Theorem subgpgp 19630

Description: A subgroup of a p-group is a p-group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subgpgp	⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑆))

Proof of Theorem subgpgp

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpprm 19626	. . 3 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 → 𝑃 ∈ ℙ)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3	subggrp 19160	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
6		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
8	6, 7	ispgp 19625	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
9	8	simp3bi 1146	. . . . 5 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
11	6	subgss 19158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
13		ssralv 4064	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
15		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (od‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (od‘(𝐺 ↾s 𝑆))
16	3, 7, 15	subgod 19603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥))
17	16	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥))
18	17	eqeq1d 2737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) ↔ ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
19	18	rexbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
20	19	ralbidva 3174	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
21	14, 20	sylibd 239	. . . 4 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
22	10, 21	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
23	3	subgbas 19161	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
24	23	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
25	22, 24	raleqtrdv 3326	. 2 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
26		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
27	26, 15	ispgp 19625	. 2 ⊢ (𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑆) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
28	2, 5, 25, 27	syl3anbrc 1342	1 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℕ₀cn0 12524  ↑cexp 14099  ℙcprime 16705  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  Grpcgrp 18964  SubGrpcsubg 19151  odcod 19557   pGrp cpgp 19559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-od 19561  df-pgp 19563

This theorem is referenced by:  pgpfaclem1  20116  pgpfaclem3  20118