MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringcyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringcyg 21402
Description: The integers are a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zringcyg β„€ring ∈ CycGrp

Proof of Theorem zringcyg
Dummy variables π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 21386 . . 3 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
2 eqid 2728 . . 3 (.gβ€˜β„€ring) = (.gβ€˜β„€ring)
3 zsubrg 21360 . . . . 5 β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
4 subrgsubg 20523 . . . . 5 (β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€ ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 β„€ ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld)
6 df-zring 21380 . . . . 5 β„€ring = (β„‚fld β†Ύs β„€)
76subggrp 19091 . . . 4 (β„€ ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ β„€ring ∈ Grp)
85, 7mp1i 13 . . 3 (⊀ β†’ β„€ring ∈ Grp)
9 1zzd 12631 . . 3 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
10 ax-1cn 11204 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
11 cnfldmulg 21338 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(.gβ€˜β„‚fld)1) = (π‘₯ Β· 1))
1210, 11mpan2 689 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ (π‘₯(.gβ€˜β„‚fld)1) = (π‘₯ Β· 1))
13 1z 12630 . . . . . . 7 1 ∈ β„€
14 eqid 2728 . . . . . . . 8 (.gβ€˜β„‚fld) = (.gβ€˜β„‚fld)
1514, 6, 2subgmulg 19102 . . . . . . 7 ((β„€ ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ π‘₯ ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘₯(.gβ€˜β„‚fld)1) = (π‘₯(.gβ€˜β„€ring)1))
165, 13, 15mp3an13 1448 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ (π‘₯(.gβ€˜β„‚fld)1) = (π‘₯(.gβ€˜β„€ring)1))
17 zcn 12601 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1817mulridd 11269 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ (π‘₯ Β· 1) = π‘₯)
1912, 16, 183eqtr3rd 2777 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ π‘₯ = (π‘₯(.gβ€˜β„€ring)1))
20 oveq1 7433 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑧(.gβ€˜β„€ring)1) = (π‘₯(.gβ€˜β„€ring)1))
2120rspceeqv 3633 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ π‘₯ = (π‘₯(.gβ€˜β„€ring)1)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„€ π‘₯ = (𝑧(.gβ€˜β„€ring)1))
2219, 21mpdan 685 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„€ π‘₯ = (𝑧(.gβ€˜β„€ring)1))
2322adantl 480 . . 3 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„€ π‘₯ = (𝑧(.gβ€˜β„€ring)1))
241, 2, 8, 9, 23iscygd 19849 . 2 (⊀ β†’ β„€ring ∈ CycGrp)
2524mptru 1540 1 β„€ring ∈ CycGrp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  1c1 11147   Β· cmul 11151  β„€cz 12596  Grpcgrp 18897  .gcmg 19030  SubGrpcsubg 19082  CycGrpccyg 19839  SubRingcsubrg 20513  β„‚fldccnfld 21286  β„€ringczring 21379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-cyg 19840  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-cnfld 21287  df-zring 21380
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator