Theorem zringcyg 21449

Description: The integers are a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringcyg	⊢ ℤring ∈ CycGrp

Proof of Theorem zringcyg

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 21433	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.g‘ℤring) = (.g‘ℤring)
3		zsubrg 21400	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
4		subrgsubg 20554	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
6		df-zring 21427	. . . . 5 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
7	6	subggrp 19105	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℤring ∈ Grp)
8	5, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → ℤring ∈ Grp)
9		1zzd 12558	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10		ax-1cn 11096	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		cnfldmulg 21384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
12	10, 11	mpan2 692	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
13		1z 12557	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
15	14, 6, 2	subgmulg 19116	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
16	5, 13, 15	mp3an13 1455	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
17		zcn 12529	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
18	17	mulridd 11162	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
19	12, 16, 18	3eqtr3rd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 = (𝑥(.g‘ℤring)1))
20		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧(.g‘ℤring)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
21	20	rspceeqv 3587	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑥(.g‘ℤring)1)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
22	19, 21	mpdan 688	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
23	22	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
24	1, 2, 8, 9, 23	iscygd 19862	. 2 ⊢ (⊤ → ℤring ∈ CycGrp)
25	24	mptru 1549	1 ⊢ ℤring ∈ CycGrp

Syntax hints:   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  1c1 11039   · cmul 11043  ℤcz 12524  Grpcgrp 18909  ._gcmg 19043  SubGrpcsubg 19096  CycGrpccyg 19852  SubRingcsubrg 20546  ℂ_fldccnfld 21352  ℤ_ringczring 21426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-seq 13964  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-cyg 19853  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-cnfld 21353  df-zring 21427

This theorem is referenced by: (None)