Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringcyg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringcyg 20182
 Description: The integers are a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
zringcyg ring ∈ CycGrp

Proof of Theorem zringcyg
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 20167 . . 3 ℤ = (Base‘ℤring)
2 eqid 2822 . . 3 (.g‘ℤring) = (.g‘ℤring)
3 zsubrg 20142 . . . . 5 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
4 subrgsubg 19532 . . . . 5 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
6 df-zring 20162 . . . . 5 ring = (ℂflds ℤ)
76subggrp 18273 . . . 4 (ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℤring ∈ Grp)
85, 7mp1i 13 . . 3 (⊤ → ℤring ∈ Grp)
9 1zzd 12001 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10 ax-1cn 10584 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
11 cnfldmulg 20121 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
1210, 11mpan2 690 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
13 1z 12000 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
14 eqid 2822 . . . . . . . 8 (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
1514, 6, 2subgmulg 18284 . . . . . . 7 ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
165, 13, 15mp3an13 1449 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
17 zcn 11974 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
1817mulid1d 10647 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
1912, 16, 183eqtr3rd 2866 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 = (𝑥(.g‘ℤring)1))
20 oveq1 7147 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧(.g‘ℤring)1) = (𝑥(.g‘ℤring)1))
2120rspceeqv 3613 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 = (𝑥(.g‘ℤring)1)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
2219, 21mpdan 686 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
2322adantl 485 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑧(.g‘ℤring)1))
241, 2, 8, 9, 23iscygd 18997 . 2 (⊤ → ℤring ∈ CycGrp)
2524mptru 1545 1 ring ∈ CycGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3131  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℂcc 10524  1c1 10527   · cmul 10531  ℤcz 11969  Grpcgrp 18094  .gcmg 18215  SubGrpcsubg 18264  CycGrpccyg 18987  SubRingcsubrg 19522  ℂfldccnfld 20089  ℤringzring 20161 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-cmn 18899  df-cyg 18988  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-subrg 19524  df-cnfld 20090  df-zring 20162 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator