Theorem subglsm 18802

Description: The subgroup sum evaluated within a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
subglsm.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
subglsm.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
subglsm.a	⊢ 𝐴 = (LSSum‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
subglsm	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑇𝐴𝑈))

Proof of Theorem subglsm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subglsm.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
3		eqid 2824	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	2, 3	ressplusg 16615	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
6	5	oveqd 7176	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
7	6	mpoeq3dva 7234	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
8	7	rneqd 5811	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
9		subgrcl 18287	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
10	9	3ad2ant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
11		simp2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
12		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13	12	subgss 18283	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
14	13	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
15	11, 14	sstrd 3980	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
16		simp3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑈 ⊆ 𝑆)
17	16, 14	sstrd 3980	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
18		subglsm.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
19	12, 3, 18	lsmvalx 18767	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
20	10, 15, 17, 19	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
21	2	subggrp 18285	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
22	21	3ad2ant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝐻 ∈ Grp)
23	2	subgbas 18286	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
24	23	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
25	11, 24	sseqtrd 4010	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐻))
26	16, 24	sseqtrd 4010	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐻))
27		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
28		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
29		subglsm.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSSum‘𝐻)
30	27, 28, 29	lsmvalx 18767	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐻) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐻)) → (𝑇𝐴𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
31	22, 25, 26, 30	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑇𝐴𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
32	8, 20, 31	3eqtr4d 2869	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑇𝐴𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3939  ran crn 5559  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ∈ cmpo 7161  Basecbs 16486   ↾_s cress 16487  +_gcplusg 16568  Grpcgrp 18106  SubGrpcsubg 18276  LSSumclsm 18762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-subg 18279  df-lsm 18764

This theorem is referenced by:  pgpfaclem1  19206