Theorem subgpgp 18220

Description: A subgroup of a p-group is a p-group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subgpgp	⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑆))

Proof of Theorem subgpgp

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpprm 18216	. . 3 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 → 𝑃 ∈ ℙ)
2	1	adantr 466	. 2 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
4	3	subggrp 17806	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	4	adantl 467	. 2 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
6		eqid 2771	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2771	. . . . . . 7 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
8	6, 7	ispgp 18215	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
9	8	simp3bi 1141	. . . . 5 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
10	9	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
11	6	subgss 17804	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12	11	adantl 467	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
13		ssralv 3816	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
15		eqid 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (od‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (od‘(𝐺 ↾s 𝑆))
16	3, 7, 15	subgod 18193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥))
17	16	adantll 687	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥))
18	17	eqeq1d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) ↔ ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
19	18	rexbidv 3200	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
20	19	ralbidva 3134	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
21	14, 20	sylibd 229	. . . 4 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
22	10, 21	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
23	3	subgbas 17807	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
24	23	adantl 467	. . . 4 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
25	24	raleqdv 3293	. . 3 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
26	22, 25	mpbid 222	. 2 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛))
27		eqid 2771	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
28	27, 15	ispgp 18215	. 2 ⊢ (𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑆) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃↑𝑛)))
29	2, 5, 26, 28	syl3anbrc 1428	1 ⊢ ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 pGrp (𝐺 ↾s 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3724   class class class wbr 4787  ‘cfv 6032  (class class class)co 6794  ℕ₀cn0 11495  ↑cexp 13068  ℙcprime 15593  Basecbs 16065   ↾_s cress 16066  Grpcgrp 17631  SubGrpcsubg 17797  odcod 18152   pGrp cpgp 18154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-nn 11224  df-2 11282  df-n0 11496  df-z 11581  df-seq 13010  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-ress 16073  df-plusg 16163  df-0g 16311  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-submnd 17545  df-grp 17634  df-minusg 17635  df-mulg 17750  df-subg 17800  df-od 18156  df-pgp 18158

This theorem is referenced by:  pgpfaclem1  18689  pgpfaclem3  18691