MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgpgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgpgp 19387
Description: A subgroup of a p-group is a p-group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
subgpgp ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 pGrp (𝐺s 𝑆))

Proof of Theorem subgpgp
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpprm 19383 . . 3 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
21adantr 482 . 2 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 ∈ ℙ)
3 eqid 2733 . . . 4 (𝐺s 𝑆) = (𝐺s 𝑆)
43subggrp 18939 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
54adantl 483 . 2 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7 eqid 2733 . . . . . . 7 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
86, 7ispgp 19382 . . . . . 6 (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
98simp3bi 1148 . . . . 5 (𝑃 pGrp 𝐺 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛))
109adantr 482 . . . 4 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛))
116subgss 18937 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1211adantl 483 . . . . . 6 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
13 ssralv 4014 . . . . . 6 (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛) → ∀𝑥𝑆𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛) → ∀𝑥𝑆𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
15 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (od‘(𝐺s 𝑆)) = (od‘(𝐺s 𝑆))
163, 7, 15subgod 19360 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥))
1716adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆) → ((od‘𝐺)‘𝑥) = ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥))
1817eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆) → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛) ↔ ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
1918rexbidv 3172 . . . . . 6 (((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
2019ralbidva 3169 . . . . 5 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥𝑆𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛) ↔ ∀𝑥𝑆𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
2114, 20sylibd 238 . . . 4 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃𝑛) → ∀𝑥𝑆𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
2210, 21mpd 15 . . 3 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥𝑆𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃𝑛))
233subgbas 18940 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
2423adantl 483 . . . 4 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
2524raleqdv 3312 . . 3 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∀𝑥𝑆𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆))∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
2622, 25mpbid 231 . 2 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆))∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃𝑛))
27 eqid 2733 . . 3 (Base‘(𝐺s 𝑆)) = (Base‘(𝐺s 𝑆))
2827, 15ispgp 19382 . 2 (𝑃 pGrp (𝐺s 𝑆) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐺s 𝑆) ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆))∃𝑛 ∈ ℕ0 ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝑥) = (𝑃𝑛)))
292, 5, 26, 28syl3anbrc 1344 1 ((𝑃 pGrp 𝐺𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 pGrp (𝐺s 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070  wss 3914   class class class wbr 5109  cfv 6500  (class class class)co 7361  0cn0 12421  cexp 13976  cprime 16555  Basecbs 17091  s cress 17120  Grpcgrp 18756  SubGrpcsubg 18930  odcod 19314   pGrp cpgp 19316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-seq 13916  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-od 19318  df-pgp 19320
This theorem is referenced by:  pgpfaclem1  19868  pgpfaclem3  19870
  Copyright terms: Public domain W3C validator