Theorem subglsm 19691

Description: The subgroup sum evaluated within a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
subglsm.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
subglsm.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
subglsm.a	⊢ 𝐴 = (LSSum‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
subglsm	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑇𝐴𝑈))

Proof of Theorem subglsm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1204	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subglsm.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	2, 3	ressplusg 17334	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
6	5	oveqd 7448	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
7	6	mpoeq3dva 7510	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
8	7	rneqd 5949	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
9		subgrcl 19149	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
10	9	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
11		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13	12	subgss 19145	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
14	13	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
15	11, 14	sstrd 3994	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
16		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑈 ⊆ 𝑆)
17	16, 14	sstrd 3994	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
18		subglsm.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
19	12, 3, 18	lsmvalx 19657	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
20	10, 15, 17, 19	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
21	2	subggrp 19147	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
22	21	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝐻 ∈ Grp)
23	2	subgbas 19148	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
24	23	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
25	11, 24	sseqtrd 4020	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐻))
26	16, 24	sseqtrd 4020	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐻))
27		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
28		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
29		subglsm.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSSum‘𝐻)
30	27, 28, 29	lsmvalx 19657	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐻) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐻)) → (𝑇𝐴𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
31	22, 25, 26, 30	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑇𝐴𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
32	8, 20, 31	3eqtr4d 2787	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑇𝐴𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  +_gcplusg 17297  Grpcgrp 18951  SubGrpcsubg 19138  LSSumclsm 19652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-subg 19141  df-lsm 19654

This theorem is referenced by:  pgpfaclem1  20101