Theorem subgpgp 19538

Description: A subgroup of a p-group is a p-group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subgpgp	⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑆))

Proof of Theorem subgpgp

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpprm 19534	. . 3 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 → 𝑃 ∈ ℙ)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3	subggrp 19071	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
8	6, 7	ispgp 19533	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
9	8	simp3bi 1148	. . . . 5 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
11	6	subgss 19069	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
13		ssralv 4004	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
15		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (od‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (od‘(𝐺 ↾s 𝑆))
16	3, 7, 15	subgod 19511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥))
17	16	adantll 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥))
18	17	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) ↔ ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
19	18	rexbidv 3162	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
20	19	ralbidva 3159	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
21	14, 20	sylibd 239	. . . 4 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
22	10, 21	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
23	3	subgbas 19072	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
24	23	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
25	22, 24	raleqtrdv 3300	. 2 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
26		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
27	26, 15	ispgp 19533	. 2 ⊢ (𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑆) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
28	2, 5, 25, 27	syl3anbrc 1345	1 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℕ₀cn0 12413  ↑cexp 13996  ℙcprime 16610  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  Grpcgrp 18875  SubGrpcsubg 19062  odcod 19465   pGrp cpgp 19467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-od 19469  df-pgp 19471

This theorem is referenced by:  pgpfaclem1  20024  pgpfaclem3  20026