Theorem subgpgp 19117

Description: A subgroup of a p-group is a p-group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subgpgp	⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑆))

Proof of Theorem subgpgp

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpprm 19113	. . 3 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 → 𝑃 ∈ ℙ)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3	subggrp 18673	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
6		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
8	6, 7	ispgp 19112	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
9	8	simp3bi 1145	. . . . 5 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
11	6	subgss 18671	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
13		ssralv 3983	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
15		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (od‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (od‘(𝐺 ↾s 𝑆))
16	3, 7, 15	subgod 19090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥))
17	16	adantll 710	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥))
18	17	eqeq1d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) ↔ ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
19	18	rexbidv 3225	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
20	19	ralbidva 3119	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
21	14, 20	sylibd 238	. . . 4 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
22	10, 21	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
23	3	subgbas 18674	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
24	23	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
25	24	raleqdv 3339	. . 3 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
26	22, 25	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
27		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
28	27, 15	ispgp 19112	. 2 ⊢ (𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑆) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
29	2, 5, 26, 28	syl3anbrc 1341	1 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℕ₀cn0 12163  ↑cexp 13710  ℙcprime 16304  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  Grpcgrp 18492  SubGrpcsubg 18664  odcod 19047   pGrp cpgp 19049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-od 19051  df-pgp 19053

This theorem is referenced by:  pgpfaclem1  19599  pgpfaclem3  19601