MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subglsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subglsm 18799
Description: The subgroup sum evaluated within a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
subglsm.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
subglsm.s = (LSSum‘𝐺)
subglsm.a 𝐴 = (LSSum‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
subglsm ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) = (𝑇𝐴𝑈))

Proof of Theorem subglsm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑇𝑦𝑈) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 subglsm.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
3 eqid 2824 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
42, 3ressplusg 16612 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
51, 4syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑇𝑦𝑈) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
65oveqd 7166 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑥𝑇𝑦𝑈) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
76mpoeq3dva 7224 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐻)𝑦)))
87rneqd 5795 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → ran (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) = ran (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐻)𝑦)))
9 subgrcl 18284 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
1093ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
11 simp2 1134 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑇𝑆)
12 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1312subgss 18280 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
14133ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1511, 14sstrd 3963 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
16 simp3 1135 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑈𝑆)
1716, 14sstrd 3963 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
18 subglsm.s . . . 4 = (LSSum‘𝐺)
1912, 3, 18lsmvalx 18764 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 𝑈) = ran (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)))
2010, 15, 17, 19syl3anc 1368 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) = ran (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)))
212subggrp 18282 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
22213ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝐻 ∈ Grp)
232subgbas 18283 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
24233ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
2511, 24sseqtrd 3993 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐻))
2616, 24sseqtrd 3993 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐻))
27 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
28 eqid 2824 . . . 4 (+g𝐻) = (+g𝐻)
29 subglsm.a . . . 4 𝐴 = (LSSum‘𝐻)
3027, 28, 29lsmvalx 18764 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐻) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐻)) → (𝑇𝐴𝑈) = ran (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐻)𝑦)))
3122, 25, 26, 30syl3anc 1368 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇𝐴𝑈) = ran (𝑥𝑇, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐻)𝑦)))
328, 20, 313eqtr4d 2869 1 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) = (𝑇𝐴𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919  ran crn 5543  cfv 6343  (class class class)co 7149  cmpo 7151  Basecbs 16483  s cress 16484  +gcplusg 16565  Grpcgrp 18103  SubGrpcsubg 18273  LSSumclsm 18759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-subg 18276  df-lsm 18761
This theorem is referenced by:  pgpfaclem1  19203
  Copyright terms: Public domain W3C validator