Theorem subglsm 19582

Description: The subgroup sum evaluated within a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
subglsm.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
subglsm.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
subglsm.a	⊢ 𝐴 = (LSSum‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
subglsm	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑇𝐴𝑈))

Proof of Theorem subglsm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1203	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subglsm.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
3		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	2, 3	ressplusg 17239	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
6	5	oveqd 7428	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
7	6	mpoeq3dva 7488	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
8	7	rneqd 5937	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
9		subgrcl 19047	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
10	9	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
11		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
12		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13	12	subgss 19043	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
14	13	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
15	11, 14	sstrd 3992	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
16		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑈 ⊆ 𝑆)
17	16, 14	sstrd 3992	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
18		subglsm.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
19	12, 3, 18	lsmvalx 19548	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
20	10, 15, 17, 19	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
21	2	subggrp 19045	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
22	21	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝐻 ∈ Grp)
23	2	subgbas 19046	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
24	23	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
25	11, 24	sseqtrd 4022	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐻))
26	16, 24	sseqtrd 4022	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐻))
27		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
28		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
29		subglsm.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSSum‘𝐻)
30	27, 28, 29	lsmvalx 19548	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐻) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐻)) → (𝑇𝐴𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
31	22, 25, 26, 30	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑇𝐴𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
32	8, 20, 31	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑇𝐴𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  ran crn 5677  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  Basecbs 17148   ↾_s cress 17177  +_gcplusg 17201  Grpcgrp 18855  SubGrpcsubg 19036  LSSumclsm 19543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-subg 19039  df-lsm 19545

This theorem is referenced by:  pgpfaclem1  19992