MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringcyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringcyg 21429
Description: The integers are a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zringcyg ring ∈ CycGrp

Proof of Theorem zringcyg
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 21413 . . 3 ℤ = (Base‘ℤring)
2 eqid 2725 . . 3 (.g‘ℤring) = (.g‘ℤring)
3 zsubrg 21387 . . . . 5 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
4 subrgsubg 20545 . . . . 5 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
6 df-zring 21407 . . . . 5 ring = (ℂflds ℤ)
76subggrp 19109 . . . 4 (ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℤring ∈ Grp)
85, 7mp1i 13 . . 3 (⊤ → ℤring ∈ Grp)
9 1zzd 12631 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10 ax-1cn 11203 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
11 cnfldmulg 21365 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
1210, 11mpan2 689 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
13 1z 12630 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
14 eqid 2725 . . . . . . . 8 (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
1514, 6, 2subgmulg 19120 . . . . . . 7 ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
165, 13, 15mp3an13 1448 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
17 zcn 12601 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
1817mulridd 11268 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
1912, 16, 183eqtr3rd 2774 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 = (𝑥(.g‘ℤring)1))
20 oveq1 7426 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧(.g‘ℤring)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
2120rspceeqv 3628 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑥(.g‘ℤring)1)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
2219, 21mpdan 685 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
2322adantl 480 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
241, 2, 8, 9, 23iscygd 19871 . 2 (⊤ → ℤring ∈ CycGrp)
2524mptru 1540 1 ring ∈ CycGrp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  wrex 3059  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11143  1c1 11146   · cmul 11150  cz 12596  Grpcgrp 18914  .gcmg 19047  SubGrpcsubg 19100  CycGrpccyg 19861  SubRingcsubrg 20535  fldccnfld 21313  ringczring 21406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-addf 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14008  df-struct 17135  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-starv 17267  df-tset 17271  df-ple 17272  df-ds 17274  df-unif 17275  df-0g 17442  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-mulg 19048  df-subg 19103  df-cmn 19766  df-abl 19767  df-cyg 19862  df-mgp 20104  df-rng 20122  df-ur 20151  df-ring 20204  df-cring 20205  df-subrng 20512  df-subrg 20537  df-cnfld 21314  df-zring 21407
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator