Theorem zringcyg 21394

Description: The integers are a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringcyg	⊢ ℤring ∈ CycGrp

Proof of Theorem zringcyg

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 21378	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.g‘ℤring) = (.g‘ℤring)
3		zsubrg 21345	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
4		subrgsubg 20480	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
6		df-zring 21372	. . . . 5 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
7	6	subggrp 19026	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℤring ∈ Grp)
8	5, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → ℤring ∈ Grp)
9		1zzd 12524	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10		ax-1cn 11086	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		cnfldmulg 21328	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
12	10, 11	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
13		1z 12523	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
15	14, 6, 2	subgmulg 19037	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
16	5, 13, 15	mp3an13 1454	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
17		zcn 12494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
18	17	mulridd 11151	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
19	12, 16, 18	3eqtr3rd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 = (𝑥(.g‘ℤring)1))
20		oveq1 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧(.g‘ℤring)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
21	20	rspceeqv 3602	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑥(.g‘ℤring)1)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
22	19, 21	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
23	22	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
24	1, 2, 8, 9, 23	iscygd 19784	. 2 ⊢ (⊤ → ℤring ∈ CycGrp)
25	24	mptru 1547	1 ⊢ ℤring ∈ CycGrp

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  1c1 11029   · cmul 11033  ℤcz 12489  Grpcgrp 18830  ._gcmg 18964  SubGrpcsubg 19017  CycGrpccyg 19774  SubRingcsubrg 20472  ℂ_fldccnfld 21279  ℤ_ringczring 21371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-seq 13927  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-cyg 19775  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-cnfld 21280  df-zring 21372

This theorem is referenced by: (None)