2 ⊢ (⊤ → ℤring ∈ CycGrp)
25	24	mptru 1547	1 ⊢ ℤring ∈ CycGrp

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  1c1 11128   · cmul 11132  ℤcz 12586  Grpcgrp 18914  ._gcmg 19048  SubGrpcsubg 19101  CycGrpccyg 19856  SubRingcsubrg 20527  ℂ_fldccnfld 21313  ℤ_ringczring 21405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-fz 13523  df-seq 14018  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-0g 17453  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-mulg 19049  df-subg 19104  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-cyg 19857  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-ur 20140  df-ring 20193  df-cring 20194  df-subrng 20504  df-subrg 20528  df-cnfld 21314  df-zring 21406

This theorem is referenced by: (None)