MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgpgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgpgp 18841
Description: A subgroup of a p-group is a p-group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
subgpgp ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 pGrp (𝐺s 𝑆))

Proof of Theorem subgpgp
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpprm 18837 . . 3 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
21adantr 484 . 2 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 ∈ ℙ)
3 eqid 2738 . . . 4 (𝐺s 𝑆) = (𝐺s 𝑆)
43subggrp 18401 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
54adantl 485 . 2 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
6 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7 eqid 2738 . . . . . . 7 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
86, 7ispgp 18836 . . . . . 6 (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
98simp3bi 1148 . . . . 5 (𝑃 pGrp 𝐺 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛))
109adantr 484 . . . 4 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛))
116subgss 18399 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1211adantl 485 . . . . . 6 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
13 ssralv 3944 . . . . . 6 (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛) → ∀𝑥𝑆𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛) → ∀𝑥𝑆𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
15 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (od‘(𝐺s 𝑆)) = (od‘(𝐺s 𝑆))
163, 7, 15subgod 18814 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥))
1716adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥))
1817eqeq1d 2740 . . . . . . 7 (((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛) ↔ ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
1918rexbidv 3207 . . . . . 6 (((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
2019ralbidva 3108 . . . . 5 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥𝑆𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛) ↔ ∀𝑥𝑆𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
2114, 20sylibd 242 . . . 4 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛) → ∀𝑥𝑆𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
2210, 21mpd 15 . . 3 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥𝑆𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃𝑛))
233subgbas 18402 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
2423adantl 485 . . . 4 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
2524raleqdv 3316 . . 3 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥𝑆𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆))∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
2622, 25mpbid 235 . 2 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆))∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃𝑛))
27 eqid 2738 . . 3 (Base‘(𝐺s 𝑆)) = (Base‘(𝐺s 𝑆))
2827, 15ispgp 18836 . 2 (𝑃 pGrp (𝐺s 𝑆) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐺s 𝑆) ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆))∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
292, 5, 26, 28syl3anbrc 1344 1 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 pGrp (𝐺s 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  wrex 3054  wss 3844   class class class wbr 5031  cfv 6340  (class class class)co 7171  0cn0 11977  cexp 13522  cprime 16113  Basecbs 16587  s cress 16588  Grpcgrp 18220  SubGrpcsubg 18392  odcod 18771   pGrp cpgp 18773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-er 8321  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-sup 8980  df-inf 8981  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-nn 11718  df-2 11780  df-n0 11978  df-z 12064  df-uz 12326  df-seq 13462  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-ress 16595  df-plusg 16682  df-0g 16819  df-mgm 17969  df-sgrp 18018  df-mnd 18029  df-submnd 18074  df-grp 18223  df-minusg 18224  df-mulg 18344  df-subg 18395  df-od 18775  df-pgp 18777
This theorem is referenced by:  pgpfaclem1  19323  pgpfaclem3  19325
  Copyright terms: Public domain W3C validator