Theorem subglsm 19648

Description: The subgroup sum evaluated within a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
subglsm.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
subglsm.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
subglsm.a	⊢ 𝐴 = (LSSum‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
subglsm	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑇𝐴𝑈))

Proof of Theorem subglsm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		subglsm.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
3		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	2, 3	ressplusg 17254	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
6	5	oveqd 7384	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
7	6	mpoeq3dva 7444	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
8	7	rneqd 5893	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
9		subgrcl 19107	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
10	9	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
11		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13	12	subgss 19103	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
14	13	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
15	11, 14	sstrd 3932	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
16		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑈 ⊆ 𝑆)
17	16, 14	sstrd 3932	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
18		subglsm.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
19	12, 3, 18	lsmvalx 19614	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
20	10, 15, 17, 19	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
21	2	subggrp 19105	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
22	21	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝐻 ∈ Grp)
23	2	subgbas 19106	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
24	23	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
25	11, 24	sseqtrd 3958	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐻))
26	16, 24	sseqtrd 3958	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐻))
27		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
28		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
29		subglsm.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSSum‘𝐻)
30	27, 28, 29	lsmvalx 19614	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐻) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐻)) → (𝑇𝐴𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
31	22, 25, 26, 30	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑇𝐴𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑇, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦)))
32	8, 20, 31	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑆) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑇𝐴𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ran crn 5632  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220  Grpcgrp 18909  SubGrpcsubg 19096  LSSumclsm 19609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-subg 19099  df-lsm 19611

This theorem is referenced by:  pgpfaclem1  20058