Theorem subglsm 19745

Description: The subgroup sum evaluated within a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
subglsm.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
subglsm.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
subglsm.a	⊢ 𝐴 = (LSSum‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
subglsm	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑇𝐴𝑈))

Proof of Theorem subglsm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1220	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subglsm.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
3		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	2, 3	ressplusg 17346	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
5	1, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
6	5	oveqd 7430	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
7	6	mpoeq3dva 7490	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
8	7	rneqd 5931	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
9		subgrcl 19199	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
10	9	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
11		simp2 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
12		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13	12	subgss 19195	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
14	13	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
15	11, 14	sstrd 3955	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
16		simp3 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑈 ⊆ 𝑆)
17	16, 14	sstrd 3955	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
18		subglsm.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
19	12, 3, 18	lsmvalx 19711	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
20	10, 15, 17, 19	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
21	2	subggrp 19197	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
22	21	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝐻 ∈ Grp)
23	2	subgbas 19198	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
24	23	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
25	11, 24	sseqtrd 3981	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐻))
26	16, 24	sseqtrd 3981	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐻))
27		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
28		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
29		subglsm.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSSum‘𝐻)
30	27, 28, 29	lsmvalx 19711	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐻) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐻)) → (𝑇𝐴𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
31	22, 25, 26, 30	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑇𝐴𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
32	8, 20, 31	3eqtr4d 2814	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑇𝐴𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ran crn 5665  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  Basecbs 17271   ↾_s cress 17292  +_gcplusg 17312  Grpcgrp 19002  SubGrpcsubg 19188  LSSumclsm 19706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-subg 19191  df-lsm 19708

This theorem is referenced by:  pgpfaclem1  20155