MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringcyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringcyg 20906
Description: The integers are a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zringcyg β„€ring ∈ CycGrp

Proof of Theorem zringcyg
Dummy variables π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 20891 . . 3 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
2 eqid 2737 . . 3 (.gβ€˜β„€ring) = (.gβ€˜β„€ring)
3 zsubrg 20866 . . . . 5 β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
4 subrgsubg 20244 . . . . 5 (β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€ ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 β„€ ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld)
6 df-zring 20886 . . . . 5 β„€ring = (β„‚fld β†Ύs β„€)
76subggrp 18938 . . . 4 (β„€ ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ β„€ring ∈ Grp)
85, 7mp1i 13 . . 3 (⊀ β†’ β„€ring ∈ Grp)
9 1zzd 12541 . . 3 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
10 ax-1cn 11116 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
11 cnfldmulg 20845 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(.gβ€˜β„‚fld)1) = (π‘₯ Β· 1))
1210, 11mpan2 690 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ (π‘₯(.gβ€˜β„‚fld)1) = (π‘₯ Β· 1))
13 1z 12540 . . . . . . 7 1 ∈ β„€
14 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.gβ€˜β„‚fld) = (.gβ€˜β„‚fld)
1514, 6, 2subgmulg 18949 . . . . . . 7 ((β„€ ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ π‘₯ ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘₯(.gβ€˜β„‚fld)1) = (π‘₯(.gβ€˜β„€ring)1))
165, 13, 15mp3an13 1453 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ (π‘₯(.gβ€˜β„‚fld)1) = (π‘₯(.gβ€˜β„€ring)1))
17 zcn 12511 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1817mulid1d 11179 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ (π‘₯ Β· 1) = π‘₯)
1912, 16, 183eqtr3rd 2786 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ π‘₯ = (π‘₯(.gβ€˜β„€ring)1))
20 oveq1 7369 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑧(.gβ€˜β„€ring)1) = (π‘₯(.gβ€˜β„€ring)1))
2120rspceeqv 3600 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ π‘₯ = (π‘₯(.gβ€˜β„€ring)1)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„€ π‘₯ = (𝑧(.gβ€˜β„€ring)1))
2219, 21mpdan 686 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„€ π‘₯ = (𝑧(.gβ€˜β„€ring)1))
2322adantl 483 . . 3 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„€ π‘₯ = (𝑧(.gβ€˜β„€ring)1))
241, 2, 8, 9, 23iscygd 19671 . 2 (⊀ β†’ β„€ring ∈ CycGrp)
2524mptru 1549 1 β„€ring ∈ CycGrp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  1c1 11059   Β· cmul 11063  β„€cz 12506  Grpcgrp 18755  .gcmg 18879  SubGrpcsubg 18929  CycGrpccyg 19661  SubRingcsubrg 20234  β„‚fldccnfld 20812  β„€ringczring 20885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-cmn 19571  df-cyg 19662  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-subrg 20236  df-cnfld 20813  df-zring 20886
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator